Период математического маятника. В школе обманывали?

В этом видео будем находить период колебаний математического маятника. Эта простая на первый взгляд задача уже приводит к появлению специальной функции - эллиптическому интегралу 1ого рода.
В этом видео находится длина лемнискаты Бернулли, там появляется эллиптический интеграл 1ого рода и получено для него разложение в ряд: • Длина лемнискаты Берну...
В этом видео находится длина эллипса и появляется эллиптический интеграл 2ого рода: • Длина эллипса и разлож...
Если у вас есть возможность, поддержите канал:
сбербанк: 4276160020048840
тинькофф: 5536914075973911
регулярная поддержка: boosty.to/hmath

[@МаратДжаубаев-о6й]

Да никто и не обманывал. Сразу говорили, что классическая формула является приближённой и годится только при малых колебаниях (с амплитудой колебаний не более 15 градусов). Точное решение не является аналитическим, так как решением является неэлементарная функция (то есть функция, которая не может быть представлена в виде конечного количества комбинаций известных простых функций. Хотя и тут расплывчато - некоторые "простые" функции просто уже получили своё условное обозначение в прошлом. Например: если бы, к примеру, функция sin(x) не получила бы своё собственное обозначение в далёком прошлом и записывалась только в виде функционального степенного ряда, то и её бы тогда относили бы к неэлементарным функциям). Такие дела, Карл

[@Hmath]

Так я же не утверждал, что обманывали, я задавался вопросом :) Хорошо, что вам в школе объяснили, что формула приближенная :)

[@alexselivanchik3775]

Там даже 15 многовато, мы считали в универе - вроде градусов 5-7 где-то, не более

[@chesscat553]

На самом деле даже если был бы просто синус, он точно так же приближенно вычисляется. У него свой ряд из которого он складывается.

[@excentrisitet7922]

​@@alexselivanchik3775 в пределах, где sin(α)≈α. Это около 0.1 радиана. Или 6 градусов. Погрешность тут не более 0.2%

[@ПавелКуликов-м9м]

Всегда считал, что модель математического маятника уже содержит в себе приближение малых колебаний. Посмотрел сейчас в wiki, и вроде автор ролика прав в том, что мат маятник отдельно, а малые колебания - отдельно. Правда формула, которая обсуждается в ролике - она для малых колебаний, это даже в той же Вики прямым текстом. Что мне теперь непонятно - это, нафига этот математический маятник вообще нужен без приближения малых колебаний?! Ведь полная абстракция, ни к чему в реальной жизни не применимая. Хочешь глубоко копать - бери сразу физический маятник, и разбирай его всерьез, при больших амплитудах. По крайней мере будет куда потом приложить полученное.. А так, дурь какая то выходит - абстракция и примитив, но просчитаем до последней запятой.. (

[@AlexBesogonov]

Спасибо!

[@katakanashalapaev169]

Зависимость ускорения свободного падения от высоты груза почему-то не учтена. Ну и неплохо бы подумать о релятивистском изменении массы груза в разные фазы движения. 😂 Спасибо за интересное видео, вспомнил детство золотое.

[@WingedDusk]

Школьную формулу вывел Христиан Гюйгенс для периода циклоидального маятника, в котором груз движется по циклоиде и период колебаний которого действительно не зависит от амплитуды. Для математического маятника "малые колебания" - это такие колебания, которые совпадают с колебаниями циклоидального маятника, чем меньше амплитуда, тем сильнее совпадают, тогда для них можно использовать эту формулу.

[@ivshnip]

Боже мой! Я только сейчас узнал о существовании циклоиды поражён её свойствам kzbin.info/www/bejne/bHyvcpWsltxlis0

[@snowrain347]

А в других источниках говорят, что целью Гюйгенса было нахождения кривой, которая "корректирует" маятник, чтобы тот имел постоянный период колебаний. Этой кривой оказалась циклоида. Поезденее Ньютон установил, что для сферического поля тяготения этой линией является эпициклоида.

[@Sobrat]

Спасибо. Очень вовремя и качественно проведена работа.

[@TIMSYSTEM]

Удачно зашел на канал

[@LeskovPV]

Чуть раньше был видосик про Рика огурчика - ваще бомба. Если не смотрели, советую)

[@Микробозавр]

Кстати, если учитывать переменность g от высоты, возможно, эллиптические функции превратятся в более простые... или более сложные 😂

[@atomgutan8064]

Наверное будут более сложные :D

[@МаксимАндреев-щ7б]

Если в школе читать внимательно, то в учебнике написано, что формула приближённая и хорошо подходит для малых углов колебаний

[@ДмитрийРаков-ь3б]

Насколько я помню, то в школе говорили, что шарик на нитке считается математическим маятником только при малых углах колебания. Т.е. дело не в формуле, а в определении математического маятника.

[@kvach9403]

@@ДмитрийРаков-ь3б Точка с массой на невесомом стержне, это и есть математический маятник, как бы его ни раскрутили.

[@AlexeyEvpalov]

В школе берут значение периода, округляя сумму ряда до первого, наиболее значимого члена ряда. Спасибо за интересное видео.

[@Ihor_Semenenko]

В школе ее вообще не выводят - а принимают готовую - потому что вот. А получить ее можно только решиф диффур, чем школьники не занимаются.

[@Micro-Moo]

@@Ihor_Semenenko Это не совсем так. В школе этот диффур (конечно, в линейном приближении, только для малых колебаний, и вообще скорее для грузика на пружинке) решается методом физической аналогии. С круговым движением по инерции. В школе этого многие не понимают. Одним кажется, что эта аналогия вообще ни при чём, другие усматривают в этом какой-то обман, нестрогость, что-то такое. Впрочем, я плохо знаю, как изменились учебники. Возможно, вы говорите о других учебниках, где этого нет. Тогда жаль.

