バングラデシュ数学オリンピック

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[@mips70831]

x+y＝1　と和の値が分かっているので、xyの値を求める方針で計算。 第1式を5乗して対称式を使いながら、整理すると xy の2次方程式に帰着。 xy＝3，−2　となるので後は2次方程式の解と係数の関係より x，y を求めました。 実数解の方ではじめて、「あ、ほぼ自明な解やん！」と気づいた次第でした。 本日も勉強になりました。ありがとうございました。

[@みふゆもあ]

ちょいと他の方のコメントを参考にして、基本対称式の片方しかわからない場合、他方を文字で置いてコツコツ高次の冪乗和を求める方法を考えてみました〜。 nを整数としてA(n)=x^n+y^nとする。 この問題でA(1)=x+y=1, A(0)=x^0+y^0=2 xy=zとして、xとyはtについての２次方程式 t^2-t+z=0を満たすから、数列A(n)については A(n+2)=A(n+1)-zA(n) これから次々と A(2)=A(1)-zA(0)=1-2z A(3)=A(2)-zA(1)=-3z+1 などと求められ、 A(5)=5z^2-5z+1=31 ∴ 5(xy)^2-5xy+1=31 これから(z+2)(z-3)=0 ⇄ z=-2, 3 これは他に何かに応用できそうだな〜😊✌️

[@みふゆもあ]

例えば！ x^6+y^6を基本対称式で表したいけど面倒くせ〜な〜という場合、x+y=S, xy=T と置いて A(n)=x^n+y^n, A(0)=2, A(1)=x+y=S, xy=Tとすると、３項間漸化式から（途中の式は省略） A(6)=S×A(5)-T×A(4) =S^6-6T×S^4+(S^2)×(T^2)+2T^3 とか〜。 包除原理なんかと関係あるんだろうけど、難しいことは良くわかんねぇ。 さ、仕事行くか！

[@kiss_off]

動画と同じようにして１文字消去で４次方程式を解きました。 解説ありがとうございました。

[@kmr123]

(x + y)(x^4 - x^3 * y + x^2 * y^2 - x * y^3 + y^4) = 31としてx+y=1からxyの値を出す解法がベストだ。 動画の解法はスマートではないね。

[@みふゆもあ]

解けました〜😊 わざと面倒くさい方法で解いてみた！ 基本対称式の値を出しちゃいま〜す！ 第２式の左辺を変形しま〜す！ (x+y)^5-5xy(x+y)^3+5(x+y)(xy)^2=31 これにx+y=1を代入して 1-5xy+5(xy)^2=31 (xy)^2-xy-6=0 ∴ xy=-2, 3 [I] xy=-2のとき xとyはt^-t+2=0の２解であるから (x, y)=(2, -1), (-1, 2) [II] xy=3のとき xとyはt^2-t+3=0の2解であるから （入力面倒くさいので省略しま〜す！）

[@KT-tb7xm]

因数分解よりこっちの方が早いですね😅

[@hide4768]

同じやり方です！

[@みふゆもあ]

@@KT-tb7xmさん 最初の基本対称式使った式変形を厭わなければ、ですね〜😊

[@KT-tb7xm]

@@みふゆもあ さん 確かにそこは一工夫いりますね🤔

[@yoke9162]

同じです xもyも係数が1なのでパスカルの三角形がそのまま使えるため変形自体は一瞬です 記述は量が増えるので面倒ですが…

[@KT-tb7xm]

