Volumenintegral Grenzen bestimmen + Polarkoordinaten (Beispiel)

[@MathePeter]

KORREKTUR: 9:30 Das 𝜑 bewegt sich nur im Intervall [-π/2,π/2], um alle Punkte des Zylinders in der (x,y)-Ebene zu beschreiben. Eine neue Version des Videos + vollständiger Rechnung habe ich hier veröffentlich: kzbin.info/www/bejne/a3XOmJiYjd95Y68

[@maxisterl1497]

Besonders in dieser Corona - Krisen Zeit, wo wir auf Online Lehre noch mehr angewiesen sind, bin ich dankbar für deine super sortierten und aufbereiteten Videos. Das ist nun mal scheinbar wirklich deine Berufung. Die meisten Kommentare beziehen sich darauf, ob du besser oder schlechter bist als Daniel Jung oder mehr oder weniger Aufmerksamkeit bekommst. Für mich ist ein Mix aus euch beiden einfach perfekt. Der eine trifft beim Integrieren meine Synapsen besser, der andere dafür bei der Vektorrechnung. Anstatt die Konkurrenz zu betonen, sollte man lieber die Menge erweitern..schon mal eine Zusammenarbeit gedacht?Vielen Dank jedenfalls für diesen schönen, aufbereiteten Zugang zur einfachen Mathematik.

[@MathePeter]

Danke dir! Ich glaub auch der Mix machts. Gemeinsam kann man viel mehr erreichen :)

[@jiji-wr9mi]

Einfach TOP erklärt!!! Schade das du so wenig Aufmerksamkeit bekommst.. habe dich leidet such viel zu spät entdeckt

[@jiji-wr9mi]

wo geht es weiter?

[@jonydabboura2097]

Ihre Erklärungen sind wirklich ein Segen, vielen Dank!

[@saschwsw]

Ich hatte zunächst Schiss als ich in HöMa 2 die Integralaufgaben gesehen habe, aber durch deine Erklärungen fällt es mir extrem leichter die Aufgaben zu verstehen und zu bearbeiten.

[@MathePeter]

Das freut mich! Ist wirklich alles machbar, wenn man einmal das Prinzip verstanden hat :)

[@anaisek6067]

Du bist der beste Lehrer der Welt gewesen 😭😭😭😭😭😭 LG Ani

[@fatimamatadi8036]

!!!!!!! Echt top Videos die du machts , mach weiter

[@EinfachMathebyJenny]

Super erklärt!

[@maxinator80ify]

Jeder Mathelehrer wenn er einen Trick oder eine Formel zeigt: 5:26

[@MathePeter]

😂

[@nikolaosbirbilis1510]

Super! Alles verstanden!

[@bigsmoke4742]

stabiler bart bruder

[@vitamine6265]

Gibt es da ein folgevideo?

[@MathePeter]

Das findest du in meinem Online Kurs "Mehrdimensionale Integralrechnung", den ich unter meinen Videos verlinkt hab :)

[@FrechPrinc]

Sehr gut erklärt, eine Frage hätte ich. Wie bestimmt man die Grenzen für ein Paraboloid..?

[@MathePeter]

Was genau meinst du mit Grenzen? Meinst du damit die Randkurve, die den Paraboloiden begrenzt?

[@FrechPrinc]

Ich habe die Höhe gegeben 4 und einen Radius 3, ich solle das Volumen berechnen. Die ersten beiden Grenzen sind einfach, von 0 bis 3 und 0 bis 2phi aber wie bekomme ich die letzte Grenze, von 0 bis 4 ist falsch, denn so hätte ich nur ein Zylinder... was mache ich da ?

[@MathePeter]

Ich versteh nicht so ganz was dir gegeben ist. Ist der Scheitelpunkt des Paraboloiden gegeben? Ist gegeben, ob er nach oben oder unten geöffnet ist? Das alles fließt ja in die Integrationsgrenzen ein. Heißt ein Radius von 3 jetzt, dass die größte Fläche des Paraboloiden ein Kreis mit Radius 3 ist? Das heißt dann, dass die Integrale in x-y-Richtung, sollte er in z-Richtung geöffnet sein, einmal r€[0,wurzel(3)] und phi€[0,2π] sind. Jetzt entscheiden die weiteren Informationen, was wir genau mit den z-Grenzen machen.