[@Микробозавр]

Теперь можно ввести следующее уточнение: величина g зависит от высоты, и для очень длинных маятников g не будет константой и также будет зависеть и от начального, и от мгновенного угла фи 😉

[@NikitaBotnakov]

Спасибо за видео! По поводу названия можно добавить, что в школе приближение применяют при выписывании дифф.уравнения, а потом не проговаривают, что точное решение "близкого" уравнения само является "близким" к решению исходного уравнения.

[@aleksejandrejev5409]

Практически любая наука на бытовом уровне строится на простых, доступных для понимания, но неверных суждениях. Мой преподаватель по сопромату учил нас, что инженерная точнось составляет 10%. Если теория уложилась в 10% от практики - значит её для реальной жизни хватает. Тот же преподаватель поставил 3 балла моему другу только за то, что в курсовой работе вычисления писал все 10 цифр с калькулятора. За полное непонимание предмета. Сами понимаете - нестыковка с 10% точностью. Другой преподаватель принципиально всё считал на логарифмической линейке. Результат меня впечатлял.

[@ЮрийБуренков-ю5у]

В школе не обманывали, а бережно относились к детским мозгам. В высшей же школе разъяснили, что формула верна только при малых углах.

[@potriarx4083]

Нам сразу рассказывают про малые углы. И что мы рассматриваем именно такие колебания

[@Busterfizik]

Ждал этого видео сразу после рассказа о эллиптическом интеграле. А теперь, если можно, расскажите о функции фи(t) для математического маятника и эллептическом синусе.

[@alexandermorozov2248]

Эллептический - от Элле в Изумрудном городе 😄

[@Micro-Moo]

@@alexandermorozov2248 Это сокращённое выражение, от «эпилептический интеграл». Разве вы таких не знали? В Изумрудном городе они подстерегают вас на каждом шагу. 🙂

[@igorsoftvariant]

Интересная тема, спасибо

[@alexandertyomin1808]

Да, еще пару степеней свободы добавить, так и до ТММ недалеко

[@Micro-Moo]

@@alexandertyomin1808 «так и до ТММ недалеко» Пожалуйста, для меня и всех нас, несведущих, не употребляйте акронимы или хотя бы расшифровывайте их. Что за TMM такое?

[@chesscat553]

Очень крутое видео) гораздо лучше чем решение абстрактных задач. Бесконечный период у угла маятника 180 градусов это потому что он навечно останется в этой точке) Хотя всегда есть минимальное отклонение, но тут все упирается в философию что обе стороны куда он может отклониться равнозначны для математики а значит он не сможет выбрать и будет вечно наверху.

[@alexandermorozov2248]

В верхней точке неустойчивое равновесие ;) Но если точку опоры колебать с определённой частотой по вертикальной координате, то маятник может занять устойчивое вертикальное положение. Мы делали такие опыты.

[@kpi6438]

К философии это не имеет никакого отношения - классическая теория устойчивости.

[@zloidooraque0]

@@alexandermorozov2248 это становится понятно если просто палку на пальце удержать пытаешься ((% а как вычисляется частота?

[@alexandermorozov2248]

@@zloidooraque0 это чудо называется «маятник Капицы», есть статья в Вики. Там довольно сложная теория.

[@Micro-Moo]

@@kpi6438 К философии всё имеет отношение. Кстати, если говорить о совсем классической теории устойчивости, в ней, несмотря на всю её несомненную ценность и всех этих поляков в правой части самолёта (кто знает, тот понял) есть одно слабое место: игнорирование неустойчивого движения, это как бы область за пределами.

[@maksshihavcov1575]

Такой разбор задачи уже есть в следующей книге: Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц Теоретическая физика, Том 1: Механика; М. : Издательство "Наука" главная редакция физико - математической литературы, 1973, С. 39, задача 1 (прошу прощения за кривоту ссылки)

[@Hmath]

у меня на 41странице в издании 1988г :) но, согласитесь, что в видео значительно подробнее. В книге - это задача и там 5 строчек всего :)

[@cmakky]

Такое есть и в Сивухине первом томе :)) Общая физика.

[@maksshihavcov1575]

​​​​​​@@Hmath Да, я с Вами соглашусь. У Вас во много раз подробнее) Я смотрю ролики на Вашем канале, ибо мне нужна математика для понимания теоретической физики. Я студент - физик. Самое известное мне изложение теоретической физики - это 10 томов теоретической физики Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшица. Там много математики.....

[@maksshihavcov1575]

У Сивухина она также есть, но зная, что его курс общей физики содержит много элементов теоретической физики, то я этому не удивляюсь).

[@albjes9766]

Спасибо за интересное видео

[@Howidog]

Помню как в школе нам учитель по физике задал вопрос, а какие углы можно считать малыми, ну мы точно знали что меньше 30° еще норм. Но догодаться использовать эллептический интеграл для определения погрешности это круто!

[@zerox1397]

увидел новую формулу периода колебаний и подумал, как же было прикольно изучать школьную фзику

[@HOROREX-pb3de]

Эта формула действует только для математического маятника, т.е. это такой ниточный маятник, в котором масса нитки пренебрежима мала, а воздух откачен (вакуум, сопротивление окр. среды пренебрежимо мало). Такой маятник практически не останавливается. Вообще математических маятников в природе очень мало, произвести их - дорогое удовольствие. Однако если делать маятниковые часы с ниточным маятником, то это должен быть именно математических маятник.

