Неопределенный интеграл от иррациональной функции с корнем: 2 способа решения.

Из этого видео вы узнаете, как найти неопределенный интеграл от иррациональной функции с корнем двумя различными способами: с помощью тригонометрической замены и с помощью замены 1/x^2
Еще один пример на интеграл с корнем из (1-x^2): • Неопределенный интегра...
И здесь еще чуть сложнее интеграл с корнем из (1-x^2): • Два неопределенных инт...

[@AlexeyEvpalov]

Второй способ более простой и понятный. Спасибо за два решения.

[@user-iz6gi1rf4t]

Решил третьим способом - через шинус-кошинус: x=sh t, что также часто применяется при таких корнях. В одну строчку решение

[@nazimavaleeva3752]

Спасибо, все очень хорошо, понятно!

[@DanatQL]

Здравствуйте. Недавно наткнулась на ваш канал и мне он очень понравился! У меня в решении примером возникла проблема. Могу ли я попросить вас о помощи в решении интеграла dx/x^7sqrt(1+x^4) в одном из следующих видео или здесь, в комментариях? Внешне примеры схожи, но у меня никак не получается решить его методом подстановки Заранее большое спасибо Вам за ответ!

[@Hmath]

если что-то нужно решить: у меня указана здесь ссылка на VK - пишите туда.

[@holyshit922]

Первый способ Подстановка Эйлера sqrt(1+x^2) = xt+1 1+x^2 = x^2t^2+2xt+1 x^2 = x^2t^2+2xt x^2 - x^2t^2 - 2xt = 0 x(x - xt^2 -2t) = 0 x - xt^2 -2t = 0 x - xt^2 = 2t x(1-t^2) = 2t x = 2t/(1-t^2) dx = (2(1-t^2)+2t*2t)/(1-t^2)^2dt dx = 2(1+t^2)/(1-t^2)^2dt sqrt(1+x^2) = 2t^2/(1-t^2)+1 sqrt(1+x^2) = (1+t^2)/(1-t^2) \int \frac{(1-t^2)^2}{4t^2}\cdot\frac{1-t^2}{1+t^2}\cdot\frac{2(1+t^2)}{(1-t^2)^2}dt \frac{1}{2}\int\frac{1-t^2}{t^2}dt =-\frac{1}{2}(\frac{1}{t}+t)+C =-(\frac{t^2+1}{2t})+C =-\frac{\frac{1+t^2}{1-t^2}}{\frac{2t}{1-t^2}}+C =-\frac{\sqrt{1+x^2}}{x} + C Второй способ Интегрирование по частями \int\frac{1}{x^2\sqrt{1+x^2}}dx = \int\frac{1+x^2-x^2}{x^2\sqrt{1+x^2}}dx \int\frac{1}{x^2\sqrt{1+x^2}}dx = \int\frac{\sqrt{1+x^2}}{x^2}dx - \int\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}dx \int\frac{1}{x^2\sqrt{1+x^2}}dx = -\frac{\sqrt{1+x^2}}{x}-\int(-\frac{1}{x}\cdot\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}dx - \int\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}dx \int\frac{1}{x^2\sqrt{1+x^2}}dx = -\frac{\sqrt{1+x^2}}{x} + \int\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}dx - \int\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}dx \int\frac{1}{x^2\sqrt{1+x^2}}dx = -\frac{\sqrt{1+x^2}}{x} + C

[@nazimavaleeva3752]

Мне понравился конец в 1ом способе

[@drakonoff7690]

можно решить еще проще, сделав подстановку x=i*sin(t)

[@ivan_mustafaev]

Это точно. Проверил. При преобразовании мнимая единица пропадает.

[@nazimavaleeva3752]

Нет, я ошиблась, 2ой способ лучше, мне больше нравится,, спасибо, если можно привести к виду, что можем этот способ

[@Qeblsah]

во втором способе это третий случай дифференциального бинома

[@user-sf9lt1dx5z]

Ну вообще 1/sqrt(1+x^2) Это производная от аркшинуса. Дальше очев

[@nazimavaleeva3752]

Мне лучше 1ый способ