Deux (deux ?) minutes pour... le théorème de Bézout

Avez-vous déjà cherché l'intersection de plusieurs courbes algébriques ? Parce que Etienne Bézout, lui, il l'a déjà fait, et ce qu'il a découvert est troublant.
Toutes les courbes ont été tracées avec le logiciel GeoGebra, qui depuis sa dernière version peut tracer n'importe quel courbe algébrique à partir de son équation polynomiale.
Transcription + commentaires + bibliographie sur mon blog : eljjdx.canalblog.com/archives/...
Choux Roman&co : eljjdx.canalblog.com/
Musiques : TAM • Tam - The dock of Memo...

[@abellematheux7632]

Les maths c'est comme l'amour, on commence avec des Bézout et on finit avec des Gauss.

[@abellematheux7632]

XD

[@MG-fu6it]

Je voulais la sortir !

[@loicgeeraerts]

Excellent.

[@mohamedadel31]

XD bien vu

[@sp7409]

Dans un Landau

[@alexterieur2599]

Si vous voulez que El Jj fasse une série de vidéos sur les 7 problème du millenaire, mettez un pouce bleu !!

[@ElJj]

Pouce bleu pour qu'il le voit!

[@alexterieur2599]

+El Jj haha x) non franchement je pense que ce serait sympas :)

[@HalleckssBO]

OUI! S'il te plait ^^'

[@savoirsupreme1465]

Alexandre EVRARD Ca serait vraiment génial ce sujet me passionne

[@mike_datpseudo]

rien ?

[@professeurcultureprecieuse936]

Encore une super vidéo, elle montre à la fois la rigueur que nécessite les mathématiques mais aussi le niveau d'abstraction qu'elle demande. Surtout ne t'arrête pas ;)

[@msgrtuning]

Celui qui a écrit l'URL de cette vidéo s'est endormi

[@cyrilpujol2047]

Ah oui surement

[@rubisetcie]

Pas mal... :)

[@WahranRai]

C'est normal ! Il parle du theoreme de BeZzZzout

[@VantasiaGD]

kzbin.info/www/bejne/ZpC9q42wq92hhpI effectivement

[@MagicFr49]

Ce moment de joie quand tu vois une nouvelle vidéo de El Jj dans tes abonnements... Génial encore une fois !

[@YoHaAnN666]

Toujours un plaisir de se connecter à KZbin et de voir une nouvelle vidéo de ta part ;) Tu fais un superbe travail, instructif, clair et passionnant ! N'hésite surtout pas à rallonger encore plus tes 2 minutes qui en durent déjà 10 :p

[@brusicor02]

Commentaire 1 174 313 modulo 458 ! Oui, d'accord, preums, ça va plus vite.

[@sic.]

C'est le meilleurs preum's que je vois de toute ma vie.

[@niamor314]

On dit First quand on parle le KZbin.

[@abellematheux7632]

sic moi aussi

[@youssef5666]

il n est pas youtuglotte avance il prend des cours avec un youtuphoniste

[@thibaudjacolin-buffard9397]

Comme t tu sais que 1 174 313 estcongru à 1 Modulo 458 ? PS je suis en term je connais pas grand chose en arithmétique

[@MrXTremeLegend]

Tu es de loin la chaîne qui parle (en l'utilisant) le plus de math dans l'horizon de KZbin que je connais, aussi bien en français qu'en anglais, et c'est fascinant à découvrir, j'ai vraiment eu l'impression d'étendre mes connaissances (même en surface) grâce à tes vidéos. J'ai hâte de voir la suite, en tout cas j'aurais toujours deux (deux?) minutes à perdre pour voir tes vidéos. Pour une fois que mes suggestions font bien leur boulot!

[@clementdesvaux9013]

tes videos sont vraiment très intéressantes puisque tu essayes dd'expliquer clairement le problème et ne reste pas trop en surface de celui ci. Continue !

[@JN-ec2my]

Moi qui suis en thèse en géométrie algébrique, j'ai hâte de montrer ça à mes parents pour qu'ils comprennent un peu ce que je fais dans la vie ! Super travail :D

[@eddieska]

Un grand merci pour tes vidéos : le montage, les animations et la musique sont excellents.

