【VOICEROID解説】いろいろな平均とその一般化【数学】

[@marine-music]

0:50 わかりやすい例思いついた 音階のドとミの平均を取りたくても、音程は対数スケールだから周波数の平均を求めてもレにはならない。

[@eurasino]

@@marine-music おっしゃる通り、相乗平均を使うべき場面ですね！ 自然科学に登場する量とは異なり、そうなるように定義されたものだからこそより分かりやすいです🫶

[@瑠璃-y2b]

6分半で得られる満足度が高すぎる。

[@eurasino]

テンポ速すぎるかなと思ってたんですが嬉しいコメントです！！！

[@ジャガタロイモ]

ヘルダー平均でpを無限大に飛ばしたら最大値が得られるの、裏技っぽくて面白いですね

[@eurasino]

@@ジャガタロイモ 最大値もある種の平均だと思うと、目からウロコですよね！

[@ghggfdrdrdffgfgftf]

pノルムのpを無限大にすると最大値というのは信号処理で利用することもありますね。ノルムだとpを0→無限大に動かすとどうなるか幾何的な理解もしやすい

[@寺ひろ-u4u]

数学系ユーチューバーは、日本の宝。

[@eurasino]

数学動画投稿がんばります💪

[@相沢らむだ]

もうちょい一般化すると、∀a, b. f(a, b) = f(b, a)なる関数fによる平均をf(a, b) = f(x, x)という方程式の解xとして定義できそうだし、右辺は対角化△(x) = (x, x)を使うとf∘△(x)として表せるし、fを関手に見立てるとKan拡張の議論を思い出す…

[@kiyamacchi]

すべてはKan拡張……

[@eurasino]

斉次性や内部性が失われると統計学的な意味はなくなってしまうかもしれませんが、興味深いですね……！

[@knite_]

図形的に説明できたんだ、結構スッキリした形！

[@eurasino]

この図の中に他の平均も探したくなりますね！

[@ポトスキー]

極限をとる「→」を「ゴートゥー」って読むのカッコ可愛い

[@eurasino]

正式な読み方が分からず💦 英語圏ではgoes toとか言うようですね！

[@gochuui1]

平均年収は倍々で増えていくから 相加平均で求められるけど相乗平均の方が実体に即する 大体稼いでる奴が平均を押し上げるケースは相乗平均でいい ただし、日本の平均年収は増えないので弾性値がイカれてる

[@eurasino]

経済学で弾性という言葉を使うのは初めて知りました！

[@got-ist-tot]

すごい面白い！　あんまり相乗平均の意味を知らずに過ごしてたから、ちゃんと意味知れてスッキリ。

[@eurasino]

嬉しいコメントありがとうございます✨

[@あいうえおかきくけこ-u5p]

天文学では遠くの星とかだと、オーダーつまり桁数はギリ分かるくらいの情報しか得られないなんて事がザラにある。そんなときに相乗平均が意味を持つ。 例えば、出来たばかりの恒星の周りを塵が漂ってて、それがどうやって惑星になるか知りたい。塵の大きさは0.001mmから1mmくらいとする。全ての塵のサイズでシミュレーション出来れば良いけど、それだと計算が複雑すぎるので代表的なサイズを求めて、一旦全ての塵がその大きさとして計算したい。 こんなときに相加平均とか取っちゃうと、0.5mmくらいになるけど、それ塵の中ではかなりデカくね？って話になる。相乗平均だと0.03くらいになって、まぁいい感じの値になる。 天文学なんて、円周率が3だったり1だったりする世界なんで「この物理量は1から1000の間です」なんて事がよく有る。そんなときに、500で計算すると実際は1だったときに500倍の誤差が出ちゃう。32とかならどんな値だったとしても32倍くらいの誤差ですむ。

[@eurasino]

実は専門が天文学なのですが、確かにスケールに注目して計算することは多いですね🤔 絶対的な値の大小に限らず、対数的に分布する物理量であれば一般に相乗平均が適していると言えそうです！

[@小山-e9m]

本質的に足して２で割ってるの面白い

[@eurasino]

すべて相加平均の拡張になっているとも言えますね！

[@高杉-m7c]

ヘルダー平均のp→±∞はチェビシェフ距離になるのかな。大体。機械学習とかの距離(データの集まりの距離に使われたり)になるはず

[@eurasino]

おっしゃる通り、原点からデータ点(x1,x2,…,xn)までのチェビシェフ距離に等しくなりますね！

[@ユウクロ9ルオ]

相乗平均のやつ、長方形を面積を変えずに正方形に直した時の一辺の長さを求めるぐらいしか例が思いつかんかった....

