Well-placed cards - Viviane Pons - The Myriogon

In this episode of the Myriogon, Viviane Pons, from Paris Saclay University, mixes cards and show us a nice result by explaining her approach of combinatorics research, a discipline between mathematics and computer science.
Viviane Pons personal web page : lri.fr/~pons/
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www.myriogon.com

[@oliviers589]

J'ai beau être un grand consommateur des grosses chaînes de maths en anglais avec plein de belles animations, il n'y a que chez vous que je trouve des approches aussi passionnantes et engageantes. Personnellement j'ai un bagage théorique assez faiblard en mathématiques mais je me débrouille bien avec un ordinateur, vous n'imaginez pas à quel point ça aide quand vous montrez vos outils informatiques et vos bouts de code. Je joue encore tous les jours avec le visualisateur de Mandelbrot en javascript montré l'année dernière et ça a été un levier formidable pour m'aider à comprendre plein d'autres sujets par la suite. Merci à Viviane Pons pour ce partage très enrichissant.

[@LeMyriogon]

Merci beaucoup, nous sommes ravis que la démarche vous plaise. Ça nous encourage à continuer dans cette direction alors !

[@YvonnickCollin]

Un Numberphile en français, super !! 👍

[@bilmag182]

Le Retour du myriogon et El jj qui sort une vidéo hier c'est ce genre de week-end qui fait plaisir hâte de voir qui seront les prochains intervenants et quels jolies mathématiques vont ils nous faire découvrir

[@doubop]

Une belle démarche qui par de l'intuition est qui va nous faire toucher du doigt des propriétés qu'on manipule naturellement. puis vient la question de devoir généraliser, et démontrer. Mine de rien cela fait vivre les mathématiques. J'ai beaucoup aimé comment elle a amené la notion de bijection. Et aussi de pouvoir mettre un nom sur cet ensemble de point fixe.

[@oliviermiakinen197]

Quel bonheur ! Longue vie au myriogon nouvelle formule !

[@oliviermiakinen197]

J'ajoute : merci à Viviane Pons que je ne connaissais pas pour cette jolie démonstration.

[@edvogel56]

Immersion de Francais avec quelque chose similar au Numberphile. Je suis très content. Merci beaucoup!

[@francisfournier3177]

Ah!!!!! Le Myriogon est de retour, que de bons souvenirs ! ! De Mickael, Manu, Robin, Roger ! !

[@Micmaths]

Merci Francis ! On est ravis de vous retrouver avec ce nouveau format :)

[@Roger_Mansuy]

@@Micmaths Je dirais mais plus: on est ravis de vous retrouver avec ce format nouveau.

[@PW_Thorn]

C'est ce que j'allais écrire ! 😂

[@anionime5633]

Une notification du Myriogon et je replonge dans le cocon mathématique que Roger Robin Michael et tous les autres avaient tissé, supers moments ! Génial ce nouveau format qui sent la passion, j’ai hâte de voir la suite merci merci !

[@BrunoDARCET]

Le mode de démonstration est très intéressant. La généralisation aux autres travaux fait bien comprendre le boulot d'un mathématicien. Merci !!! ... et encore, SVP.

[@ThierryLalinne]

Quelle bonne surprise ! Merci de redonner vie à cette magnifique chaîne.

[@LeMyriogon]

Merci, le projet est plus vivant que jamais!

[@romain9273]

Super intéressant d'entendre Vivane Pons raconter concrètement son métier! Merci beaucoup pour cet excellent format

[@francoisfagard2515]

