✓ Три квадрата | Три способа решить олимпиадную геометрию | Ботай со мной

[@krzysztofpukicz3252]

- Вы тригонометрию считаете? - Нет, окружности рисуем. - Красивое!

[@smarthedgehog3185]

Лайк за окружность. Самое простое и быстрое решение. Браво маэстро :)

[@cooki3226]

как по мне, решения заслужили следующие звания: 1 - самое универсальное, 2 - самое красивое, 3 - самое практичное

[@barackobama2910]

Нет. Самое практичное -1. Самое красивое -3. Второе вычурное.

[@MsAlexandr76]

@@barackobama2910 ТОЧНО!

[@СветланаА-б3е]

​@@barackobama2910второе может быть и не вычурное, но трудно придумать, как достроить чертеж

[@fizfakmsu116]

Спустя 3 года на физфаке и несколько месяцев в universite paris-saclay первое, что пришло в голову, так это всё сделать через векторы(отсылка к следующему видео)) Ввёл дво вектора, образующих наш угол, предположительно в 45 градусов. Двумя способами посчитать скалярное произведение, чтобы найти косинус угла, использовав соотношение про площади. Всё получилось. Такое более суровое аналитическое решение для тех, кто не любит тангенсы. Про окружность очень сильно понравилось))

[@panfilovandrey]

Первое решение в лоб, самое простое, т.к. может сделать каждый, кто помнит формулы. Второе красивое, но хрен догадаешься так сделать :) Дополнительные построения, да с поворотами, нужно сильно раскачать интуицию на такие поиски. С описанной окружностью - вообще красота. Спасибо за ролик.

[@kira4ka69]

Борис, я рад, что до сих пор могу изучать математику вместе с вами! С каждым разом продакшн всё лучше и лучше!

[@Mr_S1der]

это правда

[@qwtyrina]

замечательная задача и гениальное решение от вас! спасибо!

[@tsushkadmitriy]

Тригонометрия-красиво, но с окружностью-великолепно!!! С поворотом мне не зашло.

[@СветланаА-б3е]

Окружность вообще самая гармоничная фигура в планиметрии, конечно это решение нравится больше 🙂

[@ЛинарШамсиев-с5ц]

1) Чисто если знаешь алгебру и теорема Пифагора 2) Чисто если знаешь геометрию, т.к. должен знать и доказать о подобности треугольников. 3) ЕМААААА КРУГ ТУТ ВПИСАЛСЯ!! ЭТО ШЕДЕВР!!!!!

[@fewtall]

Лучший учитель!

[@hlorn1]

Я решил эту задачу с помощью теоремы косинусов и Пифагора. Немного математических преобразований и получилось, что cos^2 = ((a + b + c)^2)/(4(b + c)(a + c)) = 1/2. Откуда угол равен 45.

[@melaniabykadorova5974]

С описанной окружностью, по-моему, самое понятное и простое решение.

[@koshenator1]

Спасибо за красивый разбор, я тоже третий вариант решения увидел сразу )

[@BunyodbekYusufjonov-r8m]

08:16 проста вау❤

[@nemo7493]

Если можно двигать эти квадраты, то сдвиньте их так, чтобы площадь среднего квадрата равнялась сумме следующих площадей квадратов: 0 + Smax То есть по сути сдвинтье этот средний квадрат полностью в угол по диагонали. Тогда искомый угол будет образовываться другой диагональю большого квадрата ( в котором всё это и происходит) и стороной этого большого квадрата. А угол образованный диагональю квадрата равен 45 градусам

[@user-ih9jy5tf9u]

Решение с поворотом понятно откуда происходитсвоей идеей: теорема о британском флаге,. Решение с окружностью Бориса, действительно, красиво. Браво!

[@vikivanov5612]

решение 3 - красота!

[@Kvintanin]

Решил третьим способом, тоже увидел равенство отрезков, но решил через возникающие равнобедренные треугольники. В итоге получается 2a + 2b = 90.

[@СветланаА-б3е]

Третий способ самый красивый Надо же использовать тот факт, что а, b и с - стороны прямоугольного треугольника🙂

[@viktoriiadenysova9832]

С окружностью самый суперский!!!

[@Misha-775]

А я вообще через теорему косинусов решал. Писал, писал с целую страницу, ответом был доволен. А как увидел Ваше 3-е решение - прямо кокнуло😂 Так просто, что даже страшно

[@rabbits_phonograf]

У меня решение этой задачи получилось 3-е. Я к нему пришёл самостоятельно, но всё-таки у Вас красиво описано.

