Дифференциальное уравнение Бернулли

Рет қаралды 11,182

Күн бұрын

В этом видео будем решать дифференциальное уравнение Бернулли и посмотрим, как сильно отличается его решение при изменении входящей в него константы.
В этом видео решение линейного уравнения 1-ого порядка: • Линейное дифференциаль...
В этом видео находится интеграл от функции с дилогарифмом: • Интеграл с дилогарифмо...
И здесь еще один интеграл с дилогарифмом, и в нем же разложение в ряд для дилогарифма: • Интеграл с дилогарифмо...
Если у вас есть возможность, поддержите канал:
сбербанк: 4276160020048840
тинькофф: 5536914075973911
регулярная поддержка: boosty.to/hmath

Пікірлер: 57

@romank.6813 8 ай бұрын

Отличный параметр для ЕГЭ!

@yurchickvasil2532 8 ай бұрын

Класс! Давно не было дифференциальных уравнений

@azeekgalvany 8 ай бұрын

Как обычно, очень интересное и необычное видео! Высший пиетет Вам, маэстро

@nataliakasasa1459 8 ай бұрын

Добрый день, уважаемый Алексей Игоревич! Виртуозно! Благодарю за Ваши видео. Отправила донат. Жду новые красивые решения - сразу вспоминаются мехматские студенческие годы. Кстати, моя старшая дочь тоже мехматянка, завтра ей 54 (!). Благополучия Вашей семье и творческого Вам вдохновения!👏🙏❤

@Hmath 8 ай бұрын

Огромное спасибо!

@nataliakasasa1459 8 ай бұрын

@@Hmath 💞🙏

@autolightview 7 ай бұрын

Вот, не я один так измучен мехматом, что смотрю это и успокаиваю душу

@АлексейБойченко-п5я 6 ай бұрын

Круто-круто! Респект!

@AlexeyEvpalov 8 ай бұрын

Понятное, подробное изложение материала. Спасибо за видео.

@igorsoftvariant 8 ай бұрын

Спасибо, за то что вы делаете

@ftorum19 8 ай бұрын

Делайте почаще видео про дифференциальные уравнения

@usovskieekstremaly 8 ай бұрын

Урааа. Новое видео

@АлександрСергеевич-й8х6х 8 ай бұрын

Очень приятное и понятное изложение!

@АндрейГасович 8 ай бұрын

Спасибо за ясное изложение! Всегда мечтал узнать, из каких практических (или теоретических) задач вылезают уравнения, которые рассматриваются в классическом курсе диффуров. Может, Вы расскажете? Хотя, наверное, это ближе к истории математики.

@igorbatkovich3856 8 ай бұрын

Класс! Больше диффуров на канале)

@artyom3153 8 ай бұрын

Хорошее видео, но в конце не хватает графиков, для наглядности, так сказать

@lettowplayz8996 8 ай бұрын

приветствую, недавно встретился с проблемой. все элементарные функции можно выразить как решение некоторого функционального уравнения или системы уравнений. можно так задать их (элементарных функций) определение. я попытался решить систему уравнений для косинуса и синуса, ничего не вышло, хотелось бы увидеть видео об этом на канале

@servictorovich2576 8 ай бұрын

Спасибо. Повторение -мать ученья

@flamewings3224 8 ай бұрын

4:53 а почему в этом моменте Вы не поставили модули? И после этого получится, что |v| = 1/|x-a| и отсюда v = +-1/(x-a)

@Hmath 8 ай бұрын

еще забыли константу добавить при интегрировании. тогда будет v=C/(x-a) я же там же об этом и сказал несколько раз, почему нет константы

@Alexej75 8 ай бұрын

Почему нужно выбирать такую функцию v, чтобы выражение равнялось нулю. Почему именно нулю, а не, скажем, пяти или корню из двух?

@Hmath 8 ай бұрын

посмотрите еще раз и ответьте себе на вопрос: где именно это (равенство нулю) используется в решении, на каком шаге? и как это помогает? к чему ведет? и что будет в этом же случае при "корне из двух"?

