Сравнение по модулю (Теория и примеры)

Сравниваем по модулю.
Спасибо за вклад в развитие сообщества: yasobe.ru/na/dvivideos
Задачи на разбор присылайте в ВК Vk: zormex
Вступайте в группу ВК(Там будут размещаться уникальные НЕвидео материалы + все видео с канала): club185737829
Доказать что делится на
Найдите остаток от деления на
Найдите последнюю цифру числа
Найдите две последних цифры числа
При каких целых n число делится на
---
#теория_чисел #сравнение_по_модулю #олимпиады

[@NectaFlay]

Решила самостоятельно готовиться к олимпиадам для поступления через олимпиады.Это канал просто находка, а так же паблик.Как же я рада, что есть такие люди, которые могут объяснить такие темы понятным и интересным языком.Спасибо вам за ваши труды!

[@4mo_uglerodnoe]

ну чего там? тоже по информатикее готовлюсь

[@user-qe9sl4nv6k]

Сергей, огромное вам спасибо! Учусь самостоятельно, и арифметика остатков всегда казалась мне сложной, но благодаря вашему превосходному объяснению я наконец-то освоил эту тему. Ваш канал - настоящая находка для тех, кто действительно стремится понимать математику. Вы заслуживаете намного большую аудиторию. Желаю вам успехов в развитии вашего канала! ❤

[@shy_clever]

Спасибо за обучающий контент. Боялся браться за эту тему, потому что, прочитав теорию не понимал, а вы связали теорию с практикой, и я все осознал! Как же все просто❤

[@axecameron8970]

Разбирал данную тему полгода назад. Что-то понял, а что-то - нет, но задачки некоторые смог все таки начать решать. Посмотрел Ваше видео, после разбора второй задачи смог самостоятельно решить все оставшиеся задачи, превосходно. Надеюсь, что мне попадутся похожие задачи в олимпиадах)

[@SergeiKuzinMath]

Приятно слышать! На олимпиадах обычно чуть посложнее всё-таки. Тут только парочка с реальных олимпиад, остальные - учебные) Но база заложена, а там всё будет ок)

[@1mpalo362]

и что, попались подобные?

[@dextert_qwer1660]

в каком классе был на тот момент?

[@1mpalo362]

@@dextert_qwer1660 7-8 классники поймут

[@user-ly7mq3fz7k]

Очень круто , один такой урок смотрится на одном дыхании , всё понял , спасибо большое. На русском сегменте в основном платные материалы , а такие каналы можно поистине назвать сокровищем , так держать!

[@SergeiKuzinMath]

Спасибо, друг! Не занимался каналом уже почти 2 года, к сожалению, развивал другие проекты, но скоро планирую продолжить) Stay tuned for more!

[@nameball]

спасибо большое

[@user-sc3vn3sl6p]

Спасибо 😊

[@ilyakether3967]

Потрясающе!

[@mathproblem7476]

Вот это красота! А до этого, даже не представлял, что есть такая тема, спасибо огромное за ваш труд!

[@trolltrollskiy]

Моя любимая теория чисел. Спасибо

[@justnothing3984]

Благодарю за видео, отличный разбор

[@kivimiki8298]

Спасибо вам огромное, вы очень сильно помогли мне понять эту тему 💛🙏

[@SergeiKuzinMath]

Заходи ещё!

[@user-zs3de2jh9d]

Спасибо за видео, доходчиво объяснили.

[@kellywhite692]

Отличный разбор, задачи очень хорошо подобраны, всё понятно, спасибо

[@SergeiKuzinMath]

Спасибо! Заходи ещё!

[@alex_craft4343]

Очень полезное видео. Можете, пожалуйста, сделать видео по 19 задаче, а именно по тактике нахождения оценки выражения

[@user-ps7ug7zc8k]

Очень хорошее видео побольше таких

[@Germankacyhay]

👍

[@lunar_lorkhan]

Спасибо за видео! Предлагаю альтернативный вариант решения про последние две цифры вариант а Из ряда 1^3 + 2^3 + ... + 99^3 (mod 3) получаем -99^3 - 98^3 - ... - 1^3 (mod 3) Далее по свойству сложения по модулю получаем сумму двух рядов 1^3 - 1^3 + 2^3 - 2^3 + ... 99^3 - 99^3 (mod 3) = 0

[@user-gi6nd9uh6o]

можно ли утверждать, что если а сравнимо с b по модулю с то и в сравнимо с а помодулю с?

