【必見】感動間違いなしの解法！【上智大】

[@study_math]

やっぱりこの手の問題って、数学というよりパズルなのよねぇ。 解法の選択が論理的では無く直感的。 こんな感じで考えました。 7³⁵6400*16000000*343*10¹⁶>343*10²⁷>3*10²⁹ で30桁 240016000000 など使用。

[@smbspoon-me-baby]

ある程度パターンはありますが、数理パズルですよね。しかたない。

[@okim8807]

動画の手順よりも、この解法の方が硬くて好き。バランスを崩す瞬間が無くて地に足が付いてる感じ。

[@ch.5714]

(k-1)/k < log 7 < k/(k+1) という誘導は、驚きました。 一瞬、犯用の解法と勘違いしてしまいましたが、7^35　の時にうまくいく特殊は方法ですね。　6^35 や 7^37、8^41 等では失敗してしまいます。 35乗程度なら、ワザを使わないで、2桁程度で計算して挟み撃ちにしても５分程度で解けます。 7^3=373 7^4=2401 5.7*10^6

[@okim8807]

なるほど。 大小関係を維持しながら（一方的切り上げ・一方的切り捨てによって）10進２桁維持してガンガン計算してしまうのか。 いや、良く見ると 3.4^2 = 11.56 < 11 としている箇所があったりして修正が必要だけど、 3.4 と 3.8 で抑えられてるから、もう少し広くなってもだいぶ余裕がありそう👍。

[@REDHOMREDHOM]

パワープレーっぽく 上から　7^35=49^17×7(1000/3)^11×48 =10^33×16/3^10=10^33×16/243^2 >10^33×16/250^2=10^27×256(30桁)

[@user-hj8if9sk3e]

マスラボ誘導なし桁数好きやよね

[@user-mq5wr3hz7w]

宮崎県？

[@ppplite]

考え方とか大事よね

[@lazy_takasho4948]

おもろいかも知んないけど類題やったことあっ上で7^6とか7するなんて思いつかないってゴミすぎるこの問題発狂した

[@user-kq9df9er5e]

ちょうど7^35の値を覚えていたので解けました！よかったです！

[@smbspoon-me-baby]

チート過ぎて草

[@user-hx5ix8fc1j]

猛者過ぎるwww

[@user-ry1my9ww4u]

バケモンいたわ

[@user-kj8nb4zu4p]

ラマヌジャン湧いてて草

[@user-sp3mc4ee2n]

こえーww

[@2チャント]

これたまたまlog7特定しようとして、k-1/kとk/k+1におさまるkが存在できたからいいけど、存在しないと全く使い物にならないよね。誘導なかったの？💦

[@shom.8128]

これ本番で解けたら気持ち良すぎて、、、

[@yytt9892]

おまけの問題です 1.001を1000乗した時の桁数と上一桁求めてください。(一桁目がわかる人は二桁目も分かりますね) パズル的な問題です。

[@LoveTonsure]

コンピュータに打ち込んでみました。 当方、ジョン・ネイピアやヨスト・ビュルギが対数を発明したときの定義式を実際に数値計算したことがあるので（ちなみにビュルギは1.0001ⁿ、ネイピアは0.9999999ⁿという式を使っています）予想はつきましたが、やはり対数といえばこの値。まさに神秘です。 (訂正)1.0001ⁿを使った対数の発明者を間違えていました。訂正してあります。

[@mrshigno]

心が晴れる解法です！ y=x^1/xの頭がありすぎて…。

[@algeot5132]

マクローリン展開から得られるlogの評価式を最も粗く使っているだけですね. 大学数学に興味をもっていただくという意味では面白いですが, logの近似値は手計算で求められるという趣旨の主張は一般性に欠けています.

