Несобственный интеграл с иррациональной степенью

В этом видео будем находить несобственный интеграл с пределами от нуля до бесконечности от функции, содержащей x в иррациональной степени. А это означает, что невозможно простой заменой переменной избавиться от такой иррациональной степени, как обычно делается, когда степень рациональная. Здесь понадобятся более "продвинутые" методы с разложением в ряд. Этот интеграл используется в доказательстве важного свойства Гамма-функции.
Здеcь используется разложение на простые дроби для косеканса, которое получено в этом видео: • Ряд Фурье для cos(at) ...
Этот интеграл используется при доказательстве формулы дополнения для гамма-функции в этом видео: • Гамма-функция и бета-ф...
Если у вас есть возможность, поддержите канал материально,
карта Тинькофф: 5536 9140 7597 3911

[@Sensibler2019]

Однозначно π-атый интеграл😁👍👍👍

[@AlexeyEvpalov]

Красивое, интересное, подробное решение. Большое спасибо за видео.

[@slavinojunepri7648]

The solution development is fantastic. Thank you for sharing.

[@СамуилИгоревич]

Вот это я понимаю - Контент! Не то, что там всякие уроды кривляются. Но народ не любит смотреть действительно стоящее, ибо это скучно. Гораздо проще деградировать, нежели развиваться.

[@Hmath]

я тоже так считаю! :)

[@Abraxax]

Как перестать деградировать и начать развиваться?

[@БайтимирХалиуллин-д3и]

Есть ещё один способ решения интеграла от функции x^(a-1) / (x+1), где x от нуля до бесконечности - через ТФКП, проведение разреза по лучу x>0, построение контура в виде Пакмена, кушающего луч x>0 и решение интеграла по вычетам

[@nazimavaleeva3752]

Если вы реагируете на просьбы, то я с удовольствием посмотрела бы тему как не потерять корни при решении дифференциального уравнения, спасибо

[@VSU_vitebsk]

взрыв мозга. автору респект

[@Hmath]

рад, что понравилось! :)

[@ОсновнойЛакричнович]

@@Hmath Главное жить и мотивироваться

[@nazimavaleeva3752]

Это же 1пример,стоит целой контрольной, конца края нет, возможно это курсовая на мат факе, слишком сложный пример

[@Hmath]

зато с его помощью можно доказать важную формулу для Гамма-функции :)

[@Mario_Altare]

Или I = B(1/π, 1-1/π) = Γ(1/π) Γ(1-1/π) = π csc (π/π) = π csc(1) и Боб (Бета?) - твой дядя 🙂 Шутки в сторону, отличное содержание! 👍

[@Hmath]

я наоборот дальше использую уже найденный этот интеграл в доказательстве формулы дополнения для гаммы ;)

[@canis_mjr]

Красивейшее решение

[@narutouchiha5997]

Чудове відео! Маю невеличке зауваження: ви зробили помилку в написанні слова "здесь" в описі до відео :)

[@Hmath]

исправил :)

[@Alex-prog]

Можно ли присылать задачи от подписчиков)) ? Если да, то куда? Спасибо за видео!

[@Hmath]

у меня здесь на канале указана страница в контакте, можете туда прислать

[@Germankacyhay]

Файне відео, дякую.

[@chu6275]

невероятно!

[@rshkar1999]

А как вам таку задачу разобрать - Определить площадь проекции куба на плоскость как функции углов a, b, c ориентации куба в пространстве.

[@Abraxax]

Легкотня

[@АсетКайратов]

Не понимаю , откуда некоторые формулы ?!

[@Hmath]

они могут быть из разных мест :) какие именно?

[@Vsegdalew]

В конце ты пользуешься разложением, которое получаешь в другом видео через ряд фурье, я думаю это не рационально, данную сумму можно быстро посчитать через вычеты, в тфкп есть приложение для этого, так как тут простые полюса, то вычисление займёт не больше минуты. Если интересно, могу скинуть файлик с данными данным методом вычисления и интересными задачками на эту тему

[@Hmath]

Ну так я сделал 2 видео: одно на ряды Фурье, другое с интегралом :) Я, наверно, видел такой способ, но мне всегда можно прислать что-нибудь интересное, я посмотрю :) У меня здесь на канале указана страница в контактике, туда можно отправить.

