Интеграл: придем к ответу через экзотические функции!

[@autolightview]

Очень приятно быть подписчиком на Бусти у такого крутого автора. Ещё смотрю некоторые каналы на Английском, но там в основном банальные, хоть и интересные задачи решаются. Здесь же автор, по моим ощущениям, делает мегауникальный контент

[@Hmath]

большое спасибо за поддержку!

[@ovsyankavvalenke]

Как обычно, красивый пример с красивым решением! Спасибо за Ваши видео)

[@kislyak_andrei0]

Вроде бы сложная задача с нетривиальным решением, но так хорошо подана, что слушать одно удовольствие

[@hasisin1337]

Мне нравится развитие сюжета в этом сериале! Все герои выступили в этой серии. С наступающим вас

[@SobTim-eu3xu]

Красота какая

[@SobTim-eu3xu]

Спасибо за лайк, люблю ваши видео!)

[@АндрейГерасимов-ш6ш]

Очень красиво. Самый лучший контент на ютубе

[@Miphganki]

Очень понравилось, красивое решение!

[@БандеровскоеЯичкоЮщенко]

Очень интересное видео!

[@Lalalahhu7gf]

Кайф для мозгов

[@shizanytilemon]

Интеграл получился очень весёлым. Ещё круче было осознавать тот факт, что я в 10 классе почти самостоятельно дошёл до решения(забыл определения шинуса по экспонентам). Кстати, меня очень смутила замена в данном видео, поэтому могу предложить иной и, по моему мнению, простой способ дойти до интеграла с шинусом в знаменателе, достаточно просто заметить, что дифференциал логарифма с страшным аргументом равен дифференциалу x делить на корень из x^2+1, а дальше сделав замену ln(x+sqrt(x^2+1)) и выразив из неё x^2, получить искомый результат :). С наступающим вас, всего самого наилучшего!

[@User050068]

У нас на матане чтобы каждый раз не произносить "гиперболический" в названиях функций, было решено называть их "шинус" и "чосинус"

[@alexin6647]

Обожаю.

[@mrgeroi_]

Какой красивый ответ) Я в востроге!

[@petr_duduck]

В числителе обратная гиперболическая функция в степени, в знаменателе корень, который уходит при гиперболической замене. Чувствую, сейчас пойдут шинусы да чосинусы)

[@alexandertyomin1808]

Насколько я помню по учебникам 60-70-х годов обратные гиперболические функции назывались с приставкой "Ареа-"- "Ареасинус", "Ареакосинус" и т.д. В справочнике Бронштейна это было. Не знаю, как сейчас, есть ли изменения.

[@РусланАстамиров-е8ц]

4:15 ареасинус, обозначается так же как и вы обозначили из Википедии, но намного чаще как sh^(-1)

[@ЦыборьгъУбивца]

Я полагаю что это рекорд по вставленным ссылкам на другие видеоролики) Поди скоро все видео можно из них составить "проворачиваем трюк А как в этом видео, ссылка в описании, потом трюк Б, потом трюк Ы, вот и все, спасибо за внимание"))

[@Hmath]

ага, так в математических книгах обычно и происходит :) Я как-то квест по ~5 книгам проходил (в одной ссылка на другую, в той на следующую и т.д), чтобы понять откуда формула получается :)

[@anime_hater]

это какое задание егэ? из второй части?

[@Hmath]

да, в егэ было, в первой части, в 1961 году!

[@hannoii]

5:58 зечем в сумме начинать k с единици если q⁰ это и есть 1, сумму можно было проще записать. Но видео все еще класс

[@Hmath]

специально так написал, чтобы дальше нагляднее было, когда производная находится. Иначе были бы вопросы: почему сумма начиналась с нуля, а стала с единицы.

[@maligosssaron3416]

6:31 замечу, что это тоже специфическая функция - полилогарифм -1 порядка Li₋₁(x). У полилогарифмов есть множество интересных свойств и равенств, даже для отрицательных целых порядков, для которых полилогарифмы представляют собой рациональную дробь. Сам их открыл для себя, и изучать было их довольно интересно. Например, смог при помощи них составить формулы для частичных сумм Σxⁿnᵃ, где a - неотрицаельное целое, а также отдельно рассчитать коэффициенты для частичных сумм Σ2ⁿnᵃ и Σnᵃ/2ⁿ

[@maligosssaron3416]

Не буду голословен, вот частичная сумма для седьмой степени: ½ • ₙ₌₁Σᵏ 2ⁿn⁷ = 2ᵏ(k⁷ - 7k⁶ + 63k⁵ - 455k⁴ + 2625k³ - 11361k² + 32781k - 47293) + 47293 Общая формула выражается через упорядоченные числа Белла, они же числа Фубини

[@Jamxain]

Ого. Спасибочки тебе за упоминание таких закономерностей

[@aranarus]

Шестое число Бернулли 42… совпадение?