[@vikivanov5612]

В школе выводят формулу через второй закон Ньютона и там получается уравнение типа x''=-k*sinx. А у вас через закон сохранения энергии, и получилось что один раз уже проинтегрировали. Но исходное уравнение второго порядка тоже полезно отметить: если заменить sinx на x, получается гармоническое уравнение.

[@Hmath]

да, но у меня только с периодом тут получилось длинное видео. Не всё сразу :)

[@Ihor_Semenenko]

только k²

[@dimart5326]

Раз пошло такое дело, расчехляем дельта-функцию Дирака, дабы корректно описать точечное воздействие и пространственно распределение массы груза. Внесем в эстетику спецфункции нотку шарма обобщенных функций!

[@Micro-Moo]

Да без проблем. Только так и надо. Кроме шуток, это как функция свёртки, при интегрировании всё сведётся к настоящим традиционным функциям.

[@Archik4]

Так максимальеый угол же pi/2, если взять больше то у нас не будет натяжения и груз будет просто падать. Пол угла при этом pi/4, поэтому k даже приблизиться к 1 не может.

[@yaroslavberezhko4685]

Я в бешеном восторге! 👍 Будет очень круто, если Вы и далее будете развивать подобного рода тематику. Образцово изложенный материал!

[@persivald2148]

Для более высоких углов есть дифференциальное уравнение падения маятника, там уже нужно использовать гиперболические синусы и косинусы, результат точнее будет

[@science-zn8xd]

Я очень благодарен Вам за такое разъяснение и вообще вы всегда очень интересные темы рассматриваете и очень отлично разъясняете да так,что у меня появилась белая зависть к вам.Можете порекомендовать книги для знания физики и математики на таком уровне?😊

[@Hmath]

да тут нет ничего необычного - всё постепенно приходит с опытом :) по мат.анализу (большинство видео у меня): Фихтенгольц Г.М., Смирнов В.И., Курант Р. - классика, проверенная годами :) (и там много разборов задач в этих книгах)

[@alexandertyomin1808]

@@Hmath Да, учебник Фихтенгольца- это глыба! У меня еще от родителей сохранился, издательство 60-х годов, а теперь сын в Монреальском университете на механике учится, так тоже ему частенько показываю, что и тогда вполне приличные книги писали. И даже без компьютеров))) А программа у них по Calculus почти один в один.

[@СергейМухорьямов]

Спасибо, а можете больше физических и геометрических задач при решении которых возникают диффуры

[@ОООПетроСофт]

Например, про модели движения небесных тел

[@пвлевщрвшвщосрлчщоажлагз]

Например общее решение задачи трёх тел

[@kvach9403]

@@пвлевщрвшвщосрлчщоажлагз хотя бы двойной маятник

[@Ihor_Semenenko]

Если мы говорим о численном значении периода, а не в виде букв - то мы точного значения и не знаем - число π мы знаем с некоторой точностью. При fi0=π - у нас будет положение равновесия - с т.з. математики тогда период как раз будет равен бесконечности. NB: когда игрался в численные методы решения как раз математического маятника (в бытность студентом оценивал погрешность приближенного метода и "точного" речениня методом Рунге-Кутта), в ступор попал, когда задав начальный угол в 180° получил прямой график.

[@myasko5419]

В физике нет точных чисел, везде есть погрешности. Не понимаю, причем тут пи, мы буквально знаем триллионы (а скоро и квадриллионы) знаков после запятой у пи, мы можем поставить число пи на линейке с абсолютно такой же точностью, как 1 или 2, и точно также можем замерить пи секунд секундомером, как 1 или 2.

[@chesscat553]

Может быть потому что комп считает что он так и останется наверху, от этого и бесконечный период если я правильно понял.

[@ГеоргийПлодущев-с2н]

@Ihor Somenenko Или я не понял твоего комментария , но если углом "отвода" считать угол между состоянием покоя и отведённым положением , то легко убедиться , что если он равен 180⁰ ты просто поднимешь груз вверх

[@Ihor_Semenenko]

@@chesscat553 ага, чисоенно решал диффур вида f''+ sin f = 0 А в верхней точке по условию ускорение равно нулдю ,а синус 180° тоже равен нулю, и при расчете получаеться нуль всегда.

[@Ihor_Semenenko]

@@ГеоргийПлодущев-с2н Именно - и если не дать ему небольшого мещения, то он в состоянии почти "равновесия" будет, пока не отклонить будет покоиться. Т.е. логично что периода у такого движения нет - потмоу ка это ситуация апериодического движения - именно потому в формуле периода и будет деление на нуль - т.е. период ка бы бесконечный.

[@LeskovPV]

Отлично! Ещё бы увидить вывод уравнения поверхности жидкрости в вихревой воронке (с граничными условиями на вкус автора - "на поверхности океана" или "в стакане") - сколько раз задумывался, всегда стопорился на матмодели процесса

[@sanek711]

Решал как то эту задачу для стакана, будучи студентом. Поверхностью вращения будет параболоид

[@GakeDaoe]

​@@sanek711 такая задача была на физтехе, не помню в каком году. Там вроде не силтно сложно это выводить( я диффур составлял, но можно без него, наверное)

[@Micro-Moo]

Классная идея и классная задача. Поддерживаю. Вот, говорят, слишком просто. Тогда может не попасть в жанр этого канала. Ну, если автору это недостаточно интересно, усложнить-то всегда можно. Например: можно рассмотреть спонтанное развитие воронки при открывании пробки в ванной, это уже гораздо сложнее. Заодно можно рассмотреть пресловутое влияние вращения Земли на возникновение воронки, как это определяет направление вращения.