[@kiss_off]

計算間違いと、下からの評価で勘違いがありましたのでやり直しました。 10/7>√2 だから (10^35)/(7^35)>(√2)^35 これから 7^35

[@LoveTonsure]

古い投稿のほうにリプライつけてしましましたが、改めてこちらで。 下からのほうは √5×10³ < 7⁴ が使えますね。8乗して 5⁴×10²⁴ < 7³² で、左辺は 6.25×10²⁶です。両辺に 7³=343 をかけると 2.14×10²⁹ を得ます。 7⁵=16807 を使うなら、16000=2⁴×10³ < 7⁵ の両辺を7乗すると 2²⁸×10²¹ < 7³⁵ が得られて、そこで 2²⁰ > 10⁶ （∵2¹⁰=1024）と 2⁸=256 を使うと 2.56×10²⁹ まで絞り込めます。

[@mark-jm5zo]

7^7 = 823543 (地道に計算しました)より 7^7 < 10^6 両辺を5乗して 7^35 < 10^30 次に、10^29 < 7^35　を示せばよい。 この不等式を 10^30/10 < 823543^5　と変形し両辺の5乗根を取ると 10^6/10^(1/5) < 823543 1.5 < 10^(1/5)

[@user-ud4jv9ej1i]

35 log 7 < n < 35 log 7 + 1 n は自然数なので 35 log 7 + 1 の前の不等号に = を含んでいるのはおかしい。また、n の値を求めるにあたり左側の 35 log 7 には 175/6(約、29.17)を、右側の 35 log 7 には 30を代入すれば、29.17 < n < 31 となり、n は自然数なので n = 30 が答えとなる。

[@m.s.9023]

ウン十年前の受験生ですが、 こんなのが本番ででたらおそらく、2400

[@user-tu3iz9vc2h]

2^14

[@Gomadare765]

ちょうど今無人島で7^35の桁数を求めなきゃいけないところだったので助かりました！ありがとうございます😭

[@satoshiishibashi7464]

零ですか？！

[@smbspoon-me-baby]

ナグモの軍艦島とかかな？

[@junya05]

なんか個人的にBGMがないほうがいいと思いました

[@vjk375]

なんか合わないですね

[@piyori574]

log10 7あたりまでは覚えておいた方がいいかも。

[@user-ng4wi1tt3j]

logの性質と底数が１０であって計算しやすいということを用いるのですね。 初めて解く問題でも思いついてみたいです

[@Mrdango-sq6lh]

計算でゴリ押す人の解法 7^6=112749より、 10^5

[@user-sf1fl5xe2o]

これ本当に面白い！

[@take-zc3ud]

上智大学レベル高い！面白い解法ありがとうごさいます。

[@user-vd1ih9pc3d]

7^4=2401

[@bake3209]

これはゴリ押しでもしゃーない。 7^2、7^4、7^8、7^16、7^32をゴリっと計算して、最後に7^3を掛ける。 途中で有効数字3桁くらいにして不等式で挟んで計算ラクにするのもありかも。

[@LoveTonsure]

ゴリってみました。 7²=49 7⁴=2401 から 2.40×10³ < 7⁴ < 2.50×10³ を得る。 辺々二乗して 5.26×10⁶ < 7⁸ < 6.25×10⁶ を得る。 辺々二乗して 5.26²×10¹² < 7¹⁶ < 6.25²×10¹²。左辺は頑張って計算して27.6676、思い切って2桁に丸めて27。右辺の6.25²は(6¼)²とするのが簡便で、6²+2・6・¼+(¼)²、これを40に切り上げる。都合、2.7×10¹³ < 7¹⁶ < 4.0×10¹³ となる。 辺々二乗して、7.29×10²⁶ < 7³² < 1.60×10²⁷ となる。 最後に7³を掛けて2.50047×10²⁹ < 7³⁵ < 5.488×10²⁹ でFINISH! …実際にやってみましたけど、10の冪乗の数字を何度も間違えました。最初に対数を使ってゴールの見通しを立てておかないとダメですね。

[@user-wj5yo9xx4l]

「log₂3の値の小数第1位を求めよ」なんて問題もありました 近似を求める場合は，不等式評価で良いと思う 問題はその不等式をどう設定するか･･･

[@smbspoon-me-baby]

