✓ Сравнение по модулю. Арифметика остатков | Ботай со мной

#БотайСоМной #034
Сравнение по модулю. Арифметика остатков
Книжка от Трушина: trushinbv.ru/book
Как поддержать канал: • Как помочь развитию ка...
Разовая помощь (Яндекс.Деньги): money.yandex.ru/to/4100110176...
Разовая помощь (PayPal): paypal.me/trushinbv
Разовая помощь (Donation Alerts): www.donationalerts.com/r/bori...
Регулярная помощь (KZbin): / @trushinbv
Регулярная помощь (Patreon): / trushinbv
Онлайн-курсы по математике с Борисом Трушиным:
10 класс. Подготовка к ЕГЭ: trushinbv.ru/ege10
11 класс. Подготовка к ЕГЭ (задания 13-19): trushinbv.ru/ege11c
10-11 классы. Подготовка к Перечневым олимпиадам: trushinbv.ru/olymp
Кроме этого, можно купить мои прошлогодние курсы в записи:
Подготовка к ОГЭ: trushinbv.ru/oge9
Подготовка к ЕГЭ. Задания 1-12: trushinbv.ru/ege11b
Подготовка к ЕГЭ. Задания 13 и 15: trushinbv.ru/ege1315
Подготовка к ЕГЭ. Задание 14: trushinbv.ru/ege14
Подготовка к ЕГЭ. Задание 16: trushinbv.ru/ege16
Подготовка к ЕГЭ. Задание 17: trushinbv.ru/ege17
Подготовка к ЕГЭ. Задание 18: trushinbv.ru/ege18
Подготовка к ЕГЭ. Задание 19: trushinbv.ru/ege19
Другие курсы Фоксфорда: trushinbv.ru/courses
Репетиторы Фоксфорда: trushinbv.ru/coach
Личный сайт: TrushinBV.ru
Группа "Олимпиады, ЕГЭ и ОГЭ по математике": ege_trushin
Группа "TrushinBV.ru": trushinbvru
Личная страница: trushinbv
Группа "TrushinBV.ru": / trushinbv
Личная страница: / boris.trushin
Инстаграм: / trushinbv
TikTok: / trushinbv
Telegram: t.me/trushinbv
Twitter: / trushinbv
KZbin-канал: / trushinbv

[@traxtorbek]

Спасибо. Я в 7 классе готовлюсь к республике. Победил

[@user-qq4vn4xq9l]

Норм?

[@traxtorbek]

@@user-qq4vn4xq9l да

[@Johnny-Jostar]

Молодец трахторбек

[@traxtorbek]

@@Johnny-Jostar спс , дошёл до межки

[@v_tayne]

@@traxtorbek о, афигеть, а я тебя может даже знаю, не?)

[@user-ng8it4tj5g]

Пожалуйста продолжайте эту серию , очень интересно и поучительно!

[@user-vo8rf4rw9t]

Как всегда, на высоте!

[@angelushangelush2524]

Спасибо огромное. Это "начало издалека" невероятно помогает в освоение сложнейших для меня задач!) счастлива что есть такой канал

[@yana_stasevich]

Спасибо огромное за видео! Очень помогло разобраться! Сейчас учу эту тему на немецком, вообще непонятно, но благодаря вашему видео, все прояснилось:)

[@DmitryStepanov-mo6wt]

Борис Викторович лучший, спасибо что вы есть!))

[@annaponomarova3472]

100К!!! Поздравляю)))

[@jennygeply6172]

Спасибо вам большое за такие замечательные видео! Сейчас перешла в 10 и решила летом освоить программу вперёд,чтобы потом было легче. Читала учебник,но ничего не поняла,а благодаря вам у меня уложилось

[@The2342289]

Прекрасно, спаси Господи за столь простое и ясное представление

[@dumb_ear]

Остаток - это то, что осталось. Обожаю

[@petrmakagonov3948]

Да, забавно звучит "то, что осталось". На самом деле - очень сбивает это "то, что осталось". Ведь, это справедливо лишь, когда остаток от деления получается в результате деления целого положительного числа на другое целое положительное число. Да и то, лишь в том случае, когда первое число больше второго, как, например, 10 и 7. Тогда, при делении 10 на 7 мы получаем, что 7-ка один раз "помещается" в десятке и остается тройка. Если же мы возьмем пример, когда первое число меньше второго, например, 2 и 7, тогда говорить "то, что осталось" не корректно, кмк... Ведь семёрка ни разу не "помещается" в двойке. Эти примеры с яблоками и конфетами тут только сбивают... p.s.: с отрицательными цифрами фраза "то, что осталось" вообще не работает, например -2 и 7 p.p.s.: я уже молчу про 2 и -7 habr.com/ru/articles/421071/

[@user-pq3rr7tq8w]

Большое спасибо. Очень понятно и информативно. ПРЯМ БОЛЬШОЕ БОЛЬШОЕ СПАСИБО

[@user-uq3mu8ly6l]

Просто нет слов. Случайно наткнулся и залип. Мне понравилось, ёмко и изящно.