[@marinboyet8783]

Woaw, après avoir essayé de lire une demi douzaine de cours différents de géométrie projective, j'étais toujours à la recherche du déclic qui me permettrait de visualiser cette abstraction. C'est bête, mais ton animation du plan en perspective vient enfin de faire tomber cette barrière :D Et super cool de découvrir une chaîne qui parle de maths d'un niveau un poil plus "avancé" que d'autres chaînes connues !!

[@sebastienjimmy3344]

Bravo el jy étant passionné de maths et entrant dans mon cycle post bac je ne peux qu'admirer les magnifiques choses qu'il me reste à découvrir Par ailleurs je te suis depuis le début et trouve que tu as formidablement progressé j'en arrive même à attendre impatiemment la prochaine video continue comme ça c'est genial

[@nicholegendrongendro]

Vous expliquez magnifiquement bien.Vous êtes passionnant.🐢

[@gaelbxl1338]

toujours beaucoup de génie et un boulot qui merite d être applaudi :) bon allez, gros bézout à tous

[@qnouro]

Super ! enfin une vidéo , j'aimerai vraiment en voir des plus souvent (à condition de garder la qualité bien sûr ! ^^) bon boulot continue comme ça :)

[@illuzionnistfr8936]

Bonjour, Ca faisait longtemps qu'on attendait une vidéo ! Super Best Math youtuber ever :D

[@arthurmeyer1935]

la qualité de tes vidéos est de mieux en mieux! continur comme ça, tu gères!!!!

[@guillaumeb1409]

J'aime vraiment tes vidéos c passionnant et tu arrives à condenser beaucoup de fait sans pour autant perdre en clarté et en rigueur continue !!! Je suis en ts et grâce à toi j'ai découvert à quel point les maths peut être intéressant et cool ⚡️👌🏽🔝

[@CissInc]

Bravo pour ton gros boulot de vulgarisation ! Ça fait du bien des maths possibles à comprendre en 12 min (pardon... Deux !) :D

[@MonCompteTubulaire]

Chapeau ! J'adore ce que tu fais, garde le cap !

[@AkilimSandboxandVoxel]

Tes vidéos sont de vrais délices :) Merci !

[@antoninbourdin2962]

Cette vidéo est géniale, comme toute les autres :) tu es génial JJ, continue comme ça !

[@johanlikethefish1591]

Merci, très chouette :-D L'ultime image de l'épisode est très belle.

[@marcdurand2275]

Vidéo d'une grande qualité. Impressionnant.

[@Boustifire]

J'aime toujours autant tes vidéos. Merci !

[@winter9753]

Quand tu "inclines la caméra" pour voir le point d'intersection de deux droites parallèles sur la ligne d'horizon, si tu la penches dans l'autre sens, tu verras un deuxième point d'intersection, non ? Or, le théorème de Bézout n'en prévoyait qu'un seul si je l'ai bien compris. Tu peux m'expliquer stp ?

[@ElJj]

Effectivement, mais cet "autre" point à l'infini est en réalité le même que le premier. Je n'ai pas détaillé pas les limites de cette analogie de la "rotation de caméra" pour ne pas allonger trop la vidéo. Quand on passe par les calculs plutôt que par cette analogie, on appelle un "point à l'infini" les directions (vertical, horizontal, etc..). Ainsi, quand on a deux droites parallèles, on a un seul "point à l'infini", celui qui correspond à la direction de ces parallèles (et qui s'interprète comme un couple de "vrais" points sur des "droites horizons").

[@winter9753]

El Jj Ah ok ! D'accord, merci beaucoup !

[@carnetdadresses8084]

@@ElJj ça veut dire que à chaque fois ça sera symétrique d'un côté et de l'autre de la caméra ?

[@raphaelh6791]

El Jj du coup 2 droites parallèles se coupent en un point infini et 2 droites parralleles se touchent finalement donc la definition de droites parralleles doit etre revue comme 2 droites se coupant en un point infini

[@apustuflu]

ça fait longtemps et trop plaisir !

[@phsauvoux1407]

J'adore tes vidéos, tu explique tres bien. Continue comme ca!

[@hvadhvem6138]

C'est vraiment génial ce que tu fais. Tu me confortes dans mon choix d'étudier les maths !