[@eurasino]

幾何平均って別名はそこから来てるんですかね～～～

[@uri-pasta-yakisoba458]

数学用語としての"調和"すき

[@eurasino]

かっこいいけど知らない人に伝わりづらいのが難点……

[@k6star]

一般化f平均、ヘルダー平均の後だからとっても難しく見えたけど、「相加平均以外も加工して相加平均とって単位を元に戻してるだけじゃん」って思ってたのと同じことしてるんだな。

[@eurasino]

おっしゃる通りです！！ 視覚的には、関数y=f(x)のグラフにおいて、f(μ)=(f(a)+f(b))/2となるa≦μ≦bを計算してるイメージです。

[@Ryo-m2z]

面白かったです！現役高校生ですが学校の授業でも、相加相乗の大小関係を教える前に相乗平均が何かを教えて欲しかった😢複雑だから、テストで使わないからって、こういう説明を省がない方が理解しやすくなると思うんだけどなあ

[@eurasino]

学校では、あくまで不等式証明に便利なツールとしてしか扱いませんよね！

[@yukkkeefukkkaa4375]

体感ショート動画 面白くて気づいたら時間過ぎてた

[@eurasino]

めっちゃ嬉しいコメントです✨

[@KAZZ_base]

金融の世界は指数的変化がよく出てくるよな、、幾何平均とか相乗平均だけど平均年収も相乗平均で出した方が中央値に近づきそう

[@eurasino]

@@KAZZ_base 分布が偏ったデータに対しては相乗平均を取った方が中央値に近づくというのはおっしゃる通りですね✨ ただ年収はいわゆる"乗法的構造"を持つデータでは無いので、実用的には外れ値を除外する「トリム平均」などが使われるようですよね！

[@stoicChu]

ボイロで勉強は楽しすぎる

[@eurasino]

楽しんでいただけて何よりです！！！！

[@uri-pasta-yakisoba458]

6:05 x^-1の積分　ほんとだ

[@eurasino]

そこ、この動画を作るにあたって一番の発見でした✌️

[@tase1131]

どういうことですか？

[@二一-u6k]

神すぎますよ〜😊

[@eurasino]

神すぎますか〜☺

[@milk_coco-2]

結局相乗平均って桁数の相和平均でもあるから、 対数取ってから相和平均取って逆関数(指数関数)を取ってやればまぁf(x)がlog(x)なのもまぁ自明だあぇ

[@eurasino]

桁数の相加平均、なるほど～！！

[@あうら-g2j]

言うなれば、「評価関数をfとして与えた時、評価値が両者の中間になるような実値を求める」ということですね。

[@eurasino]

まさにその通りですね！評価という言葉を使えば分かりやすかったですね😳

[@4486y]

ヘルダー平均の形どっかで見たことあると思ったら東大模試とかでちょくちょく出てくるよなって、背景が知れてよかった！！

[@eurasino]

@@4486y 自分が現役のときはあまり気にしていなかったのですが、確かに大小比較の問題などでよく見る形かもしれないですね🤔 動画では話せなかったのですが、一般化平均の大小関係については凸性の議論で示せるので、興味がありましたら調べてみてください！

[@-moon_light-]

((a^x+b^x)/2)^(1/x)の取りうる値を求める問題が模試で出てきたけど、これだったのか

[@eurasino]

まさにそうですね！ 値をMとすると、a

[@-moon_light-]

