Gara internazionale Bocconi 2019 - Quesito 18

In collaborazione con:
Valerio Pattaro - Fisica Matematica Logica
/ @valeriopattaro

[@andreapedron568]

Buongiorno e complimenti come sempre per questo gustosissimo canale. Anch'io ho risolto il problema usando la trigonometria e in particolare il teorema dei seni, ma ho evitato la discussione iniziale sui valori dell'angolo C e i limiti del suo coseno. Possiamo scrivere dal teorema dei seni per il lato b b=c senB/senC = c sen2C/senC = 2 c cosC e per il lato a a=c senA/senC = c sen(180-3C)/senC = c sen3C/senC = c (4(cosC)^2-1) senC/senC = c ((2cosC)^2-1) dove la penultima relazione si ottiene applicando consecutivamente le formule di somma per sen e cos. Eliminiamo ora il cosC tra le due relazioni b=2 c cosC e a=c ((2cosC)^2-1), si ha 2cosC = b/c e dunque a=c(b^2/c^2-1) che riscrivo come ac=b^2-c^2 e b^2=c^2+ac=c(a+c} a questo punto c=100 è divisore di b^2 e dunque b è multiplo di 10, cioè b=10n mentre da a=c(b^2/c^2-1) si trova a=n^2-100. A questo punto i lati sono parametrizzati in funzione di n. Possiamo ora costruire un sistema di disequazioni per l'esistenza del triangolo e per la condizione di triangolo ottuso, tenendo conto delle relazioni tra angoli avremo a>b>c>0, ab^2+c^2, alcune delle quali ridondanti, e con l'ultima che consegue dal teorema del coseno e perché l'angolo A è ottuso. La soluzione del sistema di equazioni è piuttosto semplice e porta a 10radq(3)

[@GaetanoDiCaprio]

ottimo! (messo in primo piano)

[@andreapedron568]

Per un principio di economicità (lo spreco non è mai bello nemmeno in matematica) fornisco soluzione alternativa senza uso della trigonometria. Tracciando la bisettrice dell'angolo B=2C. questa incontrerà il lato opposto AC in un punto D, il triangolo ABC resta così diviso in due triangoli, il triangolo DBC isoscele perché possiede due angoli uguali all'angolo C e il triangolo DAB che è simile al triangolo di partenza ABC in quanto hanno entrambi un angolo uguale a C e un angolo A comune. A questo punto si può scrivere una relazione di similitudine ricordando che la bisettrice divide il lato opposto in due segmenti proporzionali agli altri due lati, cioè AD=bc/(a+c) e DC=ba/(a+c), si trova allora b/(a+c)=c/b da cui b^2=c(a+c). Si può ora procedere come nella soluzione precedente notando che b^2 è divisibile per c=100 e dunque b=10n mentre per a si trova a=b^2/c-c=n^2-100 e imponendo la disuguaglianza triangolare a>b+c e la disuguaglianza pitagorica per il triangolo ottusangolo a^2>b^2+c^2 nonché le condizioni a>b>c, si trova che n può assumere solo i valori 18 e 19 e il perimetro a+b+c=n^2+10n=n(n+10) vale rispettivamente 504 e 551.

[@GaetanoDiCaprio]

@@andreapedron568 Ancora più bello!!!! Ti nomino "utente top"! 💪Attendo con ansia tuoi commenti ad altri video! Grazie!

[@andreapedron568]

@@GaetanoDiCaprio Grazie a te, non mancherò di partecipare.

[@massimopescatori6514]

@@andreapedron568 Buonasera ... chiarissimo quanto deriva dal teorema della bisettrice ... mi sfugge il passaggio AD=bc/(a+c) e DC = ba/(a+c) ... come ottieni queste equazioni ? grazie .

[@ValerioPattaro]

Direi un ottimo lavoro di squadra 💪💪💪🚀🚀🚀

[@GaetanoDiCaprio]

💪💪😃

[@DexterB_BadTrip]

Complimenti a entrambi, risoluzione super!

[@andrycal1969]

Ottima collaborazione, tra l'altro vi seguivo già entrambi, e molto piacevole è l'essere confrontati a certi livelli di difficoltà per un 53enne come me, il cervello si rinvigorisce! Complimenti e alla prossima challenge👏👏

[@GaetanoDiCaprio]

Grazie! Siamo coetanei! Il 70 grande annata 😉

[@willyrossi7967]

Fantastico

[@rotos1950]

Bravi!

[@godhell8039]

Spettacolare, sia il problema che la collaborazione!

