【无痛高数】0.999……=1吗？

[@周主牧]

這影片讓我有更進一步的反思，開根號比起一個數字，他更像是一個等比例組合的概念，跟我讀書的時候的想法不一樣，挺有意思的，以前都把它當成一個表示法，沒太去思考他的由來。

[@qzboanynj]

“每一个层层嵌套不断缩小直到宽度趋于0的一系列区间套都唯一对应着一个实数” 这句话有问题。事实上是所有这样的区间套序列构成一个集合，然后要在这个集合上定义等价关系（极限相同），所有区间套序列构成的集合，mod 这个等价关系以后，才是所有实数。你的定义里少了一步。各人感觉还是用 Dedekind Cut 去定义更直观，更容易向没受过系统数学训练的人定义实数。

[@spacefreedom]

这个问题一直困扰我，如果0.99循环=1, 那么无穷小就等于0？ 那么微积分就有问题，极限那套理论特意规避无穷小还有啥意义？ 我认为发展出极限的理论就说明无穷小不等于零，它小于任意一个正数，但就不等于零。类似的，0.99比小于1的数都大，但就不等于1。 戴的金分割逻辑上总觉得哪里不对，实数是稠密的，这两个数之间切不出别的数，那么就一定相等吗？ 也许0.99循环就这么nb，它就连续紧挨着1，你怎么也切不出它和1之间的数，这就是无限的魅力。

[@qzboanynj]

@@spacefreedom 定义了整数环Z后，在所有整数数对 (a,b) 的集合 Q+ 里定义等价关系: (a,b) ~ (c,d) a*d = b*c，然后Q+ 对这个等价关系的商定义为有理数集合 Q。然后在 Q 上定义加法和乘法后，Q就成为了域(这也是Z生成的最小的域）。然后定义正有理数，再然后给Q定义序 (order) >，这样就可以开始定义 Dedekind Cut。这里要注意 Dedekind Cut 是对有理数的分割，不是对实数的分割。每一个 Dedekind Cut 就是一个实数。所有的 Dedekind Cut 构成一个集合 R。 然后再把序，加法和乘法定义到 R 上，就有了有序的实数域 R。然后你可以定义单射把 Z 嵌到 Q 里，再定义一个单射把 Q 嵌到 R 里。 注意在整个过程中，根本就不存在什么循环小数这么一说。所谓循环小数是一个极限过程的不准确的普及性描述，这个极限过程可以被证明极限存在并且是个有理数。仅此而已。

[@chienkang-huang]

說錯了，比值(ratio)單字的詞源是來自理性(rational)。Although nowadays rational numbers are defined in terms of ratios, the term rational is not a derivation of ratio. On the contrary, it is ratio that is derived from rational: the first use of ratio with its modern meaning was attested in English about 1660,[8] while the use of rational for qualifying numbers appeared almost a century earlier, in 1570.[9] - en.wikipedia.org/wiki/Rational_number

[@EasonEasonChen]

笑死 維基百科😂

[@atussentinel]

8:37 这个和弦和旁白的配合好评

[@jonsnow7673]

宝藏频道啊！最近入睡难终于有救了

[@kakashi-md2st]

这里面的问题是，对于实数的定义，就是可以无限细分的。那数就是可以有无限的小数点，有规律的循环就是有理数，无规律的就是无理数。我说的这个只是比拟。

[@Liuli_The_Sinner]

作為現役數學系學生，我表示聽的很舒服

[@精槓]

可區間的意思不就是不會碰到上線與下限嗎？也就是不＝1也不等於0.9 以邏輯算下去必定不等於1 0.1...=1×0.1...=1×1/9=1/9 0.2..=2×0.1...=2×1/9=2/9 ... 0.9..=9×0.1..=9×1/9=1 1.1=11×0.1..=11×1/9 11111.1..=111111×0.1..=111111×1/9=13013 11111.1..-11112=1901 11112

[@wangpaul1924]

哥，你是eric xing吗？还是他的学生啊

[@gardragonlee3158]

为什么0.9循环和1的关系不是0-和0的关系呢

[@柚子-i9i]

一開始人們不理解0，因為無法數也不會記。(從1開始數) 後來不理解負數，因為現實中不存在負數個東西。(於是不用基數理解，改用序數) 不理解無理數，因為認為有理數已經填滿了所有空間。(有理數的稠密性) 不理解虛數，認為虛數沒有意義。(於是歐拉給了意義：旋轉) 不理解拓廣實數，因為學校老師說除以0沒有意義(wheel theory) 不理解超限數，因為無窮數不完，學校老師也沒有教。 (康托之後公理化集合論，才有了基數aleph-0、aleph-1、aleph-2，序數ω) 不理解超實數，因為學校老師說0.9循環只能是1(魯濱遜證明了，超實數系統和實數系統是相容的) ... 人們到底什麼時候才能醒悟，認知還停留在只有複數才是一種「數」🤣 結論 0.9循环 = 1 (在標準分析，默認0.9循環是實數的元素) 0.9循环 ≠ 1 (非標準分析)

