３つの解法・漸化式

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[@anti_simulacre7907]

漸化式は基本的に自分なりのフローチャートみたいなものに従って解きます。このフローチャートは必ずしも効率良く問題を解くものではなく、好みの方法に偏ったり、苦手な計算は避けたりしているものです。チャート式などにもこうしたものは表としてまとめられていますが、最近流れてきたツイートによると、学校の先生や塾の先生の感想でも、誰かが作ったフローチャートに従うのは苦手で、自分なりに少しシンプルにしたものに従うという発言が多かったです。 私は４のｎ乗で割って定数を１に確定させた後で特定方程式〜という２番目に近い方法で解きます。 動画の最初の方法は、階差数列が等比数列になっている形がなんとなくイヤなので使いません。 最後の方法は、もっと複雑な漸化式のときに使います。 でも引き出しは多いほうがいいので、確実に解けるまで自分なりの解法パターンを身につけたら、いろんな解法を試してみようかと思っています。 とっても勉強になりました。

[@user-iw1cv7br3k]

おはようございます。私はこの漸化式を見ると、条件反射で４^nで両辺を割りたくなります。明日もよろしくお願いします。

[@yamada9402]

f(n)で置くのが汎用性高いですね！

[@so12397]

最後のやり方は計算が楽でいいですね。今度自分でも使ってみます。

[@user-xy6yw7tw1o]

最後の方法で解きました。朝から爽快です。今日ものんびり行くぞ～。

[@sk-gametheory]

ありがとうございます！

[@kantaro1966]

ありがとうございます。励みになります。

[@ironia006]

両辺を3^(n+1)で割る方法で求めました

[@user-mw3ci3rp2f]

2番目のやり方が斬新すぎて勉強になった。 自分は、1番目の方法で解きました。 3番目の方法も知ってたけど、動画を見る前に解いてみればよかったな。

[@REN_Channel]

すっ…ごく今更なんですけど、問題解き終わって、秒で「じゃ以上です、ありがとうございました」って言うとき、すごく淋しさを感じます。もうお別れなの〜？？！って。

[@vacuumcarexpo]

ヨシッ❗ 二つ目と三つ目のやり方で暗算で解きました。 一つ目のやり方は思い付きませんでしたが、計算がめんどくさく、暗算に適さないので思い付いてもやらないかも知れません。

[@user-qh6te2br3w]

反射的に2番目のやり方で解きましたが、たしかに3番目でもできるなと思いました。3番目の解法は2項間漸化式とかで用いていましたが、とても汎用的な解法であることに気付かされました。ありがとうございます。

[@hiroyukimatsumoto9257]

自分は2つ目が最初に浮かびました。 受験で出てくる漸化式はパターン化されているから学んだだけ解けるようになると思います。

[@user-js1rk8qq2o]

最後のだけ難しい… 指数にnが入ってても対してめんどくさくなさそうだなぁって感じた

[@RT-yr3qx]

受験生の頃、旺文社の『標準問題精講』に、最後のやり方が載っており、独学ゆえ(言い訳に過ぎませんが)なぜα×4^nと置くのかがイマイチ理解できないまま終えてしまいましたが、目指したい関数の形、という言葉に、成程と合点が(今更ですが)いきました ありがとうございます

[@HachiKaduki0501]

おはようございます。

[@mips70831]

2番目と3番目でした。 真っ先に3番目、つぎに2番目。 後は ｎを一つあげて差をとって階差数列にする方法しか思いつきませんでしたが、それだと4^ｎの項が残ってあまりメリットがない。 動画見て「あぁ、そういうことですか。」という感じでした。 個人的には3番目の解法が計算量も少なく、すっきりしている感じです。 本日も勉強になりました。ありがとうございました。

[@bearstrawberry9142]

2つ目の方法と3つ目の方法でやりました。ほかの方も言われてますが、4のｎ＋１で割る方法が一番に思いついてしまいます。3つ目の方法はこの動画を見出だしてからですね。4つ目の方法も見させて頂きました。今日もありがとうございました。

[@randomokeke]

4^nで割ろうとして早い段階で詰んだ。

[@user-se2lu3rz6l]