Bonjour, il y a à mon sens une démonstration bien plus simple pour démontrer cela que de passer par les bijections (bon ca pourrait s'apparenter quand meme à une bijection mais bien moins compliqué à expliquer et démontrer, je trouve): il suffit de passer par l'ordre des différentes permutations et de les faire "tourner", je m'explique : prenons l'exemple d'une combinaison de taille 5 un ordre possible est par exemple 2 5 4 1 3 et je vais ensuite faire "tourner" cet ordre de 1 cran vers la droite (et le chiffre le plus à droite va tourner vers la 1ere position), cela donne 3 2 5 4 1 je vais ensuite recommencer jusqu'à revenir à mon état initial au bout de la 6eme fois (on va donc passer par 1 3 2 5 4 puis 4 1 3 2 5 et enfin 5 4 1 3 2 avant de revenir à 2 5 4 1 3) j'ai donc lié exactement 5 permutations au meme "ordre" d'apparition des chiffres logiquement on en déduit que chaque chiffre de 1 à 5 sera, dans ces 5 permutations, une et une seule fois positionné à la bonne place on a donc pu lier 5 permutations différentes à exactement 5 points fixes chaque permutation étant forcément lié à un ordre unique et chaque ordre contenant forcement exactement 5 permutations différentes, on peux donc grouper toutes les permutations possible par groupe de 5 en les liant à un ordre chaque ordre ne contenant exactement que 5 points fixes on en déduit donc qu'en moyenne il y a 1 point fixe par permutation cette démonstration pouvant s'appliquer tres facilement à n'importe quelle taille de permutation, on en déduit donc qu'il y a en moyenne 1 point fixe par permutation quel que soit la taille de la combinaison ;)

[@VERYMATHTRIPManuHoudart]

#Waooh ! Vous avez mis la barre très très haut avec ce premier épisode 👌 Sans chichis mais redoutablement efficace… Avec une telle qualité, l’audience du Myriogon va rapidement être myriogonique 🤣 Encore bravo à toute l’équipe et merciiiii 👌

[@yvesabiteboul4204]

Quelle joie de constater que le Myriogon n'est pas mort. Il nous avait beaucoup manqué.

[@maximelinot3523]

Quel plaisir de vous retrouver ! Longue vie à ce projet :D

[@LeMyriogon]

Merci ! Heureux de vous retrouver également :)

[@djcolmere]

:D ce moment délicieux où tu comprend enfin la bijection en fin de demonstration :D génial

[@gugus8081]

C'est stylé, très bonne idée ! toujours un plaisir, vous êtes des boss.

[@yugapillon1343]

Petit ajout, que j'ai envie de faire, pour certains qui seraient pas convaincus: La propriété fonctionne également pour 1 ou 2 éléments (évidemment, ces deux exemples ont moins d'intérêts que pour des ensembles plus grands, mais je trouve ça intéressant de le remarquer quand même) 1 éléments, c'est pas compliqué, il n'y a qu'une seul possibilité: 1 a la place 1, le 1 est donc forcément a la bonne place, donc 1 point fixe, à chaque fois, ce qui donne bien en moyenne 1 point fixe. 2 éléments: 2 possibilités: 1-2 et 2-1 Dans le cadre de 1-2, les 2 éléments sont à la bonne place, donc 2 points fixes et dans le cadre de 2-1, aucun n'est à la bonne place, donc 0 points fixes En moyenne, ça donne (2+0)/2 donc on a bien 1 point fixe moyen (alors qu'aucune des combinaisons ne donne 1 point fixe) Si on liste les points fixes, on a les UN-deux, et un-DEUX Qui donne respectivement, avec l'opération pour faire correspondre les points fixes et les permutations: UN-deux, et DEUX-un Donc on a bien, encore une fois, un point fixe par permutation. L'opération inverse fonctionne également: UN-deux devient UN-.... en écrivant le point fixe, et il suffit de rajouter deux, ce qui donne UN-deux Et DEUX-un devient, .....-DEUX, en écrivant le point fixe, puis un-DEUX si on ajoute le un. Donc la vidéo fonctionne très bien, même avec 2 éléments (et 1 élément fonctionne aussi, mais on se retrouve avec des lignes avec seulement 1 d'écrit sur chaque lignes, a chaque fois)

[@endymionrhadamantha2799]

C'est trop bien! Vivement d'autre comme ça!

[@brusicor02]

Le retour !

[@LeMyriogon]

On était toujours là mais on travaillait plus discrètement

[@Antho06t]

Aaaaaah !!! Le retour du Myriogon !!!! J'en étais presque à espérer un nouveau confinement pour vous retrouver ! 😅

[@sebastienbridoux1765]

Super intéressant ! Merci pour ce partage !

[@sebbeni2375]

Vous nous avez tellement manqué… Bon retour, amis du Myriogon ! Merci pour la vidéo que j'ai adorée. Maintenant, on veut un Kahoot avec les "historiques". 😉👍

[@Bencurlis]

Je suis toujours étonné par la puissance de la bijection, en tout cas c'était malin de modéliser l'ensemble des points fixe, il fallait y penser!

