Задача №255 [НЕДЕТСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ #1]

Канал Юры Маркелова -- / @yuriimarkelov
Интервью "Юра Ищет Призвание" -- • ЮРА ИЩЕТ ПРИЗВАНИЕ
KZbin-канал Ассоциации Победителей Олимпиад -- / @apo_rf
ВК-группа АПО по математике -- olymp_maths
Сообщество "Олимпиадная геометрия":
ВК -- olympgeom
Telegram -- t.me/olympgeom
KZbin -- / olympiadgeometry
Каналы со школьной простой геометрией:
Геометрия с нуля -- / @user-bs6bu1fk9g
Школково -- / @shkolkovo
Решения можно писать в комментарии или на почту [e-mail].
Задачи:
EASY - (Олимпиада им. Шарыгина, заочный тур, 2009. Автор: Владимир Протасов) Дан треугольник ABC. Из вершин B и C опущены перпендикуляры BM и CN на биссектрисы углов C и B соответственно. Докажите, что прямая MN пересекает стороны AC и AB в точках их касания со вписанной окружностью.
MEDIUM - (Санкт-Петербургская математическая олимпиада, 1999. Автор: Фёдор Бахарев). В неравнобедренном треугольнике АВС проведены биссектрисы AA1 и CC1 , кроме того, отмечены середины К и L сторон АВ и ВС соответственно. Точка Р - основание перпендикуляра, опущенного из вершины А на прямую CC1 , а точка Q - основание перпендикуляра, опущенного из вершины С на прямую AA1 . Докажите, что прямые КР и LQ пересекаются на стороне АС.
HARD - (Задача M12165 из журнала American Mathematical Monthly. Авторы: Tran Quang Hung и Nguyen Minh Ha (Вьетнам)) Пусть MNPQ - прямоугольник с центром K, вписанный в треугольник ABC так, что точки N и P лежат на сторонах AB и AC соответственно, в то время как M и Q лежат на BC. Вписанная окружность △BMN касается BM в точке S и BN в F, вписанная окружность △CQP касается CQ в T и CP в E. Пусть L - точка пересечения линий FS и ET. Докажите, что KL делит пополам отрезок ST.
🎯 Поддержать популяризацию математики на Патреоне: / savvateev
Наши ресурсы: alexei_savvateev / aleksey_savvateev / savvatan savvateev.livejournal.com savvateev.xyz t.me/savvateev_xyz

[@user-rb8ux1no6j]

НАКОНЕЦ-ТО !!!! Юрик, с почином тебя!! Досмотрю вечером, а сейчас побежал фигачить весь день по Москве и Подмосковью!!! До встреч в лесах и парках, с кем мой путь пересечётся :-)))

[@drakulacat7231]

Юрий, красавец. Столько людей боятся геометрию и ее не любят на всех уровнях. Надеюсь что все лекции будут максимально популярны!

[@YuriiMarkelov]

Спасибо!!!

[@galua]

Я думал только Савватеев на спидах сидит

[@galua]

@@diogeneslaertius3365 В твоём случае правильно писать "невыкупающий ников душнила" :3

[@user-rb8ux1no6j]

что такое спид? это же заболевание какое-то, или я перепутал?

[@F_A_F123]

@@user-rb8ux1no6j спид (speed) - скорость

[@someoneneverknown1120]

@@user-rb8ux1no6j жаргонное название некоторой группы наркотических средств

[@user-zt9dc1id2c]

Чееел, это так круто, продолжай снимать!!! Интересные факты в геоме это прямо то, что нужно летом для полезного проведения времени, тем более, что они действительно помогают решать задачи(я только посмотерл и сразу решил одну задачу, над которой думал часа 3))) С нетерпением жду продолжения!!!!!!!!!!!!!!!!!

[@user-wb7kn2qd1d]

Я случайно через математика и его группу попала на эту рубрику по геометрии. Мне маме домохозяйке это не надо, но моим детям в будущем это будет очень полезно. В школе мой любимый предмет это геометрия и черчение.наверное поэтому я закончила строительный, в добавок шью что-то и крою....геометрия нужна однозначно в жизни. Один из самых практичных уроков после начальной школы

[@user-ts6dk7no7r]

Шикарно! Нельзя прекращать данную рубрику! Все кристально ясно!