自分も楽な方法知ってたんだけどそれ別の動画で挙げられてしまった…

[@p-1math38]

3番→1番→2番の方法で思いついたけど、2番の方法は3番と本質的には同じで少し遠回りさせただけではと思い、他の方法がまだあるのかと考えてました💦

[@user-vf8jg5bf9e]

よく仰ってた、これを見たら「4のn+1乗で割りたくなる」になったので2番目のやり方で解きました。 自分的には進歩です✌️

[@fhchannel5718]

私も２番目と３番目のやり方はすぐに思いつきました。 自分なりのもう一つのやり方は、苦しいですが、 {a_n+1, 4^n+1}^t= A{a_n, 4^n}^tとして、行列Aのn乗を 求めるといもの。^tは転置するという意味。行列Aのｎ乗は掛け算していけば推定 できます。対角化という大学数学も使えます。

[@yamachanhangyo]

面白かった。 漸化式は私は高校未履修なのでまだよく判らんですが、『解けるように出来ているから解ける』はけだし名言だと思います。 ただ、解き方が三パターンある（もしかすると他にもあるかも）となると、『やり方だけ覚えている』受験生は混乱するでしょうねｗ 『定義を覚えよう』といういい例題を朝から見るのはいいこと…なんでしょうか（爆）

[@KT-tb7xm]

3つ目の方法で解きました。 最後の答えの表記は a[n] = 4{3^(n - 1) + 4^(n - 1)} としまいた。こっちの方が綺麗な感じがしたので。

[@user-uh4gt6fk8v]

nice!

[@KT-tb7xm]

@@user-uh4gt6fk8v さん ありがとうございます😄

[@user-ky2mg8pc9c]

おはようございます。貫太郎先生の柔軟な数学脳を垣間見た気がしました。 　山の頂上を目指すのに、さまざまなルート(解法)があります。数学の勉強もこれと同じですね。 　貫太郎先生ありがとうございました。

[@smbspoon-me-baby]

経験則 a(n+1)＝p・a(n)+q^n(p≠0,1) の形の場合、a(n)は公比pの等比数列と公比qの等比数列の線形結合で書けます。 だからp^(n+1)とかq^nとかその手のやつで割れば、ズレるかもしれませんが有用な情報は得られるのです。

[@user-pu7hb7dl4e]

それは経験則でも何でもなく，定係数線形差分方程式(敢えて漸化式とは言わない)の一般理論です．大学で学ぶ線形代数の応用です． 例えば，2階定係数線形差分方程式 a(n+2)+pa(n+1)+qa(n)=b(n) (b(n)は既知)...(*) の一般解は斉次形 a(n+2)+pa(n+1)+qa(n)=0 ...(◎) の一般解と非斉次形(*)の特殊解c(n)の和で表されます．ここに微分方程式の解法との類似性が見られます． 特性方程式 x²+px+q=0 が異なる2解 α, β をもつとき，α^n, β^n は(◎)を満たし，その線形結合 Aα^n+Bβ^n もやはり満たす. ここでA, Bを任意定数としたとき，これが斉次形(◎) の一般解となります．非斉次形(*)の特殊解は何でもいいから別途1個見つけなければいけませんが，特定の形の場合は見つけやすいことが多い． 初期条件 a₁, a₂が与えられている場合は a(n)=Aα^n+Bβ^n+c(n) から定数 A, B を定めてやればいい． 本問の場合はより易しい1階定係数だから，a(n+1)-pa(n)=q^n (p≠q) ...(◆) の斉次形の特性方程式は x-p=0 より x=p．よって斉次形の一般解はAp^n． これはそんなこと言わずとも斉次形は等比数列だからすぐわかること．非斉次形の特殊解を1つ見つけるためには, a(n)=rq^n の形で探せばいいことは見やすく, 与式に代入して r=1/(q-p) を得る．よって (◆)の一般解は a(n)=Ap^n+q^n/(q-p)． 初期条件 a₁ が与えられているときは，そうなるようにAを定める． 初めの問題 a(n+1)=3a(n)+4^n, a₁=8 に戻ると，初期条件を無視して一般解を求めれば，a(n)=A3^n+B4^n の形にあることはすぐわかり，初期条件等でA=4, B=1を定めればよい．なぜこう書けるかは上で説明したことで分かるが，次のように，1階を敢えて2階に持ち上げて理解することも可能． a(n+2)=3a(n+1)+4^(n+1)=3a(n+1)+4・4^n=3a(n+1)+4[ a(n+1)-3a(n)]． ∴ a(n+2)-7a(n+1)+12a(n)=0．