7の4乗がほとんど2400(実際は2401)だということを知っていると、この問題高々35乗しかしてないから、桁数ぐらい分かりそう。 そんなの数学じゃねぇ、と思った方はこのコメントは無視してね。 という訳で上のことを利用した、実際の計算がとても楽な解法例。 7^4＝2401＞2400＝(2^3×3)×10^2 7^6＝117649＜120000＝(2^2×3)×10^4 これでほぼ終わりです。 (2^3×3)^9×10^18＜7^36＜(2^2×3)^6×10^24 ∴(2^27×3^9)/7×10^18＜7^35＜(2^12×3^6)/7×10^24 ここで、7×10^2＜3^6＝729、2^6＜10×7に注意して 2^27×3^3×10^20＜7^35＜2^6×3^6×10^25 また、著名な1024＝2^10＞10^3により (10^0.1×2.7)×10^29＜7^35＜6^6×10^25＝(2.16)^2×10^29 明らかに、1＜10^0.1×2.7＜10、1＜(2.16)^2＜10より、上の式は7^35が30桁の自然数であることを示している。■ 一応この方針で解説動画をうちでも作りましたが、なんか後半グダグダなんでオススメできないですね。

[@sirunasitantan8115]

そういう力技なら6乗が桁上がりにくい事に注目して ①1.6×10^4

[@kg6156]

電卓問題でしたね。電気電子？

[@trade_math]

7^6の値が出た段階まではともかく、7^7の評価はある程度正確に行わないといけないような気がします。 例えば筆算を書いて1/7=0.142857142857…なので、142857×7=999999

[@jichunsun2822]

さらに厳しくなる挑戦状 数式一切禁止で解こう！！！！！！！

[@TO-lu3ns]

7^7=823543より8*(10^5)

[@chai8494]

7^7が10^6より少し小さい（7^7=823543）ことを利用する。 0.8*10^6 < 7^7 < 10^6 辺々5乗して、 0.32768*10^30 < 7^35 < 10^30 よって30桁

[@shiroutoda0808]

もしかしてこの問題、p^m (pとmは自然数) に対して m(k-1)/k < log10(p^m) < mk/(k+1) を考えるところで、左側 (m(k-1)/k) か右側 (mk/(k+1)) のどちらかが自然数になっていて、そしてこれらの差の絶対値が1未満じゃないと使えない、んでしょうか。

[@user-bk4bp2qc2x]

普通にすごい

[@user-ht1ve7lh3q]

(k-1)/k

[@abcdcho]

天才やん

[@HTom-nq2kw]

10^3

[@shikorutv]

7の100乗だと同じようにできませんよね。 この問題においては解けるが、同様の形式でも数値が異なるだけで解けなくなることをきちんと伝えるべきです

[@ppppttttt]

一年前のさわさわいておもろい

[@kjsaka]

7^35 = (7^6)^6/7 = 117649^6/7 > (10^5)^6/10 = 10^29 。 7^35 = (7^7)^5 = 823543^5 < (10^6)^5 = 10^30 。 7^35 は 30 桁。 7^6 や 7^7 の値を実際に求めてみないことには、7^6 や 7^7 を使った近似値に 近い数であることがわからないから、7のべき乗計算のせいで時間を費やしますね。

[@nayutaito9421]

この手の問題は普段脳死でlog2を使ってるけど動画の解き方が完全上位互換だった

[@user-dk3qv4zi9e]

(2+5)^35にして二項定理→35Cnのnが18付近の数の項を計算して解く (2•5=10を何個作れるかに着目) しようと思ったけど、だるそうだったからやめた ひょっとしたら評価次第では楽に出せるのかな

[@okim8807]

(10-1)^n やら (1000+1)^n やらの形以外では厳しすぎると思う。 その (10-1)^n も計算量が多すぎるのと収束が遅いので非実用的と思った。しかも単調増加・単調減少でないから挟み撃ちでの評価もやっかい。 いわんや(5+2)^35においては。

[@user-rs2um4uh5q]

この問題は分数とか使わないで解けるよね 5分くらいで解けました

[@user-yc5kd3cg3n]

解法教えてくれ

[@user-rs2um4uh5q]

@@user-yc5kd3cg3n この上のコメントが解法だったのですが、、、もう少し丁寧に説明したらいいですか？？ 7^7までは筆算で求めます 10^xと比べてみると上のコメントの三式が出せます 上からその式を①②③とすると ①×②^5より10^29＜7^35 ③^5より 7^35＜10^30となり あとはlog10を使って終わりです。 まだ雑かもしれないので全然質問してください

