e^πとπ^e どっちがでかい？

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「家族で行こう！自転車の旅」
#高校数学 #鈴木貫太郎 #オイラー

[@donkeysong]

「知らなきゃ気づかない」をなるべく無くすため、もう少し解答に行きつくための思考を整理すると ①指数にやっかいなもの（今回の場合πやeといった無理数）がある場合、対数をとって考えるのが有効 ②ある関数の増減に帰着させたいので、f(x)においてf(e)とf(π)の大小を考えればいいようなf(x)を見つけたい というのがポイントになりますね。 自然対数関数は単調増加なので、π log eとe log πの大小を比較すればよい（ポイント①）。 大小比較なので差をとって π log e - e log π・・・※ を考えたいが、ポイント②を踏まえて、eやπを一箇所に集めようと考えると ※=πe((log e)/e - (log π)/π) と式変形できで、f(x)=(log x)/xとしてf(e)とf(π)の大小を考えればよい。

[@user-jx4nb6zn7y]

donkeysong 優秀

[@user-zd5pb9jn1z]

やっぱり未知の問題でも予測出来る人がさいつよですよね……

[@riichiota2683]

なかなか “ e “ 問題でした。

[@STILLBLACK8132]

うまい、完πです

[@user-cb7ko8pb1v]

@@STILLBLACK8132 2年越しのボケ。。。 φンプレーですね(？)

[@user-zv6pd5tz6m]

@@user-cb7ko8pb1v 5時間前……めっちゃΨ近じゃん……

[@user-ni3xf1yj8q]

@@STILLBLACK8132 あθもまた見ようかしら

[@appleseed5783]

@@STILLBLACK8132 オイラも完敗や

[@user-gd7nk2yt2t]

関数電卓で計算したら、e^π≒23.14, π^e≒22.46 でした。

[@user-cq8vl2bj9n]

めっちゃ予想外したわ。ｸﾔｼｲ

[@user-gk2om7ij5r]

予測立てることがほぼ不可能な良問ですよね

[@makonguyen]

動画の説明が分かりやすいです。外国人の私でも分かりました！ 以前は数学は何かとか数学は何が面白いかと思いましたが、今はなんらか分かってきました。ありがとうございました！ 毎日先生の動画を楽しんでいます。

[@user-ti6gb4ur9j]

確か５０年以上前の東大の問題かと 僕は両方のlogをとってx-elogxの増減を調べ、ｘ=πのとき、＞０を示しました

[@user-iv8xo3xf2v]

これと同じような問題で 自然数a,b(a

[@gy5986]

数3ろくに授業聞いてこなかった俺でもなんとか理解出来た。貫太郎さんすごい。

[@kantaro1966]

ありがとうございます。

[@yuai_mzbn_chocolate]

こんな考えもできます。　 a^b ≦ b^a ↔ b*log(a) ≦ a*log(b) ↔ log(a)/a ≦ log(b)/b よって、関数 y=log(x)/x の増減を調べればよいので、ほぼ同じ回答に行き着きます。 ちなみに、同じような方法を使えば、自然数 m,n (だだしm

[@user-zo6yw4qu8g]

ゆうI この方が自然な解法ですね

[@user-wg8xc8hq8n]

ってかこれが正攻法だと思ってた

[@user-hd9rz5vd4w]

これどっかの国立の二次に誘導付きで出てませんでしたっけ？

[@user-hd3kk6ym7b]

児嶋児嶋 うろ覚えですが神戸大の過去問で見た気がします

[@user-vq8ly7ep6s]

解説ありがとうございました！！ この解法は知らないと解けませんね… 次出たときは必ず解けるようにします！ 本当にありがとうございました！！

[@kantaro1966]

くろちゃん さん こちらこそ、面白い問題を提供してくれてありがとうございます。多くの方が指摘されてるように、対数をとる方法(まー、流石に私もそれは考えましたが、その後の処理はすぐに諦めちゃいました)でできるようにしておいたほうがいいと思います.

