有趣的汉诺塔游戏怎么玩？把大象放冰箱里一共分几步？

有一个风靡全球的玩具：汉诺塔。相传在佛教圣地的寺庙里，有一个黄铜台，上面有三根宝石柱，一根柱子上有大小不同的64片金片。一个僧侣在不停的移动金片，但是必须把小片放在大片上面。当所有金片都移动到另一根柱子上时，世界就会灭了。这个玩具在网上随便都可以买到，他蕴涵了一种重要的思想：递归。要移动64片，先要学会移动63片，要移动63片，先要学会移动62片…你会发现，每次移动时我们都把一个复杂的问题就可以被我们分解为了三个简单一点的问题，只要我们解决了这三个问题，复杂问题也就解决了。正如赵本山在小品中说的：把大象放进冰箱里一共分三步：打开冰箱门，把大象塞进去，把冰箱门关上。
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[@zhibingtan6571]

用10分钟的时间把递归这事儿讲得如此明白、通俗易懂，这就是李永乐老师的独门绝技！高手！

[@rchou17]

他只用五分鐘就講完了，我將影片速度調快一倍。

[@ericzhang1257]

编程问题中的汉诺塔，最重要的就是理解这个 F(n) = F(n-1) + 1 + F(n-1)，编写出一个符合题意的 F(n) 了，李老师是真的厉害

[@timminn]

其实汉诺塔问题有一种非常简单的非递归解法。由两个美国数学家提出的。

[@xuanyexu5683]

真的，编程没懂的递归问题在这里一下子就看懂了

[@rchou17]

不是有公式2^n+1了，何須編程呢？

[@Chris-jy2qe]

@@rchou17 編程可以列出每步驟要移動哪片，從哪移動到哪，更核心的思想是為了培養及教學學生的遞歸思維

[@jincat3057]

好了递归讲完了，下节课我们讲动规：动态规划问题怎么求解；

[@user-rd1ot6er2u]

youtube上有两位神秘人物：敖厂长的哥们儿和李老师的小朋友。

[@nulmonas9951]

还有王刚大厨的摊主

[@doli99sjyiao73]

老师第二步推第三步有个重要的点就是：只要最大的片n 已经在C柱(最下面)了，就可以将n问题转化成 n-1 问题了

[@rayz296]

狗狗说 太难了

[@zooofffy]

我刚想说“难！”。。。

[@xiaoxiaomeiyuyejiangnan]

哈哈，不准如此对号入座哦

[@bovincen2787]

UP主觉得很赞，排面呀🙄🙄

[@zooofffy]

@@bovincen2787 B站来的

[@user-gx5rx2fv2c]

unsigned long long int get(unsigned long long int count){ if(count < 1) return 0; else if(count == 1) return 1; else return get(count - 1) * 2 + 1; }

[@a373100599]

我是来看柯基的

[@linyfon525]

身为程序员的我，非常喜欢看讲这类的数学问题。

[@grabbit4653]

又到了我们最喜欢的recursion时间了, 第一次上课时头懵懵的,现在觉得好好用

[@user-pd3jq3bn2q]

李永乐老师，我才开始想买一个来玩，就可以知道要用多少的时间完成了。 但是你在十分钟的视频里就算出结局了。 这就是知识的力量。。。🤔

[@milosun4468]

天啊，我今年刚开始学计算机，李老师这个递归讲得太好了，感谢

[@artesguardiansofpeaceland263]

老师好，又长知识了，谢谢

[@der_ow712]

第一步 讚好此視頻 第二步 訂閱李永樂老師頻道 第三步 點擊小鈴鐺第一時間獲得更新訊息 就可以令複雜的學習過程變簡單了

[@ishidayuugao]

不要欺騙自己！你這三個步驟裡沒有一條是觀看李老師的視頻！XD

[@amoschen8302]

Der_OW 为李老师把通知打开了

[@user-yw6hy6fi9t]

李老师的视频 都是干货！

[@user-nh3uy4ey8n]

老师不愧为教育家，教给学生的东西真是多，懂得领域也很多！

[@Lukas-yyds]