[@user-yv7ql5qi2t]

久しぶりに、KZbinを開いたときの画面にパスラボさんが出てきて視聴しましたが、内容もミスのところもおもしろかったです！笑 数学なつかしい✨

[@V-NoNNo2018]

体育会系ならこれは筆算で出します

[@tetsuyainada8013]

log_10_7の不等式での評価　勉強になります

[@user-lz3oo1us7m]

最後すこ

[@mathmouse3797]

7^7=2401×343=823543 なので 8×10^5

[@okim8807]

４行目、７の冪数が。

[@user-cd5uu5ye3h]

７乗まで実験でやれば出てきた。 分数の不等式評価は勉強になります!

[@kutsu_]

7^2 = 49 = 98/2 〜 10^2 /2 を使うかと思ったらチガった(^^;

[@TInf-di2pp]

一般的なlogの評価方法を改悪しただけでは？ (k-1)/kとかk/(k+1)とかおく意味がわからん

[@user-pn2qq2sq3n]

面白いけど、絶対解けないよ～…

[@mr.j3766]

最後の答え、n＝30でないのはなぜですか？

[@user-zm5nf7zr8y]

最後に訂正あり

[@user-ht1ve7lh3q]

n

[@mr.j3766]

@@user-zm5nf7zr8y ありがとうございました！最後まで見てなかったです💦

[@mr.j3766]

@@user-ht1ve7lh3q ？？？？

[@user-ht1ve7lh3q]

すみません。勘違いしてました。

[@user-fz4ud1jv1j]

これ本番で出たらゴリ押しするだろうなあ。３５＝５×７だから、７＾５≒１.６８×１０＾４まで直接出して、 ７＾５＾７≒１．６８＾７×１０＾２８、１．６８の７乗はまあ２桁だろうってのを前後の１．６とか１．７の累乗で出して終わり。 正直７＾６が１．２×１０＾５にできるから指数が６の倍数だともっと楽だったのに。流石にそこは対策されてるってことかな。 ３５＝６×５＋５にして、１．２＾５×１．６８じゃ２桁にならんやろうってのもありかも？

[@YY-nf3ys]

知ってたら解けるという問題は人を育てないんだよなぁ

[@kiss_off]

このようにしてみました。 10/7>√2 だから (10^35)/(7^35)>(√2)^35 これから 7^35(10^2)/2 だから (10^34)/(2^17)

[@user-fi2vg4hq8h]

10^29なら30桁です 解き方面白いですね！

[@kiss_off]

@@user-fi2vg4hq8h さん ご指摘ありがとうございます。 うっかりしていました。 訂正しておきます。

[@smbspoon-me-baby]

こういう系の問題を手計算で、それも王道ではない独自解法を試しつつ解けた経験は、後に必ず生きますよ。

[@kiss_off]

@@smbspoon-me-baby さん ありがとうございます。励みになります。

[@LoveTonsure]

√2がありましたか。10/7だけでなく、7/5にも√2が使えますね。 でもコンピュータで実際に7³⁵を計算してみると 3.78818692265665×10²⁹ と出ています。何かおかしいな…そもそも指数関数なのに上界と下界の差が1%しかないというのは虫が良すぎるし…と思ってトレースしてみました。 まず上界のほう、7³⁵ < 10³⁵/(√2×2¹⁷) の右辺は2.69×10²⁹ではなく5.395×10²⁹です。（ちなみに私は 7⁵ < 18×10³ から概算概算を繰り返して 7³⁵ < 6.500×10²⁹ と出しましたので、√2を使う方が確度の高い絞り込みになっています。） 下界のほうは、そもそも 7²=49 > 10²/2 という出発点が間違っていますよ！ここは√5×10³ < 7⁴ を使うと高精度な絞り込みができるかもしれません。 (訂正) 7³/200 = 1.715 と √3 を比較する方法では無理でした。文面差替済。 (追記) 上界のほうは 7⁵ < √3×10⁴ を使うと 4.677×10²⁹ が出てきます。

[@user-dl8nk5bf8v]