[@max325475685]

The best of the best!

[@user-dy5hi2gp4v]

Офигееееееееееть, это же потрясающе

[@sunJuliet]

Спасибо большое!! Сразу всё поняла:)

[@andruxa1528]

Мой друг Александр Герасимов сдал математику благодаря Вам на 84 балла, спасибо большое!

[@m0utain_j3w]

Только благодаря вам смог понять сравнения и логику остатков. Спасибо огромное!!!

[@Maximilian_Von_Vinogradoff]

Спасибо, в школе плохо понял эту тему, а сейчас вроде окончательно разобрался

[@marinachernavina8671]

Очень интересно и понятно рассказываете! Спасибо!

[@karelalex]

Большой дядька неистово одобряет надшкольную серию роликов.

[@user-lq2tu4hx5y]

Друг, ты один из лучших препадователей, спасибо

[@user-ju4ct8ne8i]

Спасибо большое, очень доступно

[@AndrewPacketikov]

Под конец ролика начал понимать, спасибо, парень, ты крут.

[@lerazabneva5265]

боже наконец-то я начинаю понимать теорию чисел, просто лучший

[@servenserov]

*Трушин - Вы лучший!*

[@farrukhsaidov2872]

Спасибо большое!

[@user-lb3my6eq2y]

Очень круто)))

[@shyngystagay462]

Спасибо вам большое

[@teo5998]

Офигенно объяснил!

[@sllsdsddlsdsdsdsd9072]

Очень полезное видео. Недавно как раз на школьном этапе ВСОШ была задача с остатками.

[@kenny3926]

Спасибо вам огромное

[@kroma2001]

как раз хотел тч ботать, спасибо

[@dmitrysergeev3670]

Большое спасибо!

[@appleset3088]

круто спасибо вам😘

[@crazufithman2737]

Огонь!

[@minyoongi3863]

Спасибо!

[@dinamik967]

Хорошо объясняете. Мне 55, да вот позабыл многое. А ведь когда-то матшколу московскую окончил. А тут пришлось Деффи-Хелмана алгоритм разобрать, ну и столкнулся с тем, что напрочь забыл про "сравнение по модулую". ;-)

[@petkoelenkin5713]

Отлично!

[@user-tl2nj4ki4x]

Шикарно!

[@user-qv2ri8tc7p]

Після перегляду даного неймовірного відео, я зрозумів, що не знаю нічого навіть про остачу від ділення. Дякую! я скинувся з вікна

[@kirillgo1021]

У меня уже голова болит это переслушивать постоянно.Нифига не понимаю......

[@_paradl1se]

Крутой чел!

[@blogoblokax2677]

<a href="#" class="seekto" data-time="1035">17:15</a> я себе чуть голову не сломал пока пытался понять.. в таких случаях лучше пример давать, спасибо за урок.

[@malaysia1037]

Спасибо

[@basavarajmunavalli6863]

Dear sir , I am thankful for your uploading of some videos on KZbin tube . They are very best I had come across . My kind request to you is please upload one hour videos on topicwise like , log equations & inequations , exponential equations & inequations , trigonometric equations & inequalities , mixed ones so that it will e easy for students to follow you , hope you would help all students and your fans. Best wishes . Basavaraj Munavalli Bangalore India

[@trushinbv]

Hi! You can find some videos here: kzbin.info/www/bejne/n5PJdWqkiruEjLc and here: kzbin.info/www/bejne/bXm3oKurm92Aa9k P.S. Do you understand Russian or use automatic translation?

[@BillyHerringtonImmortal]

Индус и русский поменялись местами)))

[@dmitridudko3351]

круто!

[@giorgipachuashvili2562]

благодарью вам из грузий

[@user-bh3bh1jh5y]

Если (k+1)^n-(k^n+1) где n-простое число, то это выражение делится на n. Это можно вывести из малой теоремы Ферма.