[@FrechPrinc]

In die positive z Richtung ist die höhe 4 gegeben, von -1 bis 1 (r=2) geht der Radius in x y Richtung. Mehr ist mir nicht gegeben, es geht um das Volumen. Meine beide Grenzen müssten ja einmal von -1 bis 1 und 0 bis 2pi gehen. Wäre das eine normale Halbkugel dann wäre ja meine dritte Grenze einfach von 0bis 1/2pi, aber da sie in z Richtung lang gezogen ist (Höhe 4), weiß ich nicht wie ich diese Grenze bestimmen soll.

[@MathePeter]

Das klingt nach einem zusammengestauchten Paraboloiden 4*(x^2+y^2)≤ z ≤ 4, kann das sein? Angenommen er hat seinen Scheitelpunkt im Koordinatenursprung und wird bei z=4 abgeschnitten. Dann kannst du ihn ja Beschreiben mit Polarkoordianten in x-y-Richtung, also x=r*cos(phi) und y=r*sin(phi). Dann hast du als untere z-Grenze die Fläche z = 4*(x^2+y^2) = 4*r^2 und als obere z-Grenze die Fläche z=4. Also das z-Integral von 4*r^2 bis 4, das r-Integral von 0 bis 1 und das phi Integral von 0 bis 2π. Wenn du so ran gehst, die Funktionaldeterminante "r" nicht vergessen zu multiplizieren. Hoffe ich habe aber die Aufgabe richtig verstanden. Am besten wäre immer, wenn du mir wortgenau schreibst was gefragt ist.

[@ericdonaldepohngando3642]

Ich schaue deine Videos seit ein paar Monaten. Und ehrlich gesagt du bist meiner Meinung nach der beste. Ich hab bitte eine Frage. Wie kann ich das Volumen berechnen wenn ich folgendes hab (x-2)^2 +(y-1)^2=1 mit z=-y und z=x. Danke im voraus 🙏

[@MathePeter]

In dem Fall einfach das innerste Integral nach z in den Grenzen von -y bis x. Und bei den äußeren beiden (nach x und y) gehst du einfach in Polarkoordinaten über (r und phi), weil es sich ja in x-y-Richtung um einen Kreis handelt.

[@callidaria8772]

Ich hätte da jetzt 14,28 raus und hab keine Ahnung ob das richtig ist. Stelle es einfach mal in den R3

[@drehmitdeinermamavideos9041]

wo geht es denn weiter mit der Aufgabe??

[@MathePeter]

Die komplette Aufgabe und noch viele mehr gibts im vollständigen Kurs "Integralrechnung" -> www.udemy.com/integralrechnung/?couponCode=CHAMPCADEMY

[@drehmitdeinermamavideos9041]

ich möchte keine 30 euro nur für eine Aufgabe bezahlen! Mich interessiert nur diese Aufgabe und denke 3euro würde ich dafür schon geben nur für die Lösung und das wäre mehr als okay. Der Rest interessiert mich wenig da ich genug andere Übungen schon habe.

[@MathePeter]

Kein Problem, ich helf dir gern weiter :) du brauchst nur das Endergebnis oder noch mehr?

[@drehmitdeinermamavideos9041]

Das aufstellen der drei Integrale und das Ergebnis dazu. Eigl hätte ich das so aufgeschrieben auf ein Schmierblatt aber bin mir nicht sicher ob das der richtige Weg gewesen wäre: , Integral (0, 2Pi) Integral(0, R(cos(fi)),Integral(-z, z) 1 (dz, dr,dfi). -z und z sind dabei die Grenzen unter der Wurzel also Wurzel(R-(r^2) da ich ja für x^2+y^2 [r*cos(fi), und r*sin(fi)] eingesetzt habe. Ich hoffe du kannst mir grade folgen. Ich kann es hier nicht besser formal darstellen :) Vielen dank für deine schnelle Antwort übrigens

[@MathePeter]

Ja die Grenzen stimmen so, nur für z=wurzel(R^2-r^2), meintest du aber wahrscheinlich. Im Integranden steht aber noch ein "r", also die Determinante der Jacobimatrix. Weil dxdy=r*dr dphi. Danach ganz normal ausrechnen. Musst nur während der Rechnung auf das [sin^2(phi)]^(3/2)=|sin^3(phi)| achten (mit Betrag!). Dann kommst du am Ende auf das Ergebnis 2/3*R^3*(2pi-8/3).