[@annickallanet4546]

Passionnant ! Merci AA

[@sabimas5467]

Le retour de la légende cette vidéo annonce t'elle peut être un retour des lives ?? En tout cas hâte de voir la suite

[@loicboisnier5332]

Super format. Hâte de voir la suite

[@romaindevleeschouwer3819]

Bonjour, c'est effectivement très numberphile et c'est une très bonne idée ! Vivement d'autres vidéos.

[@jean-francoisbiragnet7304]

Je crois n'avoir regardé qu'un épisode du myriogon car je n'ai jamais finalement pris le temps de le faire. Le format est très bien, je m'abonne !

[@bastoktok]

Numberphile en français, oh ouiiiiiiii.

[@eliaspernel9533]

Super intéressant !

[@Piffsnow]

La naissance d'un Numberphile en français juste après les 10 ans du Numberphile original... c'est beau. Super projet, ça fait trop plaisir !!

[@Piffsnow]

et Big Up aux illustrations de Chloé ! (J'ai failli oublier, pardon !)

[@dorinepoulfort2499]

Très bonne vidéo, il est très intéressant de découvrir un peu le métier de mathématicien.

[@claudeattard7451]

Le retour, yahoo !!!!!

[@andoniet1]

Merci, revenez tous on vous attend.

[@QuadriviuumTremens]

Très bonne vidéo, merci ! Je partage.

[@BriceMarnier]

En vous voyant lister les permutations, je me suis dis qu'on pourrait compter les "croix bleues" par colonne : pour n cartes, chaque carte est un point fixe dans exactement (n-1)! combinaisons (toutes les autres cartes peuvent être dans n'importe quel ordre). On a donc un total de n•(n-1)! point fixes pour n! combinaisons, donc exactement 1 point fixe en moyenne. Par la suite, les transformations et les points fixes m'ont fait penser au lemme de Burnside. Je ne sais pas si c'est vraiment lié (notre cerveau fait de sacrés raccourcis, à tort ou à raison...), mais ce serait certainement un bon sujet à présenter ;) En tous cas, le format est à creuser. Numberphile, Matt Parker & cie ne sont pas loin, mais les concepts sont certainement plus compréhensibles en langue maternelle. ++ !

[@dominiquemanchon9914]

Excellent !

[@brunodoussau_from_tyumen]

Hop, abonné. Très bonne inititiative !

[@labelmaths7787]

Très intéressant, merci :-)

[@jacquestouzet6846]

👍🤚

[@JonnJonnTube]

Incroyable 😳

[@benoitgranger2773]

Super intéressant ! Je me demande s'il existe une démonstration de cette conjecture avec juste des équations ?

[@h2mille]

Bonjour, Je n'ai pas très bien compris. On montre dans le cas 3, qu'on a une bijection entre les points fixes et les permutations. C'est parfait, c'est un cas. "Les définitions des opérations se généralise très facilement", c'est pas faux...mais c'est par vrai en fait. Ma prépa maths remonte un peu mais je ne sais pas généraliser, ni même écrire la généralisation. Passons... on est bien d'accord qu'il n'y a aucune démonstration pour un cas de taille n? C'est un gros "y'a plus qu'a", non?

[@aurelienperdriaud108]

Comment on démontre que deux permutations différentes ne donnent jamais un même point fixe après application de l'opération flèche bleue, et que deux mêmes points fixes ne donnent jamais une même permutation après application de l'opération flèche rouge? Sinon on n'aurait pas de bijection Je suis trop content que le Myriogon soit de retour!!

[@LeMyriogon]

Le point important est que la flèche bleue et la flèche rouge sont "réciproques": on revient au point de départ en les appliquant successivement. Supposons que la flèche bleue envoie deux permutations sur le même point fixe; la flèche rouge devrait envoyer ce point fixe vers les deux permutations pour satisfaire la propriété de réciproque pour les deux permutations: ce qui est impossible il n'y a qu'une image pour le point fixe par la flèche rouge.

[@aurelienperdriaud108]

@@LeMyriogon Je vois mieux merci beaucoup!