[@user-do5vr5vp3v]

У тебя хорошие ораторские способности для своего возраста

[@user-hk2gx7pc6o]

Да кринжовый немного

[@YuriiMarkelov]

Спасибо!

[@YuriiMarkelov]

@@user-hk2gx7pc6o немного страшно получать такие комменты от человека с таким ником...

[@kollekcionergolov]

@@YuriiMarkelov АХАХА

[@OlympiadGeometry]

Позволю себе немного конструктивной критики. Раз уж видео посвящено одному геометрическому факту, то имеет смысл рассказывать разные его доказательства. Например, не только с помощью счета углов, но и с помощью счета отрезков. Осознание утверждения с разных сторон расширяет возможности его применения. Во-вторых, конечно, полезно было бы сказать, что абсолютно аналогичные утверждения верны для вневписанных окружностей и служат источником даже куда большего количества нетривиальных задач. В-третьих, я рекомендую при подготовке лекции думать, нельзя ли где-то провести счет углов альтернативным, более простым, способом. Мне показалось, что в этом видео счет далеко не везде оптимальный и не везде универсальный (сильно опирается на картинку), думаю, что это для многих усложняет восприятие. Ну и маленькое техническое замечание: в конце видео ссылки появляются не в тот момент, когда о них говорит лектор, а сильно позже, поэтому некоторые фразы выглядят странно. А так, желаю удачи!

[@caftanfire7597]

Отлично получилось! Все четко и понятно (а в геометрии это далеко не у всех получается), продолжай!

[@pythonavr]

Последняя задача - мощнейший катарсис, спасибо большое! Решение не напишу, потому что этот комментарий слишком мал для него)

[@pythonavr]

Хочу ещё!

[@Hello-ts6hk]

Продолжай в том же духе! Очень интересно слушать!

[@user-lm6is7vm1o]

Спасибо , получил удовольствие от лекции :-----)

[@gucker]

Блестяще! Спасибо, буду теперь изучать геометрию :-)

[@anporf]

EASY: M' - точка пересечения KL с биссектрисой угла C(K, l - точки касания), тогда по теореме 255 угол BM'C = 90 => M = M' и с др. стороны аналогично, ЧТД MED: точка P лежит на ср. линии параллельной BC(по теореме 255)=> KP пересекает AC в середине, аналогично для LQ => пересечение LQ и KP - середина AC, которая лежит на AC, ЧТД HARD: проведём прямую параллельную BC через K, пусть эта прямая пересекает FS В Р', QE-Q'. т.к. K - центр прямоугольника, то эта прямая делит NM пополам. Т.к эта прямая параллельна BM и делит NM - на две части, то это ср. линия BNM, тогда точка P' - это точка из теоремы 255 => угол MP'N = 90, аналогично угол PQ'Q = 90. Пусть эта прямая пересекает NM в M1, PQ в M2, тогда KM1 = KM2(половина стороны прямоугольника), т.к эта прямая перпендикулярна NM и делит её пополам, то NP'M - равнобед(P'M1 - медиана, высота), аналогично для PQ'Q. угол NP'M = угол PQ'Q = 90, PQ = NM, P'NM, PQ'Q - равнобед. => P'NM = PQ'Q. Значит P'M1 = Q'M2 => P'K = KQ'. Т.к BC параллельно P'Q' => LST подобен LP'Q' => если LK - медиана в LP'Q', то LK'(K' - пересечение LK и BC) - медиана в LST => SK' = K'T, ЧТД.

[@YuriiMarkelov]

Всё правильно! Вы прошли этот уровень... Жду Вас в комментариях к следующей лекции.