[@user-tn7rm6wi4w]

これは勾配曲線として 有名な y=logx/x から導くこと は参考書によく示されています ね。この関数は頻出なのです が、先生の導入の仕方が 参考になりました。 ありがとうございます。

[@yahoo722]

この動画のおかげで芝浦工大の問題解けた

[@jonny_xxx]

数3の問題集解いてて出てきました！ 貫太郎さんの動画で見覚えがあったので見に来ました😝

[@user-uw6pw4xw2k]

ちょうどこの問題、定期試験の過去問にあったので解説していただいて助かります。

[@oxygenfooo3380]

こういうやり方もあるんですね。 自分はlogx/xの微分でやりました。 数Ⅲの青チャートの例題に、似た考え方の問題があったので練習になりました。

[@qwertyuiopasdfghjklzxcvbmn]

芝浦時終わったあと貫太郎さんなら紹介してるかなって調べてみたら全く同じ問題で草

[@takemu779]

x分のlog xのグラフ書けば一瞬ですよね(数三の微分必要) どっか別の大学でも似たようなπの3乗と3のπ乗の大小比較をする問題がありました！

[@coscos3060]

２０２１年の大学入試問題にこれが出題されたのも頷けますよ😃

[@user-rm1lu4oq5v]

すごく分かりやすかったです！チャンネル登録させていただきました！

[@tsukikage0562]

e^π、π^e のlogをとって、log e^π = π 、log π^e = e log π、eで割って、π/e と log(e)π として比較します。で、πのところをひとまずx にして、関数 x/e と、関数 log x を比べることでも解けますよ。すると、x = e のとき両関数は接することがわかります。結局接点以外では関数 x/e のほうが終始大きいので、π/e > log π …で、元通り逆をたどれば、e^π > π^e がわかりますよ。やった！イェイ！

[@user-wp7xc3pu1i]

君天才

[@ponyu6060]

「aが0,1以外の代数的数でbが有理数でなければa^bは超越数である」というゲルフォント＝シュナイダーの定理というものが存在します。e^πはゲルフォントの定数と呼ばれ、オイラーの公式を用いることで超越数であると示されていますが、π^eについてはまだ超越数であるか否か分からないそうです。

[@suwa-turibto7181]

一日で2個も動画が上がるとは

[@user-xk8wf5od7g]

すげえこんな解き方もあんのか

[@Channel-gc3em]

定期テストの設問としては難しい問題ですね。一瞬、パニックになりそうです（笑）

[@EG0503]

これ定期テストで出ました笑 さすがにlogx/xの誘導がありましたが

[@user-tc4nf8yx5y]

東大の後期の問題であったよねこれ

[@09cm53]

数学はいろんな公式とか忘れたけど、式変形して関数の増減を見てやればOKっていう方針は 今でも理解できますね

[@user-gd7nk2yt2t]

見たことがないと、最初の変形は難しいですね。出題するなら、小問で、y＝(log x)/ x を微分させて、y = x^(1/x) の増減 を調べさせて、変形をにおわせるぐらいが適当でしょうか？e が登場するのが不思議、というのが本動画のミソですね。

[@user-xe4zr2fj9h]

今回の動画もスムーズで分かりやすかったです。 ぱっと思いついきなのですがこれはオイラー公式を利用してどうにかならないですかね。少し調べただけだと出てこなくて、出てこないってのはできないから出てこないだけなのか...… 幼稚なコメントで申し訳ないです

[@user-th7cu4rf2i]

え、もっちゃんはこれを全部脳内でやったのか、、？？

[@user-cn8un9dd3p]

e問題ですね！

[@tomonarihamada9055]

kzbin.info/www/bejne/Z36ad3lno8lla6s&feature=em-comments この動画でも「こう定義すると都合がe」って言ってましたｗｗ

[@user-cn8un9dd3p]

tomonari hamada 本当ですね笑　知りませんでしたー

[@user-vl6nb8ji4i]

Ｃ問題

[@eo2970]

今日の神戸大の第1問(3)でこれが出ました！ありがとうございました！

[@user-xg5rv8vp3e]

f(x)=x^e/e^xと置くと割と簡単に解けました。 f'(x)={e・x^(e-1)-x^e}/e^x x=0,eでf'(x)=0となります。（x=0で微分可能かは横に置いておきます。最大最小を調べるときには使えると思います。） f''(e)∞)f(x)=0なのでX>0でf(x)はf(e)=1を最大値に持ちます。 よって、0

[@yoshihisaasano8677]

面白いchannelだったので、登録させていただきました。 本問については、もう10年以上前になりますが代ゼミの本科のテキストだったか代ゼミ小林清隆先生の単科のテキストだったかで同じ問題を解いたような気がします。 その時は f(x)=logx/x と置いてグラフを描きます。するとグラフより f(e)>f(π) loge/e>logπ/π 両辺にeπをかけてlogを払って e^π>π^e と解説されていたと思います。何しろかなり昔のことですし僕自身もおじさんなので記憶があいまいなのですが。 高校数学は楽しいですよね。