[@Micro-Moo]

А может, тогда и кумулятивную струю рассмотреть? («А не замахнуться ли нам на Вильяма, понимаете ли, нашего Шекспира?» 🙂)

[@ili_kirill_sergeyevich]

Почему мы имеем право сделать замену sin(ф/2)/k=sin(t)? Почему можно заменить синус с амплитудой 1/k синусом с амплитудой 1?

[@ili_kirill_sergeyevich]

t это же переменная, а функция?

[@ili_kirill_sergeyevich]

Это видимо как тот же график в других координатах, а, по области значений sin(ф/2)/sin(ф0/2)

[@Hmath]

метод нахождения интеграла: замена переменной. Почитайте (посмотрите) про это сначала. Замену абсолютно любую можно сделать, если заменять на функцию с непрерывной производной.

[@Dmitry_Shuvalov]

Численные методы интегрирования входят в чат))

[@tolich3]

11:07 "Ни о каком периоде не можем говорить". Как раз, наоборот - можно говорить о любом периоде. 😂 То, что не меняется, повторяется через любой промежуток времени.

[@Рюсь]

Сильно!

[@ЕвгенийКолдырев-ф8ю]

Отличное видео. Интересно бы экспериментально подтвердить данную формулу. С учётом сопротивления воздуха и т.д.

[@ОООПетроСофт]

А вот для интереса перечислите все факторы которые влияют на движение реального маятника. А то из-за лени никто точно считать не будет, все будут писать и т.д.

[@ЕвгенийКолдырев-ф8ю]

@@ОООПетроСофт сопротивление воздуха (для сферы и для нити) как функция скорости. Растяжение (деформация) подвеса как функция скорости и положения. Но тогда траектория уже не будет являться частью окружности. Ну и моменты инерции. Полагаю, реальный маятник - вещь, конечно, интересная. Но с практической точки зрения проще его сперва сделать, а потом измерить период. Не зря на старых часах с маятником было две гречки для точной постройки частоты.

[@ОООПетроСофт]

@@ЕвгенийКолдырев-ф8ю И это все факторы? Надеюсь, что вы просто ещё не успели написать :)

[@ЕвгенийКолдырев-ф8ю]

@@ОООПетроСофт пожалуй, это самое очевидное и первое что приходит на ум. Дополните, если есть возможность - самому интересно что я упустил.

[@vitya-cr8zg]

Интересное видео. А ещё бы интересно было узнать про затухающие колебания такого маятника. Допустим, я отклоняю маятник на какой-то угол и отпускаю его. Как найти и можно ли выразить время, в течение кот. маятник будет колебаться, пока полностью не остановится? Условно, все необходимые данные о системе у меня есть.

[@AlexanderPatrakov]

По той части видео, где рассматривается погрешность, было бы неплохо сделать привязку к углу колебаний в серийно выпускавшихся маятниковых часах, а затем сравнить с документацией об их точности. Тем самым получился бы ответ на вопрос, является ли отклонение от школьной формулы пренебрежимо малым или, наоборот, существенным для правильного описания хода таких часов.

[@Ihor_Semenenko]

В часах вынужденные колебания - правая чатсь уравнения не коснтанта, а будет иметь функциональную зависимоть. То отдельная тема - вынужденные колебания - то же интересная.

[@AlexanderPatrakov]

@@Ihor_Semenenko По-хорошему, даже не вынужденные колебания (которые происходили бы под действием зависящей только от времени, но не от координат и скорости маятника, внешней силы), а автоколебания.

[@ДмитрийРаков-ь3б]

На самом деле, тут сперва нужна физическая оценка, насколько справедливо считать маятники серийно выпускавшихся часов математическими. Может быть, их нужно считать честно, по физике твёрдого тела.

[@kvach9403]

​@@ДмитрийРаков-ь3б в часах просто подобрали стабильный период. Для этого по той самой формуле выбрали длину, и добавили регулировку и компенсаторы расширений.

[@АндрейТропин-ю9о]

​​@@ДмитрийРаков-ь3б, физмаятник то же самое что и мат маятник, просто надо пересчитать для него эквивалентную длину нити (потому что угловое ускорение связано чисто с моментом инерции, значит можно подобрать такую длину матмаятника такой же массы, чтобы получить такой же момент инерции относительно подвеса, на решение в общем виде не должно влиять)

[@WTFArgentumTPvl]

спасибо. Очень интересно )

[@alexzhuravlev]

Занимательно. Надо запомнить.

[@Любитель_Математики]

Обьясните пожалуйста физический смысл времени стремящегося к бесконечности на 11:17 🙏🙏🙏

[@Hmath]

если маятник (он должен быть не на подвесе, а на жестком стержне) поставить идеально вертикально (грузом вверх), то он может стоять в этом положении бесконечно долго (точка неустойчивого равновесия) => период стремится к бесконечности.

[@Anti_During]

08:21 А зачем переворачивать дробь ? Почему сразу не домножили на dt ?

[@Hmath]

так меньше места на экране занимало

[@Папа-т6з]

С точки зрения инженера могу сказать, что применяется эта формула (школьная) не часто, но применяется! Также важно часто понимание того, что период зависит от длины (а самое главное это как зависит)

[@alternativereductor-19-98]

А можно что-нибудь по аналитической механики? Лагранжиан или механику Гамильтона разобрать, был бы интересно

[@Hmath]

у меня все-таки пока по математике канал :) не каждое видео будет теперь по физике :)

[@TheMrVevevelka]

@@Hmath а можно тогда видео) по тензорам) а то на просторах русскоязычного ютуба не так много видео)

[@Micro-Moo]

