Una semplice equazione che non troverai sui libri di testo

[@samuelemallemi4706]

È sempre bello avere un'interpretazione grafica di certi problemi. Bel video!

[@GaetanoDiCaprio]

Grazie!

[@bruno68berretta53]

Caspita, non ci avrei mai pensato! Complimenti!

[@GaetanoDiCaprio]

Grazie

[@carlospada2605]

Lei è veramente chiaro. Grazie.

[@GaetanoDiCaprio]

Grazie

[@alessandrorovetta2053]

Esempio molto interessante, grazie! Un altro esempio forse più semplice da approcciare per la prima volta (sebbene meno stimolante) potrebbe essere |x| = x, in cui si mostra che le funzioni f(x)=|x| e g(x)=x hanno un grafico "sovrapposto" per ogni x≥0. Invero, anche in questo caso la soluzione è una "disequazione". Pensandoci bene, ciò è dovuto al fatto che tutti gli insiemi di soluzioni reali possono essere espressi come unioni di intervalli Ui [k_i, h_i] con k_i e h_i appartenenti alla chiusura di R. Ad esempio, se si tratta di singoli punti basta assumere k_i=h_i (intervallo degenere).

[@GaetanoDiCaprio]

Grazie, ottimo esempio. In realtà la mia intenzione era proprio di dare un'interpretazione geometrica che non si basasse sul classico metodo delle due funzioni. Cerco di fare sempre esempi non presenti sui libri di testo

[@mariagesue1342]

Molto elegante il ricorso all'ellisse degenerata! Io avevo trovato mooolto più artigianalmente l'equazione che uguaglia a zero il prodotto di x al quadrato meno 1 e di [|x|] (parte) intera del valore assoluto di x.

[@GaetanoDiCaprio]

Grazie

[@Marco-t8q]

Semplicemente magnifico! Avevo provato a risolvere per conto mio l'equazione sostituendo ai valori assoluti le radici delle grandezze al quadrato e ho ottenuto +1 e -1 come risultato. Mi stavo letteralmente arrabbiando perché non avendo sbagliato con i calcoli (li ho ricontrollati) non ho ottenuto l'intervallo cercato. Guardare il tuo video poi, nel punto in cui hai mostrato come l'ellisse degenera nell'intervallo, mi ha fatto venire in mente gli esseri che vivono in mondi di dimensioni superiori quando si manifestano a quelli nel mondo a dimensione inferiore 🤣🤣(tipo gli abitanti di flatlandia). Comunque mi permetto di concludere, sulla scia della citazione finale di Cartesio, una lezione che penso di aver imparato da questo preziosissimo problema che hai posto e cioè che (e sono sicuro che storcerai il naso)..... IL VALORE ASSOLUTO, IN GENERALE, NON SI PUO' ESPRIMERE COME RADICE DI UNA GRANDEZZA AL QUADRATO!!!!

[@GaetanoDiCaprio]

In realtà io pensavo proprio di rinforzare la definizione di valore assoluto come radice del quadrato. Se ho ottenuto l'effetto opposto il video ha qualche difetto eclatante

[@Marco-t8q]

@@GaetanoDiCaprio Sostituendo ai valori assoluti le radici dei quadrati ho ottenuto una comunissima equazione che non mi ha imposto la considerazione di alcun intervallo e che ho risolto applicando i ben noti metodi di manipolazione simbolica. Le soluzioni sono risultate +1 e -1 ma è sbagliato in quanto 0, ad esempio, è soluzione eccome dell'equazione di partenza. Quindi o avrei dovuto considerare un intero intervallo in qualche passaggio (ma mi sembra strano perché non mi è mai capitato in vita mia una cosa del genere 🤣) oppure se la corretta manipolazione dei simboli (prodotti notevoli, trasferimenti da un membro all'altro con cambi di segno etc etc) mi ha portato a +1 e -1 come risultato non può che significare che il problema sta a monte e cioè proprio nell'aver sostituito i valori assoluti con le radici dei quadrati. Non so, io non vedo davvero altra scappatoia.... e mi dispiace eh! Perché quella sostituzione era così comoda!!!!! 😭😭

[@Marco-t8q]

@@GaetanoDiCaprio kzbin.info/www/bejne/b323iYp9or56bZY

[@danteterribile5825]

Molto interessante; farò "tesoro" di questa dimostrazione.

[@GaetanoDiCaprio]

Grazie

[@albertobarbieri9994]

Sempre un grande professore❤

[@GaetanoDiCaprio]

😊

[@walteravvento1320]

Molto interessante, grazie prof

[@GaetanoDiCaprio]

Grazie

[@igel10]

Sempre molto interessante e non comune!

