Analisi II - Massimi e Minimi Vincolati - Esercizio svolto n°6

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~ Nell'esercizio di questo video si chiede di calcolare il massimo e il minimo assoluto della funzione a due variabili:
f(x,y)=y^4-x^4 sull'insieme C={x^2+y^2 minore o uguale a 1}
Si tratta di un problema di estremo assoluto su un vincolo e in particolare useremo due metodi diversi per risolvere tale esercizio: il metodo della parametrizzazione e il metodo dei moltiplicatori di Lagrange.
Analisi 2, funzioni a due variabili, massimi e minimi vincolati, moltiplicatori di Lagrange, punti stazionari, derivate parziali, teorema di Weierstrass, esercizi svolti.

[@aclockworksausage4344]

scoperto da poco, giovane e dinamico, mi piasce

[@margaritatabellini8806]

Grazie mille per gli esercizi chiari e ben dettagliati! Unico canale del con le spiegazioni comprensibili al primo ascolto

[@ilMatematicoMascherato]

Grazie!! :)

[@marcovirgili8129]

ma nel punto (0,0) invece cosa c'è un massimo o un minimo?

[@astorino.francy]

Perché quando hai utilizzato il metodo dei moltiplicatori di lagrange , non hai fatto come gli altri video ed hai utilizzato i vettori ?

[@giggiox3824]

Ciao! Ho ancora una domanda XD, se nella ricerca dei punti stazionari interni al vincolo trovo un punto che sta strettamente fuori dal vincolo, non lo devo considerare, giusto? Come se in questo caso avessi trovato (-2,0) nella ricerca degli zeri del gradiente di f, lo avrei dovuto "scartare" come candidato. Mentre per esempio se avessi trovato (1,0) lo avrei "tenuto". Allo stesso modo se quando ricerco massimi e minimi vincolati sulla frontiera, e trovo punti che stanno dentro, o stanno fuori (intendo che non sono proprio uno 0 del vincolo) non devo considerarli, giusto? Come se in questo caso dopo la parametrizzazione e la ricerca dei punti dove si annulla la derivata prima avessi trovato (2,0) o (0,1/2), non li avrei dovuti considerare.

[@ilMatematicoMascherato]

Si è corretto ma con una avvertenza: la seconda situazione (quella sulla frontiera) non può mai verificarsi, prova a pensare al perchè

[@giggiox3824]

@@ilMatematicoMascherato Ci avevo pensato anche prima di scrivere il messaggio, con il metodo dei moltiplicatori di Lagrange non può succedere perché la 3a condizione a sistema è il vincolo, però quando parametrizzo non sono sicuro di quello che sta succedendo, perché riduco le variabili della funzione e ammetto che questo mi manda un po' in confusione su quello che succede geometricamente, la derivata prima della funzione parametrizzata non potrebbe dare un punto fuori (o dentro) al vincolo?

[@ilMatematicoMascherato]

@@giggiox3824 Calcolare la funzione sulla curva parametrizzata è equivalente a restringere la funzione alla curva ( nella pratica vai a vedere il corrispondente valore di f(x,y) solo sui punti (x,y) che stanno sulla curva, il vantaggio è che la curva è "unidimensionale", basta il solo parametro t per descriverla. Quindi f(\phi(t)) è la funzione che prende t e gli associa: t->\phi(t) "=(x,y)"->f(\phi(t)) "=f(x,y)"). Tutto quello che riguarda f(\phi(t)) necessariamente vive sul vincolo, perchè \phi(t) è il vincolo! Esempio: se trovi che per t=1/4 hai un punto stazionario significa che la funzione f ristretta alla curva ha un punto stazionario nel punto \phi(1/4)=(x_0,y_0) che banalmente è un punto della curva e quindi del vincolo.

[@giggiox3824]

@@ilMatematicoMascherato tutto chiaro! Grazie mille come sempre 😃

[@Alexandra-do8xl]

Ma qual è la differenza tra punti di massimo e minimo assoluti e punti di massimo e minimo vincolati? Grazie

[@ilMatematicoMascherato]

Un punto di massimo assoluto è un massimo per la funzione f su tutto il dominio : (x0,y0) è di massimo assoluto se f(x0,y0)>=f(x,y) per ogni coppia (x,y) nel dominio di f. Un punto di massimo vincolato è un massimo per f non su tutto il dominio ma bensì su un vincolo (cioè un sottoinsieme del dominio) : sia V un sottoinsieme del dominio allora (x0,y0) è punto di massimo vincolato per f su V se f(x0,y0)>=f(x,y) per ogni coppia (x,y) che sta in V. Oss: quindi un punto di massimo vincolato non è detto che sia anche un punto di massimo assoluto.

[@Alexandra-do8xl]

@@ilMatematicoMascherato Grazie mille davvero

[@alessandra120]

@@ilMatematicoMascherato quindi quelli che calcoliamo sulla frontiera con i moltiplicatori di lagrange non sono massimi o minimi assoluti, ma vincolati?

[@ilMatematicoMascherato]

Si esattamente, sono massimi e minimi vincolati al bordo di C (cioè in sostanza sono i valori più grandi e più piccoli che prende la funzione quando è calcolata soltanto sui punti che stanno sul bordo di C)

[@alessandra120]

@@ilMatematicoMascherato Perfetto, grazie mille ❤