[@vivianepons6431]

On avait pas le temps de voir la démonstration complète dans l'épisode mais une fois qu'on a l'opération, la démonstration n'est pas très compliquée. Vous pouvez essayer de le faire ;)

[@jeanl3941]

Une autre façon de voir est la suivante : Soit k le nombre de cartes. Chaque i-ème nombre tel que i est inférieur ou égal à k est exactement (k-1)! fois un point fixe. En effet il suffit de fixer ce i et d’en déduire toutes les permutations possibles, (k-1)!. Ainsi, on a k(k-1)!=k! points fixes, le même de nombre que de permutations.

[@sylvainparise5852]

Merci, bravo, c'est chouette. Mais il faut éviter les couleurs vertes et rouges sur un tableau blanc. C'est pas assez visible.

[@boogiemaths]

Je suis heureuse de retrouver la chaîne pour un nouvelle vidéo ! Elle était super et très intéressante ! Merci. Par contre je n'ai pas vraiment compris les exemples de la définition de la bijection. Est-ce que quelqu'un pourrait m'expliquer ?

[@vivianepons6431]

C'est quel sens de la bijection qui vous pose problème ? L'idée est de déplacer le point fixe au début d'une nouvelle permutation

[@Tharkun35]

​ @Le Myriogon J'ai l'impression qu'il manque des épisodes de l'année dernière sur la chaine, entre #4 et le #15.

[@vince6962]

Comble du hasard, un ami m'a propose cette enigme il y a quelques jours, que j'ai "resolu" de maniere probabiliste, en disant que si (u_n) designe le nombre de cartes inchangees, en moyenne, pour une permutation de n cartes, on a: u_n = 1/10 * 1 + 9/10 * u_{n-1} avec u_1 = 1 (en gros, le nombre moyen de points fixes a 10 cartes, c'est la proba que la premiere carte soit a sa place [ca donne 1 point fixe en plus 10% du temps] + les 90% du temps restant, on a le nombre de point fixes a n-1 cartes] et donc pour tout n, u_n = 1, en particulier pour n = 10. La bijection est d'une elegance qui me laisse pantois

[@Eurok666]

Des gens qui font apprécier les maths !

[@madamesharpette9744]

Un autre monde !!!

[@Fine_Mouche]

2:54 : Merci je n'aurais plsu honte de compté à la main pour les petits exemples, car je croyais qu'il fallait directement trouver, sans tester, la formule pour être un bon mathématicien. (car ce n'est pas parce qu'un truc marche au cas 1 et 2 (et 3 et 4 et etc...) que cela marchera tout le temps.

[@dezel-49]

encor une super vidéo super intéressante ! dommage qu'il n'y est pas de musique de générique ;)

[@LeMyriogon]

La musique arrive (elle était prête...)

[@dezel-49]

@@LeMyriogon dommage je vous l'aurai faite avec plaisir ;)

[@grot75]

Bonjour, Le lien sur la page de Viviane Pons ne fonctionne pas :( C'est moi qui déconne, ou il y a une erreur ? ;) Ok, pas de s à

[@Eidraify]

J'aimerai connaître la relation entre le nombre de permutations avec aucune position juste et le nombre de permutations total

[@kemkyrk8029]

En fait on peut démontrer ça en quelques lignes en utilisant la linéarité de l'espérance. Evidemment, ce qui se passe est un peu plus obscur et c'est toujours intéressant de chercher une bijection pour y voir plus clair, mais il faut garder à l'esprit que la méthode présentée ici fonctionne exclusivement parce qu'on s'attend à ce que l'espérance soit de 1.

[@kemkyrk8029]

Pour celleux que ça intéresse: on note X le nombre de points fixes d'une permutation prise uniformément au hasard et on va essayer de calculer E(X). On définit I_k la variable aléatoire indicatrice du point fixe à la position k, elle prend la valeur 1 s'il y a un point fixe à la position k, 0 sinon. Clairement, on a X=I_1+...+I_n. Dès lors, E(X) = E(I_1)+...+E(I_n) par la linéarité de l'espérance. Finalement, on a E(I_k)=1/n pour tout k car ce qui nous intéresse ici, c'est la probabilité d'avoir un point fixe à la position k et on s'en fiche de ce qui se passe aux autres emplacement. On a donc E(X) = 1/n +... + 1/n = n/n = 1.