@Alexej75 8 ай бұрын

@@Hmath я хоть вышмат учил давон, но прекрасно понимаю, почему выбран ноль. Может быть я не вполне корректно задал вопрос. Меня больше интересует, почему это выражение или вообще какое-либо при решении дифф. уравнений можно приравнять к константе?

@pskv20 8 ай бұрын

Вид уравнения как бы намекает, что случай а=1 существенно отличается от остальных. Только в чём именно выразится это отличие, сразу не понятно.

@barackobama2910 8 ай бұрын

Я так и не придумал красивого ответа на вопрос " а почему равенство с разделенными переменными можно безнаказанно интегрировать одну сторону по х другую по v и при этом равенство сохранится? Ну в принципе понятно как это доказать, но почему-то это считают очевидным....

@user-bp2uy9fi6t 8 ай бұрын

Потому что если внести 1/v под диф-ал dv, -1/(x-a) под диф-ал dx мы получим равенство дифференциалов, тк они равны => что равны с точностью до константы функции, от которых мы считаем диф-ал.

@barackobama2910 8 ай бұрын

@@user-bp2uy9fi6t Вот это и следует доказать для функций разных переменных (для одной переменной это очевидно), а для разных надо или использовать производную сложной функции или предел интегральных сумм. И то и то громоздко и требует рассуждений.

@user-bp2uy9fi6t 8 ай бұрын

@@barackobama2910 для функций разных переменных мы и не можем просто интегрировать по одну и по другую стороны. В случае нескольких переменных получается диф. уравнение вида p(x, y) dx + q(x, y) dy = 0 в котором нужно выделять полный диф-ал

@isok.atyrau 8 ай бұрын

Будет ли видео про дилогорифм в будущем? А что это вообще такое?

@Hmath 8 ай бұрын

функция такая. посмотрите пока в википедии. А так всякие еще разные видео будут в будущем, в том числе и про дилогарифм :)

@Auuff 8 ай бұрын

Можете в следующем видео найти значение ряда ln(n)/n^k

@МаксимФоменко-ц3г 8 ай бұрын

Не подскажете, есть ли алгоритм или прост критерий того, что интеграл берется в элементарных функциях?

@Hmath 8 ай бұрын

ru.wikipedia.org/wiki/Элементарные_функции#Интегрирование_элементарных_функций

@хзкто-с1л 7 ай бұрын

Можете пожалуйста решить дифференциальное уравнение a*y"+b*(y')^2=ac Где a, b, c постоянные коэффициенты не равные 0. Это дифференциальное уравнение возникло у меня, решая задачи по физике. Изначальное оно выглядело так : ma = mg - kv^2. Здесь говорится что это формула описывает свободное падение объекта где берется учет сопротивление воздуха, и сопротивление воздуха пропорционально скорости, k - постоянный коэффициент преобразования скорости в силу, v - это скорость, а - ускорение. Скорость и ускорения зависят от времени, но скорость в начале равна 0. В общем сделав некоторые преобразование я получил дифференциальное уравнение в начале, как его решить не понимаю. P.S. k - в системе СИ будет кг/м. И в задаче оно было равно 0.22 кг/м. Задача в книге "физика в двух тома, 1 том", Дуглас Джанколи, страница 123, задача 54.

@Hmath 7 ай бұрын

y''+B*(y')^2=C замена: y'(x)=p(x) => p'+B*p^2=C dp/dx = C-B*p^2 dp/(C-B*p^2) = dx здесь можно проинтегрировать левую и правую часть. Потом обратно подставить вместо p = y' уже будет уравнение 1-го порядка. Дальше из него выражать y' и смотреть, что получится. Может 2-ой раз уже и не проинтегрировать.

@yanikkkkkk 7 ай бұрын

почему после интегрирования, где есть v, запись без модуля? потому что C приравняли к нулю?

@Hmath 7 ай бұрын

так любое частное решение нужно в этом месте. Можно и с минусом взять. Или с любой другой константой С

@isok.atyrau 8 ай бұрын

Добрый день, а как вы делаете видео с этими формулами? Какой программу используете? Благодарю!