[@preshevadoda4371]

Gibt es einen 2. Teil ?

[@MathePeter]

Ja in meinem Online Kurs "Mehrdimensionale Integralrechnung", den ich unter dem Video verlinkt hab, findest du diese und noch viele weitere Aufgaben zum Thema! :)

[@achimherrmann1692]

Hi Peter, wenn ich als Obergrenze für das Integral über phi pi/2 wähle und das Ergebnis anschließend mit 4 multipliziere bzw. wenn ich als Obergrenze 2*pi wähle und bei der Integration von |sin^3(x)| "aufpasse", bekomme ich dasselbe Endergebnis: V = R^3 * ( 4*pi/3 - 16/9 ). Das kann aber nicht stimmen, da ansonsten das herausgebohrte Volumen ~58% vom Kugelvolumen entspräche, was es aber nicht sein kann. Es muss weniger als 50% des Kugelvolumens sein, da ja nur aus einer Kugelhälfte ein Zylinder herausgebohrt wurde. Die andere Kugelhälfte bleibt vollkommen erhalten. Also entweder habe ich mich zwei mal gleich verrechnet - was ich nicht ausschließen will :) - oder das Endergebnis muss nicht mit 4 sondern eher mit 2 multipliziert werden. Ich bin eigentlich der Meinung, dass phi nur von -pi/2 nach +pi/2 laufen muss (wobei dann wieder bei |sin^3(x)| aufgepasst werden muss). Warum? Wenn ich senkrecht von oben auf die x-y-Fläche schaue, befindet sich die Bohrung im 1. und im 4. Quadranten. Ich muss daher auch nur im 1. und 4. Quadranten integrieren. Bei Winkeln phi < -pi/2 oder phi > pi/2 integriere ich in den Quadranten 2 und 3, was ich aber gar nicht möchte. Oder anders ausgedrückt. r = 0 befindet sich ja im Ursprung des Koordinatensystems (bzw. im Mittelpunkt der Kugel) und nicht im Mittelpunkt des Zylinders. Deshalb muss auch nicht von 0 bis 2*pi integriert werden. Wenn man mal nur die x-y-Ebene betrachtet, dann wird von 0 bis R*cos(phi) integriert. Für phi = -pi/2 läuft r in Richtung negative y-Achse von 0 bis R*cos(-pi/2), also 0. Für phi = 0 wird in Richtung der positiven x-Achse integriert bis r=R erreicht ist. Für phi = pi/2 läuft r in Richtung positive y-Achse von r=0 bis r=R*cos(pi/2), also 0. Somit wird vom Ursprung des Koordinatensystems bis zum Kreisrand des Zylinders integriert. Habe ich einen Denkfehler?

[@MathePeter]

Du hast Recht, dass das Intervall gar nicht von 0 bis 2π laufen sollte. Ließ dir mal die Korrektur durch, die ich unter das Video geschrieben habe in die Beschreibung. Das Intervall sollte von 0 bis π/2 laufen und dann muss das Integral noch mit 4 multipliziert werden. Glück im Unglück: Es kommt das gleiche Ergebnis raus, wenn man bei der Integration von |sin^3(𝜑)| aufpasst :) EDIT: Wieso denkst du bleibt eine Kugelhälfte erhalten? Der Zylinder schießt einmal komplett durch die gesamte Kugel durch.

[@achimherrmann1692]

@@MathePeter Klar, die Kugel wurde komplett durchbohrt, aber die Bohrung wurde exzentrisch gesetzt, also außerhalb der Mitte der Kugel. Der Mittelpunkt der Bohrung liegt bei M( R/2, 0 ), ihr Radius beträgt R/2. Somit dehnt sich die Bohrung in der x-Achse von 0 bis +R aus. Die Halbkugel, die sich auf der linken Seite der x-Achse befindet bleibt unberührt. Deshalb ist auch mehr als die Hälfte der Kugel unangetastet, weshalb das herausgebohrte Zylindervolumen < 0,5 vom Kugelvolumen sein muss. Wenn man die beiden gegebenen Gleichungen in GeoGebra eingibt, sieht man es sofort.