[@LeMyriogon]

Oui, c'est effectivement la démonstration naturelle en premier cycle (lorsque l'on sait que l'espérance est linéaire) mais l'ambition, plus haute en termes de diffusion, était ici d'illustrer le principe d'une bijection.

[@Fine_Mouche]

je vous serrais infiniment reconnaissant si vous ou un mathématicien ou un matheux m'aidait sur ces 2 problèmes liés (2 variantes) que j'ai en tête depuis 2015 : -Calculer le nombre d'étapes en moyenne qu'il faut à un mobile qui se déplace au hasard en avant ou en arrière le long d'un segment n-segmenté / d'un n-gone (ex : un segment coupé en 3 triangle, mais on à sur le segment les points A, B, C et E=A alors que de l'autre coté on a juste un triangle ABC . ) -Lister tous les chemins/parcours possibles le long de segments / autour d'un polygone avec des limitations / contraintes . (ex : pas plus de N_i aller retour (consécutif) d'un point/sommet à un autre) Et est-ce que Sagemaths peut m'y aider ? p.s : Sur twitter je serais plus court, mais il y aura des schéma.

[@etienneparcollet727]

Oh sage. Je suis en train de m'y mettre pour un projet d'info.

[@LeMyriogon]

Bon courage pour le projet avec ce magnifique outil!

J'ai une autre preuve pour montrer que le nombre moyen de points fixes est 1 autrement qu'en passant par une bijection. Il s'agit de procéder par récurrence et en faisant du dénombrement N(n) le nombre moyen de "cartes" fixes dans l'ensemble des permutations des n cartes, et M(n) le nombre moyen de "cartes" fixes dans l'ensemble des permutations des (n-1) cartes, la n-ème carte retirée étant une carte non fixe (cela revient à dire le nombre moyens de points fixes des n cartes sachant que l'on a retiré la carte i qui se trouvait à la place j) N(n) = 1/n (1+N(n-1) + (n-1)/n * M(n) et on démontre facilement par récurrence que M(n) = (n-1)/(n-2) (il faut considérer les 2 cas, si la carte j se trouve à la place i ou si la carte j se trouve à la place k --> M(n) = 1/(n-1) * N(n-2) + (n-2)/(n-1) M(n-1) et donc (n-1) M(n) = 1 + (n-2)M(n-1) = 1 + 1 + (n-3)M(n-2) = ....= n-2 + 1*M(2) or M(2)=0 d'où le résultat) et du coup N(n)=1/n *(1+1) + (n-1)/n * (n-2)/(n-1) = 2/n + (n-2)/n = 1 cqfd (la rédaction est pas très propre mais c'est pour donner une idée de la démo)

[@pascalmarques2583]

Et après on dit qu'en France on a des mauvais en maths !..

[@djcolmere]

(wow)

[@nonoisaidno6901]

top

[@oussetclement8744]

Les cartes on juste 1 chance sur le nombre de place dispo donc la somme vaut bien 1 à chaque fois.

[@oussetclement8744]

La carte 1 a une chance sur x d’être au bon endroit. Et ça pour chaque carte donc 1/x + 1/x + … + 1/x (x fois) = 1/x*x= 1

[@fredop3971]

Question : c'est quoi "bien mélangée" ?

[@ferpentfiffleur3218]

De manière bien aléatoire quoi ... enfin plus j'y pense, plus je me dis que ma réponse est claquée, pas satisfaisante

[@rainbow-cl4rk]

Avant de regarder la vidéo je dirais que y en a une bien placé, ça me paraît assez trivial étant donné que le nombre moyen s'interprète (en considérant que S est l'ensemble des permutation s) comme 1/n!*|{(s,i)€Sx[|1,n|] | s(i)=i}|=1 car pour chaque i il y a (n-1)! s par symétrie du problème.

[@emmanuelbruyere6571]

✅😋

[@Tharkun35]

6:15 Sauf erreur de ma part, on entend la voix de Robin !

[@LeMyriogon]

Il n'y a pas d'erreur: sa voix est remarquable à plus d'un titre!