[@GaetanoDiCaprio]

Grazie!!! Tra l'altro: prova a cercare nei libri di testo liceali un'equazione simile a quella... La evitano come la peste! Troverai equazioni con valori assoluti molto più lunghe e complesse, ma tutte ugualmente noiose.

[@mariagesue1342]

Graficamente e visivamente basta l'asse x. Tutti e soli i punti del segmento chiuso di estremi -1 e 1 hanno somma delle distanze dagli estremi uguale a 2.

[@GaetanoDiCaprio]

Certo! Quella era stata la mia prima idea per il video, poi però ho optato per qualcosa di più "affascinante" (secondo me)

[@drdiegocolombo]

Grazie prof😊. Perché gli estremi 1 e -1 li hai considerati nel secondo intorno -1≤x≤1?

[@GaetanoDiCaprio]

Per nessun motivo, una scelta vale l'altra, diciamo che mi piace privilegiare le simmetrie. Nella suddivisione nei tre intervalli si è assolutamente liberi di "aggregare" i valori 1 e -1 con l'intervallo precedente o successivo, l'importante è che il tutto risulti in una partizione, ossia che gli intervalli non si sovrappongano e che coprano tutta la retta

[@drdiegocolombo]

@@GaetanoDiCaprio Grazie ☺️

[@Marco-fh4iu]

Ma non potevo dividere gli intervalli in x

[@GaetanoDiCaprio]

Certo, ma l'insieme complessivo delle soluzioni dell'equazione sarebbe stato lo stesso. Quei due valori sono libero di associarli all'intervallo di destra o di sinistra: non cambia nulla

[@mariorossi154]

Ecco una soluzione interamente geometrica basata su una distanza non euclidea. Usando la distanza di Manhattan, d(x,y)=|x1-y1|+|x2-y2|, l'equazione si legge così: cercare tutti i punti x tali che x1=x2 e d(x,y)=2 dove y=(-1,1). Ovvero: cercare tutti i punti x che si trovano sul "cerchio" di centro (-1,1) e raggio 2, e tali che x1=x2. Con questa distanza di ordine 1, il "cerchio" di centro (-1,1) e raggio 2 è il quadrato che ha vertici in (-1,-1), (1,1), (-1,3) e (-3,1). La condizione x1=x2 invece significa che il punto x si trova sulla bisettrice del I e III quadrante, ovvero sul lato del precedente quadrato compreso tra (-1,-1) e (1,1), da qui la soluzione.

[@GaetanoDiCaprio]

Molto bello grazie!

[@danilodonatucci2969]

Ma quindi questa è l'equazione di un ellisse/iperbole (cambiando opportunamente il valore di a)

[@GaetanoDiCaprio]

Ellisse

[@danilodonatucci2969]

@@GaetanoDiCaprio vero! Per avere l'iperbole bisogna fare la differenza delle quantità sotto valore assoluto

[@GaetanoDiCaprio]

@@danilodonatucci2969 esatto

[@ZannaZabriskie]

Non esiste un'equazione algebrica che contenga nell'insieme delle sue soluzioni un intervallo reale. Verrebbe giù il teorema fondamentale dell'algebra. O sbaglio? Il punto è che, per quanto mi risulta, quella da lei mostrata non è un'equazione algebrica. O almeno: non rammento una sola definizione di equazione algebrica che possa ricomprendere l'equazione da lei mostrata (sia chiaro: il mio "per quanto mi risulta" e "non rammento" non fanno testo, per carità, visto che non sono neanche lontanamente un matematico 😅)

[@GaetanoDiCaprio]

Il teorema fondamentale dell'algebra riguarda i POLINOMI. Con equazione "algebrica" intendo equazione NON trascendente, non intendo "equazione polinomiale". Comunque ottima osservazione e richiesta di precisazione più che legittima. Per il resto spero che il video sia stato interessante e abbia offerto nella sostanza qualche interessante spunto. Grazie

[@stefanolazzarato]

non è "piu semplice" come soluzione la funzione di una parabola con vertice sull'asse y e pari a 0 per valori di +/- 1 e positiva in tale intervallo ?, Se mettiamo tale funzione sotto radice quadrata per valori al di fuori dell'intevallo non è reale.........

[@GaetanoDiCaprio]

"semplice"? Forse sì ma, dal mio punto di vista, molto meno interessante

[@stefanolazzarato]

@@GaetanoDiCaprio semplice tra virgolette infatti