[@tr3251qw]

я все понял, спасибо

[@Kirill-medvedev168]

СПАСИБО

[@maismullimindrslri2232]

БОЛЬШОЕ СПАСИБО ИЗ АЗЕРБАЙДЖАНА ЗА УРОКИ.

[@AlexBesogonov]

Хотим китайскую теорему об остатках!

[@user-bn2rt9mo3z]

всем привет , сижу готовлюсь к Олимпиаде через 4 дня пишу регион , на муниципальном взяла 1 место , планирую на республике так же , будем стараться ! Удачи мне ! Напишу потом результат ❤❤❤❤

[@MinisterDorado]

<a href="#" class="seekto" data-time="460">7:40</a> Числа сравнимы по остатку. a ≡ b ( mod m). Означает, что числа до одинаковы остаток по модулю m.

[@user-il6zj7fg7h]

Балдеж

[@samezn]

оч круто

[@A1xarT]

Круто

[@olegvaflya8922]

Очень хочется видео про китайскую теорему об остатках, сама она не сложная, но ее понимание хромает, очень хотелось бы увидеть ее объяснение от вас

[@whereispie]

Отличный Преподаватель, спасибо!

[@demianparkhomenko7685]

Спасибо из Украины за уроки. Продолжайте их делать дальше😊 Было бы круто наводить камеру, после доказание каких-то теорем, чтобы можно было их законспектировать

[@taoqian9077]

Посмотрел несколько раз - решил самостоятельно элементарные задачи из Дезы. Задоначу пожалуй.

[@trushinbv]

Спасибо )

[@user-di1rf9np6x]

Деза -это что?

[@leonl1056]

Больше ни у кого нет столько полезной и понятной инфы за единицу времени,надо конспектировать и тренироваться)

[@user-fb8fp7zk9g]

Супер!

[@sjsjdjeje2188]

Класс!

[@user-ou1un5rr6e]

<a href="#" class="seekto" data-time="1631">27:11</a> я попробовал!!! С увеличением степени 521 получилась последовательность, которая повторялась через каждые 16 номеров; 6<a href="#" class="seekto" data-time="2236">37:16</a>=39(ост. 13), 13 номер = 7

[@whitelight8811]

Мне в школе никогда не показывают доказательство. Спасибо

[@user-vr7si9sb8m]

💪💪💪

[@kozanuch4405]

Трушин вы всегда мне симпатизировали своей подачей материала. Я обычно смотрел вас для каких то прикольных и интересных фактов и недавно решил заняться олимпиадной математикой. Я просмотрел 4 ролика от других блогеров, которые шли по 1ч.-1ч.30мин. и мало что понял. Но только когда посмотрел ваш ролик то понял, как вы грамотно все разложили по полочкам всего за полчаса... Большущее вам спасибо 😭

[@irinaprokofieva2813]

👏👏👏👏👏👏👏

[@netort7298]

<a href="#" class="seekto" data-time="864">14:24</a> просто закройте глаза и попытайтесь что-то понять)) а видео супер, все понял)

[@mrfireos266]

ахахах, это реально очень смешно XD это на это, а то - это не то, а это

[@arkanoid1965]

Так и знал - колдун! Хорошо, что белый. Я уже третий круг смотрю видосы, этот пропустил или не понял, только сейчас дошло. Хорошо на пенсии матан или савватан грызть, злесь вроде доходчивее)

[@user-mk3zf3ew7h]

👏👏👏

[@danilpankov8114]

Ждём теорему Эйлера.

[@bomjara123]

<a href="#" class="seekto" data-time="750">12:30</a> важное свойство

[@user-bs4lq3jn3s]

Смотрю это после бакалавриата для прохождения собесов в топовые IT-компании

[@Sasha-qs3kz]

Странно, у меня в олимпиаде по математике тоже нужно было найти остаток при делении на 16 от 2^2018, эту олимпиаду слушаю не дядя Боря делал?))) Ооочеееень жду теорему Ферма😍😍😍😍😍

[@trushinbv]

Это же баян. Я бы такое на олимпиаду не дал ))

[@netort7298]

Нолик получился?)