[@Lezator]

Merci pour toutes ces vidéos et pour cette année scolaire avec vous ! C.C

[@pharma7382]

ENCORE ENCORE, J'EN VEUX TOUJOURS PLUS

[@lascabettespaul2385]

Superbe vidéo encore une fois, c'est de loin ma chaîne youtube préférée ! :)

[@jphdevaux75]

Bravo ! C'est superbement bien expliqué et bien mis à la portée de mathématiciens en herbe.

[@ringuet-douxk7725]

Bravo. Formidable. Ça me rappelle Maths Spé, il y a 30 ans !!! Il faut continuer.

[@oblinky]

Vraiment vraiment bien cette chaîne dis donc

[@toumanisidibe3602]

J'adore ce que tu fais ! Continue ainsi

[@ledouble7337]

La géométrie projective, y aurait de quoi en faire une vidéo. On m'avait montré comment démontrer des théorèmes mastoc de géométrie de manière hyper élégante, genre on passe dans le plan projectif, on se retrouve avec le théorème de Thalès, et zhou on revient dans le plan et CQFD, un peu le parapluie de Micmaths). En deux (deux?) minutes vous auriez de quoi faire je me dis, et mes souvenirs sont tellement flous... Bien sûr, bravo bravo pour tout!

[@climbersilver2473]

Magnifique vidéo, pour un magnifique théorème !

[@zonn8954]

Bravo à toi, comme d'habitude c'est parfait :)

[@DiegoMathemagician]

Hi, I don't know any French, but I watched the whole video with subtitles and it was amazing! You have a new subscriber :) What a nice opportunity to learn some French and mathematics!

[@CraquezZig]

Super comme à ton habitude, continue comme ça :)

[@jeanfonssedeporte3158]

Vraiment une superbe vidéo, comme d'hab !

[@XAdriMine]

Bon ben j'ai fini toutes les vidéos en 2 soirées... Voilà voilà... Un chaîne de ce type à me conseiller qui ne soit pas déjà dans mes abonnements ? :) Superbe travail El Jj, je rêvais d'une chaîne comme la tienne, qui parle de maths et qui les utilise sans utiliser beaucoup de calculs, je vais assurèment faire tourner ta chaîne :D

[@oskouralaid]

Absolument génial!!!!!

[@joquerofaitdesvideos]

Merci pour tout ce travail :)

[@mathieugarcia3350]

Excellent ! (Comme toujours)

[@theoperdriel3543]

merci elji, super vidéo

[@tripore]

Très intéressant... surtout la suite du "mais là c'est une autre histoire". Tell me more !

[@Akie51_Old]

Oh ce coeur à la fin ♥

[@demetrioslucrece9274]

D'abord, félicitation pour tes vidéos qui sont d'une qualité remarquable (en bien :) ) sur le youtube scientifique. (En plus t'as (je te tutoies, paraît que ça réchauffe les relations et je voudrais pas aller à l'encontre du 2eme principe de la thermo) une voix agréable! Faudra faire une FFT un jours!). Bref, trêve de plaisanterie, je voulais te faire remarquer que personnellement j'aurais pris deux (deux?) minutes de plus pour introduire la sphère de Riemann et la projection stéréographique pour pouvoir montrer un unique point à l'infini, plutôt qu'une "ligne d'horizon". En plus ça t'aurait permis d'ajouter "compactifié d'Alexandrov" à ta liste "show-off" ;) Mais bon, ça sera peut être pour une prochaine vidéo sur la géométrie projective. Allez Bezout! (bisous) ;)

[@cyrilpujol2047]

Super video, malheureusement j ais déjà lu tout ton blog donc je connaissais

[@NeexGraphics]

Du grand art, comme d'habitude ! :D

[@so_freez]

Super, maintenant, je sais dire je t'aime en courbe algébrique ! Etune langue de plus pour ma dulcinée, une !!!

[@dominiquemichaud7945]

Bonjour! J'adore tes vidéos! C'est intéressant et bien vulgarisé. J'ai étudié en mathématiques / informatique à l'université (1er cycle seulement, donc rien de bien poussé) et j'étudie présentement le textile. Je suis particulièrement intéressée par le tissage, puisque c'est l'ancêtre de la programmation (métier Jacquard à cartes perforées). Je me demandais si avais l'intention de faire une vidéo sur ce sujet. Je m'intéresse en particulier sur la modélisation mathématique des motifs de tissage et, conséquemment, s'il est possible (mathématiquement) de déterminer comment mettre en place les fils du métier pour obtenir un motif donné. Le problème ne me semble pas simple : je pense que l'on doive résoudre un système d'équations, mais je ne suis pas sûre qu'elles soient linéaires. Peut-être cela n'est-il pas possible? Bref, un problème pour lequel j'ai très peu de pistes de réponses pour l'instant. Merci!

