整数の最重要解法【東大理Ⅲ生からの挑戦状】

記念すべき第１回目は、現役東大理３生から昨年DMで頂いていた整数問題の良問です。
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整数問題の全解法パターン解説
• 【整数問題】入試頻出解法を”４時間で”全パタ...
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[@user-dh9xf9qj6d]

ほぼ同様の流れで解きましたが、もう少し簡潔に記述できる気がします。 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 1°）p=2のとき：与方程式　⇔　「a^3+b^3=16 （a,bはa≦bなる正整数）」…①。 　①⇒　①かつ2a^3≦a^3+b^3=16　⇒　①かつa^3≦8　⇒　①かつa≦2　⇒　①かつa∈{1,2} だが、ここで 　・a=1ならば、b^3=15となりbが整数であることに矛盾。 　・a=2ならば、①であるためにはb=2が必要十分。 ゆえに結局、　①　⇔　a=b=p。 2°）p≧3のとき：素数pは奇数だから、2p^3は偶数だが4の倍数ではない。 従って、与方程式が成り立つためには、a,bはともに正奇数となるしかない。すなわち、 　与方程式　⇔　(a + b)(a^2 - ab + b^2) = 2p^3（a,bはa≦bなる正奇数）」…② 　　　　　　　⇒　a+b ∈ {2, 2p, 2p^2, 2p^3}。 ところが②のもとでは、 　・a+b=2　⇒　a=b=1　⇒　a^3+b^3=2 < 2p^3 となり不適。 　・a+b=2p^2　⇒　b≧p^2　⇒　a^3+b^3 > p^6 = (p^3)(p^3) > 2p^3 となり不適。 　・a+b=2p^3　⇒　b≧p^3　⇒ a^3+b^3 > p^9 = (p^6)(p^3) > 2p^3 となり不適。 従って、「a,bはa≦bなる正奇数」を前提におけば 　②⇔　a+b=2p かつ a^2-ab+b^2=p^2　⇔　a+b=2p かつ ab=p^2 　　⇔　a,bは tの2次方程式　t^2-2p+p^2 = (t - p)^2 =0 の2解　⇔　a=b=p。 以上により、解答は　a=b=p。■

[@sh-iw8ol]

こっちのがはやいっすね。ありがとうございます

[@user-sc6ju2pq9z]

きれいだ

[@user-yc5fn5wf7d]

a＝b＝pという答えは簡単に想像できるけど、それを証明するのが大事っていう整数問題の基本を問う良問

[@kinmokuse]

a=b=pで成立することはすぐにわかるので、a=bとa

[@konamonwalotemauer1172]

a^3+b^3=p^3+p^3のことなので、「2つの立方和で、複数通りに表せる」関係の問題で、 整数x, y, z がx^3 + y^3 = 2z^3 を満たすならば、z=0またはx=y=zである、というのは オイラーが18世紀に示したことはよく知られています（頑張れば初等的に示せる）が、 zを素数に限るとこれくらい簡単になるというのは驚きですね。

[@sinuture]

そんな背景があったのですね．

[@user-wv6bt3vw5u]

zが素数かつ、x,yが自然数ですね

[@lazy_takasho4948]

整数問題のポイント④に偶奇性入れていいと思う まいっかい忘れる

[@user-vx7ki9ul2o]

10:02 a=bのときは(a,b)=(p,p)となるのであらかじめ除いておいて、 a

[@user-yu5ej3bi8u]

a = bのときは簡単で、a = b = p のみが解。また、a = 0の解は無い。 以後、0 < a < bの場合だけを考える。 a,bの値の範囲を評価すると、 2a³ < a³ + b³ = 2p³ 2b³ < a³ + b³ = 2p³ b³ < a³ + b³ = 2p³ なので、 0 < a < p < b < 2p が得られる。 ここから、p < a + b < 3p。 (i) p = 2のとき、0 < a < 2 < b < 4。 a = 1, b = 3は与式を満たさないので、不適。 (ii) p ≧ 3のとき、与式を因数分解して、 a³ + b³ = 2p³ (a+b)(a²-ab+b²) = 2p³ 右辺の素因数の配分から、 a + b = 1, 2, p, 2p, p², 2p², p³, 2p³ であるが、この中で p < a + b < 3p を満たすのは a + b = 2p のみ。 代入して整理すると、ab = p² が得られる。 a + b = 2p, ab = p² から、a,bは x² - 2p + p² = 0の2解であり、a = b = p であるが、これは最初に除外した解なので不適。 結局、a = b = p 以外には解は無い。