[@AS_tutor]

Мне ваше решение прям очень понравилось) Красиво!

[@alexanderknyazev9159]

С окружностью, конечно же, самое красивое решение! )

[@jdwwsz]

додуматься повернуть я бы точно не смогла, но окружности я часто замечаю, поэтому для меня лучшее решение - последнее. про формулы тангенсов я и не знала, так что их даже не рассматриваю)

[@kagegakurenokuni]

надо же... а я посчитал по теореме пифагора все три стороны центрального треугольника, потом вписал их в теорему косинусов, сделал пару раз замену c^2=a^2+b^2 и вышел на то, что косинус угла равен корню из одной второй. вот примерно так: a^2+(b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2bc = 2c(c+b), b^2+(a+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2ac = 2c(c+a), 2c^2 - это квадраты сторон треугольника, образованного диагональю желтого квадратика и нашим искомым углом. тогда по теореме косинусов: 2c^2=2c(c+b)+2c(c+a)-2*2c*корень[(с+b)(c+a)]*cos A тут можно все слагаемые поделить на 2с (понятно, что это не ноль): c=c+b+c+a-2*корень[(с+b)(c+a)]*cos A, a+b+c=2*корень[(с+b)(c+a)]*cos A возведем обе части в квадрат: 2c^2+2ab+2bc+2ac=(4*c^2+4*bc+4*ac+4*ab)*[(cos A)^2] 2*(c^2+ab+bc+ac)=4*(c^2+ab+bc+ac)*[(cos A)^2] откуда собственно (cos A)^2 = 0.5 ну то есть я вообще не олимпиадник здесь, но кажется все решилось.

[@alfal4239]

"вот примерно так: a^2+(b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2bc = 2c(c+b)" На этом можно остановиться, это уже решает задачу. Ведь равенство a^2 + (c + b)^2 = (✓2c)*( ✓2c + ✓2b) означает подобие треугольников.

[@sotkanizvetok]

Дано трапецию ABCD с основами AD и BC (AD=a,BC=b, a>b). Отрезок KL, параллельный основам, делит трапецию на два четырехугольника, площадь которых равна. Выразите KL через а и b.

[@alfal4239]

Вот равенство площадей: a^2 - KL^2 = KL^2 - b^2. Дальше сами.

[@miguelitonegrito]

Ну третье решение с кругом самоее мегакрутое!!!👏👏👏

[@ФедорРождественски]

красивая задача, можно решать в уме

[@nachertamnenik]

Красиво!

[@popan.stepovich]

Я провел отрезок с, как в решении Бориса, и увидел два равнобедренных треугольника и накрест лежащие углы, и всё получилось)

[@andkrav]

последний вариант это и есть красота математики

[@alfal4239]

Равенство a^2 + (c + b)^2 = (✓2c)*( ✓2c + ✓2b) означает подобие треугольников (общий угол и пропорциональные стороны). Поэтому у второго треугольника угол тоже 45. Задача решена без дополнительных построений.

[@ЕкатеринаАбросимова-ш7у]

Крррасота. Последнее решение классное

[@ТатьянаБохонько]

👍 крутяк с окружностью

[@Roksarr228]

я поставил видео на паузу и решил, найдя сумму углов альфа и бета без тангенсов. хотел написать как, но не знаю как это сделать без картинки :(

[@canniballissimo]

Борис мечет огнивами!

[@sed0k]

Помню эту задачу со всеми тремя решениями где-то месяц назад у вас в вк

[@hassanabdurrahman995]

Последнее решение - 🤯

[@_mary_3507]

Третий способ вообще пушка)

[@Макс-з2л8о]

С кругом крутое решение!

[@padla6304]

третий самый простой и для понимания и по краткости мой лайк каналу

[@hriast]

Симпатичные спецэффекты

[@Grector]

Последнее решение самое красивое

[@Lord_of_the_beans]

Здравствуйте , будет интересно увидеть Ваш разбор следующей красивой задачки про «двух муравьев и тетраэдр»! На поверхности равногранного тетраэдра сидят два муравья. Докажите, что они могут встретиться, преодолев в сумме расстояние, не превосходящее диаметра окружности, описанной около грани тетраэдра. Задачка из Шестнадцатой устной олимпиада по геометрии И.Ф Шарыгина 2018 года

[@yessimovaindira8016]

Гениально

[@666satanaaa]

Решил через окружность, совсем не сложно

[@irinaprokofieva2813]

❤❤❤❤❤❤❤👏👏👏👏👏👏👏

[@dmitrygurban8635]

Третье решение, с описанной окружностью, более элегантное. Мне кажется, что автор задачи именно такое решение и подразумевал.