[@archimedia]

tres intéressant, bien présenté, merci !!!

[@happycreeper6923]

Petit commentaire comme ça : quand tu décris le point triple entre la cubique et la droite Tu dis que perturber la cubique permet de faire apparaitre nos fameux 3 points En fait en faisant simplement subir une petite rotation à la droite, les 3 points étaient tous là ! Ça aurait été plus léger je pense comme modification pour visualiser le truc Tes vidéos sont géniales merci :):)

[@ElJj]

Effectivement ! C'est toujours les trucs les plus simple auxquels on pense en dernier...

[@adnanredouane1916]

Très bon travail .continue

[@PaZTeK97]

excellente vidéo claire et limpide !!

[@LLL999ify]

Encore une excellente vidéo. Quand tu parles d’une ligne complexe à l’infinie est ce que c’est C barre (C U +/- infini) ?

[@mathiasboucher6698]

Petite question : A 6:30 la multiplicité d'un point d'intersection est définie comme étant le nombre de points d'intersection qui apparaissent quand la courbe est légèrement transformé. Est-ce que il y a moyen de montrer que cette définition est équivalente à une autre définition plus rigoureuse (celle avec les dimensions de l'anneau local par exemple) ? Merci et encore super vidéo !

[@raphaelgonzales3481]

enfin des vrais maths sur youtube, merci !

[@MG-fu6it]

Un grand bravo et de gros Bisous pour Bézout

[@lulutac]

Certainement ma chaîne de maths préféré Mec tu me fais vraiment hésiter entre les maths et la physique... (meme si mon coeur est incorruptible)

[@climbersilver2473]

Ne choisis pas ! Fait une PCSI ou une MPSI camarade ! ;-)

[@dreamstorm194]

Ne choisit pas ! Fait une MPSI ! laisse-toi toi corrompre par le côté rigoureux de la force ! >;-D

[@anonyme8945]

Fait bts et après une école d'ingé si t'es ultra feignant XD. Tu sera major sans bosser et sans écouter en cours. Pratique pour apprendre à dessiner.

[@climbersilver2473]

ano nyme Noooon le côté sombre de la force !!! Travaille ya que ça de vrai, ... avec la PCSI !

[@akiel941]

La PCSI, il b'y a que ça de vrai !

[@newbie1173]

Waow ! Super vidéo ça valait clairement le coup d'attendre, continue comme ça t'es vraiment le meilleur vidéaste en maths sur le youtube français, tes vidéos sont les plus passionantes ! D'ailleurs quelle est la police d'écriture que tu utilises dans tes vidéos ?

[@ElJj]

Il s'agit de la police "Futurama" (www.dafont.com/fr/futurama.font), que j'ai gardé depuis ma vidéo sur le théorème de Futurama

[@newbie1173]

Super, merci ! Je la cherchais depuis longtemps et je n'avais jamais pensé à demander :D.

[@baraugustin26]

ah ouai, je savais pas en apprenant mon théorème de Bézout qu'on pouvait l'appliquer en géométrie :o En tout cas, j'adore !!

[@jackisjack_bysun]

Très sympa. J'ai kiffé.

[@valentinpy409]

MAGNIFIQUE !

[@nicholegendrongendro]

Encore mille mercis🌸🌷🌼🌾

[@LeSuperModeste]

Super comme vidéo !

[@Maroua225]

Très bonne vidéo, tt est bien expliqué et ca se voit que derrière il ya bcp de travail, je vous en félicite et je vous souhaite une bonne continuation, J'ai une petite demande svp, est ce que je peux avoir les références que vous avez utilisé ? J'en ai besoin pour une recherche, Merci pour tout 😊

[@titouanruckebusch4711]

Mais du coup, si les deux droites parallèles se coupent sur l'horizon (+infini), elles devraient se couper aussi de l'autre côté (horizon en -infini) non ? Et si les droites sont parallèles à l'axe des abscisses (équation de la forme y = c avec c constante), elles se coupent tout de même à l'horizon ?