[@allbirths]

@@trushinbv только начал слушать, мне кажется, такого мы никогда не изучали, как и понятие ОДЗ, смысл понимаю, но такое аббревиатуры не помню. Воспринимали все как само собой разумеющееся. Что-то изменилось в программе, похоже. Остаток при делении программированием востребован. Если бы интуитивно до многих вещей не доходил, то и не знал бы их. Ну треть со школы помню, и треть с ВУЗа, ну вообще непонятно было, что и куда. Как вот матрицы складывали, а х.з зачем, почему, а как оказалось, это очень нужная вещь, даже вижу как в лайв режиме с данными работать. Задачи приходилось решать интуитивно, уже потом я понимал , какие мат. операции использую, но доходил до всего сам

[@allbirths]

@@trushinbv очень странное чувство, когда используешь свои методы, и, оказывается, где-то это изучается. Интегрирование и производная, вот что я воспринял из ВУЗа и нашел этому применение, а работа со степенями, остатки, разложение на множители. Говорят, что в нашем Казахстане с образованием все еще хуже стало(

[@allbirths]

@@trushinbv как же вы круты, а..., на месте Трампа, я бы всех топовых ютуберов по математике пригласил к себе. Наше образование не современно, поэтому у нас нет никакой возможности для прогресса, а от русского все больше казахов желают отказаться, ведь их просто ничего не надо. И да, я не нуб, при всей новизне тестов для нас, где можно косякнуть, не то закрасить, 90 и более % набрал по естественным наукам.

[@__misterx__]

а*с mod m = b*d mod m, можно проще доказать. Допустим a/m = (o1;r1), где o1 - целая часть от деления, а r1 - остаток. Также положим c/m = (o2;r2). Тогда a*c = (o1*m+r1)*(o2*m+r2). Если раскрыть скобки, то получится четыре слагаемых. Три слагаемых будут содержать множитель m, а значит при делении по модулю m дают 0. Четвертое слагаемое r1*r2. Следовательно a*c mod m = r1*r2 mod m. Точно такой же результат получится и для b*d mod m.

[@darsalim1]

После слова "ну почти" <a href="#" class="seekto" data-time="1344">22:24</a> не со всем разобрались:-)

[@user-mw6kp8xi7w]

здравствуйте, спасибо за объяснение. В теме урока на доске ОШИБКА написано СРАВНИЕ вместо СРАВНЕНИЕ. Случайно заметил мой ребенок 11лет)))))

[@trushinbv]

А где написано? )

[@user-mw6kp8xi7w]

@@trushinbv Здравствуйте, на доске тема лекции ...примерно 12-14 секунда от начала видео С Уважением Матвей Лазарев

[@trushinbv]

@@user-mw6kp8xi7w ой (

[@user-qp1ui4jk4r]

МОЛОДЕЦ!!! Это надо рассказывать в классах (Школе) с математическим уклоном. Жаль, что появляются "деятели", которые говорят, что математические школы в России не нужны.

[@oldslib]

Это вроде и есть в 8 классе в классах с мат.уклоном

[@user-ub8lq7wl8i]

Борис Викторович, здравствуйте. Мне хотелось бы у вас спросить: не могли бы вы посоветовать хорошие книги по теории чисел для тех, кто изучает её «с нуля»? Я имел в виду книги наподобие «Комбинаторики» Н.Я. Виленкина, А.Н.Виленкина, П.А.Виленкина, то есть такие книги, которые вводили бы понятия в связи с определёнными задачами, причём задачами «бытовыми».(В вышеупомянутой книге « Комбинаторика» такие понятия, как, например, правило произведения, вводятся в связи с задачами вроде:председатель клуба велосипедистов с горечью констатирует, что номер его членского билета-088, что на каждое колесо его велосипеда приходится по восьмерке, и поэтому нужно менять номер билета, но чтобы его не обвинили в суеверии, он хочет провести перерегистрацию всех членов клуба, то есть выдать им и себе членские билеты, в номерах которых не содержится восьмерок. По сути, задача такова:сколько существует трехзначных номеров, в которых ноль может стоять на любом месте, не содержащих восьмерку.)

[@vic88tor]

ЙотаКошерно!

[@ValOvchinnikov]

ААААААА! ОЧЕНЬ КРУТО! Жаль, что когда я в школе учился не было таких материалов И вот, 4 года спустя после окончания Физтеха, я наконец-то узнал, как решается городской этап :D Это, кстати, иногда нужно считать в реальной жизни (например, в расследовании программных инцидентов, когда хочешь понять что произошло с числом, не влезшим в int/long)

[@user-zn1qv2dy7u]

Блин, теперь спокойно на какие-о факты из теории чисел без доказательства смотреть не смогу) А можете посоветовать учебник, в котором подробные доказательства теории чисел есть?