@@Hmath Саму теоретическую механику (аналитическую механику) можно рассматривать как часть математики, а не как отдельную дисциплину. Это вопрос традиции. По аналогии: курс под названием «уравнения математической физики» читает почему-то кафедра математики, а не кафедра физики, а вот для аналитической механики может быть отдельная кафедра. Это просто исторически так сложилось. А физики в урматах не меньше, чем в аналитической механике. Сам фокус на слове «уравнения» а не «физика» выражает саму суть математики, и далеко не только прикладной. Это выражение принципа, который с точки зрения физиков формулируют как «одинаковые уравнения - одинаковые решения». С другой стороны, аналитическая механика, как ни странно, не обязана рассматривать чисто механические задачи. Что-нибудь вроде колебаний в электрической цепи прекрасно охватывается именно аналитическом механики, у неё подход такой - отвлекаться от физической природы описываемых явлений и сосредотачиваться на их структуре: нормальные координаты, для колебаний собственное решение, фундаментальная частота, гармоники. Слово «механика» в выражении «аналитическая механика» чисто условно. Теория автоматического регулирования строится на аналитической механике, а это уж точно не механика в физическом смысле слова. Когда эту теорию развивали, практика уже вышла за пределы чисто механических систем типа регулятора Уатта (граммофон, дисковый номеронабиратель). Аналитическая механика это вообще такая область, которая позволяет решать задачи, где густо перемешаны элементы разной физической природы. Хороший пример: все эти игрушки на тему динамического хаоса: они выглядят как механические, но реально у них есть и простой электронный элемент с батарейкой, для подталкивания системы. Это типичный пример объекта аналитической механики, когда механическая и электронная часть должны рассматриваться как единая система. Я настаиваю, что и теория музыкальной гармонии выводится из аналитической механики, а не «акустики», как традиционно учат музыкантов. Акустика там дело десятое и даже сотое, а вся суть именно в аналитической механике и теории колебаний в абстрактном смысле. А музыкантов просто учат другие музыканты, которые сами механики и математики не знают, вот и талдычат и мифической «акустике». И так далее...

[@VagifRamazanov-co8lh]

Как всегда, очень интересно 👍👍👍 спасибо большое

[@jewgenijmoldawski3306]

В моей школе было по-честному: формулу выводили для кругового маятника, там без диффуров. А потом говорили что подвесной маятник при малых колебаниях не сильно отличается от кругового, хотя аргументов уже не помню.

[@Micro-Moo]

Похоже, вы просто путаете. Никакого упрощения для «кругового маятника» нет. С чего бы это? Почему вдруг «без диффуров»? Какая разница? В школе выводили решение для малых колебаний. Несмотря на то, что колебания малые, решение ещё нужно найти, и уже это за пределами школьной математики. С другой стороны, если решение уже известно, подтвердить, что оно является решением с помощью школьной математики уже можно. Но в школьно учебнике само решение получали методом аналогии с вращательным движением по инерции, а не маятником, пользуюсь методом физической аналогии. Иначе говоря, это всё то же «давайте искать решение в виде...», но с более наглядным подходом, умеющим физический смысл, а не чисто абстрактным в математическом смысле. Если вы закрутите диск с отмеченной на нём точкой, он будет вращаться по инерции (а не колебаться), но положение проекции этой точки на какую-либо ось будет изменяться так же, как положение грузика маятника для малых колебаний.

[@jewgenijmoldawski3306]

@@Micro-Moo Для получения периода кругового маятника диффуры не нужны. Ну, правда, если верить на слово в правильность формулы для центростремительной силы.

[@Micro-Moo]

@@jewgenijmoldawski3306 «Верить»?! Вы, товарищ, из какой Вселенной? Что-то вы путаете. Если вы думаете, что я ошибаюсь, опишите этот ваш маятник исчерпывающим образом.

[@TIENTI0000]

это шедевр

[@AlexDavidchik]

11:07 Какой угол фи0 ,равный pi? Если фи0 больше pi/2,нить не будет натянута,и шарик рухнет.В моем понимании, фи0 в пределах от нуля до pi/2 должен быть.Точнее от - pi/2 до pi/2, если 3ю и 4ю четверть рассматривать

[@Hmath]

маятник бывает с жестким стержнем - тогда не рухнет вниз и начальный угол может быть больше п/2. Об этом говорю в видео и здесь уже писал в комментариях. В любом случае это же математическая модель. Отрицательный начальный угол нет смысла рассматривать - задача полностью симметрична и период очевидно будет такой же, как и при соответствующем положительном угле.

[@AlexDavidchik]

@@Hmath Просто в начале видео задача была сформулирована как невесомая нить,и я исходил из этого.

[@Hmath]

аа, да, я такое сказал. Но я там сказал еще, что вроде как это известная модель и перечислять все допущения не буду. Но потом в конце, где говорил про начальный угол больший п/2, я специально акцентировал на этом внимание.

[@alexl6671]

@@AlexDavidchik Не просто невесомая, но еще и не растяжимая. Ведь нагрузки разные будут при большом отклонении маятника

[@MohamedMd-l5d]

Very good thankyou

[@АртёмКазарян-ф6ж]

Да, в школе была приближенная формула, но в школе в 1998 году не было разложения синуса в ряд

[@FeelUs]

Ура!!! Даёшь Арифметико-Геометрическое Среднее!

[@vic7871]

Спасибо

[@mafferx]

ясно, я в 11 классе, хотел просто узнать, почему такая формула, думал будет легко. Теперь я понял, что понять не суждено

[@янеона-л9ч]

Очень крутой ролик! А будет ли что-нибудь про цепные дроби?

[@Vitechka22]

А почему на 11:10 при k=1 интеграл расходится ?

[@Hmath]

подставте k=1 (верхний предел в интеграле будет пи). Получится элементарный интеграл 1/cos(x/2), его можно найти (получится логарифм) и при подстановке пи он будет стремится к бесконечности.