1つ目の式を使ってひたすら次数下げしました。 2つ目の式を因数分解して 　 (x + y)(x^4 - x^3 * y + x^2 * y^2 - x * y^3 + y^4) = 31 ⇔ x^4 - x^3 * y + x^2 * y^2 - x * y^3 + y^4 = 31 (∵ x + y = 1) ⇔ x^4 + y^4 - xy(x^2 - xy + y^2) = 31 ⇔ x^4 + y^4 - xy{(x + y)^2 - 3xy} = 31 ⇔ x^4 + y^4 - xy(1 - 3xy) = 31 ⇔ (x^2 + y^2)^2 + xy(xy - 1) = 31 ⇔ {(x + y)^2 - 2xy}^2 + xy(xy - 1) = 31 ⇔ (1 - 2xy)^2 + (xy)^2 - xy = 31 ここでt = xyとして整理すると 　 5t^2 - 5t + 1 = 31 ⇔ t^2 - t - 6 = 0 ∴t = xy = 3 , - 2 つまり，xとyは s^2 - s + 3 = 0 u^2 - u - 2 = 0 の解となるので，これらを解いて求めました。

[@user-uh4gt6fk8v]

oh! show yourself at your best😮

[@KT-tb7xm]

@@user-uh4gt6fk8v さん thx❗

[@KT-tb7xm]

@@user-uh4gt6fk8v さん 何やらご質問をいただいていたようで，消えているので 既に解決済みかもですが，一応解きましたので，返信します。 まず，解と係数の関係より a + b + c = - 7 なので，これを使って与式を変形する。abc ≠ 0が明らかなのも使いつつ 与式 = - a/(7 + a) - b/(7 + b) - c/(7 + c) = - {1/(7/a + 1) + 1/(7/b + 1) + 1/(7/c + 1)}　① ここで， A = 1/a B = 1/b C = 1/c と置いて，これら3値を解に持つ3次方程式を作ることを考える。 元の3次方程式の両辺をx^3で割って， X = 1/x と置けば - 39X^3 - X^2 + 7X + 1 = 0 なので，解と係数の関係から A + B + C = - 1/39　　　② AB + BC + CA = - 7/39　③ ABC = 1/39　　　　　 ④ と分かるので，①に戻って 与式 = - {1/(7A + 1) + 1/(7B + 1) + 1/(7C + 1)} = - {49(AB + BC + CA) + 14(A + B + C) + 3}/{343ABC + 49(AB + BC + CA) + 7(A + B + C) + 1}　⑤ ⑤に②～④を代入すれば15/2となります。

[@coscos3060]

@@KT-tb7xm さん　ほんとに、わかりやすい 聞いてよかった😂　スクリーンショットさせてもらいました A = 1/a B = 1/b C = 1/c と置いて……の発想解法が全体的に俯瞰できやすくなりました。 ありがとうございました。

[@KT-tb7xm]

@@coscos3060 さん お役に立てたようでよかったです😄

[@teketeke9487]

おはようございます。対称性を意識すれば、x+y = 1 の辺々を5条したくなりますよね。 そうすると、基本対称式だけの式が登場し、かつ x+y = 1 を使えば、z=xy について z^2 - z -6 = 0 との二次方程式になるので、答えが出ます。

[@user-vs5st6to5m]

xyを出して無事に求めましたが、無駄に5次式と思って、残り一つを探したりしてましたが自己解決出来ました！😭

[@user-qx1lh9ce4m]

おはようございます。 今日は数Aのテストなので頑張ります

[@KT-tb7xm]

健闘を祈ります👍

[@user-ky2mg8pc9c]

貴殿の不断の努力結実を、陰ながら祈っております。

[@user-hl7de2ww5t]

お歳暮が一件届くおばさんだ 　２⁵から（２，ー１）（ー１，２）が見えました。先生と同じようにパスカルの三角形も描きました。複号同順にも、気づけました。４解、出せられ、昼からは心も軽く、息抜きに、県展の移動展をのぞきに行ってきます。どうも、ありがとうございました。 　満百歳、母代わり。

[@teketeke9487]

万華鏡さんは、いつもの x+y=u (=1) x-y=v 方式かなw

[@nonchinkan1]

基本対称式のxyを求めてやりました。最後はできましたが、いつもながら途中の計算で・・・。注意が足りません。今日もありがとうございました。

[@kentak1012]