[@planethable]

わかりました ありがとう！

[@user-eb5vv2xm6h]

最初の式変形がかなりしんどいですね。 そこさえ乗り切って関数x^1/xが必要と分かればおしまいですね。 私ごとですがx^(1/x)、まあつまりはlogx/xのグラフはよく出るので知っておくと何かと便利です。

[@user-kf8rn6je1k]

これは2000年の筑波大学の入試問題ですね ただしy=logx/xの誘導があります

[@mjj8512]

今日学校の実テで出てきた！ テスト前にこの動画見たかった…泣

[@user-cg6qx6ui8u]

両方lnとってπlne(=π),elnπ 両方eで割ってπ/e,lnπ 2以上の実数a,b,C(alnπ また、ここまで行ってきた式変形は全て 大小関係が変わらないので、e^π>π^e

[@0cx688]

学校の定期テストで出ました!! 解けました!ありがとうございます!

[@user-mr5td2uc6p]

初っ端からクソ賢くて笑った すげぇ

[@user-wp3or1xq5h]

e^x>x+1(x≠0)にたいしてx=π/e -1を代入すると e^(π/e)>πが得られて、両辺e乗するとe^π>π^eが得られます

[@maichikun1]

初手に対数をとってeπで割ってlogx/xの増減で考えた。対数を取らないでも解けることを知って少し感動。答えは一通りなのに、解法は無数にあるのが数学の面白さなのかもしれませんね

[@user-np9xk5cb5l]

数学の解法というのは、あくまで答えを求める手段であるということですね

[@ti-bq6vf]

近畿大学の第一回数学コンテストにも同じ問題ある(もしかしたらそれがオリジナル？)。それにはちゃんと誘導もついてる。

[@leonardka9823]

いーぱいぱい、ぱいぱいいー、どっちがデカイ？という難問に挑む貫太郎先生

[@user-il5bo1rh1k]

良いねされてなくて草

[@user--njtkjOlcotIq5s]

@@user-bd4dz3oo2z 違うよ

[@user-vb8fn3ez8t]

ぬきたろうせんせいと読むのですか？

[@user-lg5xg5qr7b]

@@user-vb8fn3ez8t 深夜に見てたからガチで笑ってしまった

[@peppepein]

2年前ではまだそれほど有名では無かったのですね…今ではもう有名な問題の1つになっていますよね。

[@user-gd7nk2yt2t]

参考動画見てみました。中国人が英語でやっているみたいですね。いろいろ面白い内容をたくさんやっていますね。

[@kotetukotetsu]

「e^πとπ^e どっちがでかい？」おもしろい問題ですね。中学生、高校生の頃、1ヶ月考えて、2ヶ月考えて、答えが合った時は嬉しかった。夕飯を食べるのを忘れて数学セミナーのエレガントな解法を求むを夢中で解いていた。 何か考え間違いをしているのか、もう一度公理、定義を確認してみよう、何らかの定理を使って証明できないか、補助線を書いてみたがうまくいかない、正攻法では無理そうだ何か別の方法、新しい発想をしないと、ひょっとして計算間違いをしていないか、あ～でもない、こ～でもないと徹底的に自分で考え、考え抜く。 自分で考える、考え抜くということは社会人になってからでも重要なことです。

[@niridc8303]

鈴木先生お久しぶりです！ 今日の動画もとてもためになりました！ 私ごとですが、4月に受けた模試の数学の偏差値が74でした！(鈴木先生のおかげかも!?) まぁ進研模試なので偏差値は少し高く出てしまいますが、それでも偏差値70越えは嬉しいです😆 他の教科も全部偏差値60越えだったので、判定もかなり良かったです！ 浪人の最初の模試の成績が良いのは当たり前なので、慢心せず頑張ります。 ちょくちょく鈴木先生の動画も見に来ます🤓

[@kantaro1966]

_奴隷は2度刺す さん ありきたりだけど、頑張って

[@niridc8303]

鈴木貫太郎 ありがとうございます！

[@Torukoice]

おおー ちょっと感動しました

[@user-kz9lb4iv9k]

前日にヨビノリの相加相乗見とけばよかった…

[@user-th6dy2fe7l]

芝工解けた！ありがとうございます

[@user-xl6qo5yo4c]

これ昨日のテスト出たー泣 みとけばよかったー

[@koko-chan8764]

名古屋市大の問題(2018/12/11)がきっかけでまた見直してます。 因みに数値入れてみたら e^pi = 23.14, pi^e = 22.45 でした。(^.^)