[@Arsenniy]

У этого канала нет аналогов. 5 звёзд

[@andreybyl]

нельзя вот так t^2n вносить под знак суммы и ждать, что ряд будет по прежнему равномерно сходится, ведь t^2n не ограниченна на промежутке интегрирования. А интегрировать почленно можно только ряды, которые равномерно сходятся. Все это можно сделать на отрезке [a, b], но тогда надо будет обосновать почему при переходе к несобственному интегралу можно будет поменять местами знак суммы и предела когда а стремится к нулю, а b к бесконечности. Так что увы решение не годится

[@Hmath]

я уже это пробовал: kzbin.info/www/bejne/g6DRhamopL9-rrc полвидео рассказывал про эти сходимости и убедился в очередной раз, что почти никто не хочет эту часть смотреть. Так что "не годится", так не годится :)

[@andreybyl]

@@Hmath точнее не не годится, годится конечно)))) но надо было просто сослаться на теорему о предельном переходе под знаком несобственного интеграла! Зорич Т2 страница 499. Подынтегральная функция ( частичная сумма полученного Вами ряда) сходится равномерно к своей сумме ряда на каждом конечном отрезке, поскольку t^2n там ограничена и после внесения под знак суммы не влияет на равномерную сходимость (на конечных отрезках). Одно условие теоремы выполнено сразу. Теперь надо обосновать, что и несобственный интеграл от частичной суммы ряда сходится равномерно, на множестве всех натуральных чисел ( n выступает в качестве параметра!). Вот тогда можно будет менять местами знаки суммы и несобственного интеграла! Но все члены ряда несобственно интегрируемы, и все частичные суммы ряда тоже, так что второе условие выполнено просто тавтологически))))Общий алгоритм отсюда такой: если у нас есть несобственный интеграл от нуля до бесконечности от ряда функций ( также несобственно интегрируемых) сходящегося равномерно на каждом конечном отрезке, то после формальной перемены знаков суммы и несобственного интеграла мы всегда(!) получим сходящийся числовой ряд, который и будет ответом и все это законно. Может стоит один раз это проговорить в общем виде и потом ссылаться…

[@Hmath]

у меня тогда к вам вот такой вопрос есть (это не чтобы поспорить или потроллить, а мне правда интересно): Допустим есть несобственный интеграл и я знаю, что он сходится. Если разложить подынтегральную функцию в ряд, потом поменять местами интеграл и сумму (не проверяя никакую равномерную сходимость), проинтегрировать и получить ряд. Допустим полученный ряд сходится. Может ли вообще быть такой случай, что получившийся ряд сходится к другому числу, чем изначальный несобственный интеграл? Мне кажется, мне такой пример вообще не попадался :) Т.е бывает, что изначальный интеграл сходится, а полученный ряд расходится (в этом случае сразу понятно, что так делать нельзя было). Но вот если бы мог быть случай, что и то и другое сходится, но к разным числам, тогда тут ошибку не заметишь без всех этих проверок на равномерную сходимость и т.п. И они бы сразу имели бОльшую ценность :)

[@andreybyl]

@ вопрос имеет смысл когда мы какую -то часть подынтегральный функции можем разложить сначала в степенной ряд( круг сходимости которого покроет промежуток интегрирования) , а потом умножить на другой сомножитель ( внести множитель под знак суммы) так чтобы уже получились ряд не степенной, а функциональный, члены которого уже будут интегрируемы в несосбтвенном смысле( ведь степени не интегрируемы если промежуток интегрирования бесконечен). Тогда да, мы возвращаемся к Вашему случаю и можно все делать по тем же причинам , лишь бы множитель который мы будем вносить был ограниченным на любых конечных отрезках принадлежащих промежутку интегрирования, чтобы не оказывать влияние на равномерную сходимость итогового ряда на отрезках. И тогда нам и не требуется предварительное знание о том что исходный интеграл сходится, это гарантируется упомянутой общей теоремой о предельном переходе под знаком несобственного интеграла. PS вы по любому будете получать этот ряд указанным выше способом, других нету)) а значит на этапе получения этого ряда (из степенного) вы элементарно убедитесь в его равномерной сходимости на любых компактах, и в том что его члены интегрируемы в несобственом смысла, надо просто всегда говорить, что поскольку полученный итоговый ряд сходится равномерно на любых отрезках, а его члены интегрируемы в несобственном смысле по исходному промежутку, то законность перемены знаков суммы и несобственного интеграла следует из общей теоремы «о предельном переходе под знаком несобственного интеграла») Вот что делать если члены ряда вдруг окажутся неинтернируемы в несобственном смысле я не знаю, вот это хороший вопрос. Тут наверное надо будет уже по разному пытаться получить итоговый функциональный ряд для подынтегральный функции, чтобы это было выполнено, ведь мы по разному можем выбирать какой множитель отщепить для разложения в степенной ряд. Но это уже экзотика какая-то, я не припомню таких примеров…