[@tasami6559]

a=b=p が解になるのは自明なので、それ以外の解がないことを場合分けなしに示す方法はないだろうかと数字捏ねてたら思いついた。 a≠b のとき、まず両辺から 2{(a+b)/2}^3 をそれぞれ引いて整理すると、(3/4)(a+b)(a-b)^2 = 2[p^3-{(a+b)/2}^3] a≠b より左辺は正の値をとるので p > (a+b)/2 a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2) より a+b は2p^3の約数であることと併せると a+b ≦ p すると a^3+b^3 < (a+b)^3 ≦ p^3 より 2p^3 < p^3 となってpが素数であることに矛盾。

[@user-yx4ke2bn6u]

(a+b)(a^2-ab+b^2)=2p^3 a+b=①、その横の長いやつを②とする ユークリッドの互除法により①と②の公約数と、(a+b,3ab)の公約数は同じ。 よって①と②の公約数にpを持つとき、p=3またはaもbもpの倍数。ここから明らかにa=b=p 公約数にpを持たないとき、①と②のどっちかはp^3の倍数なのでもう片方は1,2だが、簡単な計算によりこれは有り得ないことが示される。

[@sh-iw8ol]

それいいっすね。勉強になりますm(_ _)m

[@user-nb2zn5nb9t]

シンプルに綺麗すぎてすごい笑

[@jr.691]

いつも以上に爽やかに見えます♪

[@TadaNoDebu]

はじめにサムネ見たときにa=b=pじゃね？まだあるんか？ってなったけど合ってた。w

[@asachannanyo]

ゆるーい雰囲気なのに問題ガチガチで草

[@yutohirota5501]

a^2-ab+b^2-nを２倍して 2a^2-2ab+2b^2-a-b =(a-b)^2+a(a-1)+b(b-1)>０ だとすっきりします！

[@user-dz7md2rm1v]

a²

[@hskk3069]

天才コメあざす！

[@user-gq6pc1kx9s]

こんなのが初投稿だったら今後の問題エグくなりそう

[@user-im5ni6nj2q]

(a^2-ab-b^2)-n>0の証明の所計算量が多く感じたのでf(a)=(a^2-ab-b^2)-(a+b)と置き、f(a)=0で判別式を用いてbが自然数のときはD0を示す方が計算量が少なくて良いと思いました

[@sh-iw8ol]

同意

[@user-vl5vw8rc3p]

お！６時更新だ！ 整数問題得意にできるように頑張ります

[@GRCReW_GRe4NBOYZ]

今日は東大本番レベル模試があるので、整数確認しようと思ってこれを見たら、ちょっと難しくて悲しくなりました笑 頑張ってきます。

[@user-gt8nz1xv9q]

パスラボさんのおかげで整数問題を解くのがめっちゃ楽しくなりました！

[@user-js2gz5wg1u]

これp^3+p^3に分けたらa=b=p一発じゃない？

[@user-ew6mh9fp9c]

(a+b)(a²-ab+b²)=2p³ p≠2のとき a³は奇数 b³も奇数(∵2p³≠4の倍数、a,b≧2) 大小関係より(a+b,a²-ab+b²)=(2,p³)･･･ア,(2p,p²)･･･イ アのとき 計算するとp=2となり、p≠2であるから不適 イのとき 計算すると(a-p)²=0 ∴a=b=p p=2のとき a=b=2 (これはa=b=pを満たす) よって求める自然数(a,b)の組は (a,b)=(p,p)

[@user-sq9tt9li3w]