[@user-hk6ss3mv3v]

後半の微分を(1)にして出題して、本題を(2)で 聞けば結構な人が解けそうだけど、いきなりの 式変形をどれだけの人ができるかだよなー。 対数微分法は大学の微積の授業でもお世話に なってます。

[@user-wj4vz5pg6g]

定数を分離して対数微分法を使って増減調べるだけやな おもろいわ

[@pokochon3504]

これまでの貫太郎さんの出題・回答からして、この問題の解法は貫太郎さんにとっては朝飯前のような気がします。英語のサイトを見て学んだというのを聞いて意外に感じました。

[@user-bd8dj3ql2n]

共通部分を作って比較しやすくする発想は凡人には思いつかんな。数学の天才は何も見ずにぱっと気づけるんだろうなぁ

[@leeman1064]

教科書のコラムに乗ってるやつだ！

[@hinagiku8312]

両辺自然対数とってπeで割ればlogx/xの形になるからそれの概形をかいてx=π、eをぶち込んだ方が応用もきくし速いと思います

[@user-xk8wf5od7g]

hina giku その手もあったか

[@randomokeke]

ありがとうございます！

[@user-kz2ci2qh6d]

高三の頃のサクシードの最後のページに載ってたのが懐かしい

[@26Dachi]

お見事でした

[@26Dachi]

大学入試問題では・・正解者いないかも？

[@tori9596]

これよく過去問で見るね

[@user-pl2wi9ik4q]

今週末微分のテストなんで助かりました

[@KT-tb7xm]

この動画は貫太郎さんの動画を見始めたばかりの頃に一度見てたんですが，当時は全く解けず，この動画を見ながら，ただただ圧倒されて終わりました。今日久しぶりにこの動画がおすすめに出てきて，以前見た時の内容を完全に忘れてしまっていたので，改めて自分で考えてみたら解けました。貫太郎さんの動画を見る前だったら手も足も出ない問題でした。おかげさまで数学の力が付いていることを実感できました😀 ちなみに私のやった解き方は以下の通りです。 両方の自然対数をとってその大小比較をする e>1より，（e^π，π^e）と（π，e*log(π)）の大小関係は同じ f(x)=e*log(x)-xとおいて，f(π)の正負が分かれば題意の大小が分かる f'(x)=(e-x)/x，f''(x)=-e/x^2

[@yokohamalily7160]

高校時代、相関係数や共分散の範囲が全然わからなかったので、出来ることなら説明して欲しいです。

[@user-ix1jo4cp4j]

こんな単純な式から…計算大変だぁ

[@1233hnddjushdjdsssssssss]

3.14と2.72をぶっこんでやった俺は文系

[@fuetarian]

なうだいちゅー ネイピア数が2.72分かってるだけ十分だよ

[@summerskyk818]

なうだいちゅー 2.71…

[@fuetarian]

クーガ弓道 2.718だから四捨五入で2.72なんやぞ低学歴

[@summerskyk818]

Fuetarian Fuetarian 確かにそうでした。申し訳ございませんでした。

[@fuetarian]

クーガ弓道 ごめん 俺も言い過ぎちゃった ゆるしてほしい

[@user-qk6me3nk9z]

しばしば入試問題で、xのy乗とyのx乗の大小を比較する問題を発見しますが、なんかこの問題に限らず、この問題の考え方応用できそうですね。他の問題は、この考え方でいけるのか、調査したくなりました。

[@user-dk7pq5oe3j]

なるほどねえ

[@user-wj5yo9xx4l]

英語のチャンネルだとblackpenredpenかな･･･ 私はよく見てます 目から鱗の連続チャンネル！ ビックリ仰天の積分法も紹介されてます

[@user-cx7si8hf1h]

この問題つい最近の中間テストで出た！

[@user-zx9iy8bz9m]

一橋経済後期の過去問にありましたね

[@user-rv9gr4xf9k]

受験生時代に会いたかった

[@user-eh3gi6kh4e]

e問題ってeたかったんですね笑

[@user-sy2gs5wp9r]

thank you..Japan know well about Math

[@fukuokamarch1647]

他所で、以下のような解き方を見かけました。受け売りです。 e^X = lim n→∞ ( 1 + X + X^2/2! +X^3/3! +･･+ X^n/n!) 右辺について、3項目以下を取り除く。(左辺)＞(右辺)となる。 e^X > 1 + X X に (π/e - 1) を代入する。 e^(π/e - 1) ＞ 1 + π/e - 1 e^(π/e) / e ＞ π/e 両辺をe倍する。 e^(π/e) ＞ π 両辺をe乗する。 e^π ＞ π^e

[@user-lr7fr7uu3m]

マクローリン展開が許されるかは疑問ですが、良い解法ですね。

[@aikatu9435]

質問です。 e^(1/e)>π^(1/π)なのは分かったのですが、e^πe

[@user-gd7nk2yt2t]

先に同様のコメント、返信がありますよ。指数法則の勘違いだと思います。

[@aikatu9435]

ありがとうございます、勘違いでした....