[@user-fz4vf7rn4l]

Мне кажется если Юра будет регулярно снимать ролики с таким же энтузиазмом, то этот проект станет очень успешным. Но хотелось бы видеть по больше домашних задач уровня HARD. Решения: HARD: Проведем биссектрисы MM' и QQ' углов NMB и PQC соответственно, которые пересекают прямые FS и ET в точках M' и Q'.По лемме 255 M' лежит на средней линии параллельной ВМ, аналогично Q' лежит на ср. линии параллельной QC => прямая M'Q' проходит через середины стoрон MN и PQ и параллельна MQ => M'Q' проходит через точку К. Из равенств треугольников MM'N и QQ'P нетрудно увидеть что M'K = KQ'. Так как ST || M'Q', M'K = KQ' => SX = XT, где Х - точка пересечения KL и ST (нетрудно увидеть из подобия)

[@YuriiMarkelov]

Посмотрим, насколько часто получится. Попробую давать больше сложных задач. А решение абсолютно правильное и вроде, из всех в комментах -- самое короткое!

[@lorenzoluciani7458]

Отлично!!!! То что искал, спасибо!

[@user-en7em1qg9r]

Пожалуйста!!!

[@user-ni7dx9ih2j]

На канале будут практические применения теоремы Емельяновых?

[@wizzerinus2034]

8:18 Проще было бы сделать так. Пусть M - середина AC, и N - середина BC. MP - медиана в прямоугольном треугольнике APC, тогда треугольник AMP равнобедренный и угол PMC в два раза больше угла PAC, то есть равен углу BAC, который равен углу NMC. Значит, M, N и P лежат на одной прямой.

[@YuriiMarkelov]

Действительно, можно было и так доказать! Спасибо, не знал о таком несложном способе)

[@user-lm6is7vm1o]

13:07 А разве

[@allworld2847]

Очень круто!

[@YuriiMarkelov]

Спасибо!

[@veronika_kor]

Спасибо ☺️ всё очень хорошо объяснил💕🤗

[@user-wn5tv2sp1t]

Это то, что я хотел!!!! Спасибо!!!!!

[@YuriiMarkelov]

Ура! Пожалуйста!

[@user-wn5tv2sp1t]

@@YuriiMarkelov я скоро начну решать. Я сам только 7 класс закончил, но о вписанных углах и пропорциях я что-то знаю! Я постараюсь решить хотя бы 1 уровень. Если получится, то я возможно решение напишу(зависит от ситуации) Но я очень счастлив тому, что теперь тут будет геометрия, надеюсь будет больше выпусков!!!!!

[@user-wn5tv2sp1t]

@@YuriiMarkelov первую задачу сейчас решил, вот решение: Пусть точки касание будут K и L(К на AB, L на АС), пусть KL пересекает биссектрису CM в точке Х, а биссектрису BN в точке Y, тогда по задаче номер 255 угол BXC равен 90 градусов, и угол BYC тоже равен 90 градусов. Заметим, что из точки В опущено два перпендикуляра на СМ - ВМ и ВX, но тогда точка Х совпадает с М. Аналогично получаем что точка Y совпадает с N. Точки К,L,X,Y лежат на одной прямой, тогда точки M,N,K,L лежат на одной прямой. А это и требовалось доказать!! Если есть ошибки, то жду разъяснений и объяснений)!

[@YuriiMarkelov]

Абсолютно правильно! Осталось ещë две задачи! MEDIUM Вам точно по силам!!!

[@user-wn5tv2sp1t]

@@YuriiMarkelov я его буду решать конечно же, но позже. Может быть решение на почту пришлю

[@user-xu7jx1ue9l]

Прекрасная подача! Жду как можно больше геомы на этом канале)

[@YuriiMarkelov]

Спасибо! А вы задачи в конце попробовали решить?

[@user-xu7jx1ue9l]

@@YuriiMarkelov Решил за минут 15 Easy и Medium,щас решаю Hard)

[@Dimoniada]

Да, товарищи Tran Quang Hung и Nguyen Minh Ha с квадратом красиво придумали.