[@YG-ub4dk]

Ça m'arrache les yeux de lire "quelque soit" au lieu de "quel que soit" à 7:57 mais ça fait plaisir un Numberphile francophone :)

[@LeMyriogon]

J'espère que vous nous pardonnerez cette espace oubliée

[@LouisCHATEL]

Bizarre, abonné depuis confinement 1, je n’ai pas vu passer la notification 🤔 Si Manu n’avait pas partagé sur Twitter j’aurais loupé la reprise 🤪

[@LeMyriogon]

On va enquêter. Nous suivez-vous sur twitter ou facebook? C'est un autre moyen de ne rater aucune actualité.

[@LouisCHATEL]

@@LeMyriogon sur Twitter depuis que j’ai vu la sortie par le partage de Manu ce matin. Nota dans la liste de mes abonnements la vidéo apparaît bien mais pas dans les notifications qui remontent directement Peut-être un biais de l’algorithme, d’autre vidéos arrivent bien 🤔

[@emmanuelbruyere6571]

Moi aussi j'ai mon 📗🙂

[@pierikfalco4932]

Sans généraliser, cet exemple n'est-il pas "mal choisi" ? La démonstration me semble bien plus simple, en regardant "simplement" la position de chaque valeur par colonne ... Pas besoin d'aller loin pour "voir" que dans une combinaison à n chiffres, chaque chiffre occupe n fois la bonne place! Non ??? (j'ai p-e raté un Nobel des maths en publiant ça ici :D :P ;) )

[@jeromesnail]

Un numberphile à la française, pile pour les 10 ans de numberphile :)

[@shaihulud69]

Une démonstration mathématique?

[@djcolmere]

Salut, j'en ai vu plein de commentaire, et des différentes, c'est assez fou à lire :)

[@nicotect]

Alors, pardon, mais toute la démonstration de fin ne m'a pas permis de comprendre une quelconque progression. Tout ce que je vois c'est qu'avec un départ et une règle simple, en inversent la règle il est possible de revenir au départ ...

[@indya2006cl]

ça sert à quoi concrètement ???????

[@lenicleva1713]

c'est top s'en est ou ?

[@mikaelderetour1933]

Je suis déçu de ne pas avoir tout compris , car de toute évidence ce n’est pas la qualité de Mme Pons qui est en cause mais mes neurones restantes….

[@djcolmere]

c'est assez subtil, mais pour résumer (4mois apres^^) chaque nombre bien placé au total permet de générer une suite, tellement correctement qu'on en retrouve la liste complete des possibilités. mais bon, au final, pour faire ça simplement sans prise de tete : chaque nombre ira dans toutes les positions de façon equitable, donc le rapport de 1 devient assez evident, autant de nombre bien placé que de possibilités. il ne faut pas hésiter à faire travailler ses neurones même inutilement, on apprend des trucs (et y'a de belles connexions qui se forment en plus, à l'interieur de notre crane :p)

[@ninovladovic2937]

euuuhh, il ya une méthode beaucoup plus simple pour faire la demonstration ...

[@djcolmere]

Merci pour l'info

[@ninovladovic2937]

@@djcolmere Exemple pour 4 éléments: sur 24 permutation le 1 est 6 fois à la première place (la bonne) 6 à la deuxième, 6 à la troisième et 6 à la quatrième (total 24). Donc six point fixe pour le 1. Et pareil pour le 2,3 et 4. Donc 6 points fixe par élément pour 4 éléments. 6x4= 24. On peux généraliser en disant que un élément est point fixe n.permutations/n.éléments . Pour info n.permutation=n.éléments! (cad factoriel de n.éléments).

[@djcolmere]

@@ninovladovic2937 Ah, avec l'explication c'est moins agressif :) Ouip, en fin de vidéo je me suis imaginé cette solution, chaque nombre va partout autant de fois :s

[@napoleon14000]

Tout ce mic-mac, desolé Vivianne, pour nous expliquer quoi ?? Qu'il est vain de chercher a mélanger des cartes ?

[@djcolmere]

le mélange n'est pas remis en cause :) juste les proba d'avoir Une carte, en moyenne, qui n'a pas changé de place dans le paquet. bon apres, si tu ne joue qu'avec 4 cartes, effectivement ça devient horrible d'avoir 1/4 du paquet non mélangé en moyenne ^^

[@maigaskia]

numberphile en fr