与式を見てから答えを見るとより答えに納得がいきました！！

[@cosmoliquid216]

自力で解いて、「a=b=p....そんなわけないか～」だったけど、正解してて超嬉しい!！

[@yuzumikan.]

a³+b³=2p³ (p=素数) 相加相乗平均より　a³+b³≧2ab√ab = のみを考えてp=√ab 等号成立条件はa=bよりa=b=p よってa,b=p このように考えるのはどうでしょうか おかしな点があれば教えてください

[@user-vm1fl9pm1n]

a^3+b^3=2ab√ab ではないといけない のてどうやってわかるんですか？

[@yuzumikan.]

@@user-vm1fl9pm1n a³+b³を関数f(a,b)として考えたとき、ある一点の値が2p³を指すことがわかります。 また、相加相乗平均の右辺はf(a,b)の最小値を指します。 よって、この2つは同値として考えてよいと思いました。 a³+b³=2ab√ab(最小値) a³+b³=2p³(ある一点) 即ち2ab√ab=2p³という感じです。

[@user-vm1fl9pm1n]

この二つというのはどれのことでしょうか？

[@yuzumikan.]

@@user-vm1fl9pm1n 2ab√ab と 2p³ のことです 間違いや不足しているところがあれば教えていただけると助かります

[@user-vm1fl9pm1n]

これってでも a=bのときしか議論してなくないですか？ a≠bの時は題意が成り立たないことは示してないような気がするんですが

[@Minakami-37143]

今になって見返してるけど、やっぱり興味深い問題

[@user-eo5zt7qu3r]

パスラボでやった数学の問題もこのチャンネルの再生リストに入れて欲しいです🙏

[@user-gs4xc9qs5o]

a+bとabをpを使って表して解と係数の関係からいけた

[@Hasuno-ha]

証明に囚われて、a=b=pという簡単なものををパッと出せなかった。

[@arjenrobben9090]

答えめっちゃ綺麗だな

[@diary2854]

非常に面白い良問でした！

[@user-ml7mc9fk2u]

入試問題は基本の組み合わせと言われる理由が少しわかった気がします！ 楽しかった！

[@user-xn2vm6zy5o]

おはよう御座います！これから活用させて頂きます！

[@Maseratiii674]

数学訳分からんくて辛くなった時、宇佐美さんの数学力のすごさに憧れてるので自分も同じようになりたいって思って踏ん張ってます笑いつか同じくらいのレベルになりたい。この動画の問題もまだ解けないけど、冬頃にはマスラボで出てきた問題を初見で解けることを目標に好きになりたいけど嫌いな数学に真っ向向き合っていきます！笑

[@user-jx8in5is7m]

解けたけど、最後の絞り込むのやらずに少しめんどくさくなったから綺麗な解法つくれるようにする

[@shaphere939]

10:00 ぐらいの話は偶奇に着目すればいらないと思う。pが奇数ならp^2も奇数なので、p^2=a^2-ab+b^2しかあり得ない。（ハズ）

[@user-dm6lu5nf2f]

pやp^2の大小関係はわからなくないですか？

[@user-lx3io9nf1c]

これ作った理IIIえぐい笑

[@user-cw8sx1gp5e]

視聴し続ける事で初めて自分の力になると思いますのでこれからも欠かさず視聴します！

[@user-wk5hy2hm1f]

今日から絶対毎日見ます！

[@user-uw7cl2sv9o]

あともう一つ疑問なのが、この問題、素数であることを本質に使ってるとこありますか？ p=2がおまけでついてるだけで、任意の奇数でもいいような…? 素数であることを使うともっと楽にとけたりしますか？

[@user-uw7cl2sv9o]

a

[@user-uw7cl2sv9o]

使えたし楽になった

[@user-uw7cl2sv9o]

動画内だと素因数の割り振りに役立ってるのか。任意の奇数だとそこから割り振れないもんな。

[@latpx8673]

(a+b)(a^2-ab+b^2)=2p^3 a>1 b>1なら a^2-ab+b^2≧a+b p≧2より ありうるパターンは ①a+b＝p, a^2+ab+b^2=2p^2 ②… って泥臭くやったけどあってるんかな