[@alexandermorozov2248]

Теперь нужно подсчитать погрешность в случае, если для расчётов брать ещё один член ряда.

[@Serghey_83]

А в каких случаях точностью формулы можно пренебречь?

[@fhnvbh4054]

ох заржавел я,заржавел!

[@slynikov]

Есть ещё точная формула периода, с квадратичной сходимостью для любого угла максимального отклонения, обсуждается на страницах сентябрьского выпуска журнала «Заметки американского математического общества» 2012 года

[@Hmath]

почти уверен, что это та же самая формула, только сразу указан способ нахождения значений эллиптического интеграла через арифметико-геометрическое среднее. Раз есть слова про "квадратичную сходимость" :)

[@higenharinson9207]

Интересно, а для пружинного маятника такой же подвох?

[@zabitkhalifakuliyev2271]

Красиво

[@Hobbitangle]

Что касается зависимости периода от начального положения маятника. А существует ли ТОЧНОЕ (выраженное через фундаментальные математические константы) значение эллиптического интеграла для каких то определенных значениях начального угла? Ну скажем если phi =90°? (k²=½)

[@Hmath]

неа, только K(0)=п/2 и K(1)-> бесконечности :) но это здесь не поможет еще несколько значений выражаются через значения гамма-функции.

[@cmakky]

Ответ на поставленный автором вопрос: При k = 1 у нас E полн = 0, т. е. маятник будет в как будто в неустойчивом равновесии. Что, на самом деле, очень забавно.

[@nedwizard]

"Введем новую переменную t" Плохой выбор названия. У нас же уже есть время t, надо было выбрать другую букву.

[@Hmath]

да, следующий раз другую возьму, не подумал

[@НоннаВитвицкая]

График бы еще увидеть T(φo). А также с первой к То поправкой (1/2)^2 * sin(φo)^2.

[@Зачемэтополе]

11:22 - он будет вращаться по кругу.

[@raffff3000]

Не совсем Чтобы вращался бы нужно чтобы при угле f0=π у него была бы не нулевая скорость, так как в нашем примере мы просто поднимаем шарик удерживаем и отпускаем, то это будет свободное падение , тоесть период стремится к бесконечности

[@Hmath]

подразумевается, что при начальном угле больше п/2 маятник на жестком стержне должен быть (об этом говорю в конце видео). Мат. модель изначально строится на том, что груз двигается по дуге окружности, а чтобы этого добиться при угле больше п/2, он должен быть с жестким стержнем вместо гибкого подвеса. Иначе конечно в начальный момент он будет просто падать вертикально вниз пока нить не натянется - это уже другое движение.

[@java_prog]

Так и не дождался школьного обмана, а такая была интрига. Вопрос вот в чем: каким софтом вы пользуетесь, чтобы сделать такие анимированные математические выкладки? Мне понравилась такая наглядная анимация

[@Schaunard]

Похоже на manim

[@Hmath]

нее, всё "вручную" :) Сначала формулы в MathType, потом создаю картинки для каждого кадра в Photoshop, а потом все соединяю в видеоредакторе (в любом можно делать простые анимации, я с самого начала использовал простой movavi и привык уже) и записываю звук.

[@shavel6418]

Будучи учеником 10 класса я постарался понять, но безуспешно...

[@ravattar]

g это примерно pi*pi, и тогда T0 это примерно 2*sqrt(L)

[@maxm33]

Помню, в школе как-то приближенно решали, находили второй член в формуле для периода

[@vadimkvv14]

Как бы есть формулы приближенного вычисления основанные на том факте, что синус малых углов равен самому углу с большой точностью (чем меньше угол, тем больше точность). А т.к. в реальной жизни веревка с грузиком быстро выходит на те самые малые углы, эта кишка К быстро стремится к единице и практического смысла не имеет.

[@Hmath]

тогда и вся эта модель (в которой не учтено трение) не имеет практического смысла: что малые углы, что немалые.

[@ant0n1dze]

А можно теперь теорию упругости (или просто мдтт), без пренебрежения производными втрого порядка и тд?

[@pregart001]

Очень странно, что простейший маятник не использовался в качестве метронома для точного определения темпа музыки.

[@ЕвгенийМихалев-п2й]

Тоесть "К" это сумма, формула которой указана в формуле дальше, верно?

[@Hmath]

K - это функция, эллиптический интеграл (как и сказано в видео). С одной стороны он выражается через интеграл, а с другой в виде ряда (сумма) ru.wikipedia.org/wiki/%D0%AD%D0%BB%D0%BB%D0%B8%D0%BF%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B9_%D0%B8%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB#%D0%9F%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D0%BD%D0%BE%D1%80%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D1%8D%D0%BB%D0%BB%D0%B8%D0%BF%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B9_%D0%B8%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB_%D0%9B%D0%B5%D0%B6%D0%B0%D0%BD%D0%B4%D1%80%D0%B0_1-%D0%B3%D0%BE_%D1%80%D0%BE%D0%B4%D0%B0

[@Валерий-х8х9б]

Возможно нагляднее было бы записать дифференциальное уравнение колебаний маятника из второго закона Ньютона для вращательного движения м.т. и решить его методом последовательных приближений

[@Micro-Moo]

Для малых колебаний, то есть для линейного маятника это так. Это традиционный школьный подход, решение методом аналогии с вращательным движением по инерции. Но почему этот подход должен работать и для немалых колебаний, непонятно. Дело в том, что вращательное решение даёт не приближённое, а точное решение для чисто линейной задачи, например, для грузика на пружинке с линейным законом, то есть с законом Гука. Вы не можете перейти к более сложному движению с нелинейностью, потому что для вращения его просто нет.

