"ЗАДАЧА" ПУШКИНА! Для элиты канала.

[@AlexeyEvpalov]

Обозначим a+b=x, тогда (a+b)^3=x^3, раскрыв куб получим a^3+b^3=x^3-3abx. Подставим в исходное уравнение x^3-3abx+3ab-1=0, раскрыв разность кубов x^3-1 и вынеся общий множитель -3ab, затем (x-1), получим (x-1)(xx+x+1-3ab)=0. Из первой скобки x=a+b=1. Из второй скобки, сделав обратную замену получим квадратное уравнение a^2+(1-b)a+(bb+b+1)=0, дискриминант которого D=-3bb-6b-3 функция от b. В критической точке производная D'(b)=-6b-6=0, откуда b=-1, слева D'(-2)=6>0 функция возрастает, справо D'(0)=-6

[@Alexander-Ufa]

Обратную замену сделать - я не сообразил..

[@ЛюбовьМаркова-б9г]

Согласна с Вами! Решала точно так же, как и Вы!!!

[@Alexander-Ufa]

@@ЛюбовьМаркова-б9г Посмотрите ещё, в моём комменте - как можно доказать неравенство о средних, Ариф. & Геом., для (n)=3. Можно ли таким же способом доказать это для любого (n)>3? Не знаю.. Учёные Коты с МехМата?.. В школе я это неравенство доказал Обратной Индукцией.

[@L.A.-vl3uy]

Можно решить без такого разложения (тем более, что о нём мало кто знает). Обзначим а+b=х, тогда а=х-b, подставив х-b в уравнение вместо а, перенеся 1 в левую часть уравнения и сгруппировав однородные члены, получим в итоге уравнение (х-1)(х^2+(1-3b)x+3b^2+1)=0. Отсюда первое решение х=1, а второе решение находим из квадратного уравнениея х^2+(1-3b)x+3b^2+1=0. У этого уравнения дискриминант равен -3(b+1)^2, т.е.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо. Да, можно в лоб. Указанное тождество входит в обязательный список тожедств для олимпиадника 8 класса. Ваше решение - супер!

[@SB-7423]

Безусловное, не зависящее от а и b решение: а + b =1. Если а + b = -2, то уже требуется выполнение а*b =1. Есть также и решение а + b = -0.5. Тогда требуется а*b = 0.25. Кстати, В этом случае а и b - комплексные сопряженные: a = -1/4 - (√3/4)∙i, b = -1/4 + (√3/4)∙i . Решение довольно простое. Сейчас нет времени его приводить. Никаких дополнительных соотношений помнить не нужно. Вообще говоря, задавая а*b >=0.25, можно получить множество возможных а + b.

[@Alexander-Ufa]

Как раз так я и решал, но не нашёл подвоха в решении Автора. Почему только два решения, а не три, как полагается.. Поиграю с числами

[@GeometriaValeriyKazakov]

a и b - действительные, при мнимых сумма может быть действительной.

[@SB-7423]

@@GeometriaValeriyKazakov Есть также и решение а + b = -0.5. Тогда требуется а*b = 0.25. Кстати, в этом случае а и b - комплексные : a = -1/4 - (√3/4)∙i, b = -1/4 + (√3/4)∙i .Не обратил внимания, что Вы определили а и b как действительные.Тогда других решений, кроме найденных Вами, нет.

[@GeometriaValeriyKazakov]

@@SB-7423 Да, в школе комплексных даавно нет. Но вы правы в смысле алгебры.

[@eugenydjomin6518]

С нами любовь.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Ок.

[@sacredabdulla5698]

стихотворение красивое. почти что Пушкин!)

[@GeometriaValeriyKazakov]

Да, Вознесенский был гением совего времени.

[@ХанифАбдуллин-у9ь]

Хочется добавить: Из наслаждений жизни одной любви музыка уступает, Но и любовь- мелодия! Ну и математика тож.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо, мало кто оценил поэтическую нотку.

