整数問題の重要な考え方がギュッと詰まった良問【東大2019】

東京大学の数学と言えども恐ることなかれ。
整数問題の解法パターンをしっかりと押さえた上で、与えられた情報をきちんと整理していけば、問題なく解けるようになります！
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『神脳・教育界の革命家　河野玄斗』
東大医学部在学中に司法試験に一発合格。頭脳王連覇。
初書籍『シンプルな勉強法』( www.amazon.co.jp/dp/4046023058/ )はタイ語版、繁字体版など世界でも翻訳され、シリーズの累計12万部突破。2020年3月14日には図解版が刊行。
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河野玄斗： • Video
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コラボ・案件等のお問い合わせは公式ツイッターのDMまでお願いします。

[@anju2197]

河野さんの説明しっぬほど分かりやすい 本当に理解していると分かりやすく説明できるという例

[@user-po3no8iy5n]

社会人になって数学(特に整数問題について)の面白さを再認識しいろんな人の解説動画を見ていますが、河野さんの解説は分かりやすく、発展や応用にも通じた物もあると思いいつも楽しく視聴させて頂いてます。

[@user-gu8ft4tg3c]

いつも勉強になる動画を、ありがとうございます。

[@user-uk3om9lw9v]

整数問題は本当に奥が深いんだなあ… 高校で夏補習で整数問題だけ扱う日があったの思い出す

[@user-sc1cl6rt7r]

@@user-ue6ij7ow3k 甘すぎる

[@user-ts2tk9zj7y]

@ああ 違います

[@cyclone3969]

あながち間違ってない

[@user-sc1cl6rt7r]

暗記というのは、この動画の場合河野玄斗さんが初めいっていた 整数問題は主に3種類のどれかで解けるー だからこれ使ってこうしたらこうなるから…… と言うものであって、基本は出来るようになる。でも応用はどれだけ問題集を解いたかで鍛えられる解決力が求められるからなぁ……

[@irrintarou8039]

高1なんでしっかり参考にして勉強していきます！

[@user-rj4iw9mm2n]

高一でこれ見て勉強してるのは凄いなあ頑張って^_^

[@user-pt4zh4wv9j]

頑張ってください！

[@user-sg2js7qu3u]

ありがとうございます！

[@passion313]

ないすぱ

[@user-ns7dc4xp7m]

さすがは東大の問題だ！問題を作る方が大変だ。

[@user-rx5bq8tw2m]

いい時代になったなー

[@user-rg7bm9xm7m]

みやすくなった

[@user-kb3on1pb2f]

整数面白いなー大好き

[@user-mg1kq6gd1i]

中学生が興味本位で簡単に理解出来る物では無かった… でも面白かったのでまた基礎固めて戻って来ます！

[@p6019]

整式×整式が絡む問題は、合同式やユークリッドが有効な場合が多い気がしますね、、、

[@user-gp7sn2lx3g]

できた！！！

[@user-mp2jc1yh4x]

ありがたい

[@user-xd1rq3fo5e]

現役予備校講師から見ても河野さんの解説はいつも素晴らしいと思います！！

[@user-cm6le3ue8s]

河野さんはマジでそこらへんの塾講師より頭良いと思うわ

[@user-bh1tw4gk9z]

@@user-cm6le3ue8s ネタなしで普通に当たり前じゃね？神脳なんだから。

[@user-if7cc4yg3h]

現役予備校講師からとか吐き気するな。 現役の予備校講師だからって自分の事授業上手いと思っていて上から目線なの気持ち悪いな

[@focusz9831]

@@user-cm6le3ue8sそこらへんどころじゃない

[@user-qt2lu1ke6s]

​@@user-cm6le3ue8s 当たり前では

[@user-le2nj8vp3j]

高一の時何やってるか殆ど分からんかったけど、今やったらめちゃくちゃわかる

[@user-gk1sm2hm7q]

河野さんに解説されると簡単に思えてくるのに、実際に自分で解こうとすると手が止まる、、、

[@user-uk6mh9he7d]

うわぁ、すんげぇや

[@kiichiokada9973]

展開して合同式使ってサクッと・・・とは問屋が卸さないのが東大の問題で、展開したときの定数項が9という平方数になってて詰みましたね(笑)

[@samurai660]

@@user-ue6ij7ow3k 最近チャンネル作っていきってるの草

[@user-nj6cc4ye2b]