[@heisenberg9694]

HARD: Проведём биссектрисы прямых углов треугольников MBN и PQC и пересечем с прямыми FS и ET в точках X и Y. Из задачи 255 уголMXN=уголQYP=90°. Треугольники MXN и QPY прямоугольные и равнобедренные(уголPQY=уголXMN=45°). Значит MX=QY=MN/√2. => ТК это биссектрисы прямых углов Расстояние(X,BC)=Расстояние(Y,BC)=MN/2=расстояние(K,BC). => Х, У, К лежат на одной прямой параллельной ВС. Аналогично расстояния ρ(X,MN)=ρ(Y,PQ)=MN/2 => XK=YK=(MN+MQ)/2. Пусть LK пересекает ST в точке D Рассмотрим треугольники LXK и LSD, ТК SD||XK то уголKXL=уголDSL, угол L общий => треугольники подобны.коэфф подобия KD/KDL=g. Аналогично треугольники LKY и LDT подобны с коэффициентом g. SD=g*XK=g*YK=TD . ч.т.д.

[@YuriiMarkelov]

Спасибо за решение! Вроде всё правильно! Это очень сложная задача, здорово, что у Вас получилось её решить!

[@heisenberg9694]

@@YuriiMarkelov Спасибо!

[@user-di6kn6jb4i]

Это очень интересно, пж продолжай делать контент

[@YuriiMarkelov]

Давайте обмен? Вы пишите решение какой-нибудь из задач EASY, MEDIUM HARD в комменты, а я обещаю сделать вторую серию. Согласны?

[@user-kt7rn2ve6g]

@@YuriiMarkelov, а можно я так?)

[@YuriiMarkelov]

@@user-kt7rn2ve6g Да! Только с Вас, судя по Вашему уровню, решить задачу HARD!

[@user-kt7rn2ve6g]

@@YuriiMarkelov Смотрите! Рассмотрим треугольник BMN. Пусть в нём биссектриса прямого угла М пересекает прямую FS в точке O. Это точка из 255 задачи, значит, через неë проходит средняя линия треугольника, параллельная BM. Она пересекает NM в еë середине Х и на ней же лежит центр прямоугольника К. Аналогично для треугольника CQP и точки R пересечения биссектрисы и прямой ЕТ. (Середину PQ обозначим за Y). KX = KY из симметрии, OX = YR из равенства треугольников RYQ и FXM (по катету ХМ=YQ и острому углу в 45°) => OK=RK. ST || OR => SORT - трапеция. По замечательному свойству трапеции RT и OS пересекаются в точке, через которую проходит прямая, соединяющая середины оснований трапеции. К - середина, а значит KL делит ST пополам, что и требовалось.

[@renatxat54]

Upd: буковки поправлены. Hard. В упоминании в ролике не нуждаюсь. Биссектриса

[@YuriiMarkelov]

Правильно! В буковках пару раз запутались, а так абсолютно верное решение! Видно, что вы сильный геометр! Про перенос на PN подумаю, спасибо! Кстати, задача Hard, если не говорить, что надо через 255 решать, действительно Hard.

[@teum3048]

Классное видео. Ведущий суперски знает геому. Но есть небольшие замечания. Темп речи довольно быстрый, не надо так ускоряться на первых минутах объяснения: люди ещё не вникли в рисунок, а уже начинаете применять теоремы. И лучше ускорять свою речь по ходу обсуждения, чтобы люди смогли лучше понять твои мысли. Лучше дублировать углы и фигуры для которых применяется теорема, ведь рисунок не всегда получается идеальным, разсказчик больше держит его в голове, чем на доске. После доказательства можно привести за 1-2 минуты краткий обзор, план всего решения не вдаваясь в подробности, показывая всё на рисунке.

[@YuriiMarkelov]

Спасибо за похвалу и советы!

[@someoneneverknown1120]

@_TeUm_ Вот!

[@firehereCHU]

Жду следующий выпуск)

[@mathleo31416]

А какой примерный срок решения задач? А то я слишком поздно посмотрел это видео...

[@user-sk6fb2tu3f]

Классная рубрика. ДАВАЙТЕ ЕЩЕ!

[@user-cg1hb1xr1h]

Здорово! Забавный ведущий

[@YuriiMarkelov]

Спасибо! Очень приятно)

[@kollekcionergolov]

Очень классная лекция!!!

[@olitakic]

Парень крутой, лайк :)

[@YuriiMarkelov]

Спасибо=)

[@user-dg6te1zd8u]

круто

[@user-fd8gy7di6o]

А на каком основании мы сделали вывод что точка центр окружности лежит на биссектрисе?