[@zyu2820]

0-不是一个数字，它和0有什么关系说不清。0.9循环和1可以证明这两个数在数轴上的位置是重叠的。1，先证明实数是完备的，2，再证明实数是稠密的。这两个结论可以推导，只要两个数不相等，他们中间就一定存在无穷个实数。3，最后证明0.9循环和1之间没有任何实数。

[@YuneyoungChoo]

如果是两个“相邻”的实数中间，没有任何实数也没问题？@@zyu2820 如果区间套是左闭右开，那么0.999……对应的区间套不包括1，这是两个相邻的区间套

[@eprjct]

@@柚子-i9i 恩，我印象中0.9循环 ≠ 1 的數學系統裡∞也 ≠ ∞ + 1，∞只是比所有的實數大的數，但是它還可以再更大，也可以作2*∞。

[@柚子-i9i]

@@eprjct 你說的∞可能是 ω ≠ ω+1 但 1 + ω = ω，要注意這個「+號、=號」的概念與「1+1=2」的符號概念有些許不同，最小的超限序數稱作 ω，最小的超限基數(自然數的基數)稱作א‎_0(阿列夫)，Ω叫絕對無窮。 所以要看你說的∞是指哪種無窮... 沒講清楚就會發生1+2+3+... = -1/12

[@sunyujia7188]

哥们 您的区间套写的是 [A,B), 那么0.9的区间套是[0.9,1). 这中间不包含1. 我这个问题想了很久. 所有的证明0.9的循环 = 1的方法都有瑕疵, 因为0.9的循环是一个没有被定义的数字. 数字我们只定义了 可以被整数相除的数字, 可以用被开N次方的数字, 可以被i 表达的数字, 以及e和派. 这里面竟然没有包括0.9的循环.

[@marquis2003]

0.9循環表現的是無限趨近的過程，剛好這個過程的終點有一個實數可以表示，你需要接受的不是0.9循環=1，而是數線上無理數和有理數的數量上的差距相當於無限和0

[@sunyujia7188]

在数学别将道理, 就像你跟我讲象棋里为什么马走天, 象走日. 没什么为什么, 这个是规则. 数学定义是循环小数是有理数, 有理数可以写成两个整数相除. 然后0.9循环就完了.@@marquis2003

[@swyang4329]

問題的癥結點應該是生物本能上不能理解無窮的涵義吧。 一個數居然可以定義成無窮的過程/區間，聽起來像是要求我無條件相信 0.999... 等於 1。 在有限的區間內，0.999... 不必然等於 1； 在無窮的區間內，0.999... 必然等於 1，問題又回到原點了，作為生物該怎麼理解無窮的概念呢? 針對無窮的異樣感，橫跨了好幾個概念﹔無限循環小數、圖靈機、遞迴等，即使數學家把定義納入無窮也無法消除這種怪異感。(或者說真相其實很簡單? 無窮根本不存在於人類能感知的物理世界?🤔)

[@lol-ho2kj]

the size of a pyramid is finite if it's base is finited.if something can said is limited, it's obviously math isn't Almighty

[@rangehuang8982]

坦白說我認為現在數學應該要重新檢視這個問題了，當初為了救微積分用柯西收斂準則解釋，那是因為微積分真的很好用，加上當時的科學技術沒有在這個範疇外的事情，但現在有物理學的重整化跟卡西米爾效應的＂現實＂存在，數學就應該重新修正無限的定義，因為數學的本質是用來解釋世界的現實，而不是為了邏輯合理存在的，如果沒有世界現實現象那我尊重邏輯推演結論，但現實已經出來以後就應該重新定義無限，微積分視無窮發散級數的處理違背規則，是微積分的無限概念錯了還是現實錯了，我認為是無限的定義錯了。

[@william6071]

8:42 希帕索斯就因為這樣被畢達哥拉斯處死了

[@陳皇宇-w3z]

若0.9循環不等於1，0.9循環就只能比1大或比1小（三一律），不可能比1大，所以0.9循環比1小。 所以1-0.9循環=a>0（因為實數大減小為正數），可得a=1-0.9循環，結果對於任意給定的正數a都產生矛盾的結果，因此0.9循環必須等於1

[@RB811125]

聽說和定義域有關 在實數域，無窮小量=0 所以0.9循環=1 超實數域反之

[@spacefreedom]

兜了一圈没解决无穷小的问题

[@RB811125]

@@spacefreedom 你可以搜尋「第二次數學危機」

[@edwardhsieh7144]

求背景音樂

[@gabrielb.6508]

读英文时发音感觉很别扭😂

[@kennyli336]

