自作問題・良問（自画自賛）

[@石川洋臣]

一日の終わりをラジオ体操で 　一日がかりで実験しました。あらためて合同式の便利さを認識いたしました。どうも、ありがとうございました。 　KZbinで見ながら。

[@nonchinkan1]

合同式の復習になりました。まだ練習不足でした。今日もありがとうございました。

[@KT-tb7xm]

概ね同じでしたが，最後のmod23は 4^7 = 1024 * 16 ≡ 12 * 16 = 192 ≡ 8 なので 与式 ≡ 256 * 8^(n - 1) + 5 * 2^(n + 1) として，n = 2の時 与式 ≡ 3 * 8 + 5 * 8 ≡ 64 ≢ 0 としました。 なかなかの良問だと思います。

[@coscos3060]

ｎｉｃｅ

[@KT-tb7xm]

@@coscos3060 さん 早速ありがとうございます😄

[@mips70831]

同じように n=1 の時、素因数の候補は　3、7，23 あとはフェルマーの小定理と式変形で示しました。 23はなんとなく持たなそう･･･と思いながら。 本日も勉強になりました。ありがとうございました。

[@みふゆもあ]

解けました〜😊 mod21で剰余ゼロだけ示しま〜す。意外と簡単！ 4^(7n-3) + 5^(2n+3) ≡ 4^4 × 4^7(n-1) + 5^2 × 5^2(n-1) ..(1) ここで4^4≡4, 5^5≡17, 4^7≡4, 5^2≡4だから (1) ≡ 4 × 4^(n-1) + 17 × 4^(n-1) ≡ (4 + 17) × 4^(n-1) ≡ 0 あとは省略✌️😘

[@みふゆもあ]

問題作成の裏みたいなもの 自然数の冪乗はある素数を法として剰余は循環しますので、mod7で 4^1≡4, 4^2≡2, 4^3≡1, 4^4≡4, 4^5≡2, 4^6≡1, 4^7≡4, ... 5^1≡5, 5^2≡4, 5^3≡6, 5^4≡2, 5^5≡3, 5^6≡1, 5^7≡5, ... 冪剰余が同じになるものを見つけると、 4^7≡5^2≡4 和が7の倍数になるような冪を見つけると、 4^4≡4, 5^5≡3 だから必ず 4^4 × 4^7L + 5^5 × 7^2m ≡ 0 この4^4と5^5を指数の形で組み込んで文字を統一させたのが問題の数。だけど話はそんなに単純ではなくて、3でも割り切れるような組み合わせで作られている。 …といったところだと思います😊

[@小菅智之]

おお！😮わかりやすい❗️

[@みふゆもあ]

@@小菅智之 さん ありがとうございマース！😘

[@coscos3060]

@@みふゆもあさん あ、coscosです　携帯からでは名前のアイコンでして……😅

[@みふゆもあ]

@@coscos3060 さん わかってますよ〜ん！

[@日常系アニメファン]

改めてフェルマーの小定理は偉大だと思いました

[@coscos3060]

指数の変形を上手くやっていくのがポイントですね

[@hogehoge361]

これって7の倍数であること(他にないこと)も示さないとだめですか？「3を素因数に持つ。以上」で題意に答えたことになってしまわないのでしょうか。

[@vacuumcarexpo]

試験だと、問題文の書き方次第でその辺が問題になるでしょうね。

[@overcapacitywhale]

かりに問題文がこの書き方なら1つ答えればマルです(普通はこのような書き方はされません)。

[@adjustment1414]

どこかの大学が出してきそうな問題

[@kiss_off]

フェルマーの小定理はつかわずに、式変形で示しました。 N(n)=4^(7n-3)+5^(2n+3) とする。 N(1)=3381=3×7×7×23 であるので、N(n) の素因数の候補は 3, 7, 23。 mod3 で見て N(n)≡1^(7n-3)+2^(2n+3) ≡1+8×2^(2n)≡1+8×4^n≡0 mod7で見て N(n)≡{4^7(n-1)}×(4^4)+{(-2)^2(n-1)}×(-2)^5 ≡4×4^(n-1)+3×4^(n-1)≡0 mod23 では N(2)≡((4^3)^2)×16+((5^3)^2)×5 ≡((-5)^3)×(-7)+(10^2)×5 ≡1+17≡18≠0 以上のことから N(n) は必ず 3 と 7 を素因数にもつ。

[@kiss_off]

ｎが２以上のとき、７で２回割り切れない場合があることを示していませんでした。😓

[@mathseeker2718]

23のmodで時間かかりましたが、n=2のときを具体的に調べるのが簡単でしたね。

[@vacuumcarexpo]

ヨシッ❗ ムリゴローなので紙吉。 この手のヤツは、解くより見つけるのが大変❗ 漸化式を使った別解を考えようかとも思ったが、メンドイのでヤメ。

[@HachiKaduki0501]

おはようございます。 ｎ=2 のときの値 4^11+5^7 をなかやまきんに君ばりに、"power！（累乗だけにw）"で求めようとした（勿論、手計算で）んやけど…

[@岸辺緑]

いくつかの素因数 と書いてないから騙された。 3だけなら誰でも解るがそんな簡単な問題なわけがなかった

[@walking_youtuber]

おはようございます!

[@PC三太郎]

"自作問題"とあるのですが、表現の違いこそあれど、実質的には'86年の東工大の入試問題の類題ではないでしょうか。 東工大の問題では求めるべき素数が1つしかないのですが、本問では2つ存在するというと違いがあります。 とはいえ、本質的には解法が変わるわけではない（素数が2つであれば、その素数の積で割り切れることをみればよい。）と思います。 なんとなく既視感があったのですが、その勘は間違っていなかったようです。

[@中村吉郎]

｢作問は　穴が無いかを　チェックす｣　オリジナルな問題の解説に感謝します。 　昔同僚の数学教師が、定期試験で不適切な出題をし混乱しました。 　問題作りは、なかなか難しいようです。

[@yamachanhangyo]

この問題、とりあえずn=1を代入して実験してみるか…と考えて視聴。 結論から言えば、私みたいにものぐさな面倒くさがり屋には向かない問題だったｗ いや、３と7の倍数であることを示すのまではいいとして、23の倍数かどうかまで調べるのが如何にも面倒くさそう。 強いて言うなら、23は奇数であり、素数なので与式が必ずしも23の倍数にならないことを証明できるスマートな方法があるのなら、それを採用したほうがいいのかな？…とは思った。