看了老师的视频让我对数学产生了更大的兴趣，请问老师能讲讲魔方里的数学吗😊

[@603mal]

是电子词典里的游戏呀，这次的小朋友是货真价实的

[@weiwei1521]

谢谢李永乐老师分享。我儿子说你讲的很好

[@ccg4809]

从老师这里学 这些知识真的觉得很有趣诶

[@fashionalhero]

覺得這影片重點是可愛柯基的按個讚吧！❤️❤️❤️

[@rockynash4156]

看李永樂老師的片 真感覺智慧越來越高了

[@user-qj7sb8rp9s]

每次听到李老师说“有一个小朋友”就觉得好好玩😂

[@jerryzeng9248]

老师好，汉诺塔，递归，学习了。

[@tianzetang4205]

讲的太棒了,点赞!

[@alisonzhang2131]

Recursion, function 从外面叫自己。大学计算机老师讲recursion那节，课后习题就是这个。没几个能自己做出来的。大四学LISP语言，全是recursion.

[@joyqu8972]

老师能抽一节课介绍一些弦理论的知识吗😊

[@jeffreylin235]

根据老师提到的递归F(n) = 2F(n-1) +1 来证明：F(n) = 2^n -1 用数学归纳法 （1） 当n = 1 时，F(1) = 2^1 -1 =1。确实当n=1时只要一步就可以完成。所以当n=1时，成立。 （2） 假设当n=k时，F(k) = 2^k -1 成立。 那么， F(k+1) = 2F(k) +1 = 2*(2^k - 1) +1 =2^(k+1) - 1 所以，在任意自然数范围内，都存在F(n) = 2^n -1 Q.E.D

[@kofua3830]

计算机专业算法课必讲

[@fanyang7487]

李老师是想用数学告诉我们，不用担心宇宙毁灭，还是看柯基比较重要。

[@cats5185]

李老师 您太厉害了 给我感觉 没有您不知道的知识啊

[@treeyuan348]

李老師，太喜歡你的視頻了

[@Albert-lp8ql]

狗狗听得好认真，我觉得它听懂了

[@user-tq2rb5dq8p]

老师可以有空讲讲二叉树以及二叉树的应用场景

[@user-on4hv7hf1p]

李老师我在相互保险给您留言，怕您看不到旧的，如下：通胀率，赔付的风险是否要考虑？40年中大家保费怎样保管来抵御通胀，怎样避免投资风险，怎样养活管理人员并防止贪污？这就是部分财产公有制。如果做得到，公有制也就做得到，理论上看病都应该免费了，哪里还需要保险，公有制做不到杜绝贪官，保险业能做到？得到理赔的风险是否很大？李老师怎么看，谢谢🙏😄

[@leonlee9839]

李永乐老师您好！很喜欢您的节目，最近看到网上有个鲁珀特之泪的介绍，说比钻石还坚硬是真的吗？可不可以讲一下，谢谢！

[@jeff18715]

小時候只知道每多一層，一開始第一個的位置就不一樣 直到今天老師講解後終於懂了

[@lesliejiang]

今天李老师的答案真的惊到我了

[@squirrelzhou3657]

这期终于能看懂题目了！

[@tomzid8384]

讲的太好了

[@user-ky2rg6kw6s]

下次秀师娘！

[@mdodzy]

旧手机上玩过这游戏，很久之前就发现这规律了，最终还是回归到1，2个那步，走对第一步就行了。👍

[@bobsky207]

李老师想问你切伦科夫辐射

[@BraveseedLab]

李老師，力透板背嘎嘣脆 😂

[@kevinleeinaustralia3248]

从视频下面好多用着不同科技术语的评论中就能看出李永乐老师港台的粉丝一定很多

[@Tomoyo_Sayomura]

狗狗超可爱！

[@kaiguo8512]

李老师认识好多不同的小朋友，总能问出各种各样的问题。

[@zeff2043]

柯基：其实我就是那个小朋友

[@atlantic_31]

.........這樣容易令人誤會

[@zeff2043]

Atlantic Music ？開個玩笑不可以嗎

[@user-tx5hq3we2d]