[@xor28rox]

4. Обозначим большой исходный квадрат как G со стороной g. По условию: c²=a²+b², а для большого квадрата G: g²=c²+a²+b². Нехитрыми заменами получаем, что диагональ квадрата С равна половине диагонали G. _(Хоть через суммы вторых степеней, хоть через проекции диагоналей, не важно.)_ Соответственно и угол будет половина. Половина от 90°. Ответ 45°

[@trushinbv]

Во первых, площадь большого квадрата не равна сумме площадей наших трех квадратов. Во вторых, длина жёлтой диагонали будет разной при разном расположении. А, в третьих, из одинаковой длины не следует одинаковость угла )

[@meerable]

Для меня первый уровень сложности - что-то понимать про параллельные прямые Второй - про треугольники Третий - первое и второе вписанное в окружности) я почти ничего про них не знаю) даже не помню, было ли это в школе. )) Т.е. обладая знаниями про отношения фигур и прямых с окружностями - ваше решение самое простое и красивое. Но вот сами эти знания будут «стоить» подороже;))

[@sed0k]

Второе самое простое, потому что требует минимум знаний. Восьмиклассники уже могут решить. потому что прошли теорему Пифагора, но не прошли вписанные углы. Первое самое сложное. вообще ничего не понял.

[@СеняМарк-р2й]

А что если более простое решение, если известна, что центральный квадрат смещается и его сумма равна сумме угловых квадратов, то центральный квадрат, если встанет про центру, то 2 диагональ будет делить центральный квадрат также как и первая. Получается при смещении центрального квадрата в любой угол большого квадрата, значит получается, внутри большого квадрата образуются на диагонали два равносторонних квадрата, которые при проведении второй диагонали проходят по углам соприкосновения малых квадратов, что образует угол этих квадратов. Теперь мы знаем, что в квадрате диагональ равна 45 градусов, а значит у нас два малых квадрата соприкасаются углами на диагонали под углом 45градусов. А дальше знаем что при перемещении по диагонали в квадрате, квадрата без изменения сторон, угол соприкосновения не меняется, значит остаётся равен в 45 градусов. К сожалению не могу наглядно показать, но смысл надеюсь понятен. Как такое решение? Простыми перемещениями квадрата в квадрате, на уровне 6-8 класса?

[@alfal4239]

"А дальше знаем что при перемещении по диагонали в квадрате, квадрата без изменения сторон, угол соприкосновения не меняется" И квадрат при перемещении по диагонали меняет размер. И неизменность угла при перемещении фиксированного квадрата по диагонали не доказана.

[@СеняМарк-р2й]

@@alfal4239 но один квадрат остаётся всегда без изменения размера, значит квадрат который не меняет размер остаётся под углом 45 градусов, а другие квадраты при движении выходят на размер основного. Ведь при смещении стороны не меняют длину, значит один из трёх квадратов всегда целый и двигается в соотношении 45градусов к углу.

[@СеняМарк-р2й]

@@alfal4239 ведь нам не запрещено передвигать квадрат в любом направлении по диагонали, которая также является диагональю центрального квадрата, а в квадрате диагональ не меняет длину, а значит на расстоянии от одной точки в пределах диагонали большого квадрата остаётся под одним углом, ведь полный малый квадрат не меняет размер, а значит не меняет диагональ, а значит не меняет угол при движении по диагонали большего квадрата. Логично?

[@alfal4239]

@@СеняМарк-р2й Все три квадрата, что внутри большого квадрата, меняют размер.

[@СеняМарк-р2й]

@@alfal4239 , как? Если по условию один внутренний полный квадратный всегда равен сумме двух малых квадратов. Значит при смещении по диагонали большого квадрата, в точки назовем её j, превратятся из трёх в точки j в два равные квадраты..... Ладно просто не хотите. Считайте сложнее. Просто предложил.

[@LORD_BARANOV]

Ваше решение я придумал первее всего, забавная задача

[@Hatali445]

90° - 45° = 45° 45° : 2 = 22,5° наверное так.

[@albertvolkov2724]

Обалденное решение но 3

[@ger7992]

для меня самое первое доказательство такое: диагональ квадрата С равна половине диагонали изначального большого квадрата (допустим Z), соответственно угол, который можно построить между стороной квадрата Я и серединой диагонали - 45 градусов (потому что это фактически другая диагональ). И при изменении площади малых квадратов этот угол не меняется - только немного сдвигается.