無窮遞降法還沒出啊... 還是只有B站才有

[@manshi_math]

做起来头比较大，所以一直搁置了

[@gardragonlee3158]

​@@manshi_math原来你也会头大😂

[@吳承祐-o5o]

高三數學、大一微積分的既視感來了

[@efaye0224]

那麼比根號2再大一點的無理數是多少呢

[@jackksc207]

實數是不可數(uncountable)的, 你可以拿另一個數和根號2比大小, 而兩者之間肯定能找到中間數

[@chenyang1896]

😅梦回泛函。。。

[@176-l1d]

0.9循環不等於1 我知道你能嚴格的證明兩者相等， 但我就是不服😂😂😂

[@jameszhang3877]

1-0.999999...=0.000000..., 结果中永远也不会出现1

[@G-yo7sk]

有夠讚

[@maplestory8875]

这个没意思，我们想知道0.(9)8和1的大小

[@maplestory8875]

(9)代表无限循环

[@Hsiung1337]

@@maplestory8875無限循環怎麼會是有限位數

[@實用俄漢字典]

9都無限循環了你還能在最後加上一個8？先想想自己在說什麼吧😂

[@dihp2875]

无限循环怎么可能有最后一位？

[@小白-w3s]

@@maplestory8875簡單來說，你9是無窮的過程，這個8就像是你跳過過程直接寫個結果，才進行無窮的過程

[@spacefreedom]

请教博主，这个问题一直困扰我，如果0.99循环=1, 那么无穷小就等于0？ 那么微积分就有问题，极限那套理论特意规避无穷小还有啥意义？ 我认为发展出极限的理论就说明无穷小不等于零，它小于任意一个正数，但就不等于零。类似的，0.99比小于1的数都大，但就不等于1。 戴的金分割逻辑上总觉得哪里不对，实数是稠密的，这两个数之间切不出别的数，那么就一定相等吗？ 也许0.99循环就这么nb，它就连续紧挨着1，你怎么也切不出它和1之间的数，这就是无限的魅力。

[@jackksc207]

沒錯, 實數系統中不存在無窮小, 所以無窮小就是等於0, 極限規避無窮小就是為了規避微積分出現"除零"的情況 戴德金分割邏輯上沒有不對, 實數是不可數(uncountable)的, 根本不存在連續緊挨著的實數, 兩個數之間切不出別的數就證明兩個數是相等的

[@kingworld7747]

麻煩一下拿出古希臘存在逆天科技的文獻,否則古希臘只是近代兩個不知什麼人,嘴砲創出的不存在的逆天文明!!

[@jackksc207]

如果古希臘不存在, 那西方文明就更逆天了 為什麼閣下要如此吹噓西方?

[@spacefreedom]

偷换概念，证明的是0.99999的极限和1相等，这也是通常人们理解出偏差的地方，普通人想的是0.9999循环下去，而数学定义0.9999循环却说的是它的极限。 举个例子，某函数y，在x不等于3时，y=2x ，在x等于3时，y=1。 那么在x=3时函数y的极限是6，但函数本身却等于1。

[@jackksc207]

那你要先定義一下普通人想的0.9999循環下去是什麼, 再說明你這個定義和數學定義有何分別 至於你的例子, x=3時函數y的極限不是你以為的6, 而是1

[@mwang7564]

太墨迹了，两倍速都不觉得快

[@matokurin]

謝々

[@陈学军-p6k]

为什么开头总要把自己是一名清华姚班博士毕业说事？万有引力和相对论定律，会因为哥们清华姚班而更真？其他学校或者清华非姚班毕业的微积分更假？ 卧槽，科以人重科亦重，人以科传人可知，不懂吗？难道清华姚班有什么对不起你的地方，你要如此高级黑它。

[@-funpintoo8704]

人家自豪的事情為何不能說? 你是在嫉妒?

[@陈学军-p6k]

怎么说呢？就像你老说自己生于拳击世家，也是拿过金腰带的人，等一出手只是些普通的花拳绣腿，行家看在眼里，自然会质疑金腰带原来水分那么重，丧失了对金腰带原有的敬仰之情。 你以你无可争议的水准让别人信服，最后别人一查，哦原来清华姚班高材生怪不得这么厉害，你为清华挣了光。 若自己天天说清华xx毕业，结果一出口，行家一听，不过俗不可耐的凡夫俗子，你就对不住清华了，高晓松、李国庆、许知远……就属于这一类了，人以科传人可知的一类人

[@leojj313]

因为毕导不是姚班的。他一直在蹭毕导的热度。 对不起，我只服caltech和mit的phd。

[@spacefreedom]

如果是真的可以说，可以快速筛选一下是不是民科或者玄学，总有那些民科或者玄学大师忽悠人，听了一半我想踹他

[@周主牧]

跟內容沒關係就各自解讀吧，又不影響講解。