対称式なので、地道に次数下げしました。久しぶりにできた。

[@みふゆもあ]

もっとＫＵＳＯ面倒くさい方法で解いてみた！ x^3+y^3=k, x^5+y^5=L（kとLは定数）みたいなグラフはどんな感じになるのか概形わかってるから、この連立方程式は実数解が自明な(x, y)=(2, -1), (-1, 2)で、他は虚数解。 その虚数解を求めたる！ 共役で和が１なんだから（∵ x+y=1）、 x=(1/2)+bi, y=(1/2)-bi（bは実数）と書けま〜す！ これらを第２式に代入して (1/16)-(5/2)b^2+5b^4=31 16b^4-8b^2-99=0 (4b^2+9)(4b^2-11)=0 bは実数だからb=±(√11)/2 できました〜！🤤✌️👍

[@HachiKaduki0501]

四十数年前、私が経済学部の学生だった頃、x^a+y^a=1のグラフにおいてaをどんどん大きくして行くと、 (1,1), (1,-1), (-1,1), (-1,-1) を４つの頂点とする正方形に近づいて行くという話を（ミクロ経済学の講義で）聞いたことを思い出しました。 たしかに、当時私たちが学んでいたミクロ経済学では数学的モデルが多用され、"偏微分"などのToolを使いこなすことは必須だったのですが、流石に"限りなくxy軸に近い双曲線みたいなの"から正方形に膨らんでゆくグラフをどういう場面で使ったかについては、全く記憶がございませんw

[@PC三太郎]

2本目の式の左辺を基本対称式に直す作業をすれば、対処できますね。 1文字消去は一見楽そうにも見えますが、本問のような場合、2本目の式の右辺の定数が違う値だったなら、 フェラーリの解法を持ち出さないと解を陽に書き下せない可能性が出てくるので、基本対称式での対処がよさそうに思います。

[@vacuumcarexpo]

ヨシッ❗ 途中から紙吉。

[@daibon]

「数学オリンピック」にしては骨がないというか・・・。（＾＾； もしかしてこれを数列A1=x+y、A2=x^2+y^2・・・なんてやるとハマるのかなぁ・・・。 やる気もしないが。（＾＾；

[@みふゆもあ]

ナイスアイディア！ それ使えば基本対称式の一方しかわかっていない場合、他方を文字で置いてコツコツ高次の冪乗和を出せますね！😊

[@nishitoku]

基本対称式なんだろうと思いながらも，取りあえずy=1-ｘを代入したら，2, -1も見えたので出来てしまった．

[@HachiKaduki0501]

おはようございます。 貫太郎さんの考え方、解き方と全く同じでした。 31という数字を見たとき、頭に林威助という名が浮かんだのですが… これから、素数を"イスケ"とでも呼びましょうかw

[@KT-tb7xm]

ちょっと懐かしい名前がw

[@user-ky2mg8pc9c]

｢無線して　数学まなぶ　二刀流｣明快な解説に感謝します。

[@baka4825]

まず解は４つということに気づくことから始める。

[@yamachanhangyo]

これ、多分皆解けるんじゃね？…と思って視聴したらやっぱり解けた。 私自身はX＋Y＝１という条件が分かっているんだから、だったら下の5次式からx+yと叩き出しまくって、残った式について解けばOK…と考えた。 で、（２，-1)（入れ替え可）が既に解…というのは意表を突かれたｗ いや、仮にも数学オリンピックで、戦闘開始直後に解が二つ出てくる問題なんてあるわけねぇ…と思うのだが、それを利用して仕掛けを暴くのも面白いのかなとは思う。 まぁ、サービス問題だったんでしょうねぇ。 なんか怖い続きがありそうだけど…

[@ailurophile9909]

因数定理で簡単な解の存在に気が付けば、中学生でも解ける感じか。

[@walking_youtuber]

・・・