[@ИванКощеев-о9я]

Можно проще дойти до этой формулы, если использовать естественный спасибо задания движения

[@barackobama2910]

Да. Забавно. И одно маленькое замечание и одна смешная задачка. Замечание: ну как и с яйцом надо же было что-нибудь подвесить и сравнить теорию с экспериментом )))). Задачка (для школьников). У Бивиса и Батхеда (это такие два не умных подростка) был грузик на пружинке. Бивис оттянул пружинку и смотрел на колебания вверх-вниз. А Батхед -на колебания маятника : оттянул грузик немного вбок и начались малые колебания как у маятника. А у кого преиод польше : у Бивиса или у Батхеда? Не олимпиадные школьники не могут решить ))))

[@МАйкЛжец-ю8у]

Будет видео с рассмотрением уравнения движения такого маятника? Так до термеха доберёмся)

[@АртёмКазарян-ф6ж]

Формула без синуса верна при длине маятника много большей его амплитуды

[@canis_mjr]

После уравнения Лагранжа второго рода так не хочется выводить это уравнение школьными методами((

[@stepan_chous]

Хорошее видео, единственное, что смущает это очевидный кликбейт в названии. Некорректно называть эту формулу «обманом», она верна лишь при определенных условиях. Это очень распространённый способ рассуждений в физике. Без него не было бы ньютоновской механики и нам всегда бы пришлось пользоваться релятивистской, что привело бы к значительному усложнению физических моделей, как следствие развитие физики бы замедлилось.

[@Hmath]

я, кстати, ни разу не называл формулы "обманом" :) Обманывает именно тот, кто с потолка записывает "школьную" формулу и ничего не говорит о её применимости: поищите на ютьюбе - море таких видео. Я наоборот сразу в начале сказал, что формула приближенная и дальше будем выяснять насколько именно.

[@nighthunter28]

в школе всегда все врут и скрывают правду от школьников. это заговор учителинойдов.

[@vladimirsmirnov8463]

... и учителозавров!

[@megamurzik1387]

Бедные школьники которым раскрыли секрет и они в 8 классе решали производные и интегралы

[@Micro-Moo]

@@vladimirsmirnov8463 Учитилезавры вымерли в результате заговора учителиноидов. Правду скрывают от всего народа, а сами тайно делят на нуль в своих подземных лабораториях.

[@kvach9403]

L (большая латинская L), это, все-таки, некий харам для таких случаев. Она заточена под лагранжиан.

[@Hmath]

шрифт делает l нечитаемой. Вот я сейчас какую букву написал? :) Такая похожа и на ЭЛ, и на И, и на единицу. Так что вот и L поэтому

[@kvach9403]

@@Hmath там помню маленькую с петелькой. Да пускай, на самом деле, хоть алеф )) Я в половину глаза смотрел: так, лагранжиан пошел, стоп.

[@nikolajtarasov6163]

Мне ухе больше 50 и уже 45 лет верю что математика это женщина низкой социальной ответственности так как под умным она прогнется а дураку ручкой помашет И вот Левша в сказке математику незнал а блоху подковал а почему ? Да барин по морде дал и от бутылки отогнал.

[@Jorick_73]

Правда блоха потеряла способность танцевать. Вопрос - и нафига он это делал?

[@staf5496]

Давайте в рамках уравнений математической физики в таком случае

[@СергейКарявцев-й7с]

Посоветуйте, пожалуйста, литературу для изучения функций и дифференциального исчисления, а то огромное количество книг не совсем подробно разбирают такие сложные темы

[@kitik3t]

Базу даст хороший вуз с нормальными преподами, дальше только дело твоего интереса к предмету. Я лично пошел по такому пути, необдуманно поступил в вуз, где разочаровался, но 2 препода по матеше показали мне всю красоту матана, и теперь в другом вузе в маге я изучаю диффуры и электродинамику, где дохрена векторной математики и дифф исчисления, хотя специальность вообще не та первая была. Решение интересных задач, изучение каких нибудь математических фактов на просторах инета, просмотр вот таких каналов на ютубе и просто упорство, за этим всем последует результат.

[@physman184]

Фихтенгольц три тома. Лучше ничего нет. Но тема в этом видео, на самом деле, тривиальная. Потом можно Арнольда В.И. почитать.

[@СергейКарявцев-й7с]

@@physman184 Спасибо большое!

[@ВолодяК-ч2й]

Двухтомник Пискунова лучше всего для начала

[@СергейКарявцев-й7с]

@@ВолодяК-ч2й Благодарю

[@БесконечнаяВселенная-м2з]

Это всё известно любому интересующемуся студенту вуза. А в школе НЕ ОБМАНЫВАЛИ! Там уточняют заранее что речь у них идет лишь о МАЛЫХ колебаниях, когда угол ~ синус(угол). Вы же математик? тогда ЗАЧЕМ устраивать "хайп" на уже известном? У вас просто получилась образовательная лекция, расширяющая знания учеников и простых людей с образованием...

[@ИгорьДементьев-и7м]

Просто в школе это рассказывают тогда,когда ни о интегралах,ни о производных дети еще не в курсе.Что кстати странно.

[@Fantasy85]

Потенциальная энергия маятника в самом нижнем положении равна нулю. Потенциальная энергия связана с высотой объекта относительно точки отсчета, и в самом низком положении маятника высота равна нулю. Таким образом, потенциальная энергия тоже будет равна нулю.

[@snowrain347]

Оставалось совсем чуть-чуть до элиптических функций Якоби.

[@rikhman]

Школьная формула она для длинного маятника и небольших отклонений.