[@user-marimesuko]

a=b=pに気づかんかった 灯台下暗しもいいところ 不適だらけで気が狂いそうだったわｗ

[@user-uw7cl2sv9o]

最後a^3,b^3がともに奇数のときの論証があってるかわからないので誰か教えてください。 素数を偶数、奇数で分ける。 p=2のとき、2p^3=16なので3以上はオーバー、1,2の組を虱潰しですぐ終わる。 pが奇素数のとき、a

[@user-uw7cl2sv9o]

k+t+1,(4 k^2 - 4 k t + 2 k + 4 t^2 + 2 t + 1)が1にならないことをいってないからダメか

[@user-uw7cl2sv9o]

t (-4 k + 4 t + 2) + k (4 k + 2) + 1と書き換えれられるらしい

[@user-uw7cl2sv9o]

互除法と大小比較どっちが楽かって言われたら大小比較のような… あと、p=2を示すときと、a^3,b^3の偶奇が違うときとで同じこと二回やってしまってた 精進しよう

[@user-uw7cl2sv9o]

pを中心に立式すれば、(a^3+b^3)/2がp以外の素因数を持つことを示せたわ。

[@uxaqyi8773]

偶奇

[@user-me6tv9ye8q]

これからは絶対投稿直後に見るぞ！(戒め)

[@NeCoSn]

最終的にa,bは同一の素数であるって書けば問題文の答えとして十分なの？

[@marika_a967]

パスラボの問題理解出来た日は一日しあわせです🐼

[@user-ho2db5ld3b]

くっそ4パターン全部試してしまった😅

[@user-sk3ch4fd3r]

遂にMathLABO始動ですね！✨ 本来文系なので必要ないのですが、 類型選択で数学を選びました。 苦手なままにしたくないのももちろんですが、 宇佐見さんを見てできるようになりたいと思いました！ 今年受験生なのでお世話になります！✨

[@mnr_4391]

美しすぎーー

[@uiuiuiui8183]

難しかった～ 因数分解する前に偶奇を判断するのが重要ですね

[@mild_kenny]

おはようございます。がんばります。

[@user-gi7kf9nu4t]

全部見てみたけどほぼわからなかったけどわかりたいと強く思ったので、パスラボの整数全パターンの方へ行きたいと思います。

[@user-zk9co3bp2b]

このシリーズでは視聴者さんが作られた問題とかも解説されるんですか？

[@user-yr5in2yp2l]

存在しないことを証明系の整数問題もやってほしい！！

[@user-mv1pq2ln6i]

通過領域やってほしい！

[@user-ej1np1jy7c]

待ってたぜ

[@cottomizuki]

目標は毎日見ることです👀

[@user-vs6db2be1k]

これ作った人すごいな

[@AD-tg6vu]

一ヶ月経って解き直してみて、（i）は出せました！、、、が、（ii）は完全に抜けていたので、復習したいと思います(/_;)

[@user-ei9si7px5f]

最小値が0以上を示す時にあぁ平方完成かと思ったけど計算だるすぎ

[@user-gk4lo5fv9d]

おはようございます 珍しく今日は早く起きれました(*´ω｀)

[@user-qe4yo4vm2h]

いいねー

[@user-uw7cl2sv9o]

a

[@user-sq2tm1nu8c]

スーツ似合いますね！

[@user-pb7re5bs8x]

むずすぎる

[@gontatama4975]

現高２です。こういう問題が来年スラスラ解けるように、ここを第２の塾と思ってやってみます！

[@himo3485]

a=p, b=p a=b=p

[@bee9011]

発想の転換がむずい でも、数学って楽しい

[@user-ft7qt5sy5u]

まあa^3 + b^3 = 2p^3 でなってたら、a=b=pはすぐ出てくるんじゃない？ ただ他にないかの証明は出来てないので、結局解くことになるかな〜

[@yamishinji1815]

三角不等式っぽい？

[@ult_saza]

きもちいい