[@GoodOldYoucefCef]

Ces courbes sont aussi très utilisés dans les Support Vector Machines à noyaux polynomiaux pour l'apprentissage artificielle , afin de trouver des frontières complexes entre des points à classifier (et là, on s'attaque à des espaces de dimensions supérieurs à 2, jusqu'au million parfois)

[@francoislechampi2002]

magnifique travail, je m'abonne à la chaine

[@philourosales2940]

Salut salut, jsuis un pur fan de tes vidéos, elles me donnent tjr envie d'en parler à ma prof de maths pr en savoir plus ^^ et à part ça jme demandais quel logiciel tu utilises pour modéliser tes courbes? En tt cas j espère que tu vas continuer longtemps tes vidéos, les maths ont tant à raconter ;)

[@clementcubaynes6459]

(El) Ji magine ;) que c'est geogebra, perso je l'ai et ça ressemble beaucoup à son background ;p , et la modélisation des objets y ressemble énormément, donc, j'en suis presque sur ^^

[@ElJj]

C'est exactement ça. Depuis sa dernière version, il suffit de simplement taper une équation polynomiale pour voir s'afficher la courbe algébrique correspondante.

[@philourosales2940]

Okay c'est cool merci ^^

[@clementcubaynes6459]

+El Jj En parlant de la "description" algébrique d'un courbe, j'ai remarqué qu'aussi en 3D, on pouvait décrire un plan avec ces même (enfin pas tout à fait) équations, donc, je souhaiterai poser cette pitite question =) : Étant donné que pour chaque plan, on peut tout aussi lui associer une équation algébrique, le théorème de Bezout, fonctionne-t-il aussi en 3 dimensions? =p En attendant, tu restes toujours ma chaîne préférée (parmis 73 autres xD) et c'est aussi (un peu) grâce à toi que j'ai déjà choisi ma filière d'études ^^

[@Julio974]

Ah mince ! C'était ça, la réponse à la question 9 du brevet ! (je suis en 3ème et j'ai à peu près compris. Tes vidéos sont géniales, même si limitées à des lycéens, ou des 3èmes en fin d'année)

[@konodinger]

Hein ? Heu... Mais la question 9 du Brevet c'était un calcul de volume ! ...

[@Julio974]

+Jonas Berger c'était une blague…

[@konodinger]

+Julio974 Gaming (Julio974Gaming) Oui, j'avais compris. Tu faisais du second degré, moi du troisième, et tu l'a pris au premier (c'est compliqué ! ).

[@Zougloulevrai]

Bah oui, le collège, c'est du second degré !

[@dappermink]

Pour VRAIMENT comprendre ces vidéos il faut au minimum avoir un niveau de terminale parce qu'il y a des notions inconnues avant telles les nombres complexes. Cependant rien n'empèche de les apprécier même au collège ^_^ Au passage el jj, merci de m'avoir fait découvrir mon nouveau théorème préféré qui passe loin devant e^πi = -1 ♥

[@bibabain92]

Plus de vidéos maître El Jj s'il vous plait !!

[@antoinec2161]

Une vidéo de géométrie algébrique sans spectres qui font peur trop bien

[@denispetrequin2695]

Très belle explication de ce beau théorème ! J'ai juste un doute sur le texte à 10:41. Qu'est-ce qu'un corps fini projectif ?

[@bernard-ng]

je comprends pas tout mais je commence à aimer les maths (en théorie), super contenu en tout cas

[@connecttango2168]

La méthode épistémologique que tu mets (très bien) en lumière a été décrite dans "Preuves et Réfutations" de LAKATOS (à propos de la formule de la caractéristique d'Euler-Poincaré d'un polyhèdre).

[@chibrax_zt5903]

Excellente vidéo

[@Zifox20]

J'ai adoré !

[@adamthiebaut5827]

dans tes videos on peut voir pas mal de graph d'où ma question, quel logiciel utilises-tu pour ces graphiques

[@basilehenry]

Super vidéo ! Je me demandais, tu utilises quoi pour faire ces animations de courbes ? C'est tellement fluide... :-)

[@ElJj]

Il s'agit de Géogebra, poussé dans ses retranchements !

[@basilehenry]

+El Jj Merci !

