解けない不等式？（京大入試文系）

基礎的な問題ですが、特に理系は２通りで解けるように！
1979年の京大入試（文系）の良問です。
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[@user-mo1oi2bo4r]

両辺logを取って 何やかんやしてn/2＞(logn)/(log2) すなわちn/2＞log₂n 自然数nを実数xに拡張して両辺をそれぞれy=x/2,y=log₂xとする これをグラフに表すと交点はx=2,4の点なのでn=1,n≧5

[@y.-_-.y]

やっぱ指数と底を入れ替えた数の大小関係だと f(x)=(logx)/xのグラフの概形から考えるよねw

[@meikai3316]

あぁ、k秒の遅刻が許される時k+1の遅刻は許されて、1秒の遅刻は許されるから遅刻は何秒でも許されるってことね

[@Mr.kasugai]

天才

[@Double_O-ss9pf]

k=2,3,4が許されてないからダメだぞ()

[@meikai3316]

@@Double_O-ss9pf k秒の遅刻が許される時の話だぞ

[@user-qf6mi4lu7w]

これあれか、k+2秒がダメだから成り立たない的なパラドックスだ。確か

[@naonao.1932]

(秒数は自然数しか保証されず、0.1秒の狂いも許されない)

[@tasami6559]

別解1 2^n=(1+1)^n=1+nC1+nC2+...>nC3 また, 6nC3-6n^2=n(n-1)(n-2)-6n^2=n(n^2-9n+2)=n{(n-9/2)^2-73/4} n>0 なので, (n-9/2)^2-73/4 >0 ならば n^2 0 が言えれば 2^n-n^2 は単調増加⇒2^n-n^2>2^5-5^2>0 より 2^n>n^2 が示せる. そこで両辺をもう1回微分すると左辺が (log2)^2*2^n, 右辺が2 12^(n-2) なので, 5≦n のとき (log2)^2*2^n > 2^(n-2) > 2^3 > 2 よって 5≦n で log2*2^n - 2n は単調増加⇒ log2*2^n - 2n > log2*2^5 -10 > 2^4-10 > 0 以上から, log2*2^n - 2n > 0 であることが言えたので 5≦n で 2^n>n^2 よって答えは n=1 or 5≦n のとき.

[@KN-wf8iz]

実験の重要性とキーワードから使える道具を推測することの大切さが分かりました。 自分は、(n+1)^2をn^2で割るとnが3以上の時は2より小さくなるからn≧3で一つ2^nの方が大きい地点があればそれ以降は ずっと2^nの方が大きくなるって感じで考えました。

[@deathvoice-M]

俺はlog派かなー f(x)=logx/xとすると、f'(x)=(1-logx)/x x ...e... f'(x) ↗0↘ f(x) 1/e f(2)と同じになる値がx>eで一か所存在し、f(2)=f(4)であることがわかる。 x

[@user-on4de6fx5c]

同じく

[@user-sv2so7nu3o]

やんね

[@user-uj8ok6wc7n]

コメント増減表技能検定2級持ってそうな増減表のうまさ

[@deathvoice-M]

@@user-uj8ok6wc7n 上手くできてよかったです笑

[@user-su8ir3mn1e]

@@user-uj8ok6wc7n ちょっと微妙で草

[@deltaradio4654]

差を取って微分してからの単調増加で示したい

[@user-wk5hy2hm1f]

おはようございます。24日目！ 私は理系なのに帰納法しか思いつきませんでした…対数とってグラフで解く方法もやってみます。

[@user-mq2cj2ff4z]

ｋ≧5の時，（ｋの2乗）－2ｋ－1＞0を示すには，ｋ×（ｋ－2）－1≧5×3－1＝14＞0で終わりでは？［（ｋの2乗）－2ｋ－1はｋ≧5の時，単調増加！］

[@user-lh6vk8xl8j]

関数の最大最小って グラフにして考えると 楽そうですね。。。

[@user-kz2ci2qh6d]

文系には無理ですよね。

[@user-ky6lx4qr2d]

増分（差分？）2回とって実質2回微分みたいなことしたらわりと簡単にいったな

[@rmiastatkyoa-daisuki]

黄チャでやったような気がする

[@sho1914]

n≧5ならば、 2^n ≧nC0＋nC1＋nC2＋nC(n-2)＋nC(n-1)＋nCn ＝2(nC0＋nC1＋nC2) ＝2(1＋n＋n(n-1)/2) ＝n^2＋n＋2 ＞n^2. n＝1,2,3,4は直接計算して確かめる。

[@user-nv4rw1kx8s]

logでもいいし、帰納法でもいいし、両辺をどっちかの式で割って割った後と1との評価で微分して導いてもいい。なんでもありだな

[@user-sw7qm4ht6q]

N自然数だからx^2と2^Xのグラフ（X>0）書いて上下しらべたら、ほぼ終わりじゃないかな？ 格子点は整数部分にしかないわけだし。

[@YouTubeAIYAIYAI]