@Hmath 8 ай бұрын

Сначала формулы в MathType, потом создаю картинки для каждого кадра в Photoshop, а потом все соединяю в видеоредакторе (в любом можно делать простые анимации, я с самого начала использовал простой movavi и привык уже) и записываю звук.

@isok.atyrau 8 ай бұрын

@@Hmath Благодарю!

@ІгорСапунов 6 ай бұрын

а как же y=0?

@Hmath 6 ай бұрын

тривиальное решение :)

@GoodHedgenog 8 ай бұрын

здравствуйте, очень интересные видео! Есть небольшая просьба ко всем кто заметит комментарий: есть фигура ограниченная уравнениями y = sqrt(2x) y = 16sqrt(2x) z = 0 z= 3 x = 3; Необходимо найти объем в цилиндрической системе координат , никак не получается найти пределы по фи. Если не трудно подскажите пожалуйста

@The_Earth_One 8 ай бұрын

Если у вас вначале интегрирование по ρ, потом по φ, то вначале нужно проинтегрировать от tgφ=√(2/3) до угла tgφ=16√(2/3). Затем от tgφ=16√(2/3) до tgφ=∞. Это связано с тем, что у ваших поверхностей y=√(2x) в начале координат угол наклона касательной уже π/2

@artyom3153 8 ай бұрын

Из sqrt(2x) ≤ y ≤ 16 sqrt (2x), будет sqrt(2r) ≤ sin phi / sqrt(cos phi) ≤ 16 sqrt (2r), отсюда уже можно найти phi(r), и будет интеграл (0, 16√6), (phi_1(r), phi_2(r)) [r dphi dr]

@artyom3153 8 ай бұрын

Но вообще, задача решается проще без перехода к цилиндрическим

@The_Earth_One 8 ай бұрын

@@artyom3153 Да, но бывают задания специально взять интеграл в не тех координатах, в которых он проще всего берётся(

@GoodHedgenog 8 ай бұрын

@@artyom3153 в декартовой уже решили, для защиты необходимо решить, чтобы показать, что поняли тему. Спасибо всем)

@maslajj 5 ай бұрын

Оговорка, игркек штрих функция ха не у

@eugnsp 8 ай бұрын

Ну как же не нарисовать графики решений и сравнить их...

@Hmath 8 ай бұрын

оба решения зависят от произвольной константы. Ее можно по-разному выбирать, и получать поэтому разные по виду графики: их не сравнить в таком виде. Нужно было тогда с одинаковым начальным условием делать. В общем, я посмотрел на графики и понял, что они неинформативны получаются.

@ИльяСиницкий-е4г 8 ай бұрын

@@Hmath дело в том, что у заданной динамической системы есть две особые (равновесные) траектории: y1 = 0 и y2 = y2(t) (здесь не буду выписывать явный вид). Имеющийся свободный параметр "а" не изменяет средние дивергенции вблизи этих особых решений, поэтому, качественно решение не зависит от параметра "a" (разумеется, при наблюдении за поведением системы на почти бесконечных интервалах времени). Я не строил интегральные кривые, но, полагаю, когда Вы пишите о малой информативности при сравнении их с одинаковыми НУ, Вы сталкиваетесь с тем, что качественно они почти идентичны (как и должно быть). P.S.: Извиняюсь за смену терминологии, но мне время (свободную переменную ОДУ) более привычно видеть буквой "t", а не "x" =)

@Hmath 8 ай бұрын

@user-vr6in7un6w я хотел сказать, что так как общее решение зависит от произвольной константы, то бессмысленно строить графики при "одинаковых" константах С и разных параметрах а и пытаться их сравнить. В зависимости от того в каком виде выбирать эти константы С, графики могут быть либо "похожими", либо совсем нет. Т.е нужно было бы хотя бы при одинаковых начальных условиях сравнивать решения. Т.е из графиков совсем непонятно будет: то ли решения очень похожи, то ли они совсем разные.