Как предел с синусом доказывает иррациональность числа е?

Рет қаралды 11,430

Күн бұрын

Пікірлер: 75

@ferrari6649 4 ай бұрын

Помню в прошлом году наткнулся на этот предел в Демидовиче, даже с указанием долго доказывал чему он равен (в Демидовиче нужно было не найти, а доказать что предел равен 2пи), но когда всё таки доказал, понял что это того стоило, приятно видеть его снова спустя долгое время.

@regulus2033 4 ай бұрын

А там было написано, что из этого следует иррациональность е?

@tilerderden778 4 ай бұрын

Я обожаю твой канал, каждый раз просто расслабляюсь: Бросила девушка, выгнали из дома, всё что угодно - всегда твой канал радует Спасибо тебе

@AndrewGalapchuk 4 ай бұрын

Мне очень понравилось,что автор решил изменить условия требуемой задачи (с поиска предела на доказательство иррациональности)

@Micro-Moo 4 ай бұрын

Умельцев решать задачи и без того хватает. (Хотя и не всегда.) Главная ценность это человек, умеющий мыслить иначе: «А зачем нам решать эту задачу? Разве это самоцель? Давайте лучше решим другую.»

@nikita__222 4 ай бұрын

Желаю автору творческих успехов, развития канала и много-много подписчиков. Представить сложно, сколько труда нужно для выпуска одного видео; хочется надеяться, что усилия автора полностью оправдывают его ожидания.

@eulerspoon 4 ай бұрын

Очень красиво, спасибо)

@Farad-s1b Ай бұрын

Офигенный пример и офигенное его решение.Получил эстетическое удовольствие!

@pavelponomariov 4 ай бұрын

Не смог пройти мимо и не выслать скромное пожертвование. Большое спасибо и процветания каналу.

@romank.6813 4 ай бұрын

Число е - это 1+1/1!+1/2!+1/3!+... Умножаем его на n! и тогда первые n слагаемых становятся целыми, то есть, будучи умноженными на 2π в аргументе минуса, превращаются в тыкву. Итого, под синусом остается 2π/(n+1)+2π/((n+1)(n+2))+... Из них 2π/n убывает медленнее всего, только его и оставляем. Остаётся предел от n*sin(2π/(n+1)), который равен 2π. Вроде так. Щас узнаем авторское решение.

@Rex_ARRR 4 ай бұрын

Красота!

@romanh219 4 ай бұрын

Супер, получил искреннее удовольствие

@ilyasakhundzada6604 4 ай бұрын

Благодарю! Очень интересно!

@vitkarp2906 4 ай бұрын

Класс, спасибо! Будем знать!

@vikivanov5612 4 ай бұрын

Красивый фокус. В Википедии есть доказательство Фурье, а тут по той же схеме еще к нему прикрутили предел и число пи.

@sergeygaus9811 4 ай бұрын

Отлично. Получил большое удовольствие.

@vitaliikuzminov2888 4 ай бұрын

ух ты, красивое доказательство!

@blackeagle-z5t 4 ай бұрын

Красивый результат!

@NikitaBotnakov 4 ай бұрын

Красиво!

@barackobama2910 4 ай бұрын

Отлично. С ходу не вспомнил решение -посмотрел ролик.

@ВладиславПойманов 4 ай бұрын

Очень красиво. Почему нам так матан не рассказывали?

@Arsenniy 4 ай бұрын

крутое видео))

@АлександрКольцов-о2в 4 ай бұрын

Забавно... Неплохо было бы упомянуть АВТОРА первым доказавшего иррациональность числа е. А с числи pi есть что-то аналогичное? 😅

@Alex-FF-q1r 3 ай бұрын

Ютуб не кажет, где теперь смотреть Ваши блоги?

@imoldpirate 3 күн бұрын

можно ли похожее доказательство построить для корня из 2? да, там есть попроще доказательства, но уж очень красиво, как в видео. вопрос, как корень из двух разложить в ряд

@Hmath 3 күн бұрын

ru.wikipedia.org/wiki/Ряд_Тейлора Здесь же есть разложения для разных функций, в том числе и для корня. Только, думаю, вряд ли это поможет и получится как-то аналогично сделать... Но попробуйте :)

@andreydeev4342 4 ай бұрын

Но подождите, если попробовать построить функции y=x*sin(2pi*x!*e), например на тоже же desmos, видно что этот ряд расходится, значит предел не существует. И честно говоря вызывает сомнения переход на 6:20 - то что Вы взяли верхнее ограничение аргумента синуса - ведь сам синус не монотонный. Кажется Вы что-то пропустили

@Hmath 4 ай бұрын

sin x - монотонно возрастает при 0

@The_Earth_One 4 ай бұрын

Если взять подпоследовательность из натуральных x, то данная подпоследовательность стремится к 2π

@123Qwe-gc3ku 2 ай бұрын

Не у вас ли в одном из видео была показана разница предела последовательности и функции, как раз таки на каком то примере с синусом? @@Hmath

@maxm33 4 ай бұрын

Да, калькуляторы точно работать с такими аргументами отказываются )

@ИзяШмуль 2 ай бұрын

Афигеть, ну вот и как до этого самому допетрить?

@Оксана-э5у9о 3 ай бұрын

Где начало истории с рядами?

@eugnsp 4 ай бұрын

Интересно, что число, содержащее pi, оказывается снаружи, хотя обычно pi бывает под синусом.

@Micro-Moo 4 ай бұрын

Да. хорошее доказательство. Но я подумал: иррациональность это мелочи 🙂, а вот я вдруг осознал, что не знаю ни одного доказательства трансцендентности числа e. Можете сказать на эту тему что-нибудь интересное?