[@rshkar1999]

На 7:26. Ряд сходится при x

[@Hmath]

ряд сходится в любой точке бесконечно близкой к 1 (при x1. В общем, если после интегрирования ряда в точке x=1 получается сходящийся ряд, то все ОК, если бы ряд получился расходящимся, то нельзя. Рад, что стали на канале появляться люди, которые могут заметить такие вещи :)

[@Hmath]

похожий пример: если взять ряд для 1/(1+x)= 1-x+x^2-x^3+... , то он будет расходиться в граничной точке области сходимости x=1 но если его проинтегрировать, то получится ряд для ln(1+x), который уже сходится при x=1

[@aitymbetrakhmetullayev]

👍👍

[@dmitryramonov8902]

Не очень понял, в чем кайф корня пи-той степени. Вот если б a=1/2, то ответ был бы красивше. Или интеграл бы проще брался?

[@Hmath]

конечно с рациональной степенью все значительно проще - можно сделать замену и получиться интеграл с целыми степенями, а в нем всегда можно разложить функцию на простые дроби и проинтегрировать без всяких заморочек :)

[@dmitryramonov8902]

@@Hmath Вы правы, посмотрел, там после замены тупо производная арктангенса вылезает, и всё.

[@Hmath]

да, с квадратным корнем совсем просто. но и с другими рациональными степенями алгоритм такой же можно применить: замена -> дробь с многочленами с целыми степенями -> простые дроби (тут конечно придется как-то найти корни многочлена, но мы знаем, что они всегда есть) -> интегралы от элементарных функций. а вот с иррациональной степенью такой алгоритм не прокатит :) про такой случай и был этот видосик :)

[@pskv20]

@@Hmath если доказать формулу для рациональных значений а, то затем достаточно воспользоваться непрерывностью обеих частей (хотя непрерывность интеграла тоже надо доказать). Если две непрерывные функции совпадают во всех рациональных точках какого-то интервала, то и в иррациональных совпадают. Такой метод работает, хотя и достаточно громоздкий.

[@ОльгаГиппиус]

Где посмотреть вывод итогового результата, что сумма в обратный синус сворачивается?

[@Hmath]

если посмотреть выше в описании к ролику, то можно увидеть ссылку на соответствующее видео

[@aprosc]

Немного не уверен, что трюк со скобками здесь законен. Ряд как будто бы сходится условно (положительные члены 1/a + 1/(1 - a) + 1/(2 + a) + 1/(3 - a) + ... > 1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...)

[@Hmath]

я слагаемые в сумме местами не переставлял. Они всё в том же порядке - это просто другая запись той же самой суммы.

[@aprosc]

@@Hmath Ситуация очень похожа на 0 = sum_n (1-1) = (1 - 1) + (1 - 1) + ... "=" 1 + (-1 + 1) + (-1 + 1) - ... = 1 + sum_n (-1 + 1) = 1, нет?

[@Hmath]

нет, в этом случае ряд расходится, а там сходится www.wolframalpha.com/input?i=3+%2B+sum+%28-1%29%5En*%281%2F%281%2F3-n%29%2B1%2F%281%2F3%2Bn%29%29+n+from+1+to+inf www.wolframalpha.com/input?i=sum+%28-1%29%5En*%281%2F%281%2F3%2Bn%29-1%2F%281%2F3-n-1%29%29+n+from+0+to+inf

[@aprosc]

@@Hmath что вы имеете в виду под "расходится"? Если сами ряды в моём примере, то они сходятся (там все слагаемые нули, а скобки я не раскрывал). Я, собственно, верю, что то, что проделано в видео, приведет к правильному ответу, у меня скорее вопрос к конкретному переходу. Если бы были написаны 2 выражения (a_0 + sum a_n) и sum b_n для каждого из интегралов, потом сказано что-нибудь про ряд с членом a_n+b_n, тогда бы точно сработало по какой-нибудь теореме из лекций по анализу. А если "рассмотрим sum (a_n + b_n) и скажем, что это тоже самое, что и a_0 + sum(a_(n + 1) + b_n)", то в общем случае это неправда, и у меня так сходу нет очевидной уверенности, какие минимальные условия надо для этого требовать. Того, что sum (a_n + b_n) сходится, явно недостаточно, сходимостей sum a_n и sum b_n достаточно, но где середина?

[@Hmath]

хорошо, значит я неправильно понял вашу запись с суммой. Могу сослаться на книгу, но переписывать её в комментариях не буду. Фихтенгольц Г.М. - Курс дифференциального и интегрального исчисления (т. 2) - 2003 на страницах 342-343 есть свойства рядов, в том числе и про это есть немного.

[@mbf_dembel6618]

чет не понял переход от t = x, ты ж его заменял, t = 1/х

[@sexofficial]

Эйлеровыми интегралами за минуту решается

[@Hmath]

за 10 секунд. Останется только вывести как-то формулу, которой при этом придется воспользоваться.

[@ПавелЛогинов-ю9в]

Синус от 1. Такое встречается не очень часто.

[@Hmath]

это ж для примера :) как видно из решения можно там и другие числа подставлять :)