[@ИльяРыбалкин-в8ь]

А если ещё и учесть изменение g от высоты? 😅

[@akakiypetrov1853]

Что то не так. При Вашем выборе систему координат при отклонении на 90° нач энергия ноль. За счет чего тогда совершается движение. Хотя, выбор начало отсчета потен. энергии, не должен имет значение

[@Hmath]

вы же сами ответили на свой вопрос: выбор системы координат не влияет. Если угол меньше 90° - энергия вообще отрицательная. В данном случае главное, что она сохраняется и всё.

[@roflan4k]

1:14 тогда уж во всех физических законах нужно поменять знак равенства на знак приближенного равенства, ведь в любой физической задаче не учитывается множество реальных факторов и вводится ряд некоторых допущений.

[@Hmath]

это совсем о другом. Одно дело соответствие математической модели физической реальности, а другое - неточность в рамках одной и той же математической модели.

[@mental_processes]

намного более актуальными является условия при которых влияние среды значимо. найдите пожалуйста поправку для атмосферы, х.б. нити и, например, стального и деревянного груза на разной длинне подвеса

[@MinecraftForever_l]

Как физика подъехала, так сразу все повылезали.

[@Micro-Moo]

Логично. Я всё жду, когда подъедут те, которые доказывают, «что физики сами ничего не понимают» и каким-то чудесным образом они же «всех обманывают и скрывают правду». От эфирщиков до плоскоземельцев. Но их больше привлекает скорость света и тёмная материя.

[@kptnmauzer]

А поэтому то часовой маятник колеблется с очень небольшим углом

[@Alluminum-z6n]

При k=1 маятник находится в положении равновесия наверху

[@valovandrey]

Неплохо. Жаль, что к реальности не имеет отношения. В реальности период зависит от массы.

[@megamurzik1387]

В математическом не зависит

[@valovandrey]

@@megamurzik1387 напомнили мне другие строго доказанные утверждения: * У сферического коня абсолютно чёрное тело. * Сферический конь дышит идеальным газом. * Ржание сферического коня представляет собой одиночную гармонику и распространяется без рассеяния. * Сферический конь пасётся на однородных полях. * Когда сферический конь скачет, его траектория описывается параболой. * Копыта этого коня соударяются с плоской горизонтальной поверхностью абсолютно упруго. * Сферический конь с ненулевой вероятностью выберется из потенциальной ямы, в которую угодил. * Чтобы сесть на этого коня верхом, нужно найти седловую точку. Сопротивление коня в этом случае пренебрежимо мало. * Если смотреть с бесконечно удалённой трибуны, сферический конь представляется материальной точкой. * Задача о причёсывании шерсти сферического коня неразрешима.

[@Micro-Moo]

@@megamurzik1387 Да не в математическом. Вся суть в тождественности инерциальной и гравитационной массы.

[@megamurzik1387]

@@Micro-Moo ок, не буду спорить

[@Schaunard]

Автору спасибо! Кликабельность заголовка должна быть, куда ж деться. А по существу ‐ хорошо изложили. Хотя это все грамотным людям известно с институтской скамьи, но повторить очень полезно. А кому-то и откровением будет. Manim используете для анимации формул?

[@Hmath]

нее, анимации "вручную" :) Сначала формулы в MathType, потом создаю картинки для каждого кадра в Photoshop, а потом все соединяю в видеоредакторе (в любом можно делать простые анимации, я с самого начала использовал простой movavi и привык уже) и записываю звук.

[@cherenkov196]

Просто в школе не умеют решать дифуравнения. Цьому учат только в вузах.

[@Micro-Moo]

Вы путаете две вещи: формальный метод решения уравнений и уравнение с нелинейностью. В школе не изучают ни то, ни другое, но линейное дифференциальное уравнение всё-таки решают - методом физической аналогии с вращательным движением. А нелинейность вообще не рассматривают, просто оговаривая, что для малых колебаний его можно отбросить. Здесь играет роль ещё и то, что школьной математики маловато, чтобы формально найти решение, но достаточно, чтобы проверить правильность решения.

[@cherenkov196]

@@Micro-Moo я ничего не путаю. Нигде в старших класах школи не встречал решения дифуравнений, Только в техикумах начинают изучать уравнения с оазделяющимися переменными. Для маятника специально оговаривается, что в случае, если синус угла приближенно равен самому углу, то тогда решение этого уравнения имеет простой вид. Если же надо посчитать период колебаний для очень больших начальник углов, то тогда прибегают к численным методам решения

[@Micro-Moo]

@@cherenkov196 «я ничего не путаю. Нигде в старших классах школу не встречал решения дифуравнений». Правильно. Но вы меня не совсем поняли. В школе решается только движение математического маятника для малых колебаний, или движение грузика на пружинке без нелинейности (закон Гука), и это одно и то же. Но решается оно не в форме формального дифференциального уравнение, а в форме физической аналогии, при этом даже само понятие дифференциального уравнения не вводится. Кроме того, я не очень в курсе изменений программ и учебников, возможно, вы этого в школьных учебниках и не встречали. Но это не значит, что этого вообще нет. Если дифференциальное уравнение колебаний решается, нужно различать два случая: линейное или нелинейное, последнее получается, если учитывать, что угол не мал. Теперь согласны?

[@cherenkov196]

@@Micro-Moo согласен.

[@Micro-Moo]

@@cherenkov196👍

[@andrewtar4388]

ох, прямо пары теормеха первого курса вуза вспомнились) тут еще можно было бы рассмотреть фазовую плоскость, там занимательная картинка получается. и как раз видно, что возможно еще и другое движение - движение по окружности в плоскости с нормалью вдоль Оу. хотя и без этого объяснение довольно хорошее