[@NataliBoshkoizLugi]

У меня раньше был ганновер по кличке Холдинг. Однажды пацан из нашей КСК бегал и читал все таблички с кличками наоборот. И вдруг бежит такой радостный и кричит "гнид лох, гнид лох!" Его спросили, - "На кого ты так ругаешься?" - "Я не ругаюсь, это Холдинг наоборот"

[@alfal4239]

Полагая a = p - t, b = p + t, имеем 2p^3 + 6pt^2 + 3(p^2 - t^2) = 1, или 3t^2*(2p -1) = -(2p -1)*(p + 1)^2. Т.к. t^2 >= 0, возможны варианты: (2p = 1, t -любое) и (2p = -2, t = 0)

[@GeometriaValeriyKazakov]

Я так рад и весел! Очень приятно. Не заметил вас, изв. Не хватает вашего юмора. По существу: идея очень классная, замечательная замена. Спасибо.

[@КоонстантинКасильяс]

Добрый день, Валерий. 3ab переносим вправо, слева раскладвыаем на множители, обозначаем a+b=x для удобства и приходим к разложению на множители (x-1)(x^2+x+1-3ab)=0 понятно что х=1 а во втором уравнении просто получается зависимость, в которой ничего явного не получится найти

[@sergeykitov2760]

Всё получается, надо только применить неравенство |a+b|>=2sqrt(ab). Оно отсеет всё кроме a = b = -1.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Да, можно в лоб. У меня так, изяшная словесность в стиле Вознесенского.

[@sergeybezhenov7174]

По методологии автора разберу свой комментарий по пунктам. 1) я никоим образом не отношу себя к «элите канала» от слова «совсем» 2) несмотря на п.1, скажу, что в предложенной задаче величина суммы (а+в) = 1 вытекает из стандартного разложения (куб суммы) 3) несмотря на вышесказанное, подозреваю, что поскольку речь идет о кубическом уравнении, то и решений нужно искать три (но тут см. п.1) 4) при всем уважении к эрудиции зрителей и квалификации автора, но… давайте оставаться в целом в рамках красивой геометрии, как это и целеполагается автором канала 5) кстати о геометрии… почему бы не обсудить, например, способы завязывания галстучных узлов?... там тоже «непаханное поле»)

[@sergeybezhenov7174]

Удивлен, но почему-то никто до сих пор не обыграл: Во, казак!.. Йи(!)… ре-лав!!!

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо. Не знаю, что и сказать на ваш комментарий. Интересная реальная олимпиаданая задача для 8 класса. Очень полезная с двумя (!) решениями, второе найти очень непросто. Очень вам благодарен за "ДВАЙТЕ ОСТАТЬСЯ В РАМКАХ КРАСИВОЙ ГЕОМЕТРИИ". Во-первых, вы справделиво считаете канал уже "НАШИМ", с чем я целиком согласен. Во-вторых, уважая ваше мнение, я все-таки позволю себя и зрителей баловать иногода и КРАСИВОЙ АЛГЕБРОЙ. С полным уважением (это искренне) В. Казаков.

[@AndranikAdamyan-f3b]

Дааа! Как такое может в голову прийти? Спасибо!

[@ald6980]

Разложение a^3+3ab+b^3-1=(x-1)(x^2+x+1-3y)=0, где x=a+b, y=ab получается моментально и без трюков, просто выделением полного куба. Дальше можно посмотреть на вторую скобку, как на квадратное уравнение относительно a и посчитать его дискриминант - сразу все и получится. Угадать решения (1,0) и (-1,-1), дающие суммы 1 и -2 тоже несложно. Что даст хороший намек [как должен выглядеть график кривой, чтобы в ответе оказалось конечное число значений], но не решение задачи.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Кто занимается олимпиадной алгберой - это просто.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Для алгебраистов - это обычные преобразования. Для обчного школьника - это очень сложно, согласен.

[@ald6980]

Нет никакой "олимпиадной алгебры" - есть многочлены и техника работы с ними. Если бы из школы выкинули все бессмысленные упражнения по искусственно-трюковому решению уравнений, заняв освободившееся время нормальной работой с многочленами - это было бы намного продуктивнее.