@@user-ue6ij7ow3k 日本語がﾁｬｲﾅ広告みたいで面白いね君

[@user-tm2jw4sf7j]

徹底基礎講座について質問です。 解説を読んでも「よって」とか「即ち」とかで省略されていて理解に苦しむことが多くあります。 徹底基礎講座ではこのようなことがなく丁寧に説明されているのでしょうか？

[@user-dv9vk9iy4p]

普通に出来ました。流石に(2)から誘導無しで解いたら無理過ぎましたが。

[@ANOn__0124]

ちょうど整数のとこテスト範囲だったから運命感じた。助かります！！

[@tytytytytya]

いやどういうレベルの定期テスト

[@user-ed3eo5bo4y]

このレベルがテストで出ててきたら発狂だわw

[@nam3458]

(1)が今日詰まった問題と似てる！ 正直に学校の先生より平方数ぐらい レベルの差を感じたわ

[@ANOn__0124]

整数の考え方の復習をできるからいいなって思っただけで流石にこのレベル出されたら終わりですよ？！

[@higumaaj5574]

@@tytytytytya いやでもうちの学校の数学の定期テスト毎回ふたつあって、ひとつは基礎問題(primeのA問題)でもうひとつは大学の入試をそのまま(旧帝とかが多い)って感じだった

[@FlugelFN]

2021年東大理系数学第6問よろしくお願いします

[@user-pf5eq1ps1b]

サムネ見ても全然解らなかったが誘導見たら解ける。 答案をどう書くかは別として互いに素な整数の積は単位元以外の平方数で有り得ないのだが、初手に展開を考えると詰む

[@user-bu9dj5bw6d]

中学生でも理解できる内容になっててめっちゃ面白かった

[@user-lp1cu7nl5q]

整数大っ嫌いだけどこれ見たから明日の駿台整数選ぼっ

[@user-bs6yd1hz9v]

当時もこの問題面白いなーって思ってワクワクして解きました笑

[@user-ln1nc2kh8q]

苦手意識感じてたけどすごく面白かったです。 自分も来年東京大学受けるつもりなので演習積んでいこうと思います

[@youtubey8632]

よ！未来の東大生

[@haruakichannel9245]

わかりやすい。多変数アッカーマン関数も説明してくれると嬉しいなぁ🎵

[@user-rp4ec3oo8t]

どこでつかうんだよ笑

[@no1fujikawa430]

整数問題が出たら 1. 範囲を絞り込め 2. 倍数と余りを利用しろ 3. 因数分解して掛け算の形に直せ これで、数検も怖くない

[@user-ux9ew3zw1y]

全然関係ないんですけど微積物理の動画出して欲しいです！

[@user-dk3kk7jq8z]

nが奇数の時n^2+1と5n^2+9は互いに素だから積が平方数になるとしたらn^2+1が平方数になる必要があるけど明らかに違うから平方数じゃない nが偶数の時もn=2k+1とかおいて2つの積を4(平方数)でわったら(1)と同じようにして互いに素ってわかるから同様にして平方数じゃないって考えたんですけど不備ないですかね？

[@japan-n7763]

学校のテストでこれ出て解けなかったけど、東大の過去問やったのか😳

[@irrintarou8039]

自分賢いアピールせんでええて😅

[@user-ec2bw4bu9s]

使ってるアプリって何ですか？？

[@user-dw5hz3kw9i]

一橋とかで出そう

[@user-zf6bd5bo1z]

これ本番でできる奴えぐいな

[@savenstudies7650]

​just come to say good luck to everyone!

[@user-zb5en2sh9w]

コメントする... 河野さんの解法の方がスマートだった.... A=(n²+1)(5n²+9) が平方数となるような自然数nが存在すると仮定する. nは自然数より,n²+1は平方数でないことは自明.ここで 5n²+9=5(n²+1)+4 より,Aが平方数となるにはn²+1と4が2以上の公約数を持つことが必要.これよりn²+1は2の倍数であるから,nは少なくとも奇数のため,自然数pを用いて n=2p-1 と表せる.これを用いると A ={(2p-1)²+1}{5(2p-1)²+9} =4(2p²-2p+1)(10p²-10p+7) =4{2p(p-1)+1}{5•2p(p-1)+7} ここでp(p-1)は連続2整数の積だから2の倍数.よって4を法として {2p(p-1)+1}{5•2p(p-1)+7}≡1•3=3 ここで平方数を4で割った余りは0,1のいずれかであるから,{2p(p-1)+1}{5•2p(p-1)+7}は平方数でない.また,4は平方数より 4{2p(p-1)+1}{5•2p(p-1)+7},つまりAは平方数でない.これはAが平方数となるnが存在することに矛盾.よって題意は示された.