[@user-po9cn9og2g]

y=ax+b это ур-ние прямой. остаток от деления на х это стартовая точка на координате у. Кол-во делений на х это тангенс угла наклона а. Походу линейная алгебра?

[@enotchannel8178]

Учусь в летней школе СУНЦ НГУ . Очень познавательно, сейчас проходим эту тему)

[@TheSlonik55]

Типа тригонометрического круга.

[@user-zg4pd9hb9l]

<a href="#" class="seekto" data-time="1208">20:08</a>, возникла проблема с пониманием. Как мы нашли остаток при делении 4 на 15? Помогите пожалуйста

[@trushinbv]

Если a меньше b, то остатком при делении a на b является само число a. Вспомните определение остатка.

[@user-zg4pd9hb9l]

@@trushinbv спасибо огромное!

[@aidarbegimbetov9328]

Тоже не понял сначала. Спасибо за вопрос. Ну и за ответ от автора конечно тоже. Вот что значит маленький пробел в школе...

[@user-zu2sy2lq6t]

мне кажется не хватило пояснения почему 24 сравнимо с 7 (mod 17) - любое число представимо в виде a = 0 * b + r

[@trushinbv]

Мы же первые 10 минут про это говорим.

[@user-si3br3hm6j]

Добрый день.

[@murlov2269]

Здравствуйте, когда мы говорим что 4 * 16^(504) ≡ 4 * 1 (<a href="#" class="seekto" data-time="1192">19:52</a>), четверка остается неизменной, потому что 4 ≡ 4 и 16^(504) ≡ 1 можно перемножить, как на <a href="#" class="seekto" data-time="786">13:06</a>?

[@trushinbv]

Да

[@murlov2269]

@@trushinbv спасибо

[@juyeong7117]

Доброе время суток. Интересует решение такого тождества: X ³ ≡ 1 (mod p) p - простое число. Очевидно что одно из решений x = 1, как найти остальные решения. X ³ это частный случай. В целом интересует решение для тождеств где икс в степени n. X ⁿ ≡ 1 (mod p) Спасибо.

[@Mcsi1ver]

интуитивно понятно что остальные решения X ³ ≡ 1 (mod p) - это kp+1 и -kp-1 где k - любое натуральное число или ноль.

[@gamerstrim]

<a href="#" class="seekto" data-time="458">7:38</a> - mod как в Pascal)

[@trushinbv]

Только наоборот )

[@user-wo9eu1wi6h]

Здравствуйте, <a href="#" class="seekto" data-time="626">10:26</a>, когда вы доказывали для другой стороны a-b кратно по m, то вы сказали: " ... предположим, что у a и b разный остаток...", так мой вопрос в чем , какие числа можно подобрать вместо a и b, чтобы у них при делении по модулю на m был разный остаток?

[@ninavoron12]

любые, которые при делении на одно и то же число дают разные остатки. Это утверждение противоречит тому, что а-в делится на m

[@user-mk4ss2fp2x]

на 25 минуте ошибка, 637/2 != 318

[@user-pn5wo6jl7v]

БОЛЬШЕ РАЗБОРОВ ВТОРОЙ ЧАСТИ ВАРИАНТОВ 18-17 ГОДОВ

[@lyha296]

Кстати, если все же руководствоваться правилом, что (-x) mod y = -(x mod y), но необходимо получить положительный остаток, можно воспользоваться формулой (x mod y + y) mod y

[@trimamatrimama2717]

Добрый день, я что-то запуталась, а почем мы ищем остаток от деления не 2 а 16 на 17 и 15?

[@zenfiramamednabiyeva2519]

118^13-1 делить на 169 3^21-2^24-6^8-1 делить на 1930 Не могли бы обяснит решение этих примеров

[@lz-ym5eq]

Борис Викторович, скажите пожалуйста можно ли эти факты ( и все ли их) использовать на егэ без доказательства?

[@trushinbv]

Почти во всех школьных учебниках за 7 класс эта тема есть "под звездочкой". По крайней мере точно есть у Петерсон и Никольского. Думаю, что на это можно ссылаться на апелляции, если вдруг снимут баллы )

[@user-zu2sy2lq6t]

Борис Викторович, остаток деления a // b находится в диапазоне (0, b-1), но разве он всегда должен быть положителен? Если ввести divmod(-10, -4) получим (2, -2). Остаток больше b, это ошибка в питоне?

[@paz540]

Нет. Это специфика процессоров Intel

[@fullfungo4476]

В этом видео не обсуждается сравнение по модулю отрицательного числа