[@AT_geometr]

Это общеизвестный факт: центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис.

[@user-hw6bu5zy7n]

Не долго музыка играла конечно, прекрасная рубрика и так быстро загнулась(

[@user-jl5ip4bt7j]

Геометра это хорошо

[@0lympy]

экспрессивно, так держать!

[@user-rb8ux1no6j]

Согласен!!!!

[@user-nw8uo4oi8s]

Юрец, топи! 🤘

[@user-eg1kq9gg9j]

Что делать, если на рисунке точка P оказалась за пределами отрезка KL? Как в этом случае доказать вписанность четырехугольника?

[@user-kt7rn2ve6g]

Смотрите. Тогда угол PLC будет равен 90°-betta, как вертикальный углу BLK. И угол CIP будет равен 90°-betta как смежный углу между касательными. Получается, что из точек I и L отрезок PC виден под одним углом, значит эти 4 точки лежат на одной окружности.

[@user-rs8ue3gc3s]

Мощный

[@Dimetrious]

У меня мозг взорвался. Очень быстро. Все отлично! Но Можно помедленней и меньше формальностей?

[@Sandman7180]

Скорость 0.5 будет медленно

[@physicsc3910]

я влюбился заново в геометрию

[@retik583]

У меня вопрос к первой задаче. Если центр лежит на биссектрисе то часть AL в круге это диаметр следовательно он перпендикулярен касательной и точка Р будет совпадать с точкой L

[@YuriiMarkelov]

Диаметр перпендикулярен не любой касательной. Точки P и L совпадут тогда и только тогда, когда AB = AC

[@user-py1gv3kd5l]

Отрапортовал! Спасибо!

[@user-en7em1qg9r]

Пожалуйста!

[@user-yi7dk9wi2e]

Очень крутой посыл у парня. Посмотрела первые 2 минуты и пошла зарисовывать!

[@user-yi7dk9wi2e]

Только некоторые факты, проговаривает быстро. Слишком.8:28. Не хватает Трушинской паузы и вопроса: «так ребята?»

[@retuneralmaty]

Я люблю геометрию

[@Livitor100]

Слишком сложно для меня(

[@FFR3IZ4ITt]

Геометрия - ЕТА МАЯ ЖЖЖЫЗНЬ

[@firehereCHU]

Сколь угодно согласен

[@user-xd4pu3tp4p]

Красота второй Алексей Саватеев

[@user-nj6gb4js8u]

Будущий профессор. Через 30 лет. Всего. Гордимся. Отлично.

[@leogame7181]

Как часто будет геометрия?

[@YuriiMarkelov]

Постараемся хотя бы раз в месяц выпускать.

[@victorstupak]

like поддержки

[@user-cn6lt5ob6d]

Привет. Можно ли в 9 классе за три месяца с среднего школьного уровня перейти на хороший олимпиадный? Или нужно было с 7 класса этим серьезно заниматься?

[@themeelanoid]

Бро... Главное хотеть. На своем примере покажу, я заканчиваю 11. Год назад с моим одноклассником мы были примерно на одном уровне, как ты сказал, на среднем школьном. Начали вместе ботать, мне надоело, и я отвалился через месяц, а он продолжил. В итоге он победитель физтеха по матеше, а я жую сопли, пытаясь наскрести баллы егэ. Так что главное - заниматься. У тебя 2 года, даже если в 10 не получится, получится в 11. Времени много, не просри его, удачи

[@barackobama2910]

вынудили подписаться )))) Парень, научить делать доклад, пока сумбурно )))

[@idunnol0l]

Мишанин конкурент!

[@user-rb8ux1no6j]

соратник

[@knop]

Ну чо, Юр, - дождался здесь хотя бы одного решения? (Интересно, а в почту?)

[@YuriiMarkelov]

Добрый день, Константин Александрович! Да, дождался. Здесь уже два -- одно EASY и одно HARD! На почте пока нет.

[@alexa6875]

сложная задача не такая и сложная

[@corax8201]

Сильные ребята собрались!!!! Круто что они между собой общаются. Обожаю смотреть!

[@user-lt3hh6cv8d]

Когда следующее видео?