[@constantinfedorov2307]

Я немного не уловил из ролика. Главное решение a + b = 1; никак не ограничивает выбор одного из чисел. Это однопараметрическое решение с произвольным параметром (можно изобразить в виде прямой на плоскости (a, b) ). Это решение элементарно получается, если просто добавить и вычесть 3ab(a + b); Второе решение a + b = -2; устроено совершенно иначе. В этом легко убедиться, если подставить b = -(a + 2) в исходное уравнение. На самом деле решением является не a + b = -2; а вот что a = b = -1; То есть это не множество, а всего одна точка на плоскости (a, b) PS у мня пропала уверенность, что этим исчерпываются возможные случаи. Я еще повожусь с этим. Нет других решений. После добавления и вычитания 3ab(a + b); уравнение приводится к виду (a + b -1)((a + b)² + (a + b) + 1) = 3ab(a + b -1); если a + b -1 НЕ ноль (то есть ищутся ДРУГИЕ решения), то (a + b)² + (a + b) + 1 = 3ab; пусть a + b = k; тогда 3a(k - a) = k² + k + 1; или a² - ka + (k² + k + 1)/3 = 0; a = k/2 +- √(-(k + 2)²/12); легко видеть, что k = -2; a = b = -1 единственное решение. Почему у меня на экране зачеркнутый текст, я разбираться не буду, прочесть можно, а глюки системы пусть чинят те, кто за это отвечает.

[@SB-7423]

Смотря что Вы понимаете под решением. Если решением назвать сумму u = a + b, то таких сумм (действительных) сколько угодно. Задавая v = a * b, мы получим единственное значение u . Если же потребовать a, b ∈ R, то таких значений u всего два, что и получено автором. Причем второе (-2), как Вы отметили, это, по сути, a = b =-1. Стоит отметить, что для получения действительных u должно выполняться v >=1/4 .Кроме полученных автором двух значений, все остальные(действительные) значения a + b будут , если a и b- комлексные сопряженные.

[@GeometriaValeriyKazakov]

@@SB-7423 Большое спасибо за помощь!

[@SB-7423]

@@GeometriaValeriyKazakov Вам СПАСИБО ЗА КАНАЛ! Я очень многому здесь научился и продолжаю это делать.

[@GeometriaValeriyKazakov]

a и b искать не нужно, нужно найти a+b. Так назваемое "условное равенство".

[@Alexander-Ufa]

Левая часть равенства - т.н. "Симметрическая функция" от двух переменных (a & b). Полином, в данном случае. Такие полиномы выражаются через элементар. симм. Функции 2го порядка (u)=a+b & (v)=a*b Наш случай: Fs(a, b)-1 =a^3+3*a*b+b^3-1 =(a+b) ^3-3*a*b*(a+b)+3*a*b-1 =(u^3-1)-3*u*v+3*v =(u-1)*(u^2+u+1-3*v)=0, откуда Ответ: u1=1. Либо (2)=0, тогда u23=(-1±sqrt(3*(4*a*b-1))) /2, если a*b≥1/4 где a+b=u

[@Alexander-Ufa]

Алексей Евпалов (см.) - обратно преобразовал скобку (2). Я тоже с ней поработаю. (2)=u^2+u+1-3*v =(a+b)^2+(a+b)+1-3*a*b =a^2-a*b+b^2+a+b+1 =(a+1) ^2+(b+1)^2 -a-b-a*b-1 =(a+1) ^2-(a+1)*(b+1) +(b+1) ^2=0 Равенство достигается, когда (a=-1) & (b=-1) - ещё Ответ. Если a≠-1, можно положить t=(b+1)/(a+1), откуда (2)=(a+1) ^2*(t^2.-t+1)=0 (Вторая скобка от (t))>0, если {Real}, откуда других решений нет..

[@GeometriaValeriyKazakov]

@@Alexander-Ufa Супер. Ну, вы братцы даете! Тут такие мощные алгебраисты сидят на канале, а мы 7 класс щелкаем! Усилимся!

[@Alexander-Ufa]

Применённый Автором симметрический полином 3го порядка - позволяет доказать неравенство средних арифметического и геометрического, для (n)=3 А именно. (a+b+c)^3 = a^3+b^3+c^3 +3*(a+b+c)*(ab+bc+ca)-3abc (Нужно раскрыть скобки левой части, как куб суммы двух, 2 раза). Отсюда: a^3+b^3+c^3-3*abc = (a+b+c)*(a^2+b^2+c^2 -(ab+bc+ca)), (Left)=(Right) (Left) - готовая разность средних А & Г. Работаем с (Right): (Right)=(a+b+c)*(2*(a^2+b^2+c^2)-2ab-2bc-2ca)/2 =(a+b+c)*((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2)/2, откуда (Right) ≥0, если (a & b & c) ≥ 0. Равенство, если все-равны. Что доказывает неравенство А&Г

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо за отличный коммент.

