1分で素因数分解せよ（瞬間計算）

昨日のドラゴン桜第７話で出題された
東大模試数学の類題を作ってみました！
数学も「問題をつくる」側に回れば見る世界が変わります。
ぜひ本質を理解した上で、お友達に出題してみてください！
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[@jpkiura9214]

「こういう問題って、平方根に近い素数同士の積なのがパターンだよな」って発想して、とりあえず初手73で割ってみたら割り切れた

[@user-rh2jz3zf5q]

良い発想ですね！参考になりました！

[@user-dl8mj6fh5m]

その発想ええな

[@user-yu5pj5bp1f]

草 大センスやん

[@knife-dp9le]

5767の末尾が7なので、一の位同士の掛け算の結果と考えると、 1×7、3×9、7×1、9×3のいずれかしか無く、 平均は、(1+7)/2=6、(3+9)/2=6、とどちらにしても中間値の末尾が6だということが解ります。 今度は先頭を考え、7×7=49、8×8=64なので、86だと大きすぎて、76と推察する。 5776=71・77は、77が11の倍数なので、11の倍数判定を既にやっているので、これではないことは確定。 5776=73・79 73も79も合成数ではないので、これに決定。

[@wataru20310146]

遅いよね。その思考のプロセス

[@Hika-Hika16483]

一の位もしくは十の位を0にする(10で割って計算を楽にする)ために足していったら、ちょうど73足した際に73×80(=5767+73=5840)が出ましたので、80-1=79を因数に持つのかなーってなりました〜。 ある数を足して、その後割り切れたなら、足した数で割り切ることは可能なので、結構早くできますね。 オススメです！

[@user-ds1sr9rl7w]

もはや考えることをせずに素数を片っ端から割ってった(8分49秒)

[@来年受験生です]

脳筋で草

[@user-hr4sx2kz5q]

偏差値全然低いですけど、パスラボで前インド式計算見たのでその解法すぐ思いついてできました。

[@paraan3235]

5767だから大して苦労せずに解答にたどり着ける。 5699だったらちょっと大変、電卓無しだとただただ労力が必要なだけで問題として適切でなくなる。 どっちも素数同士の積で表せるけど、2つの素数が近い値だと解きやすくなりますね。

[@bee9011]

パスラボで知った、インド式計算使って1分以内に解けた！(昨日のも出来ました)ありがとうございました！

[@user-uh6kq7nq3z]

朧げに浮かんだんです。3と9が。73、79じゃないかと思ったんですよね。

[@176nerimar4]

下から17まで調べてダメだったから、19^3 > 5767なので素因数は2つ以下に確定 ならn^2 - m^2 = 5767となる適当なn,mを探すのかなという感じ

[@user-vu8ld7jd7x]

賢いな

[@okim8807]

＞下から17まで調べてダメだったから、19^3 > 5767なので素因数は2つ以下に確定 13まで言及して見切り付けてるこの動画の解法はただの博打って事か。

[@pcphn7975]

開平法を試したら余りが-9になったのでそれでいけました。

[@TOMO-lj7lo]

70か80をXとする 例えばX＝70なら 5767＝4900＋867＝4900＋「867÷70」＝4900＋840＋27＝X²＋12X＋27 X²＋12X＋27＝(X＋3)(X＋9)＝73×79 X＝80なら 5767＝6400−633＝6400−640＋7＝X²−8X＋7＝(X−1)(X−7)＝79×73 2021なら40²＋421＝40²＋10×40＋21＝(40＋3)(40＋7)＝43×47

[@user-by9oi7jz3c]

4桁の数なら、上二桁と下２桁に分けて ・上２桁が連続する一桁の積になっていないか？ ・下二桁が和が10になる一桁の数の積になっていないか？ これを試算する。 今回は該当しなかったが、57が7*8に近い数なので ・10の位は7と推測 一の位の数が掛けて「7」になるのは 1*7、3*9のいずれか ・3と9を当てはめて計算 73*79＝5767・・・ＯＫ

[@user-by9oi7jz3c]

でも、この方法でやると完全にドツボ嵌るのが「5678」

[@Ayaka.Enanan]

6:14 けど87置いておけば3で和ったら方針なくなるいいもんだいになりそう 83×87=7221 7221=3×2407　さて2407はいったいどうしましょう？って

[@user-dy1zm1gz2n]

昨日の問題のおかげで解けました！

[@_safari4476]

5767を見て3の倍数かどうか考えるときに、足して25と試すことはせず 「567が連続三数で、残りが7だから割れない」 こういう人、僕以外にもいるんじゃないですかね

[@user-vy7ov8xz9w]

そっちが普通かと

[@_kasei3156]

77^2=5929は知っていたのでその前後の73、79、83辺りを調べたら解けましたが、和と差の積を使うと速いですね。

[@user-ik3ul9lv7e]