[@GaetanoDiCaprio]

😊

[@VittorioBalbi1962]

Molto carino ❤ grazie 🙏

[@annacerbara4257]

Buongiorno Io l'ho risolto applicando due volte il teorema dei seni: una volta come nel video, l'altra volta facendo intervenire l'angolo alfa che è pari a 180 - 3gamma quindi il suo seno è pari a sen (3 gamma). Ottengo: b = 200 cos (gamma) a = 100 (4 cos^(gamma) - 1) Eliminando cos(gamma) tra queste due equazioni, trovo la stessa relazione tra a e b del video: ho pensato che, dando il teorema dei seni relazioni lineari, il calcolo potesse essere più leggero rispetto all'uso di Carnot: in effetti mi pare che la pesantezza/leggerezza sia più o meno la stessa: propongo solo una ulteriore opzione.

[@GaetanoDiCaprio]

Molto interessante, grazie

[@annacerbara4257]

@@GaetanoDiCaprio Sono io a ringraziarLa: sono una insegnante di matematica e fisica da tempo in pensione e trovo qui l'opportunità di mantenermi un po' allenata.

[@GaetanoDiCaprio]

@@annacerbara4257 Mi fa piacere!

[@saveriodepace5744]

Buonasera. Percorso scelto anche da me, come anche il percorso "geometrico", del secondo metodo di Andrea Pedron. Peccato che in entrambi i casi ho desistito prima della fine ... : devo ancora appassionarmi a problemi vincolati a numeri naturali, piano piano forse mi abituerò (alla mia tarda età ;) ). Perché intervengo allora, e sotto a questo problema? Perché me ne ricorda fortemente un altro, basato su un triangolo simile, in senso proprio geometrico: un triangolo che ha un angolo il doppio dell'altro, proprio come nel video. Uno dei problemi della maturità del Liceo Scientifico PNI del 2007, che proposi pochi anni dopo a mia figlia per la preparazione alla sua maturità PNI. Naturalmente quest'ultimo problema aveva in partenza delle differenze importanti (ad es., usando le nomenclature del video qui sopra, BA non era fissato ma BC), e anche nell'obiettivo (bisognava cercare il luogo dei punti A al variare di gamma). Si risolveva (secondo me, ovviamente) con la geometria analitica, un pizzico di trigonometria, qualche sostituzione, attenzione agli estremi e tanti calcoli. Il risultato era un (semi)ramo di iperbole che ha determinate caratteristiche. Caratteristiche che mi hanno attratto in modo particolare, fino a farmi ricostruire i punti notevoli dell'iperbole (fuochi, vertici, centro) con metodi solo di geometria euclidea ... Alla fine ho formulato una proposizione, una "tesi" o proprio un "teorema" di geometria euclidea, vero perché con la g.a. si dimostra vero, ma che non sono mai riuscito a dimostrare solo con l'euclidea (e nemmeno introducendo qualche piccola "goccia" di trigonometria) nonostante svariati sforzi. Come potrei proporvelo?

[@GaetanoDiCaprio]

@@saveriodepace5744 Lo proponga qui!

[@AlessioQ]

problema risolto in maniera impeccabile!!! bravi!

[@GaetanoDiCaprio]

grazie

[@federico2233]

Una coppia di cui non sapevamo aver bisogno 😊

[@GaetanoDiCaprio]

👍

[@EnnioPiovesan]

Proviamo senza trigonometria. Detto che γ 0° AC --> 2 AB e BC --> AB+AC quindi BC -->300 Possiamo dunque dire che 200 < a < 300 e 100√3 < b < 200. Tracciamo la bisettrice di ABC che taglia AC in D. Per il teorema della bisettrice abbiamo BC:AB=DC:AD. Poniamo AD=x e scriviamo: a/100 = (b-x)/x --> a/100 = b/x-1 --> b=x(a+100)/100 (1) ABD e ABC sono triangoli simili (BAC è in comune e ABD = ACB = γ), quindi: AB:AD=AC:AB --> 100:x=b:100 --> bx=100² --> x = 100²/b (2) Sostituendo (2) in (1): b=(100²/b)(a+100)/100 --> b²/100²=(a+100)/100 --> b²/100=a+100 --> (b/10)²= a+100. Essendo a intero, deve esserlo b/10 e dunque b=10k, con k intero. Ora 200 < a < 300 --> 300 < a+100 300 < k² < 400 --> 17 < k < 20 --> k ∈ {18,19}, ottenendo così gli stessi risultati. P.S. Rileggendo ho visto che sono stato superficiale nelle considerazioni relative al caso limite in cui γ --> 0°. Qui sì torna utile la trigonometria con il teorema dei seni e la considerazione che, al tendere di γ --> 0°, sinγ è approssimabile con γ, per cui: AB/sinγ = AC/sin2γ --> 100/γ ≃ b/2γ --> b ≃ 200.

[@GaetanoDiCaprio]

👍

[@marcelloberlich1803]

Un crossover che manco la Marvel!!! 😄😄😄

[@GaetanoDiCaprio]

Addirittura!!