[@MathePeter]

Ja, du hast Recht! Ich werde das Video noch mal neu drehen, danke dir! :)

[@ecsodikas]

Ist das durch r teilen am Ende nicht verboten wenn wir dann eine Zeile später behaupten dass r auch 0 sein kann? :P

[@MathePeter]

Man könnte argumentieren, dass ich im Kopf eine Fallunterscheidung gemacht hab und r=0 auch Lösung ist 😜

[@preshevadoda4371]

Wo ist der 2. Teil

[@MathePeter]

In meinem Online Kurs "Mehrdimensionale Integralrechnung", den ich unter dem Video verlinkt hab, findest du diese und noch viele weitere Aufgaben zum Thema! :)

[@aspectator3680]

9:30 Muss Phi nicht von 0 bis pi laufen? Wnn man in der xy-Ebene bis pi/2 läuft, hat man schon einen Halbkreis.

[@MathePeter]

Wie kommst du darauf? Der Vollkreis sind 360°, also 2π.

[@aspectator3680]

@@MathePeter Wenn ich z.B. für r(Phi)=4cos(Phi) für Phi von 0 bis pi die Punkte (r,Phi) eintrage , habe ich einen _vollständigen_ Kreis , der der Gleichung (x-2)^2+y^2=4 genügt

[@MathePeter]

Sry ich versteh deine Argumentation nicht so ganz. Allerdings fällt mir grad was anderes auf. Die obere Grenze für den Radius r darf nicht negativ werden. Das heißt 𝜑 muss im Bereich von 0 bis π/2 bleiben und wir müssen das Integral in mehrere Teile zerlegen oder Symmetrien ausnutzen.

[@aspectator3680]

@@MathePeter Es geht doch darum, alle Punkte im Kreis (x-R/2)^2+y^2=R^2/4 zu erreichen. Das ist der Fall für 0

[@aspectator3680]

@@MathePeter Du meinst 0

[@alexlanyi2329]

Wie ändert sich dei Berechnung für einen Kegel?

[@MathePeter]

Ein Kegel wird durch eine andere Gleichung beschrieben.

[@andym5706]

Ich finde irgendwie nicht mehr die Lösung meiner Aufgabe,bin schon total kirre, wir haben mal darüber geschrieben das ich das Rotationsvolumen von cos(x) im Intervall 0;pi/2 berechnen soll. Bei mir kommt irgendwie pi raus. Ich meine aber du hättest gesagt das dies falsch ist. Ich finde nur deine Hilfestellung nicht mehr.Tut mir leid

[@MathePeter]

Ich hab’s nicht nachgerechnet. Hab dich nur gefragt welches Rotationsvolumen gesucht ist. Um die x-Achse? Um die y-Achse? Innen? Außen? Musst du schon genau sagen, sonst kann ich dir nicht helfen.

[@andym5706]

@@MathePeter puh mehr Angaben habe ich leider nicht mehr. Ich durfte mir die Klausur kurz angucken und musste im kurzzeitgedachtnis alles abspeichern und niederschreiben

[@andym5706]

@@MathePeter ich denke einfach um die x-Achse. könnest du mir das daran zeigen ? ist dann nicht das Integral daraus: cos(x)*cos(x)=2cos(x)*(-2 * sin(x))

[@MathePeter]

@Andy M geht klar ich helf dir. Nur sag bitte immer mal vorher deinen Lösungsweg. Wenn du einen Gedanken Fehler hast, haben den andere wahrscheinlich auch. Ich muss das antizipieren, wenn ich weiterhin gute vids machen will :)

[@andym5706]

aber ich glaube,mein Fehler ist es das ich ableite und ich aufleiten muss oder :S

[@noechristopher8698]

Ersetzt man x und y in den Grenzen des inneren Integrals auch mit rcos(phi) und rsin(phi)?

[@MathePeter]

Ja überall!

[@noechristopher8698]

MathePeter thx