简单的递归小程序 ， 看的时候都懂 ， 不看的时候都写不出来 ，每次都是 。

[@marcozini8915]

對於河內塔，我提出了一個簡單而易記的解決方案。 規則如下： -以兩種不同的方式將最小的磁盤順時針圓形移動： ˗ 對於偶數光盤（2、4、6、8…）：a-> b-> c-> a->… ˗ 用於奇數編號的光盤（1、3、5、7、9 ...）：a-> c-> b-> a ... -將大圓盤中的兩個較小的圓盤向左移動，這是唯一可行的操作， -在下一步中，再次以圓形方式移動較小的磁盤，如上所示 -在下一步中，以唯一的方式移動光盤... 依此類推，直到從初始放樣“ a”到最終目標放樣“ c”的所有磁盤都被拿走。 我希望我已經清楚了，謝謝您的關注和享受。

[@t1673lai]

老師講得很精簡直達重點

[@user-yg6ql7gw5t]

李老师李老师，我是小朋友～ 今天在坐电梯的时候对电梯的控制系统产生了兴趣，李老师能不能讲一讲？

[@isaonng6588]

李老師，請問羽絨衣是怎樣保暖?另外皮草是應該毛在外面還是毛要穿在𥚃面來保暖?有沒有動物性以外的保暖衣能替代羽絨衣和皮草?

[@user-od2cb9wt5x]

李老師已經有點用到離散數學的概念來解釋了哈哈

[@baba_baba]

小狗真可愛！

[@user-skyisland]

李老師您好，可否講解瓦楞紙為何這麼堅固耐用？一塊貓抓板究竟又能承受多少重量呢？謝謝您。

[@lunacai3996]

李老师你一写黑板我就有阴影，我总觉得回到回去上学的日子。好苦啊！

[@raindrophoh]

你讀哪間學校上課覺得痛苦 = =

[@adbyte]

终于讲计算机了。

[@qfz3711758]

期待你讲讲高数

[@adyyan2779]

李老师，有个问题需要咨询您，冬天拿测电笔手掌接笔尾的金属体笔头的金属体放到水里，测电笔会有显示电压。偶尔有12V是什么原因

[@jotaro4518]

看老師影片動動腦，癡呆不會找

[@user-rq3ez3vn9t]

想起了我第一学期学python的时候，老师讲递归也是用汉诺塔为例讲的

[@shilinyou6632]

我是高中学Java的时候讲科赫雪花和汉诺塔😆

[@yqx8103]

游士林 你们在哪上的学？高中就学python java

[@issaczhang284]

@@yqx8103 浙江新高考要学

[@wei-td5wb]

我是用費氏數列

[@phonak888]

其實和那一個拿一個國際象棋棋盤, 在第一格放1粒米, 第二格放2粒米, 第三格放4粒米, 第四格放8粒米.........一直到64格為止, 結果沒有人可以放滿就破產了

[@qiwu4899]

李永乐老师，我想问下不花钱可以做科学研究吗

[@chuhengkreutzer3800]

老师终于开始教数据结构和算法了嘛

[@leekuan2007]

recursion

[@iLoveOppaiOppai]

老师，有没有兴趣讲一下魔方复原公式怎么推导出来的阿？

[@chenrui3492]

最简单的玩法：奇数个盘子，第一个盘子直接移动到目标柱子;若有偶数个盘子第一个盘子移动到辅柱子上，就ok

[@botenjohn1752]

啊啊啊啊！老师你家柯基和我家柯基好像！尤其两眼间的条状白毛

[@tommax531]

李老师，把木柱头用砂纸磨圆，放起片来会很顺畅!👏👏👏👏👏👏👌👌👌👌

[@liangshi3802]

汉诺塔的步数可以直接用2进制数来表示，有几片就写几个1，也就是2的n次幂减一，最后换成10进制就好了

[@chemistryka]

好可愛的狗😍

[@chenchen1957]

李老师，我想知道磁悬浮轮胎是怎么让车子前进的，又是怎么刹车的。

[@altbswing]

哇袁老师讲递归啦 下节课是不是讲一下动态规划

[@Tom-uo9sl]