[@gimopirozzi2469]

beh non avevo pensato al teorema dei seni e del coseno... ma è tutto chiarissimo. Bel lavoro. PS: seguivo già entrambi! (Y)

[@GaetanoDiCaprio]

Grazie

[@ivanbono4695]

Una intrigante risoluzione a due voci!!!

[@GaetanoDiCaprio]

Grazie caro!

[@francescosmerilli5384]

Nell'approssimazione ad esempio sarebbe valido un angolo con cos di 0.861 che corrisponde ad gamma = 30 .57 gradi, ma gamma è massimo 30 gradi. P.S. Potenzialemte sarebbero potute saltar fuori soluzioni non valide, ma le soluzioni possibili sono tutte valide per cui problema risolto.

[@GaetanoDiCaprio]

Ciao grazie, c'è un commento simile al tuo (di Luigi Pirozzi) al quale ho già risposto

[@alessandrosampaolesi9821]

Best duo in the world

[@GaetanoDiCaprio]

😊

[@coscienza]

Domanda: se "b" può avere due soluzioni non è che una di queste interferisce con la condizione che gamma e due gamma dove essere mantenuta? E' possibile che i due valori di b mantengono invariati il rapporto dei due angoli gamma? Complimenti per l'efficace collaborazione.

[@GaetanoDiCaprio]

Risolvere un problema vuol dire trovare tutte le soluzioni che soddisfano tutte le condizioni date. Quindi naturalmente la risposta è no, non c'è nessuna "interferenza". Le due soluzioni sono entrambe valide e hanno pari "dignità", altrimenti non si chiamerebbero "soluzioni"

[@coscienza]

@@GaetanoDiCaprio Grazie per la risposta.

[@AstroTube2]

Ho trovato solo una piccola imprecisione nei passaggi, che tuttavia non modifica la correttezza dei risultati. In effetti deve essere b>173 e non b>172 come riportato nel video. Questo è dovuto al fatto che cos(30°) è un poco più grande di 0.86. Inserendo il valore esatto di cos(30°) si ottiene b>173.

[@GaetanoDiCaprio]

Grazie per l'osservazione! Nello svolgimento su carta, prima di pubblicare il video avevo scritto b>173, poi ho deciso di dare un intervallo più prudente che fosse indipendente dall'uso della calcolatrice. Infatti dico esplicitamente che 0.86 è minore del valore reale e quindi la diseguaglianza vale a maggior ragione. In generale, nel risolvere un problema o un'equazione se uso condizioni meno restrittive il rischio è di trovare soluzioni in più ma che poi possono essere scartate utilizzando altre condizioni o considerazioni. Se uso, invece, condizioni più restrittive rischio di perdermi qualche soluzione e a quello non c'è rimedio.

[@claudioscaccia1363]

Bel video con due eccellenti professori! Grazie 🙋‍♂️

[@GaetanoDiCaprio]

Grazie!

[@sanpietroinamantea]

Di Caprio & Pattaro che bella accoppiata!!!!

[@GaetanoDiCaprio]

Grazie!

[@adicam69]

Bel lavoro! Grazie!

[@GaetanoDiCaprio]

Grazie!

[@ernestwoolf639]

forse è il caso di specificare che i triangoli compatibili con le condizioni di partenza sono due. il fatto che ci siano due soluzioni non deve far frettolosamente dedurre che il triangolo in questione può avere due perimetri completamente diversi, tutte e due matematicamente ineccepibili.

[@GaetanoDiCaprio]

Ho dato naturalmente per scontato che a nessuno possa venire in mente che un triangolo abbia due perimetri. È assolutamente ovvio e non necessita di precisazione il fatto che ci sono due triangoli che soddisfano le condizioni date.

[@davidemarconi9146]

Sono basito

[@GaetanoDiCaprio]

🤔

[@enricogallo2679]

Ma B non deve essere

[@GaetanoDiCaprio]

Hai guardato il video?

[@viaprenestina3894]

iv liceo

[@GaetanoDiCaprio]

?

[@viaprenestina3894]

@@GaetanoDiCaprio quarto liceo scientifico. Ai miei tempi

[@alessiodaini7907]

​@@viaprenestina3894fatto anch'io in quarta scientifico

[@viaprenestina3894]

@@alessiodaini7907 e ci si sono messi pure in due ..... scherzo

[@andreazamponi6424]

Tanta matematica a me sconosciuta. Affascinante. Complimentoni a tutti e due. All inizio avrei detto impossibile...... Poi ho capito che questo video va fatto vedere a chi dice "a che serve studiare la matematica, è noiosa ........" Nella mia ignoranza io la amo!

[@GaetanoDiCaprio]

Che bel commento, grazie!

[@GaetanoDiCaprio]

Che bel commento, grazie!

[@gabrielbrunetti6087]

Facile

[@GaetanoDiCaprio]

👏