[@lelao251]

pour les droites de degré 1 celles parallèles à 3:50 tu dis que elle ont un seul point de croisement par projection mais il y un horizon que tu nous montre mais de l'autre côté il y aurais la même chose donc deux point d'intersection pour deux droite de Degré 1 ?

[@Zyphoss]

Vraiment pas mal ! Ça m'intrigue pas mal à mon niveau de TS spé, vite les études supérieurs Justement je me demandais, tu as fais quelles études ? Tu connais vraiment bien le sujet de tes vidéos ou tu te renseignes surtout sur Internet ?

[@loicgeeraerts]

Il est assez rare de voir une vidéo qui parle de maths dans laquelle il semble ne pas y avoir d'erreur (mathématique ou didactique). Bravo également pour les animations qui sont très bien faites et très bien pensées. D'ailleurs à ce sujet, quels logiciels as-tu utilisés pour faire le passage vers la géométrie projective ? D'avance merci. PS : si 2 min = 11 min 17s alors je suis dieu, est donc vraie.

[@PetitHommeSec]

Trop fort, je me suis abonné hier en me disant que la dernière vidéo datée de 3 mois donc que les probas étaient en ma faveur pour une nouvelle vidéo, j'avais raison. (content) Par contre y a un truc qui me dérange c'est quand on va sur l'accueil de ta chaîne KZbin on a le droit à un joli message "Chaîne sans contenu" voilà ^^... Et pour en (re)venir à la vidéo, je comprends pas pourquoi quand on regarde la parabole au loin, on voit qu'elles se rejoignent, normalement les deux branches sont sensées se dire au revoir, non ? :(

[@ElJj]

On peut s'en convaincre en plaçant les points de la parabole dans le repère. Quand on regarde ce repère en perspective, les verticales du repère se rapproche plus vite que les branches de la parabole ne s'éloignent. Du coup, cela donne une ellipse (qui est une autre conique).

[@le_prankeur_fou793]

A 4:00, pourquoi les droites n'ont elles pas un second point d'intersection de l'autre côté du plan ? Si on tourne la caméra de 180°, on ne verra pas un deuxième point à l'horizon ?

[@JCarpenter1984]

Une démonstration est présente dans le livre de Silverman/Tate "Rational Points on Elliptic Curves"

[@Thefuror38500]

Mon Théorème préféré? Le théorème de Fontviollant, sans aucun doutes !

[@Malonomy]

Vraiment bien :) les courbes sont faites avec quoi ? Ça a l'air cool j'aimerais bien jouer avec

[@credos97]

FOR-MI-DABLE ! Merci ! :)

[@youtubeforme7735]

à 8:30 si on bouge un peu une des deux droites superposées ont à bien 4 intersections non ? On peut pas le faire dans ce cas ci ?

[@fdesnoyer]

Vulgariser la Géométrie Algébrique! THE défi! Bravo!

[@joeblack2586]

Alors là pour les cercles concentriques j'ai calé ! -2z^2 ? -5z^2 ? Aka relativité restreinte ? Quelle est la figure décrite en géométrie projective ? Bref, il faut corriger l'énoncé du théorème de Bezout :D Andrew Wiles Gog Vivant ! Respect ! Pour la cryptographie elliptique, Lisbeth Salander a résolu le problème, désolé... Merci pour toutes tes vidéos, elles m'ont enchanté, bien que j'aie eu beaucoup de mal avec celle-ci !

[@KosmikSpace]

C'est génial ! :) Cependant je conçois que tes vidéos sont des "vulgarisations" afin d'initier les non initiés, mais ne pourrais tu pas faire une catégorie à part où tu rentre un peu plus dans le détail ? Ce serait top ! :)

[@Paradoxeism]

Hey sympa comme théorème, mais pour le cas de l'intersection entre la droite d'équation y=0 et la fonction inverse, qu'en est-il en -l'infini en ordonnée? la partie de la courbe située entre -l'infini et 0 en abscisses n'a-t-elle pas elle aussi un point d'intersection avec la droite sur un horizon si on renverse le repère et qu'on passe en géométrie projective?? on aurait quatre points du coup??

[@Gabuzom]

Enormes progrès dans l'utilisation des effets spéciaux! Superbe et Impressionnant! Je mets quand m¸¸¸eme un pouce en bas sur la vidéo parce que tu n'as pas cité mon théorème préféré: le Théorème des résidus ;)