DFS,BFS，分冶hahah

[@hanacyrus608]

老師不好意思我沒有專心聽課 我的注意力都在狗狗上了🤣

[@xiaojieyang3610]

当年硕士期间的第一课：Difference equation 差分方程。说实在的，要不是同班学过这部分知识的马同学帮忙讲解，我从那时候就可以放弃学业了。

[@xiaojieyang3610]

Difference equation就是解递归式。然而怎么求递归式的特征方程我已经忘记了。

[@arthurwoo2130]

李老师，你用的麦克风是什么麦克风？可以分享吗？在网上没看到这样的。

[@alexyoung6418]

后来僧侣学会了递归的思想，开始在脑子里盘算接下来的步骤，最后……他溢出了。

[@aiqi411]

这个汉诺塔的通用规则 我自己在五年级的时候就悟出来了 还给我妈、给别的小朋友讲过好几遍。。。

[@hs1790ti]

國中數學闖關玩過 玩到最後像在練疊杯

[@user-lr1rk5jw2e]

李老师也开始放福利啦

[@laobinggun]

这就是我为什么上高中的时候数学考试150分的试卷 考了18分的原因 ，全年级倒数第一，而且卷子都写满了，老师说这么多选择题，你就是瞎蒙也不能考这点，但我真的尽力了。

[@super2068]

汉诺塔很简单，首先数总片数是奇数还是偶数，如果是奇数，第一步就把最小片挪到目标柱。如果是偶数片，第一步先把最小片挪到中转柱。之后就是机械重复的体力活了。

[@leealvin6]

计算机专业的可以看看由图灵奖获得者高纳德写的那本《具体数学》，以后对学习《算法导论》非常有益

[@ZhanCaitao]

李老师多讲讲计算机科学的问题吧😁

[@user-wv1ii3mt4l]

他只是高中老师还不是计算机专家大学那一套还教不了

[@gn00345629]

相反 簡單的問題經過堆疊也會變的很可怕

[@dantaliangu9130]

递归的算法其实在计算机上比较低效 尤其是在空间复杂度上 需要大量的内存来储存运行现场

[@kevinyan4717]

低效而且代码易读性差。

[@user-vm5kg1js5v]

初级程序员爱写多层递归

[@misszero92]

太深奥了

[@puffvape299]

老师，您好，最近不知道您看了罗永浩的发布会吗？他的这个抗菌材料真的有用途吗？真的值得消费者花比较大的价钱去买他这个专门的材料制作的产品吗？谢谢！

[@annebell9603]

想问李老师，生活中有哪些问题是采用了递归的思想呢？

[@glenndeng6992]

李永乐老师，能讲下洛必达法则吗

[@jfhe6411]

先赞后看，是对老师最基本的尊重

[@VerseUtopia]

请老师表演 如果在黑板写出多项式递归， 假如有9x9x9个递归函数 ，每个递归会因为其它递归的进度 而改变其它递归的方向和进度，并9个递归函数必须要同步移动。。

[@samlin358]

李永乐老师，我有个问题，既然粉笔经常会断，那为什么不直接生产短的粉笔呢?而且在我小的时候到现在，粉笔一直在断，没人想过去克服它吗？

[@AliceMadness168]

精彩!!!! 長知識了

[@msbelldrum]

虽然站错队，本山大叔的小品永远活在我们心中（此处省略200个字。。。。）

[@user-zz5gq8co8s]

2000年摩托罗拉手机里面有七层汉诺塔，38秒。a要是单数想放到c必须先放到c，双数先放b

[@user-ct7eb1qi8o]

以前玩過九連環，跟這個原理一樣，不過沒想到64個金片要移到C柱居然花費那麼多時間，完全超乎我的想像

[@maxyan1197]

老师好

[@axpokl]

接下来请李永乐老师谈论一下四个柱子的汉诺塔问题。

[@ngualexzhang]

学编程的我，终于感觉李老师讲的并不深奥了

[@lamilami2758]

李老师，能不能解释一下，为什么F(n)=2^n-1？之前递推的时候 F(n)=2F(n-1)+1，怎么推论出F(n)=2^n-1的？