[@akxpeergood]

угадай

[@ilyakether3967]

57:24 сгораю от интереса про красивое решение. Расскажите?

[@user-hg9jc9nc3k]

откуда в уме взять (2^4)499 + 2^3? Или тупа на калькуляторе такое считать нужно? Спасибо за лекцию...

[@SergeiKuzinMath]

ну (2^4)^500 = 2^(2000), просто по правилу произведения степеней. А нам надо 1999. Ну возьмём тогда по 4 не 500 раз, а 499, но тогда у нас 3 останется в остатке. Поэтому напишем (2^4)^499*2^3 (тоже просто по свойствам степеней)

[@toymaster3437]

лучше всех объясняешь!!!

[@SergeiKuzinMath]

Спасибо за добрые слова

[@Lu-ul2py]

посмотрела, в видео все хорошо преподнесено, но все никак не могу понять какой остаток будет от деления 2021^2021-2019^2019 на 7

[@SergeiKuzinMath]

Ну тут достаточно просто (все равенства по модулю 7): 2021^(2021)-2019^(2019) =(-2)^2021-(-4)^(2019)=4^(2019)-2^(2021)=2^(4038)-2^(2021)=(2^3)^1346-(2^3)^673*2^2=1-1*4=1-4=-3=4

[@arsensalikov4673]

Можете помочь с данной задачей? (9+√28)^2017+(9-√28)^2017 Надо найти остаток при делении на 13 Заранее благодарю

[@zenfiramamednabiyeva2519]

118^13 -1 делить на 169 3^21 -2^24 -6^8-1 делиться на 1930 Не могли бы показать решение этих примеров

[@SergeiKuzinMath]

Если решать техникой из видео, то: 1) 118^(13)-1 = (-51)^(13)-1=-(3)^(13)*17^(13)-1= -(3)^13*(17^3)^4*17-1=-(3)^(13)*(12)^4*17-1=-(3)^17*2^8*17-1=-(3^7)^2*3^3*2^8*17-1=-(-10)^2*3^3*2^8*17-1=-170*10*3^3*2^8-1=(-1)*160*27*2^4-1=(-1)*(-9)*27*2^4-1=3^5*2^4-1=243*16-1=0 (mod 169). Значит делится на 169. Понятное дело, что я тут просто сильно подробно пытался расписывать, иначе в этом мясе вообще ничего не понять, на бумаге можно половину строчек устно понять и будет покороче решение. 2) Делается аналогично, только надо не сразу по модулю 1930 фигачить, а сначала по модулю 2 (что совсем легко), потом по модулю 5 (чуть посложнее, но тоже просто), а затем уже по 193 (по сложности как задача 1). Везде будут 0 по этим модулям, значит делится на 1930. Прописывать это всё тут я заколебусь, но если пример 1 понятен, то и этот сделается. Что-нибудь понятно?)

[@user-hd9pb8tg5p]

Почему 7 и 2 сравнимы по модулю 5??? Понятно , что если мы поделим 7 на 5 остаток будет 2, но как мы можем делить 2 на 5 ????

[@SergeiKuzinMath]

Спасибо за вопрос! В начале видео специально есть вставка о том, что такое "поделить". Когда мы делим, то мы представляем число в виде: "число (делимое)" = "делитель (на что делим)" * "неполное частное (либо частное, если делится нацело)" + остаток. Ну т.е. поделить 7 на 5 это написать 7 = 5*1+2. Ну соответственно вводится деление 2 на 5. 2 = 0*5+2. В школе в 6 классе говорили так: "2 делить на 5 будет 0 и остаток 2". Но сравнения по модулю, о которых идёт речь в видео - это некое обобщение. Мы говорим, что 7 и 2 сравнимы по модулю 5, когда (7-2) делится на 5. Это определение и если это так, то на всё остальное можно забить. Значит числа сравнимы по модулю. Ну а на основе определения уже доказываются свойства, которыми мы пользуемся при решении задач.

