Предел последовательности с факториалом по теореме Штольца

Из этого видео вы узнаете, как найти предел от числовой последовательности с факториалом под корнем n-ой степени. Рассмотрим 2 способа решения: теорему Штольца, которая является аналогом правила Лопиталя для последовательностей, а так же воспользуемся одним интересным тождеством.
доказательство теоремы, используемой во 2ом способе решения, можно посмотреть здесь: • 3 теоремы о пределах +...

[@alfreddecheseaux9836]

Какие прекрасные у вас видео! Не переставайте, пожалуйста, их делать, таких хороших каналов, тем более русскоязычных, очень мало ;)

[@Hmath]

спасибо! рад, что нравится! :)

[@AlexeyEvpalov]

Подробное и доходчивое объяснение. Спасибо за интересное видео.

[@chu6275]

очень красиво и элегантно! я почти 20 лет назад так и не смог самостоятельно найти решение для этого предела, а тут прямо два решения сразу! Спасибо Вам!

[@Sarkicist]

Можно ещё было применить формулу Стирлинга для логарифма факториала при стремлении n к бесконечности

[@ЮрийЦехановский-р7щ]

Как полезно и интересно! Огромная благодарность!

[@IzaBella8957]

Выше всех пхвал! спасибо!

[@stormspirit3493]

Можно ещё формулу Стирлинга применить

[@servictorovich2576]

Спасибо! Очень доходчиво и просто

[@ВладиславБабеков-ж2е]

всегда очень интересные задачи.просматривая видео с этого канала, с нетерпением жду, когда окажусь на старших курсах и начну во всëм этом разбираться и решать подобные примеры, а то обычно только слушаю и мало что понимаю. то ли голос у автора приятный, то ли завлекает таинственность всяких несобственных интегралов и прочего... хотя к данному видео это не относится, теорему Штольца на 1 курсе проходят

[@Hmath]

далеко не вся математика есть во всех вузах и примеров разнообразных обычно не так много, так что заходите чаще, постараюсь делать интересные задания :)

[@ДедМиша-р8с]

Мне кажется мы это проходили в 1 семестре универа.

[@nataliakasasa1459]

Красиво!👍👏🙏

[@user-py9xk3sl4x]

0:30 предел положительной последовательности еще может быть равен 0 😛

[@ВладимирОгородников-и1ы]

Любопытное наблюдение: теорему о пределе (a_n)^(1/n), использованную во втором способе, можно в одну строчку доказать через теорему Штольца, просто прологарифмировав. Это делает оба способа фундаментально практически одинаковыми :)

[@levars1]

Есть ещё способ, где используется двойное неравенство для факториала и теорема "о двух миллиционерах", откуда легко получается ответ

[@renich6666]

огромное спасибо

[@arisu9356]

Есть ещё один способ. Можно всё это прологарифмировать и разложить логарифмы на слагаемые. У нас получится бесконечная сумма, бесконечно малых слагаемых. А это ничто иное как интеграл. Найдя подынтегральную функцию и пределы интегрирования можно легко вычислить этот предел

[@zlukich]

А как называется вторая теорема о том что lim (x(n))^1/n =lim x(n+1)/x(n), будет ли на канале её доказательство?

[@Hmath]

уже есть доказательство, вчера как раз выложил такое видео. ссылку добавил в описании к этому ролику.

[@mathbyautistdimag.9330]

Слууушай, вот ты на 6:25 изменение местами логарифма и предела как то странно обосновал, у нас же последовательности, значит в нашем случае и ln последовательность же, смысол тут говорить о логарифме? *задумчивый смайлик* Я сам себе и первакам объясняю это тем, что мы же все равно "внутри" логарифма работаем и результат вычисления предела подлогарифмического в конце оказывается в нем...

[@Hmath]

"результат вычисления оказывается в нем" - это по сути и есть изменение местами предела с логарифмом :) т.е это f(lim xn)=lim f(xn). Но такое не для любой функции f возможно, для непрерывных можно.

[@Pinokkio123]

Добрый день, а будет задачи с оператороми, или задачи из квантовой механики, например уравнения Шредингера

[@Hmath]

квантовая механика это всё-таки физика, не математика, так что вряд ли будет когда-либо. А с операторами - если это про линейные операторы, то всё это очень узкая тема с кучей рутинный вычислений, как и всё в линейной алгебре. Пока я не вижу, как там придумать интересные задания, которые не были бы просто нудным перемножением и сложением кучи чисел. Но может быть когда-нибудь, но не в ближайшее время.