[@_jxi9ixs635]

理系に進みましたけど、高校数学なんて何も面白くない苦行として記憶してる。でも、この方の動画を見たら楽しくて仕方がない。高校生の時に出会いたかったですよ本当に。今は寝るのも忘れて拝見しています。

[@user-zw9ym6in1m]

(2)のnが奇数の時の話なんですけどn^2+1/2が平方数じゃなかったら与式は平方数にならないのでn^2+1/2が平方数でないことを示すときにn^2+1/2=m^2(mは自然数)っておいてm^2+(m+n)(m-n)がmとnの範囲的に2より大きいので1にならないってするのはどうなんですか？

[@user-zs4lk7pk5j]

神ってるう

[@user-jn7nf5gd3h]

動画見る前に自分なりに考えた解法が合ってるか分からないので誰か教えてください⤵︎ ︎ (n²+1)(5n²+9)が平方数である時、 (n²+1)(5n²+9)=(an²+b)² を満たす実数a,bが存在する。 展開して、 5n⁴+14n²+9 = a²n⁴+2abn²+b² これが恒等式となるので両辺の係数を比較して 5=a² , 14=2ab ，9=b² これらを全て満たす実数a,bは存在しない

[@user-jc6mw8jd8k]

正しいと思います

[@tapsoba601]

俺もこれ😄

[@user-fy9px9oi8y]

多分間違ってます。恒等式になるということは全てnについて成立することを示すものなので、仮にこれが成り立つとすると全てのnについて(n²+1)(5n²+9)が平方数となるということですが、その逆は全てのnについて(n²+1)(5n²+9)が平方数でないことではありません。あるnについて成立しないことはいえてないので、十分条件が満たされてません。

[@northsssss]

模範解答とかより楽に解けたと思った時、 必要十分満たしてないってのは結構あるから 重要な注意点やなぁ

[@user-jn7nf5gd3h]

@@user-fy9px9oi8y なるほど、確かに条件が足りてないですね。ありがとうございます

[@user-fk1pl2bl8r]

二乗だとmod3とか5、三乗だとmod7みたいなのって他にある?

[@user-gv6hl6um2m]

共通テストや模試の過去問などを解いてると時間内に解き終わることが毎回できません。でも時間かけてその後ゆっくり解くとだいたい全部解けます。時間短縮して解くにはどうすればいいでしょうか？

[@haruluca1134]

やっぱり慣れと経験値かと

[@user-gv6hl6um2m]

@@haruluca1134 なるほど。あと1年あるので頑張ります。ありがとうございます！

[@haruluca1134]

@@user-gv6hl6um2m 今年受けたものですが、1年なんかあっという間なので悔いの残らないように頑張ってください！

[@user-Science_Imitation]

高校受験終わって見返したら①と③は自然と使っていたことに気づく

[@user-wp8nw6ym6m]

高校生の時にゲンゲンの授業受けたかったなあ😅年上だけどw

[@user-qd6iy8lf3y]

こういう丁度いい難易度の整数演習の教材って何かありますか？

[@user-wi1zk5vq5t]

東大過去問がちょうどいいなら過去問でいいんじゃないですか

[@user-qd6iy8lf3y]

@@ILE-ny2te なるほど参考になります！

[@urance4649]

2、4、6、8を並べかえてできる 4桁の平方数は です。 （答え）ない

[@lll-pb1fq]

自分も東京大学医学部にいこうとしてます！！なのでめっちゃ助かってます。

[@guitarhero6864]

ちなみになんだけど、 「～です。なので～」 っていう”なので”の使い方は存在しないので、記述で使うと減点されます。

[@user-littletomita]

なので　×接続詞　⚪︎接続助詞

[@user-ud4fi1wo9j]

国語も頑張ってね

[@user-vi6yb6vv3i]

@@user-pc1sp7yc7q 優しいですね　言いすぎましたね　コメント消しておきます

[@yasu9498]

n>=1だから、n^2+1>=2じゃない？つまり1の可能性は最初からなくない？

[@shxrrix]

n²+1

[@user-yr5vi7tb1p]

