【VOICEROID解説】いろいろな平均とその一般化【数学】

[@相沢らむだ]

もうちょい一般化すると、∀a, b. f(a, b) = f(b, a)なる関数fによる平均をf(a, b) = f(x, x)という方程式の解xとして定義できそうだし、右辺は対角化△(x) = (x, x)を使うとf∘△(x)として表せるし、fを関手に見立てるとKan拡張の議論を思い出す…

[@kiyamacchi]

すべてはKan拡張……

[@eurasino]

斉次性や内部性が失われると統計学的な意味はなくなってしまうかもしれませんが、興味深いですね……！

[@ジャガタロイモ]

ヘルダー平均でpを無限大に飛ばしたら最大値が得られるの、裏技っぽくて面白いですね

[@eurasino]

@@ジャガタロイモ 最大値もある種の平均だと思うと、目からウロコですよね！

[@瑠璃-y2b]

6分半で得られる満足度が高すぎる。

[@eurasino]

テンポ速すぎるかなと思ってたんですが嬉しいコメントです！！！

[@ポトスキー]

極限をとる「→」を「ゴートゥー」って読むのカッコ可愛い

[@eurasino]

正式な読み方が分からず💦 英語圏ではgoes toとか言うようですね！

[@あいうえおかきくけこ-u5p]

天文学では遠くの星とかだと、オーダーつまり桁数はギリ分かるくらいの情報しか得られないなんて事がザラにある。そんなときに相乗平均が意味を持つ。 例えば、出来たばかりの恒星の周りを塵が漂ってて、それがどうやって惑星になるか知りたい。塵の大きさは0.001mmから1mmくらいとする。全ての塵のサイズでシミュレーション出来れば良いけど、それだと計算が複雑すぎるので代表的なサイズを求めて、一旦全ての塵がその大きさとして計算したい。 こんなときに相加平均とか取っちゃうと、0.5mmくらいになるけど、それ塵の中ではかなりデカくね？って話になる。相乗平均だと0.03くらいになって、まぁいい感じの値になる。 天文学なんて、円周率が3だったり1だったりする世界なんで「この物理量は1から1000の間です」なんて事がよく有る。そんなときに、500で計算すると実際は1だったときに500倍の誤差が出ちゃう。32とかならどんな値だったとしても32倍くらいの誤差ですむ。

[@eurasino]

実は専門が天文学なのですが、確かにスケールに注目して計算することは多いですね🤔 絶対的な値の大小に限らず、対数的に分布する物理量であれば一般に相乗平均が適していると言えそうです！

[@got-ist-tot]

すごい面白い！　あんまり相乗平均の意味を知らずに過ごしてたから、ちゃんと意味知れてスッキリ。

[@eurasino]

嬉しいコメントありがとうございます✨

[@knite_]

図形的に説明できたんだ、結構スッキリした形！

[@eurasino]

この図の中に他の平均も探したくなりますね！

[@ユウクロ9ルオ]

相乗平均のやつ、長方形を面積を変えずに正方形に直した時の一辺の長さを求めるぐらいしか例が思いつかんかった....

[@eurasino]

幾何平均って別名はそこから来てるんですかね～～～

[@じじい-w8w]

いろんな場面で使い分けをする必要があって面白いですよね 統計学を勉強中の身です。調和平均は割合の平均で、例えばコンプガチャをコンプするのに必要な回数を求める時に使いますね。 あと、統計学では加重平均（期待値など）、幾何平均（積に関する平均、いわゆる相乗平均）が出てきます。加重平均はヘルダー平均と関連付けができず動画にできていないだけかもしれませんが参考まで

[@eurasino]

ヘルダー平均においても(Σ(w_i x_i^p)/n)^(1/n)として重みを考えることがあるようですね！

[@じじい-w8w]

@@eurasino お！そうなんですね～ 情報ありがとうございます！

[@Coda-2]

おもしろー！ 学校でも教えてほしかった

[@eurasino]

相乗平均って名前しか習わないですからね！

[@-moon_light-]

((a^x+b^x)/2)^(1/x)の取りうる値を求める問題が模試で出てきたけど、これだったのか

[@eurasino]

まさにそうですね！ 値をMとすると、a

[@-moon_light-]

そんな感じです！ 最初に微分して単調増加性を示した後、極限を見るっていう解法でした！

[@user-bk4927]

調和平均って名前知らなかったし凄い参考になる！

[@eurasino]

よかったです💕

[@milk_coco-2]

結局相乗平均って桁数の相和平均でもあるから、 対数取ってから相和平均取って逆関数(指数関数)を取ってやればまぁf(x)がlog(x)なのもまぁ自明だあぇ

[@eurasino]

桁数の相加平均、なるほど～！！

[@うまみーる]

ただの揚げ足取りですが、3:05 は「調和、相乗、相加の順に大きくなる」か「相加、相乗、調和の順に大きい」ではないでしょうか

[@eurasino]

ありがとうございます！ 状態の変化を表す「なる」ではなく、断定を表す「なる」のつもりだったのですが、おっしゃる通りめちゃくちゃ分かりづらかったですね😭‎

[@Mn_Sr__alloy]

ソフトマックス関数を思い出した

[@eurasino]

@@Mn_Sr__alloy なんとlog半環の平均の勾配(微分)をとるとsoftmax関数が出てきます！

[@角かく鹿じか]

対数平均「…………」

[@eurasino]

@角かく鹿じか かなりメジャーな平均ですが、ヘルダー平均や一般化f平均の文脈と関連付けづらく紹介できませんでした💦

[@eyt-xo5xd]

ヘルダー平均って双曲線関数にちょっと似てるな

[@eurasino]

確かに、cosh(x)がe^xとe^(-x)の平均をとっているって見方はしたことなかったです！

[@Zab_n]

全然関係ないですが、算術幾何平均を求めるにあたってガウス先生が14桁精度で計算してた話を知って震え上がったの思い出した

[@eurasino]

手計算はえぐいですよね、、、