おはようございます。今日もおもしろい問題ですね。 一度答えを見てしまうとそれに向けた証明になってしまうのがつらいところ。 下記は初見ではなく 30 桁と予想したうえでの別解です。 7^5 = 16807 7^7 = 823543 を計算してどこかにメモしておきます。 別解： 7^7 = 823543 < 10^6 これより 7^35 < 10^30 。 7^35 = 823543^5 > ( 8・10^5 )^5 = 8^5・10^25 > 7^5・10^25 = 16807・10^25 > 1.6・10^29 これより 1.6・10^29 < 7^35 。 1.6・10^29 < 7^35 < 10^30 なので 30 桁。 (解答終わり) 7^35 の実際の数値は有効桁数 3 桁で 3.78・10^29 ぐらいの値です。

[@user-dl8nk5bf8v]

上からの評価はざっくりと 7^7 = 7・49^3 < 7・50^3 = 7・125・10^3 < 10^6 でもいけます。下からの評価も 7^7 = 7・( 50 - 1 )^3 = 7・( 50^3 - 3・50^2 + 3・50 - 1 ) > 7・( 125000 - 7500 ) = 7・117500 = 822500 > 8・10^5 7^35 > 8^5・10^25 = 2^15・10^25 = 32・2^10・10^25 > 32・10^3・10^25 = 3.2・10^29 としてもよい。7^7 > 8・10^5 を暗算で示す簡単な方法はないものか。

[@smbspoon-me-baby]

私は7^4＞2400、7^6＜120000を利用しました。この手の問題は底から2、3、5、10以外の数字を無くせば、大抵はなんとかなります。(ヒューリスティックです)

[@DragonTypePokemonsNo1]

本当は社会人ですが、数学は好きなのでこの動画を楽しく拝見してます。 いずれもTwitterで見つけた問題です。 ○次の方程式を求めよ。(x、y、zは整数解) ※^2は2乗 x^2-y-z=-6 2y^2-3z-4x=-11 z^2-2x-5x=13 与式を整理したものを、適当に当てはめたら偶然答えが求められたのですが、本来の解き方ではないと思うので、正しい解き方が知りたいです。 ○a

[@user-iq1hp4kf3u]

うざ

[@smbspoon-me-baby]

簡単ではないな。

[@DragonTypePokemonsNo1]

訂正 最初の整数解を求める問題 x^2-y-z=-6 2y^2-3z-4x=-11 z^2-2x-5y=13

[@DragonTypePokemonsNo1]

@@tcube8128 ミスでしたｗ報告ありがとうございます！

[@shaphere939]

久々の人間アピール

[@user-sp3mc4ee2n]

これ上智生解けるの……？捨て問かと思った笑 私のレベルがまだ低いのだな、

[@user-yc5kd3cg3n]

解けなくても受かってる人多いらしいよ

[@maxrichter4231]

マジでEDMが邪魔だから除いて欲しい。

[@johnta1010]

さすがにlog7を分数で挟み込むこの解法にはたどり着けないという方 こんな別解はどうでしょうか 引き出しは多いほうがいいもんね 7^4=49^22400 の2つで 上下を挟んで (2400^9)/710^2） 　>2811*10^26>10^29 (3^9)/7>2811はあきらめて筆算しましたが、7^7より簡単かも

[@user-oi4tr5mi3t]

7^35=378818692265664781682717625943 なので30桁ですね！(ゴリ押し)

[@donburi_13]

これ今年受けて分かんなかったけど受かってた

[@smbspoon-me-baby]

めちゃ噛み砕くとこの動画、こうなります。 7のk乗と7の(k+1)乗の10進法での桁数に変化がないkを求める。 何故それが必要なのかは動画をご覧ください。

[@lengo6981]

7の7乗✕7の5乗。

[@user-ol2tb6dk1q]

この問題が面白いと感じた方、鈴木貫太郎先生も同じような問題を多く紹介されています。ぜひ見てみてください

[@mathseeker2718]

答えは強引に出せますが、この解法は思いつきませんね。log2=0.3010とlog3=0.4771を覚えていて強引に解きました。

[@user-oi4tr5mi3t]

記述だとバツになりますね

[@mathseeker2718]

そうですね。 log10の7を分数で評価する方法を学びました。もう大丈夫です。

[@bindbutterfly]