[@study_math]

解法1が好き そろそろ、イレーサーも綺麗にした方がいい雰囲気。 私にはラーフルという言葉が通じます。

[@vacuumcarexpo]

ラーフラはお釈迦様の息子ですね。

[@smbspoon-me-baby]

ジャーフルはサーフィンウェアの一種で、ボウフラは蚊の幼虫ですね。

[@vacuumcarexpo]

@@smbspoon-me-baby やはりspoonさんは海がお好きなようですね。海関連のワードがよく出る。 前に「お気に入りの水着」っていうワードも出てた気がする（笑）。

[@user-he9kr3ny8y]

3つ目の解法はどうしてそれを使えるというのかがわからなかった。結果オーライなのか、 どうなのか。 ｆ（ｎ+1）をα・4＾（ｎ+1）　と置きうるのがよくわからない。 なんとなくそれっぽいというのはわかるんですが、必ずそれが使えるというのを証明できるんでしょうか。

[@gupeter1043]

おはようございます😌

[@takeyukikojima]

二通りで解きましたが、どちらも示された解法とは違うようでした。 どちらにも共通するので、a_0 を求めておく。 a_1 = 3a_0 + 4^0 = 3a_0 + 1 = 8 ∴ a_0 = 7/3 . 【解法 1】 a_{n+1} = 3a_n + 4^n = 3(3a_{n-1} +4^{n-1}) + 4^n = 3^2・a_{n-1} + 3^1・4^{n-1} + 4^n = 3^2・a_{n-1} + (3/4)^1・4^n + (3/4)^0・4^n = 3^3・a_{n-2} + (3/4)^2・4^n + (3/4)^1・4^n + (3/4)^0・4^n = ... = 3^{n+1}・a_0 + 4^n・Σ_{k=0}^n (3/4)^k = 3^{n+1}・(7/3) + 4^n・(4(1 - (3/4)^{n+1})) = 7・3^n + 4^{n+1} - 4^{n+1}・(3/4)^{n+1} = 7・3^n + 4^{n+1} - 3^{n+1} = (7-3)・3^n + 4^{n+1} = 4(3^n + 4^n) ∴ a_n = 4(3^{n-1} + 4^{n-1}) . 【解法 2】 a_{n+2} = 3a_{n+1} + 4・4^n = 3a_{n+1} + 4・(a_{n+1} - 3a_n) = 3a_{n+1} + 4a_{n+1} - 3・4a_n = 3(a_{n+1} - 4a_n) + 4a_{n+1} ∴ c_{n+1} = a_{n+2} - 4a_{n+1} = 3(a_{n+1} - 4a_n) = 3c_n ∴ a_{n+1} - 4a_n = c_n = 3^n・c_0 = 3^n・(a_1 - 4a_0) = 3^n・(8 - 4・(7/3)) = 3^n・(-4/3) = -4・3^{n-1} ∴ a_{n+1} = 4a_n - 4・3^{n-1} = 3a_n + 4^n (与式) ∴ a_n = 4・3^{n-1}+ 4^n = 4(3^{n-1} + 4^{n-1}) .

[@user-iw2ex7ze8r]

数学は独学で学ばれましたか？どちらもかなりワイルドな解かれ方で、面白いです。

[@takeyukikojima]

@@user-iw2ex7ze8r 一応、理系の大学院は出ておりますが、数学の勉強は、独学に近いかもしれません。高校数学までは、すでに知っていることを授業で聞くような感じでしたので。

[@smbspoon-me-baby]

第5の解法 初項からの数項を具体的に計算し あなたのラマヌジャンを起動して 規則性を見いだし、帰納法で証明 …嘘です。