[@user-ov4jx1bw7i]

面白かった

[@user-vr3jh9nv7b]

まずeというのが何なのか分からなかったのでこれで分かりました。

[@tr_s6593]

お、有名問題 なんかオススメにきたw

[@user-ie6nt5pl9s]

数3赤チャートの357ページに下の練習Bで載ってました。一橋が出してました笑解答見たら自然対数をとってやってこっちの方が分かりやすかったです

[@user-ie6nt5pl9s]

動画の方がってことです

[@renka8691]

この問題見た瞬間、logが思い浮かびましたね。

[@faj4651]

Ken. F 比較する時とりまlog使うあるある

[@user-mt9lc1tc7u]

問題演習やってるうちに思考法が刷り込まれたんだな

[@user-mu9jt6cw5j]

この前受けた大学入試で出たので見に来ました！(解けたとは言ってない)

[@user-mu9jt6cw5j]

π^{(1/π)*πe}の発想が無かった...

[@user-bx4st8hk7x]

f(x)＝logx/x (x>0)とおいて 増減調べてx＝eで極大値を取るので、それ以降は単調減少。 よってef(π) つまりloge/e>logπ/π が成り立ち両辺にeπをかけて πloge>elogπとなり、e^π>π^eとなるようですね^_^

[@TY-gt6fs]

これ正式に答案に書くんだったらe3とe

[@user-zd5pb9jn1z]

すみません、まだ私も高校生なので自信は無いですが、受ける試験によって異なると思います…… 大学入試レベルでe

[@user-lr7fr7uu3m]

π>3,e>2の証明は非常に簡単ですが、e

[@user-xz2kr6uw6l]

一橋の後期にもありましたね(赤チャートにのってた記憶が)

[@user-jl1fm8zh8j]

一橋って、数3出るんですか？

[@user-xz2kr6uw6l]

@@user-jl1fm8zh8j 後期は出ます 理系学生を募集するためらしいです

[@user-jl1fm8zh8j]

@@user-xz2kr6uw6l そうなんですね！まぁ、経済学部なら数3やらない方がおかしいのかもしれませんが……

[@nradio8543]

y=logx/xを考える．yを微分する．x>eで単調減少だと分かる．π>eを踏まえると，logπ/π

[@user-il5bo1rh1k]

大学への数学か何かにこの問題は載っていた気がします^ ^

[@user-vq1nj9mv6d]

実テで出て白紙。 数学の得意な部長もお手上げ。

[@hinagiku8312]

自分で発見したわけではないが e^x>x+1(x>0)にx=π/e－1を代入きたら 終わりなんだけどw 外国の動画のコメ欄にあってビックリしたわ すごくね？

[@user-ge5sm9ng7p]

2.7^3

[@mekajd4808]

これいろんな問題集に載ってますよね

[@user-zg1sg4sp3w]

この問題、いきなりlogとってその後両方eπで割るとlog e /eとlogπ /πになるのでy=logx /xについて微分してx=πとx=eについて比べるのはどうでしょう？

[@user-sm3eg4ku3s]

個人的にその方がわかりやすい！！

[@user-pl2wi9ik4q]

そこに帰着かーーうまい

[@user-nz6qq8yp7v]

なるほど

[@user-nb6jk4vc7x]

こんなに数字の割合が小さい数学の世界があるのか…(中学生並感)

[@user-fh5dk9kv7k]

筑波に出てたなこれ

[@zk8058]

レッドブラックペンを参考にしたんやろなあ

[@user-yw2xb3qp7r]

ﾙｰﾄ2のﾙｰﾄ2乗のﾙｰﾄ2乗のﾙｰﾄ2乗………みたいに無限にやったときどうなるかわからないです

[@user-xf6gl5vg7o]

今年の芝浦で出た奴‪だ‪w 自分は両辺logをとって示しました

[@laughing_man_Aoi]

2日目の大問4ですねw