【自分用メモ】 大きい数の素因数分解 →2乗-2乗を探す！

[@1084taka-oc5rb]

素因数分解も因数分解の内、因数分解の公式を使うとこうも簡単に素因数分解できることを学びました。

[@makotoishizuka6479]

開平し、それ以内の最大の素数から順に小さい素数で割り、割り切れたらその商も同様にして分解していく方法で解いた。 √5767(＝75.9…)以下で最大の素数は73 5767÷73＝79(素数) ∴5767＝73×79

[@TheSino0711]

70^2

[@user-di4bn9zy6h]

70^2

[@BH-sadami]

分かりやすい

[@user-ph8gs6nc8m]

暗算得意なので、４９００から＋１４１＋１４３・・・として、５７７６－９を力技で導きました（笑）

[@spoints434]

一緒一緒（安心感

[@Ilumimation_TBK]

75×75がインド式？で、5625と分かったのなら、 5625+75×2+1 =5625+151 =5776(差が9の香り) で数字の差を求めたら、 9が出た時は痺れた笑

[@masuda1472]

こんにちは。 宇佐見さんの解法は、極めて自然な発想で解かり易い解法だと思います。 さて、本問とは無関係の「枝葉の事柄」ですが、 2桁の整数どうしの掛け算で「効率の悪いヤリ方で計算していた」のが気になりました。 2桁の整数を通常どおりに「タテ書き」にして「掛け算準備」したら、＜後は！＞ 同じ桁どうしの！数字を掛け算して＜そのまま！書き下ろして！＞「4桁の数」にする。 次に、2方向にあるタスキ掛け方向の数字を「掛けて足した数」を十倍して、 上記の「4桁に成っている数」に足せば「終了」です。ストレス無く計算できます。 文章で書くと、何やら複雑に思えるかも知れませんが、実際に、76ｘ76なら、 ヨコ書きに成っちゃいますが、 76x76~~4936、6x7+7x6=42+42=84, 84x10=840、4936+840=5776　で終了です。

[@angelagabriel5874]

解りやすいといえば、解りやすい・おもしろいプロセスです。・・・ときに「インド式」って「？」・・・そうですね・「自分で作れる（できる）」まで理解／納得する・ということは「何ごと」でも有用ですね。

[@user-tw9xm8bl8i]

質問です！！ 素因数分解した答えが例えば23×83(1909の素因数分解)のように、2つの数の差がかなり大きい場合、どのように解けば良いのでしょう？？

[@user-ui9vc1wx2r]

①この動画のようにして1909より少し大きい平方数(1936_44×44)を導く ②素因数分解出来るのであれば44より小さい約数を持っているはずなので2からごり押す でどうでしょうか？スマートじゃありませんが…

[@kn590624]

大学受験ではそんな問題でないと思われます

[@user-hn5gr8zk5e]

@@kn590624 本末転倒

[@sours117]

1909を例にとると、下1桁が9なので、3とか7とかで判定してダメな時点で半素数と予想して○3×□3か◎1×■9に絞ると、11,13,19,23のように絞れますが、これでも大変ですね。このとき計算をもっと楽にするなら、19は1900の約数だからありえないとか右から奇数番目の和と偶数番目の和の差が11の倍数でないから11も違うとかですかね。 ちなみに他の約数の差の大きい素数として23×73=1679であれば、48^2-25^2というのが使えますが、これも大変ですね

[@kd-dx4ci]

この動画のやり方は、一般に入試で出される問題では差が小さい、という経験則を元にしていると思われますので、差が大きい場合は、難しいですね。 差が大きい場合でも効率的に素因数分解をする方法を見つけてしまった場合、現在のRSA暗号（https などで使われています）のような素因数分解の困難性を元にした暗号が危殆化してしまいます。 したがって、この動画のやり方は、一般に適用できるわけではなく、あくまでも日本の大学入試という、極めて一部においてのみ有効な方法、だということです。 素因数の差が大きいのか小さいのかについて、何の仮定もできないのであれば、2 から順に素数で割っていく、普通の方法でやるしかないと思います。 （仮に他に方法があったとしても、同程度の計算量）

[@clearplanenl5162]

5767が70と80の間なのは同じようにわかった 5767の1の位は7なので因数の1の位はそれぞれ1と7か3と9になる 10の位が共に7だとしたら、71✕77は違う、73✕79は5767→当たり これで違ったらたぶん10の位を変えて61✕87とかやってたと思う まぁ、ある程度あたりをつけた勘になっちゃったねぇ

[@okim8807]

これはギブアップ。１分でできる気がしない。 3で割れないことは2秒、 (5767-707)/10=506を7で割って見て3秒、 5060と707を見比べて11で割れないことを3秒、 までで確認してギブアップ。