Kは自然数とは限らない

[@user-zy7sy6jb1x]

ミレニアム懸賞問題を生配信などで解いてください！！！

[@45rihi72]

さすがに鬼畜で草

[@MultiYUUHI]

gcd(n^2+1,4)まできて gcd(n^2-3,0)としてしまいました。0は全ての数の倍数だから つまりました。4で止める根拠を誰か教えてください。

[@user-gy1zb3og2x]

難しくて僕には分からないですけど、頑張って理解できないかチャレンジしてみます(*^_^*)

[@user-vw1bh3ql5f]

@@user-ue6ij7ow3k 特大ブーメラン乙w

[@user-im7ho1zm5b]

2:00 すみません、ユークリッドの互除法になると5n^2+9からn^2+1を引けるっていうのはどういうことですか？自分で考えてみましたがいまいちハッキリと分かりません

[@kokekokodesuyo]

全くこの動画と関係ないことですが、河野さんに見ていただけることを信じてお願いをさせていただきます。 新しく2時間の超集中BGMを作ってほしいです。 遅くなってもいいので、よろしくお願いします。

[@user-rq5nk6mn8q]

13:43 ここのn^2+1が平方数でないことを示す時、n^2+1=k^2（kは自然数）とおいて、これを満たす組が（n,k）=（0,1）（0,-1） しかなく、n=0は条件を満たさないからn^2+1は平方数にならない、ってのでも可ですか？

[@ninoichino6281]

論法は間違ってないけど(n,k)の組がそれしかないことをまた付け足して説明しないと行けないですね。もしかしたらそれを満たす組がとんでもなく大きい数で成り立つ可能性がある以上、一般化して証明しないと行けません。 編集失礼しますkは自然数なのでk=-1はないと思います。

[@nam3458]

@@ninoichino6281 n^2+1=k^2だから 自然数の二乗の組合せで差が1にならないと成り立たないので、 1^2=1,2^2=4,3^2=9... 1と2が平方根でも差は3です、3以上は差が開いていくのでとんでもなくでかい数で差が1になる事はない気がします。主のコメのように(0,1),(0.-1)でしか成り立たないので、自然数の組み合わせでは成立しない。で正解ではないでしょうか？ 記述での証明になるので途中式がどこまで必要になるのかは採点者次第ですが、合格ラインによるけれどもこれで済ませて部分点を貰えたら◎な気がします。 長くなって申し訳ありません！ 本日習いたて(言い訳)で、説明の不十分な点、間違っている点などがあるかもしれません。

[@user-dv9vk9iy4p]

@@nam3458 k^2-n^2=1(kは自然数) ⇔(k+n)(k-n)=1 ⇔(k,n)=(1,0) n≧1なので矛盾する。 みたいな感じで書いたら良いかと思います

[@ninoichino6281]

@@user-dv9vk9iy4p それでいけますね！

[@pomepome321]

ほぼ中卒みたいな自分でも7割方理解できる！面白いです！！

[@toruteee]

最後思いつかんだろ普通

[@user-gi9cp3yj9g]

こう見ると簡単なんだよなぁ。なんでだろ

[@user-zf6sq7ep3l]

平方数を5で割ったらあまりが0.1.4しかないっていうのも証明必要ですよね？

[@TV-hr6cz]

すぐ証明できるから怖かったらすれば良い。 基本採点者基準だからこちらからは確実なことはなにも言えない。(個人的な感想を言うとこのくらいはいいんじゃないかな、とは思うけど。)

[@user-vc1kw3hv4x]

中3でわからないのやばいですか？

[@user-mx4vx2gw6s]

なんの勉強やこれ、英語か？

[@ritataserfashion-dance-pre4759]

👍💯💯♥️♥️💯👍👍

[@pompon4502]

河野さんの笑顔がたまになんかこう、サイコパス感って言うか、その類の笑顔に見えて時々気味悪いなって思わさる

[@user-bc7kp8gq8x]

俺ってチンパンジーなんかな。。。

[@moka4887]

い

[@shbaseball7521]

いち

[@user-cr9bd2pn6m]

あ

[@user-ev4yj1xv5z]

高一なので助かる。笑

[@user-mr7hd9mk9q]

簡単すぎ

[@user-zr2jr2ol9t]

調子のんな

[@user-qt2lu1ke6s]

かっこよ