[@user-en7em1qg9r]

В эту пятницу съёмка, потом надеюсь за две недели смонтировать. Так что где-то в середине июля.

[@user-lt3hh6cv8d]

@@user-en7em1qg9r уже середина июля

[@user-en7em1qg9r]

@@user-lt3hh6cv8d и не поспоришь))) Сейчас совсем нет времени монтировать. Так что выпуск пока задерживается. Извините

[@ilyahrabrov77]

Хотелось бы узнать как разделить неравностаронний четырехугольник на равные части. С уважением.

[@user-nv8kk5el4k]

ты одну линнию в две точки соеденил как биссектрисса угла а можеть бить и в точке P и в точке L одновременно

[@user-li9rj6jc4s]

А можно в камеру смотреть?) а так супер!

[@YuriiMarkelov]

К следующему выпуску обязательно научусь!

[@user-jg4fp1jm3g]

Юр, не получилось у тебя влюбить меня в геметрию( Я ее итак любил

[@YuriiMarkelov]

В геметрию не получилось, может в геометрию удастся=)

[@user-jg4fp1jm3g]

Ну, кстати, может)))

[@user-jg4fp1jm3g]

Наверное, в русский удастся влюбить

[@user-ql6se8mt2i]

Дизлайки поставили любители алгебры😉

[@user-se5tf2tc7e]

Юра - прирожденный педагог!

[@user-pv6um9dm7b]

пишу этот комментарий, потому что мне небезразлично будущее нашей страны

[@YuriiMarkelov]

Гений!

[@user-of8wv6zx9o]

Все хорошо, все нравится, но ведущий говорит очень быстро)))) иногда не успеваешь понять, что происходит, приходится перематывать)

[@0lympy]

у всех скорость восприятия разная, на ютубе как раз для таких случаев есть функция настройка скорости

[@YuriiMarkelov]

Спасибо за совет! Постараюсь в следующий раз не так торопиться. Кстати, можно на Ютубе поставить 0,75x. Я попробовал, вроде не ужасно звучит, можно смотреть.

[@user-of8wv6zx9o]

@@YuriiMarkelov спасибо, попробую поставить 0,75)

[@bluepen2637]

А мне наоборот нравится) таким образом быстрей думать начинаешь

[@user-zs1tp4fl3b]

А ты докажи, что центр окружности лежит на биссектрисе)

[@KatherineTheB]

Центр вписанной в треугольник окружности лежит на пересечении биссектрис внутренних углов треугольника. Это общеизвестный факт и в доказательстве он не нуждается.

[@user-ug3br9mv1k]

Ничего не понятно, но очень интересно!

[@andreyzykov1059]

90+90=180

[@user-ln7bk5yx1u]

Всем привет, как дела?

[@user-zn6cg6ql4h]

Малчик класный но слышком быстро гутариш....неуловить....

[@keri62]

Каво

[@user-ok5pi3dg7y]

это пипец! для практических задач уже есть аналитическая геометрия. все свести к уравнениям. а здесь только мозг ломать

[@YuriiMarkelov]

Не знаю. Я обожаю именно это мозголомание в плане геометрии. Но, кстати, на олимпиаде можно не успеть всё свести к уравнениям и их решить.

[@user-ok5pi3dg7y]

@@YuriiMarkelov я не про олимпиады, а для чего такая мозголомка. Тоже учился по учебникам Прасолова, но в детстве это нравилось. Сейчас, когда это не пригодилось, другое отношение

[@user-wn5tv2sp1t]

@@user-ok5pi3dg7y а я смотрю вы алгебраист)

[@user-ok5pi3dg7y]

@@user-wn5tv2sp1t я программист! )

[@user-wn5tv2sp1t]

@@user-ok5pi3dg7y ну это тоже хорошо! Я вот как школьник очень геометрию люблю.

[@PSpeedcuber]

Чуть поспокойнее))

[@maksk5085]

Одиозный дед и Савватан рулят!!!

[@user-rb8ux1no6j]

мы такие :-)))

[@user-zn6cg6ql4h]

Ораторские способности хороши, но а вот педагогических способностей обьяснять плоховато, поступай в педагогическ а потом паши и гутарь....мальчик