[@user-qp1ot8ow2j]

一の位が7になる２つの積の組み合わせが(1、7)(3、9)だから一の位がこれの2、3、5、7の倍数でない百までの整数で割るのが最適解じゃね？

[@user-fo7dm9fb5x]

どうせでっかい素数の積で70~80で、5767の一の位7だから一の位は3-9か1-7の組み合わせだけで２つに絞って電卓使いました（超適当）

[@user-kd1qg2gz9c]

チコちゃん年齢２歳です。 下一桁が５である２桁の数字の２乗の暗算と、問題の下一桁が７なので、 １分かからず暗算できます。 75の２乗が5625なので、75に近い素因数で、掛け算の結果が下一桁７であれば３と９がわかる。 したがって　79と73　がすぐに出ます（素因数という大ヒントがあるのでわざわざ計算しません）

[@user-eh3iq9hl1l]

いやあこれはおもろい！ めっちゃ興奮した笑

[@user-wk5hy2hm1f]

4日目視聴！三日坊主脱却…笑 理系のくせに数学アレルギーだけど、今日の授業はすごい楽しかったです。素因数分解したくなりました笑

[@user-ci1me7jl1w]

解説見たら、直ぐに分かりました。 和と差の積で、ほとんど収まる。

[@o-shiraishi]

76^2=75^2+75+76

[@cl3159]

同じ事した

[@user-su8yq4ls7x]

よく思いつきますね.......

[@upacoupacotti8657]

75×75は、１の位が5で、10の位が同じ７です。教えていただいたやつだ！ と勇んで、75の二乗をしました。すぐに5625とわかりました。（ありがとうございます！） でも、5767から引いてみたところ、142となってしまいました。 平方数ではない・・・と、あきらめてしまいました。 でも、解説がはじまってすぐに、あ！　次の76の二乗か！！とひらめきました。 76の二乗も、インド式なら簡単に出せますね。 通常なら、計算が億劫で、すぐに解説を読んだりして、あ～そ～か～自分にはやっぱりひらめきやセンスがないからな。なんてあきらめていたところでした。 教えていただいた、10の位が大きいときの秘策インド式計算も復習しました。自分流に「潮出汁（うしろ足し）を前にかける」と覚えました。 インド式で自分で出した76の二乗（5776）から問題の5767を引いたら、9になったときのうれしさは格別でした！ いつもありがとうございます。 まだまだ実力がありませんが、ついていきます！

[@epsom2024]

よくある問題なので1分あれば十分解けます

[@user-mjiq22]

5767が79の倍数なのを知ってたから一瞬でした

[@kphh5165]

インド人いた

[@user-tm3nb4bk1k]

これ気持ちいいな

[@hecate6476]

この方法は3つの素数の積でもできるのでしょうか？ 例えば52049など どなたかやり方教えてください🙇‍♂️（違う方法でも可）

[@gontatama4975]

こりゃ楽しーや！

[@fujikoyassan]

大体75以下の素数かー、適当に73で割ってみるか？ ⇒合ってんじゃん

[@kounitakaguchi8899]

79と73が素数かどうかの確認で1分かかりそう

[@user-by9oi7jz3c]

偶数×、5の倍数×、9×あと残り7か3・・・どちらも×・・・＞素数

[@shhi9379]

100未満の素数は暗記すべし。

[@makotoishizuka6479]

@@shhi9379 ２桁の素数は「末尾が奇数(5を除く)」且つ「10の位＋１の位が３で割り切れない」且つ「10の位×7＋１の位が７で割り切れない」だけで判定可能。

[@onigiriponko2_88]

基本はかんたんな数に置き換えるんですね。😯

[@user-ky2mg8pc9c]

素因数分解問題に関する、解法のポイント解説に感謝します。 　参考までに、私の携帯番号に5767が、含まれていました。 　失礼ながら、貴殿の解説はとても明快です。 2021.6.7　元数学教師の端くれより

[@masaitoh3145]

ルールは自分で作れ、かっこいい

[@user-kk9vi4vy6g]

79も73も素数ってどうやってわかるの？ 素数じゃないときもあるの？

[@AquA_porinrin]

素数じゃないときがあるのかはわからないけど79も73も1と自身の数以外約数持たないから素数じゃん

[@プロゴリラー]

64

[@oppy20020617]

パスラボ登録してたけど「ヨロシク頼むぞぉ！」とかことあるごとにパンダが出てきてワンクッション置くのが広告並みにウザかった その他医学部仲間？がやんややんや出てきて騒ぐノリについていけず登録解除 教育系KZbinrでやるならこのスタイルが一番いい

[@gaiatetuya92]