[@user-hd9pb8tg5p]

@@SergeiKuzinMath спасибо большое за объяснение)

[@memeger89]

@@SergeiKuzinMath а откуда взялся остаток 2 в 2=0*5+2?

[@SergeiKuzinMath]

@@memeger89 ну в той записи, что ты сам и записал 2 - по определению остаток. Когда какое-то число раскладывается как a=p*t+r, то r - остаток, если выполняются те требования, которые указаны в видео.

[@jeannekuzmicheva6921]

подскажите, пожалуйста. как получилось 7^n+7^2*7^n = 50*7^n спасибо (58 мин)

[@SergeiKuzinMath]

Просто привели подобные слагаемые. Чтоб увидеть это замени 7^n = x. Тогда тут просто написано x + 49x = 50x, что очевидно. Т.е. конкретно этот шаг со сравнениями по модулю вообще не связан, просто алгебра 7 класса. Стало понятнее?

[@jeannekuzmicheva6921]

@@SergeiKuzinMath да, супер. спасибо

[@user-rb2ib7iy7s]

Последняя задача решена неверно. Ваш корень 8 не подходит к многочлену с коэффициентами 1, 16, 64. Проверьте по формулам Виета. Правильно собирать многочлен с коэффициентами 1, -18, 81. Ваше решение совпало с правильным случайно.

[@SergeiKuzinMath]

Добрый вечер! Не очень понял что куда не подходит. Утверждается, что (-8) не является корнем n^2+16n+64=0? Да вроде является. Или в чём утверждение? По поводу какой многочлен "правильно" собирать я вообще не понял. Тут нет понятия правильно или неправильно. Я могу собрать тот, который хочу, если я нигде не ошибаюсь, конечно. А так ограничений нет. Всё, что я утверждаю, это то, что многочлен n^2-n-4 с точки зрения деления на 17 это то же самое, что многочлен n^2+16n+64, больше ничего. Это значит, что какое n я не подставлю, у них остатки по модулю 17 будут одинаковы. Например, при n=1 это будет остаток 13.

[@user-rb2ib7iy7s]

Здравствуйте, Сергей! Вы правы. Прошу прощения, я из-за невнимательности подумал, что у Вас корень 8, а не (-8).

[@aristotle1337]

ну такое даже я осилю... явно же есть что-то сложнее

[@SergeiKuzinMath]

Конечно) Это самые базовые сравнения по модулю)

[@SergeiKuzinMath]

Но по факту на этой технике плюс паре "заметим, что" хитрых и строятся задачи по ТЧ в перечне)

[@gLg359]

Мужик! Ты чего-то попутал: t- натуральное, а r - целое?

[@SergeiKuzinMath]

Ну с учётом того, что написано выше не так важно: 0

[@user-mv9ht6oh2h]

Обьяснение так-себе.

[@user-jt7sk5fk7z]

Эта тема какого класса?

[@SergeiKuzinMath]

Это очень варьируется. В целом это доступно для понимания в 7-ом (Не все задачи), но большинство. В олимпиадах 7-ого класса можно видеть эти идеи. Если ограничиться остатками и не уходить в "отрицательные сравнения по модулю", то технику эту можно применять уже в 5-ом. На кружках разных это рассказывают от 5 до 11 классов)

[@1mpalo362]

можно ли было в перовой задаче сразу перейти от 1000*1001*1002*1003 ≡ 24 ( mod 999 ) к 1000*1001*1002*1003 - 24 ⫶ 999 из правила о том , что k - p ⫶ m k ≡ p ( mod m ) ?

[@SergeiKuzinMath]

Можно, да. А зачем? То, решение, что я предложил, оно же устное на самом деле и делается на 2 секунды, просто подробно расписал для тех, кто хочет реально понять как теория связана с практикой. А так решение пишется сразу 1000*1001*1002*1003 ≡ 1*2*3*4 ≡ 24 (mod 999), конец. Перейдя же к 1000*1001*1002*1003 - 24 ⫶ 999, надо как-то доказать, что левая часть делится на 999, а как это делать? Эта задача равносильна по сложности исходной.

[@zhasulanaset6514]

Потрясающе!!