[@trushinbv]

Но она не равна половине диагонали )

[@СветланаА-б3е]

Но второе решение всетаки самое оригинальное

[@canis_mjr]

Теорема Пифагора вскрывает любую задачу, надо только найти нужное построение)) Сам решал первым способом. От третьего решения начал дёргаться глаз 🤪

[@maximdvornik3326]

Можно допустить, что площадь и диагональ одного из малых квадратов стремятся к нулю. Тогда остаются два равных квадрата, диагонали которых равны и соприкасаются ровно посредине диагонали большого квадрата. Тогда будет очевидно, что угол равен 45 градусов. Решение неполное так как описывает лишь один случай, но очень простое.

[@trushinbv]

Если разобрать один случай из бесконечного множества, то это ровно 0% от всех случаев )

[@AllxxExp]

Ещё проще: продлеваем один из лучей угла до пересечения с большим квадратом и получаем равнобедренный прямоугольный треугольник, острый угол которого равен 45 градусов, а катет равен корень из (с+а)^2+в^2! Фсё.

[@alfal4239]

Это не проще первого варианта с тангенсами, т.к. ещё необходимо проверить выполнение равенства: (b + c - a)/ (b + c + a) = b/(a + c)

[@ЭмирАлиев-у3г]

Салам алейкум Борис. Что то я не понял. У вас есть равнобедренный треугольник со сторонами "С" в котором по определению два угла по 45*, вы к нему проводите по условию задачи два отрезка и получаете новый треугольник с вписанным в него у же существующим выше упомянутым. Но тогда получается что в двух вновь полученных треугольниках углы прилегающие к существующим тоже по 45* и что то с решением вашей задачи не то. Поясните пожалуйста. И желательна на видео. Спасибо.

[@matthewmarston5149]

Thank you, Boris, for making our families Name Greater again, by staying away from drunken DisO and drugs, I somehow pull off 1 Beer splits and alot of weed, but tu are perfectly normal, don't literally move..

[@doubleperfect2007]

Трушин, сделай, пожалуйста, видео про пространственную теорему Пифагора🙏

[@vitalibahdanovich8072]

Борис, в какой программе рисуете?

[@trushinbv]

Это геогебра

[@DraCat1993]

Есть ещё мысль. Попробовать найти площадь по формуле Гериона и поделить ее на произведение двух сторон, которые образуют угол. По идее должно получиться √2/4. Это будет коэффициент 1/2sin45 как раз чего не хватает для площади треугольника

[@Mr_S1der]

если квадрат а или квадрат b = 0Ю то с + b или c + a по 50% - соответсвенно угол 45 градусов)

[@c00k1er]

А считаются два случая, когда а или b равно нулю? Тогда второй угол по определению 45 и доказывать ничего не надо.

[@trushinbv]

Считаются ) Но нужно же доказать, что так будет всегда

[@ДмитрийКириллов-к5ъ]

А откуда задача ?С какой олимпиады ?

[@trushinbv]

С просторов интернета )

[@ДмитрийКириллов-к5ъ]

@@trushinbv красивая задача Мне очень понравилось Ждём аналогичных разборов)

[@ikelarev]

Последнее решение - огонь! Хотя заметить это надо иметь глаз наметанный. Решение с поворотом показалось самым "искуственным" и запутанным, имхо конечно

[@romank.6813]

Последнее решение - лучшее. А второе - хрен знает как до него вообще можно додуматься.

[@volny_gasyat_veter]

1 и 3 решение лучше всего, да и не сложные. а вот до 2-го надо додуматься именно так перевернуть. под силу только тем кто уже видел подобные решения или ученикам МЦ, которым запретили пользоваться 1 и 3 способом и кровь из носа надо решить.

[@trushinbv]

Что такое МЦ? )

[@volny_gasyat_veter]

@@trushinbv , матцентр при 239

[@АркадийФедерякин-г1з]

Устремить площадь одного крайнего квадрата к нулю и получить два одинаковых квадрата. ;)

[@alexdolinsky7387]

Я бы решил координаткой

[@Metal_dead]

Можно было кроме твоего решения больше ничего и не показывать

[@matthewmarston5149]

Tu my Cousin? Boris 😊

[@VEKSANAML]

можно принять а=0 ,теперь b=c ,следовательно искомый угол 90/2

[@trushinbv]

Вы теорему Пифагора также доказываете? )