[@zawatsky]

Вот пусть Александр Сергеевич и решает за нас.🤕

[@GeometriaValeriyKazakov]

Согласен.

[@pojuellavid]

Нигатоф Вечером буду мучицца

[@ДмитрийСкрипник-с7щ]

Сумма кубов .выноси а плюс в и получаеться а плюс в в кубе равно 1.)

[@GeometriaValeriyKazakov]

у НАС 2 ответа!

[@КоонстантинКасильяс]

но это сильно громоздко. Более красиво если сверху этого уравнения написать что a^3+3abx+b^3 = x^3 и вычесть из первого второе) умная мысль чуть позже пришла

[@AndranikAdamyan-f3b]

Так мы находим х=1. А дальше?

[@GeometriaValeriyKazakov]

А дальше умные мысли закончились.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Дело не вгромозкости. А в правильноетси решения. Ваш способ позволяет найти только один ответ. Это неплохо. И почти все это сделают, хоть подбором. А у нас полное и правильтное и самое доступное 8-класснику олимпиаднику решение. Спасибо, что смотрите нас.

[@КоонстантинКасильяс]

@@GeometriaValeriyKazakov :-) хорошего дня вам

[@sacredabdulla5698]

это задача не для детей. она для учёных.!!! )

[@GeometriaValeriyKazakov]

Алгебра 8 олимпики

[@sachs6]

Дано a + b = -2 Найти a³ + 3ab + b³

[@GeometriaValeriyKazakov]

Да, это тоже задача. Возможно имееет беск. решений. Проверка (0;-2) и (-1;-1) дает -8 и 1.

[@NataliBoshkoizLugi]

Эту задачу я быстро решила в уме, менее 3 минут ушло. а + в = 1. Я сразу поняла, что одна из неизвестных должна быть отрицательная. Подстав ила а = - 1, в = 2. Не сошлось. Подстав ила а = - 2 в = 3, сошлось. - 2 + 3 = 1

[@AndranikAdamyan-f3b]

Это называется решила?

[@GeometriaValeriyKazakov]

А второй ответ?

[@GeometriaValeriyKazakov]

Норм. Одно решение - тоже решение!

[@NataliBoshkoizLugi]

@@AndranikAdamyan-f3b Но ведь ответ есть. Какие могут быть претензии? Чем проще решение, тем лучше.

[@AndranikAdamyan-f3b]

@@NataliBoshkoizLugi Знаете? Один из моих учеников на вступительном экзамене сделал точный чертеж задачи. Измерил то,что нужно было найти и выбрал правильный ответ. Экзамен был машинный. Гениально, конечно. Но ещё гениальнее то,что ему эту задачу зачли. Ведь нужен был только верный ответ. Ма шина не может проверить решение.

[@rostamshahi9076]

Валерий! Вы продолжаете дело героини Тереховой, которая в физмат школе читала стихи ученикам, в то время, когда решали всем классом сложную задачу. И отвлекались на прочтение стихотворения учительницей русского языка и литературы. Вечный спор "гуманитариев" и "математиков" давно завершился паритетом. Важны все! Wobulimans. (Директора в фильме играл Олег Даль - второй замечательный актер в том фильме).

[@GeometriaValeriyKazakov]

Да, просто Эйнштейн еще играл на скрипке.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Да, "Доживем до понедельника" я дважды рекламировал в роликах. Это очень-очень классный фильм.

[@sergeykitov2760]

a+b = x, 3ab = y. x^3 -1 - y(x-1) = 0. (x-1)(x^2 +x +1 - y) = 0. x = 1, 2x =-1+- sqrt(4y-3). (a+b) >= 2sqrt(ab) [1] || (a+b) = 4sqrt(ab) >>> 12ab - 3 >= 16ab + 8sqrt(ab) + 1 >>> 4(ab+2sqrt(ab)+1) >> sqrt(ab) = -1, так не бывает с вещественными числами. [2]: -1-sqrt(12ab-3) >> sqrt(12ab-3) >=4sqrt(ab)-1 >>> 12ab -3 >= 16ab - 8sqrt(ab) + 1 >>> 4(ab -2sqrt(ab) + 1) >> ab = 1 >>> a+b = (-1 - sqrt(12 - 3))/2 = -2 >>> a = -1, b = -1.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Супер! Спасибо.