【中学受験算数】平面図形 長方形内の二等辺三角形で直角を作れ‼ 2007年 青稜中【最難関クラス/偏差値up】

[@epsom2024]

1:2:√5 を使っても良いなら 直線 AD と EF の交点を G とすると △CEF∽△DGF で相似比は 2 : 1 EF の中点を H とすると EH=HF で EF:FG=2:1 より HG=EF=4√5 2 つの直角三角形 AHG と FDG は相似だから AH=2*HG=8√5 △AEF=(1/2)*EF*AH=(1/2)*(4√5)*(8√5)=80

[@epsom2024]

直線 AD と EF の交点を G とすると △CEF∽△DGF で相似比は 2 : 1 より DG=(1/2)*DF=2 EF の中点を H とすると EH=HF で EF:FG=2:1 より HF=FG 点 H から AD に下ろした垂線の足を I とすると ID=DG=2 よって IG=2*2=4 AH⊥HG だから 3 つの直角三角形 AHG , HIG , AIH は相似である IH=2*IG=8 , AI=2*HI=16 , AG=16+4=20 EF=HG より △AEF=△AHG=(1/2)*20*8=80

[@race_channel_]

動画の中の図のEFの中点M、ADを延長して角出しの頂点D’とする。 EF:FD’=2:1ななのでEM=MF=FD'となり、EF＝MD' 二等辺三角形AEFと直角三角形AMD'はEF＝MD'で高さAMで共通なので面積は等しい。 長方形から三角形三つを引かなくても、⊿AMD’(=⊿AEF)の面積が、20×8÷2=80で直接求まる。

[@jyukensansu]

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[@時雄野中]

70歳です。毎回、楽しい刺激をありがとうございます。これからも,楽しみにしています。

[@jyukensansu]

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[@topy_channel]

ありがとうございます。巧みに直角三角形の相似を作りますねー。直交座標が染み付いている大人としては、EFの傾きが2だから、MをEFの中点として、AMの傾きは -1/2 ということで、あとはそれを裏付けるように後付けで相似を探せば小学生向け、と考えましたが、慣れている小学生はおっしゃるように斜めの90度を手がかりにできるのでしょうね。さすがです。

[@jyukensansu]

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[@KS-uf1tm]

この問題簡単そうに見えたけど意外に時間がかかってしまいました。入試問題を舐めてはいけませんね。

[@jyukensansu]

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[@kentak1012]

EFの中点をMとする。MからFCへの垂線の足をHとするとMH＝2cm MからABへの垂線の足をIとすると、AI＝12-4＝8cm 三角形AIMとMHFは相似でIM＝8*2=16cm 長方形の横の長さが16+2=18cmと出たので、以下略です。

[@jyukensansu]

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[@user-kn1bk2c36k]

二等辺三角形の垂線の足の位置が解れば大工さん方式でも行けそうです。

[@jyukensansu]

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[@伸一小林-i3y]

二等辺三角形の底辺の中点を通り長方形の横の辺に平行な補助線を引いて左右の直角三角形の相似から横の長さ18㎝を求めました。二等辺三角形の面積については差引き計算によらず、E点からBCに立てた垂線のAFまでの長さ(E点におけるAFの高さ)が 8+8/9㎝ になるので、これに18/2を掛けて72+8=80㎠と求めました。

[@jyukensansu]

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[@miya-w2o]

算数で解こうとして解けなかったから、AD=xとして、三平方の定理と連立方程式使って解いた。 １:２をそこまで拡張していけば算数でも解けるんかー。完敗、くやしいね。

[@jyukensansu]

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[@宮島聡]

最近は、直角をはさむ２辺の比が１：２の直角三角形の１鋭角の２倍の大きさの鋭角をもつ直角三角形が３：４：５の比をもつことに注目するようになりました。この図では、二等辺三角形の頂角の二等分線がCDを交わる点をFとすると、FC：CE：EF＝３：４：５になります。CEが４cmなので、EFが５cm、FCが３cmになります。△ADFは、AD:DF＝２：１で、DF＝４＋５＝９（cm）なので、AD＝９×２＝１８（ｃｍ）となります。あとは、全体の長方形から、３つの直角三角形の面積を引いて、８０㎠となりました。話は飛びますが、この問題のように、直角をはさむ２辺の比が整数比になっている直角三角形の２倍角をもつ直角三角形が必ずピタゴラス三角形になることが数学的にとても美しい性質だなと感じています。また、２倍角、３倍角、４倍角……N倍角にしても、必ず直角をはさむ２辺の比が整数比になることも同じように美しい性質だと思います。証明はタンジェントの加法定理から簡単にわかることですが、興味があるかたは、是非トライしてみてください。

[@jyukensansu]

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