さわいわしなないはしごひとつで log2=0.3010 log3=0.4771 log7=0.8451 を覚えてたので楽勝でした

[@bindbutterfly]

log4=2log2 log5=log10/2=1-log2 log6=log2+log3 log8=3log2 log9=2log3 と暗算で出せるようになるので便利ですよ

[@user-su8ir3mn1e]

与えられてないから使えないんだけどね

[@LoveTonsure]

工学脳のワタクシならこう解きますかね。 まず、挟み撃ちの範囲を決めるために、対数を使って概算してみます。lg(7) = 0.8451 を覚えていれば楽勝ですが、覚えていなくても lg(6) < lg(7) < lg(8) なので、lg(2) = 0.3010 と lg(3) = 0.4771 から 0.778 < lg(7) < 0.903 として、ちょうど中間の0.8405が割といい近似になっています。（実際、lg(x) = ln(x)/ln(10) を x で微分すると (d/dx) lg(x) = 1 /(2.3x) となって、x=7 での微分係数はわずか0.06です。つまり x=7 近傍の lg(x) は直線で近似できます。）で、0.84×35 = 29.4 ですから、たぶん7³⁵ ≒ 3×10²⁹だろうなと。最初にここまで目星をつけておきます。 ここから本題。7⁵=16807は計算済みなので、与式を(7⁵)⁷とおいて、16×10³ < 7⁵ < 2×10⁴ から出発したくなります。先に結論からいうと、左側はこれでOK、右側はこれでは不十分です。 辺々7乗して、第一辺は16⁷×10²¹=2²⁸×10²¹です。私の場合、2²⁰=1048576と2⁸=256は正確に暗記しているので（ただ、前者を仮に覚えていなくても 「2¹⁰は10³よりわずかに大きい⇒2²⁰は10⁶よりやや大きい」とか、もっと一般に「ε≒0のとき(1+ε)ⁿ≒1+nε」とかが即座に出てきてほしいところ）、これを全部掛けて、3億弱×10²¹≒3×10²⁹。厳密に書きたければ「2.56×10²⁹よりは大きい」で十分です。これで第一段階終了。 一方、第3辺は 2⁷×10²⁸ = 1.28×10³⁰ なので、もっと絞り込む必要があります。とはいっても上振れはわずか0.28なので、あともう一歩。改めて 7⁵ < 18×10³ と置いて辺々7乗し、7³⁵ < 2⁷×3¹⁴×10²¹ を得ます。2⁷=128です。3¹⁴は (3⁴×3³)² = (81×27)² = 2187² までで計算を止めます。両者をかけると概算で5億後半から6億台、最終的にそれに10²¹をかけて結局 6×10²⁹ 前後、と見積もります。厳密性を担保しつつラクに計算したければ、128

[@benjaminabarok_]

log7なら 5/6≒0.833

[@yuzumikan.]

こういう問題でよく思うのですが、 たとえば予め覚えているlog2やlog3などの値を用いて解答をつくるのは認められないのでしょうか？ また覚えていなくても対数を計算するアルゴリズムでおおよその近似値を求める方法はどうなのでしょうか

[@okim8807]

東大で「π>3.05を示せ」という問題が出たらしいけれど、3.14 > 3.05 って解答だと０点だと思う。 この手の問題も同様で、ln2 や ln3 を無言で持ち出したら0点か大減点では。 対数を算出する高度なアルゴリズムに関しては、証明というか導出する部分の論述が必要だと思う。 ↑これは、例えば「開平法を使って平方根を求めるのは受験で許されるかどうか」と似た話なので微妙と言えば微妙なラインと思う。が、何も言わずに使ったらやはり良くて減点対象、悪ければ０点、「そのアルゴリズムを知ってる」事を採点基準を作る先生が評価してくれれば満額、と予想し辛い面も。 対数を算出する古典的な計算方法なら、単に計算して示せば良いかと。この導出を書かずに突然使ったら0点かそれとも大減点か。 2^10 = 1024 > 1000 ln(2^10) > ln(1000) 10*ln2 > 3 ln2 > 0.3 2^13 = 8192 < 10000 ln(2^13) < ln(10000) 13*ln2 < 4 ln2 < 0.3076