@Hmath 4 ай бұрын

мне попадались, но очень муторные :) я подумал, что, наверно, это не для видео на юьюбе :) у Майкла Пена, например, есть: kzbin.info/www/bejne/mpO0eX2ajdiEq5Y

@Micro-Moo 4 ай бұрын

@@Hmath Спасибо за ответ. Интересно, посмотрю.

@lelelelevvgym 4 ай бұрын

Чёт не верю, что этот предел стремится к 2pi. Тогда это что-то удивительное, ибо sin должен стремиться к нулю в таком случае. Точно ли можно раскладывать е как сумму ряда

@lelelelevvgym 4 ай бұрын

Охренеть, проверил на калькуляторе. Оказывается целая часть e*n! реально стремится к нулю и примерно равна 1/n

@DergaZuul 4 ай бұрын

Для иррациональности достаточно одного неравенства (того что ограничивает снизу) выходит предел >=2пи то есть не 0. Зачем ограничивать сверху?

@Hmath 4 ай бұрын

чтобы найти предел

@DergaZuul 4 ай бұрын

@@Hmath для этого сам предел находить не обязательно достаточно что он не может быть равен нулю.

@Hmath 4 ай бұрын

для того, чтобы вычислить предел, недостаточно знать, что он не равен нулю. А для доказательства иррациональности е вообще никакой предел не нужен. Можно и дальше пойти: зачем вообще доказывать то, что уже доказано? Можно посмотреть в википедии факт: е - иррациональное.

@DergaZuul 4 ай бұрын

@@Hmath ну не надо в крайности бросаться то. Доказательство иррациональности от противного, если рациональное то предел должен быть равен 0. Показали что предел >= 2пи противоречие значит по методу от противного доказали иррациональность. Ограничивать сверху и находить сам поредел для доказательства иррациональности не нужно. Я считаю это стоило упомянуть это в видео.

@anatolydemch9476 4 ай бұрын

SUPPER

@wakawaka239 4 ай бұрын

7:43 для аргумента синуса такое неравенство же не выполняется. Серединка больше для всех n. Не догнал этот момент

@Hmath 4 ай бұрын

почему для синусов не выполняется неравенство? возьмите любое n>4 и проверьте например для n=5: 2п/6

@wakawaka239 4 ай бұрын

Именно к записи придирка. Аргумент синуса может быть любого размера до откидывания периода, т.е. именно для 2pien! запись режет глаз

@ШиотаНагиса-е5ъ 4 ай бұрын

Конечно, неплохо, что в дополнение к иррациональности е был посчитан предел, но, кажется, для доказательства самой по себе иррациональности он вообще не нужен. Типа, можно повторить буквально те же самые рассуждения с оценкой хвоста ряда, но без синуса, предела и 2π, получится, что е = целая часть + а, где 1/(n+1) < a < 1/n Зачем дополнительно прикручен предел - не очень ясно

@ДимаВерхотуров-ь3п 4 ай бұрын

Основная задача была предел посчитать, иррациональность доказать это просто дополнение, просто иррациональность доказать каждый дурак сможет более простым методом

@ШиотаНагиса-е5ъ 4 ай бұрын

@@ДимаВерхотуров-ь3п ладно, значит я неправильно понял основную идею видео

@WD_Universe 4 ай бұрын

Первый! Предел хорош!

@sergeybrener251 4 ай бұрын

А разве иррациональность е не следует из такого представления в виде ряда?

@Hmath 4 ай бұрын

ну смотря, что вы под этим имеете в виду. Здесь все решение построено на представлении е через ряд, так что в этом смысле следует из ряда. Но в то же время не любая же сумма ряда равна иррациональному числу.

@sergeybrener251 4 ай бұрын

@@Hmath не уверен, что я имею в виду, но почему то подумалось, что иррациональность е можно доказать просто как то типа пусть е=х/у но скорее всего можно разделить ряд на сумму, которая рациональная со знаменателем у и остаток суммы ряда будет меньше 1/у. Понимаю, что это слишком абстрактно, но у меня почему то сложилось впечатление, в этом доказательстве есть скрытый замкнутый логический круг.

@Micro-Moo 4 ай бұрын

Если следует, то ещё надо доказать.

@dinislamxgod 4 ай бұрын

Вау

@АлександрВласов-с3с 4 ай бұрын

Если е даётся рядом, то его иррациональность сразу следует из этого представления

@Hmath 4 ай бұрын

почему вдруг "сразу следует"? по вашему сумма любого ряда иррациональна? пример (сумма геометрической прогрессии): 1/2+1/4+1/8+1/16+... = сумма (1/2^n) = 1 - целое число

@АлександрВласов-с3с 3 ай бұрын

См. "Доказательства из Книги...", стр.46

@Hmath 3 ай бұрын

непонятно, что именно вы тут хотите сказать этими загадками. Может, конечно, кто-нибудь прочитает эти комментарии и будет их отгадывать.

@АлександрВласов-с3с 3 ай бұрын

Это называется ссылка. Откройте книгу "Доказательства из Книги...", откройте страницу 46 и прочтите, что там написано. Забавно, что это приходится объяснять взрослому человеку.

@Hmath 3 ай бұрын

@@АлександрВласов-с3с откройте и прочитайте. А потом нормально сформулируйте то, что вообще хотели сказать. Я выше вам уже ответил, что не любой ряд задает иррациональное число, а значит то, что е задается рядом автоматически не означает, что оно иррационально. А если вы хотели сказать, что можно доказать его иррациональность из того, что оно задается рядом, так именно это и используется в видео, под которым вы пишете комментарий. Непонятно в чем тогда был смысл писать о том, что уже есть в видео.