そんな感じです！ 最初に微分して単調増加性を示した後、極限を見るっていう解法でした！

[@MikuHatsune-np4dj]

最小二乗法もある意味平均ですよね

[@eurasino]

データに対して距離の二乗和が最小になる点は相加平均ですね！

[@じじい-w8w]

いろんな場面で使い分けをする必要があって面白いですよね 統計学を勉強中の身です。調和平均は割合の平均で、例えばコンプガチャをコンプするのに必要な回数を求める時に使いますね。 あと、統計学では加重平均（期待値など）、幾何平均（積に関する平均、いわゆる相乗平均）が出てきます。加重平均はヘルダー平均と関連付けができず動画にできていないだけかもしれませんが参考まで

[@eurasino]

ヘルダー平均においても(Σ(w_i x_i^p)/n)^(1/n)として重みを考えることがあるようですね！

[@じじい-w8w]

@@eurasino お！そうなんですね～ 情報ありがとうございます！

[@エターナルチキン-l6w]

a₁=a>0、b₁=b>0 a_(n+1)=(aₙとbₙの相加平均…p=1) b_(n+1)=(aₙとbₙの相乗平均…p=0) としたときのaₙとbₙの極限で定義できる平均はどうなるんだろう？p=1/2平均とかかな

[@eurasino]

@@エターナルチキン-l6w 算術幾何平均と呼ばれるもので、楕円積分によって表されることが知られていますね！ヘルダー平均と直接的な関係があるかといえば、無いような気がします、、、

[@エターナルチキン-l6w]

ありがとうございます

[@Mint_Tears_]

Gaussの算術幾何平均と特殊関数の繋がりなども動画化してほしい なんならBorchardtの結果まで話してほしい

[@eurasino]

不勉強なもので、後者については初耳でした💦ちゃんと読んでいつか動画にすることがあるかもしれません！

[@ritz5102]

相乗平均はCAGRとして日常的に使用されていますね

[@eurasino]

@@ritz5102 そうなんですね！

[@phycopass]

平均はnf(μ_x)=Σf(x_i)が成り立つ、すなわち、サンプルデータがすべて同じ値だったら何になるべきかところに重きがあるイメージで、ノルムは原点からどれだけ離れてるかを表すところに重きがあるイメージです！ また、サンプルデータがすべて正の値であればLpノルムをnで割った値とp-平均のp乗が一致しますかね！ サンプルデータとのLp距離を最小にする値として、最頻値、中央値、平均値、(最大値+最小値)/2が出てくるのも面白いと思います！ また、和を連続化(積分)して、関数の平均とLpノルムの関係を考えてみるのも面白いと思いました！ (立法平均に用途があるんですね…！) (そして、対数半環の平均としてa=x,b=-xを入れたときの意味づけを考えてみたいです！)

[@eurasino]

@@phycopass サンプルデータとのLp距離を最小にする値が様々な代表値を出すというのは深く考えたことがなかったです🤔 p→0で最頻値に対応する値が出てくるんですね！？

[@phycopass]

@ wikipediaにデイヴィッド・ドノホのL0ノルム(実際にはノルムではない)が、非ゼロ成分の個数を与えるものとありました！

[@eurasino]

@phycopass 差が非ゼロとなるサンプルが最も少なくなる点が最頻値であるという理屈ですね！ 興味深いですが、そのままでは連続なデータにおける最頻値(密度関数が最大となる点)を求めるのに使えないので工夫が必要そうですね💦

[@phycopass]

@@eurasino中央値、最頻値の特徴付けはtsujimoterさんという方の統計的決定論における損失関数の最小化のブログ記事の内容を見た方がよかったかもしれません！

[@eyt-xo5xd]

ヘルダー平均って双曲線関数にちょっと似てるな

[@eurasino]

確かに、cosh(x)がe^xとe^(-x)の平均をとっているって見方はしたことなかったです！

[@うまみーる]

ただの揚げ足取りですが、3:05 は「調和、相乗、相加の順に大きくなる」か「相加、相乗、調和の順に大きい」ではないでしょうか

[@eurasino]