差をとったものがすぐ平方数になるとは限らない。(ならない場合の方が多い）３４１３８１をその方法で和と差の積にすぐ因数分解できるか？見つけるまでに終わってしまうわ。

[@Nis-vl6xg]

デスクトップに素因数分解するプログラムが転がってた。 でも何故か起動に時間が掛かってたな。素数配列を作ってたのかな？

[@user-tz5nc8fy4j]

じぶんが問題作るならメインの素数×素数に7をかける

[@user-wx5ln5mh7f]

寝ながらだから電卓アプリ使って解いたけど二分ぐらい掛かった

[@例示は理解の試金石]

71〜79のうち一の位の積が7になる組み合わせを探すんやで〜、その方が早いよ、平方数は覚える必要なし

[@shironeko5375]

73と79が素数なのかってどう判断すれば？　大きい素数ほどどうやって素数か判断したらいいかわからない

[@totu4039]

その数の平方根よりも小さい値で割れなければ素数です。 → 2桁の場合は9までの数で割れなければ素数です。 → 2桁の場合は2,3,5,7で割れなければ素数です。 2,5は簡単、3も簡単。あとは100までの7の倍数を覚えておくか、さっと7で割ってみて割れなければ素数。

[@makotoishizuka6479]

@@totu4039 70未満の７の倍数は小２で必ず覚えさせられるので良しとして、70～100の範囲の７の倍数は70を引けば容易に判定可能。

[@aviation758]

BGMがちょっと大きくて集中しづらいです、、、

[@user-wj5yo9xx4l]

あぁ，これ79と73が素数であること知ってないと･･･不安･･･さらに答えだけ書くと減点の恐れがあるので･･･記述は･･･面倒･･･ こういう計算だけで解けない記述が面倒になる算数問題はやめて欲しいね･･･解けても楽しくないし苦痛なだけ

[@user-kd6sy4zw1w]

できました！

[@smbspoon-me-baby]

私でグッド225、バッド2になったので誰か1人がバッドを取り消すか、2人がバッドしてください()

[@user-db5hr5ju9b]

75^2は考えれたけどあれできないじゃんって止まった

[@user-db5hr5ju9b]

10ヶ月後の俺全く同じ考え方してまた詰んでて草

[@user-tz5lh5fy6c]

数学ゲームじゃなくて　記憶ですね

[@kk3835]

まず、2桁の数の2乗を把握することだね。 そして、「和と差の積」の公式を正しく理解することだ。 そうしておけば、この動画で出題された問題は楽勝できるね(^_^)v！

[@user-gq6pc1kx9s]

平方数と立方数って30くらいまでは覚えた方がいいのかな

[@OVer4811]

100まで覚えましょう()

[@user-me9me4rv6l]

やった上位1%や

[@user-eh3iq9hl1l]

9991は有名なので一瞬でした笑

[@yj-nw7el]

板書の前でうろうろ動くから見にくかった

[@HideyukiWatanabe]

今回は差額が9だからいいけど5777を素因数分解とかだったらどうするんだろう。

[@kphh5165]

素数でゴリ押す

[@user-lx1vt4bs3s]

81の二乗－28の二乗で因数分解して53と109だけど素数で押した方が楽かも

[@HideyukiWatanabe]

そうなんですよ。引く方が1桁の2乗ならいいけど、28^2なので発見しにくいですよね。 しかも元の問題のように、70^2+(3+9)*70+3*9のようにする方法も使えなさそう。

[@例示は理解の試金石]

何ヶ月か前の動画のコメント欄に解法書いたんですが覚えてる方いるかな

[@h.s.1143]

76^2=5776を思い出せたので勝利できた()

[@user-tt2ku3oe7z]

1年前のコメントばかりだけど。焦点合わせてくださいよ。すばる君。

[@kazuh7698]

これって数はなれてたら、絶対とはいきませんよね、83×37＝3071　は素数か？　こういうのは屁理屈というか、悪問の類なんでしょうか？

[@Micchann0051]

1分で解け・・・解けるわけないじゃん。どうしてこういうタイトルを、つけたのかな？心理を知りたいです。(すみません)

[@yankoro1969]

MathLABOが益荒男と聞こえたw

[@koichirosuzuki1718]

5491の様な場合は…

[@KEI-lz9fk]

何の二乗かわからんかったら無意味だな

[@studyforuts1290]

暗算で出来た

[@user-tq3bp7wt8o]

余裕っす

[@oi_ponik]

3分2秒だったので偏差値59ぐらいでしょうか笑

[@user-sv6do1ke5u]

＞数学の先生にでも問題を出してみましょう⁉️ それは【新手のいじめ】ですよヾ😅

[@user-qc9zu6un6r]

1分ちょい

[@hulegaut123]

42秒でできた！

[@user-si2zc9bg4g]

ほぉ〜〜〜〜〜