[@aastapchik8991]

Пользуясь формулой Стирлинга, этот предел становится вообще устным)

[@Hmath]

тут видео не совсем про конкретный предел, а про то, какими способами можно найти, а конкретно про теорему Штольца. Ну и кстати, если по формуле Стирлинга делать, то как будете искать предел от n^(1/2n), который из нее получится? :)

[@aastapchik8991]

@@Hmath можно найти по определению, а можно представить в виде экспоненты и применить правило Лопиталя)

[@Hmath]

хехе, я бы тоже делал по правило Лопиталя, если бы нужно было просто быстро вычислить :) но вы же понимаете, что правило Лопиталя для функций, а не для последовательностей, т.е это как бы нужно сначала обосновать, что предел от последовательности будет равен пределу от функции :) Т.е в итоге это всё будет не быстрее.

[@airatvaliullin8420]

Да, только хотел предложить формулу Стирлинга))

[@aastapchik8991]

@@Hmath точно, у нас же последовательность(

[@mathbyautistdimag.9330]

Баааалдеж

[@РодионРоманов-ь2й]

Здравствуйте, подскажите пожалуйста как называется вторая формула и где про неё можно почитать?

[@Hmath]

в этом видео есть доказательство: kzbin.info/www/bejne/eIXdkJyjoM1nZ7M если нужно в книге: Фихтенгольц Г.М. - Курс дифференциального и интегрального исчисления (т. 1) - 2003 станица 183

[@canis_mjr]

А вот это тождество, это случайно не прижнаки ли Коши и Деламбера?

[@Hmath]

трудно понять о чем вопрос. Единственное, что мне приходит в голову про "признаки Коши и Даламбера", это про признаки сходимости для рядов. Но в видео не было рядов.

[@canis_mjr]

@@Hmath, да, я может не совсем строго спросил, или даже совсем коряво)) Это равенство выражений под знаком пределов из признаков Коши и Даламбера.

[@Yaroslav1904]

Вопрос, почему если посчитать предел отдельно для знаменатель sqrt(n!), то он стремится к n+1. Тогда предел в задаче стремится к n/(n+1) то есть к 1. В чем ошибка?

[@Hmath]

www.wolframalpha.com/input?i=lim+n%2F%28n%21%29%5E%281%2Fn%29+n+-%3E+inf я не знаю, как вы там считаете, поэтому не представляю, как можно найти ошибку

[@Yaroslav1904]

​@@Hmath, согласно формуле в видео на 7:23 предел ( n!) ^(1/n) будет стремиться к ( n+1)! /n! То есть то, что указано в знаменателе стремится к n+1. верно? Тогда предел n/(n!) ^(1/n) вроде как стремится к n/n+1 , то есть к 1. Просто непонятно почему результат разный получается...

[@Hmath]

речь про конечный предел. lim ( n!) ^(1/n) = бесконечности

[@bobik1291]

Спасибо за видео! А как доказывается то самое интересное тождество?

[@Hmath]

как-нибудь сделаю видео с другим пределом, в котором докажу это тождество. там используется для доказательства эта же теорема Штольца :) только там нужно сделать несколько неочевидных шагов.

[@ilyasakhundzada6604]

Мне легче использовать аппроксимацию Стирлинга: n!~(n/e)^n

[@barackobama2910]

когда меня вызвали к доске с этим примером то выяснилось что я просто помню формулу Стирлинга. N!=sqr(2piN)(n/e)^N (1+1/12N ...) запомнил от безделья еще в школе...

[@Hmath]

между 46 знаком числа пи и игрой в карты? :)

[@barackobama2910]

@@Hmath почти. Надо еще залезть однокласснице известно куда )))))

[@barackobama2910]

а еще я поучил препода английского. Которому показал что запомнить 80 новых слов с произношением за 8 минут это легко и без напряга. У человека был шок.

[@lev4ik83]

Ну можно еще во 2 случае использовать формулу Стирлинга

[@marklappat8522]

Кажется я ещё один способ знаю.. Хахах Можно прологорифмировать и перейти к определённому интегралу от 0 до 1

[@victor1978100]

Задача решается просто, логически и безо всяких заумных слов и Штольцев. Логическое рассуждение начинается с того, что тройка является результатом умножения двойки на единицу и одну вторую, четверка - это тройка, умноженная на единицу и и одну третью, пятерка - это четверка, умноженная на единицу и одну четвертую, и так далее. Дальше додумайте сами, я наводку дал.