ありがとうございます！ 状態の変化を表す「なる」ではなく、断定を表す「なる」のつもりだったのですが、おっしゃる通りめちゃくちゃ分かりづらかったですね😭‎

[@Maggy-5201]

やはり一般化好き

[@eurasino]

動画のネタになる一般化を募集中です👀

[@ななし-x7b2s]

​@@eurasino演算の一般化として群論環論とか​どうですか。初歩的すぎるかもしれませんが，0とか1とか，何となく特別だと思ってた数が何故特別なのか明確になって面白かった記憶があります。

[@Coda-2]

おもしろー！ 学校でも教えてほしかった

[@eurasino]

相乗平均って名前しか習わないですからね！

[@user-bk4927]

調和平均って名前知らなかったし凄い参考になる！

[@eurasino]

よかったです💕

[@Right0307]

二乗平均平方根てほぼ標準偏差だな

[@eurasino]

なるほど考えたことなかったです！！ 標準偏差のイメージを説明をするときに「各値が平均値から『平均的に』どれだけ離れているか」という表現をよく使っていたのですが、その平均というのが二乗平均平方根だったわけですね💡‬

[@user-yayayayakiki]

(1/a)x^a+1/aのaを0に近づけるとlogっぽい？

[@user-yayayayakiki]

訂正:定数は-1/a あと根拠はない

[@eurasino]

おっしゃる通りですね！ alogx/(x^a-1) =(log(x^a)-log1)/(x^a-1) と計算できて、a→0のときx^a→1なので微分係数の定義が使えて1に収束することが分かります。 よってa→0でlogx≒(x^a-1)/aです！

[@角かく鹿じか]

対数平均「…………」

[@eurasino]

@角かく鹿じか かなりメジャーな平均ですが、ヘルダー平均や一般化f平均の文脈と関連付けづらく紹介できませんでした💦

[@Mn_Sr__alloy]

ソフトマックス関数を思い出した

[@eurasino]

@@Mn_Sr__alloy なんとlog半環の平均の勾配(微分)をとるとsoftmax関数が出てきます！

[@hana_seasonone_]

調和平均って名前だったんだあれ

[@eurasino]

音楽(ピタゴラス音階？)の和音や倍音の考え方に繋がることから、逆数に関わる数学用語にharmonic(調和の)という形容詞が付いているそうです！

[@Zab_n]

全然関係ないですが、算術幾何平均を求めるにあたってガウス先生が14桁精度で計算してた話を知って震え上がったの思い出した

[@eurasino]

手計算はえぐいですよね、、、

[@masai8301]

■こんな動画が欲しかった。わいわい♫＼(^o^)／♬

[@eurasino]

わいわい！！

[@アサイチ-z1c]

f(a,b)=f(b,a),f(x,x)=xって条件はどうなんだろ

[@eurasino]

@@アサイチ-z1c その条件だけだと、例えば雑に f(a,b)=a^2+b^2-2ab+(a+b)/2 などとしてしまえて、項ごとの次数が異なり物理的/統計的な意味はなくなってしまいそうです。 しかし、数学的には動画で紹介した式の更なる一般化になっていて興味深いと思います！

[@アサイチ-z1c]

確かにそうか。ならf(ac,bc)=cf(a,b)を加えたらどうだろ。

[@eurasino]

@@アサイチ-z1c f(a,b)=max(a,b)+abs(a-b) は斉次性も備えていますが、今度はf(a,b)>max(a,b)となる(a,b)が存在してしまって、「aとbの中間をとる」という直感的な平均のイメージ（単調性）を満たさなくなりますがどうなんでしょう！

[@blue_sky1016]

おもろかったけど、なんでコテコテの関西弁なんかそこだけ疑問が残ったで（関西弁で対抗）

[@eurasino]

@@blue_sky1016 一応VOICEROID琴葉茜の設定通り喋らせているのですが、投稿者が非関西弁話者なためエセになりすぎていないかかなり心配なんです、、、

[@blue_sky1016]

@@eurasino 大丈夫ですよ。すごい自然です(笑)