備忘録70G" 通常 【 y＝ 2^x vs. y＝ x² のグラフの想起、 n＝ 1, 2, 3, ･･･の実験が第1歩 】 ⑴ n＝ 1 ･･･① ( 実験で示す ), ⑵ 5 ≦ n ･･･② ( 数学的帰納法で示す ) 〖 二項定理は 苦しい 〗

[@YouTubeAIYAIYAI]

〖 別解 〗技巧的なやり方 x ∈正の実数 のとき、2^x ＝ x² とおくと、 logx／x ＝ log2／2 ここで、f(x)＝ logx／x ( x > 0 ) とおいて、グラフへ･･･ f(2)＝f(4) に注意して、 2^n > n² ⇔ f(n) < f(2) ⇔ n＝1, 5 ≦ n ■

[@user-ws8mq8ky4p]

指数関数と二次関数だから「見るからに」一回追い抜かれたらもう二次関数に勝ち目がないなって直感的にわかるけど 示すのはちょっと大変なんだなー

[@deltaradio4654]

logは数値の概算が面倒だから数学的帰納法の方が良いですね。

[@showA-er3ul]

これ、実数nだとすると解けますか？解けるのならそれはどんな場合ですか？ 俺の答えは ?

[@pn-dayo]

ええ問題やね

[@wtpotom]

僕なら両辺をそれぞれ関数で置いて2,4で共有点を持つこととそれぞれの関数の微分を使って示すと思う

[@dahlia_osaka_japan1128]

論述力を含む文章力が証明では必須なんだって話やね。 帰納法の考え方ならば、高校受験生にでも理解できそうだからな。 いちばん基本的なやり方って感じがする

[@user-ms3ys2bk7y]

k>=5のとき (k-1)^2-2>0 は証明しなくてよいのか気になりました。今までは自明と思っていましたが、だったら元の問題もそうだと言える気がしてきてしまいます。どこまでが出題者に暗黙の了解として通じるのかルールはあるのでしょうか。

[@bwv993]

教科書にも載ってそうな良問やね。

[@shinnk.5577]

ちょうど帰納法習ったから解けた

[@user-cf6wq2dz1p]

それな笑

[@user-me9me4rv6l]

かわいい

[@user-uz6mu6ud3f]

休み時間15分くらいで解けたぜ！！

[@MrYutorist]

受験生ではないけど初見な感じしなかったからやっぱ色んな旧帝の過去問に触れておくのは大事だなと思った

[@kuwano1]

平方根の定理がよくわからない。忘れ切ってもう解らないよ。教えてくれたら、全部一回で理解できる。 学生の時以来勉強してないから、全部忘れた。前に言ってた必要と思わないと覚えない。必要のない人生だったから全部忘れた。 頭だけ切れると自分みたいに知らないのに難問を解く不思議な状態になる。 国語英語数学が、一番ダメだったんだけどね。理科社会は暗記だけすればいい。何も考えなくていい。

[@jichunsun2822]

対数をしなくても解ける 両辺に(1/2n)乗したら？

[@patrickbumblebee7124]

高校の時、何かの公式について「どうやって証明する？」って数学担当の先生（学年主任の小煩い小男）がクラスでも順番に当てていって、誰も答えられない中、俺が「数学的帰納法（ビシッ！）」と答えたのが、今思い返せば人生のピークだったなぁ、というそんなガラスのメモリー。

[@SJ_music_0617]

どっちも思いつきました！！

[@user-xn6mn8fn1c]

logとってnは自然数だから両辺2nで割ってn log nのグラフで比較するのかとおもた

[@user-pf5eq1ps1b]

nに1を代入すると条件を満たす…① 2,3は条件を満たさない…② 4は条件を満たす…③ ここからが本題である。 (n+1)/nはnが大きくなるほど1に近づくのでn>5において再び√2より大きくはならない。 故に左辺>右辺がn>5で成り立つならn+1においても成り立つ…④

[@user-tokotoko334]

n→∞のとき1に収束するから〜は記述としては0点では。 極値を複数個もつ場合√2より大きくなりえます。

[@user-tokotoko334]

あと（n+1）/nがどこから出てきたのか教えて欲しいです

[@user-pf5eq1ps1b]

@@user-tokotoko334 nにm=n+1を代入してから両辺の平方根を取ると、左辺が√2倍、右辺が(n+1)/n倍になると考えました。 (n+1)/n=1+(1/n)なので極値が複数はない(直観的には、分子の1がnに比べて相対的に小さくなる)が、答案としては詳しく書かないと零点になりますか。

[@user-tokotoko334]

@@user-pf5eq1ps1b mは帰納法の仮定で出てくる文字だとすると、m+1を考えた時に両辺平方根付ける（つまり1/2乗ずる）と左辺は√2・2^（1/2m）となるので、√2倍されるわけでは無いですね。 極地に関しても、導関数を書いておかないと。limを根拠にした話は全て偽なので･･･

[@user-tokotoko334]

比率としての増加量を測ってるわけですね。 なかなか面白いと思います。

[@user-jz5rw3kh3t]

素朴に、両辺をn乗根したらいかんのか？

[@sw108o7]

差分を取れば解ける！

[@user-um4cc3xx9z]

どっかで聞いたことあるな…

[@sw108o7]

f(n)に対して、f(n)の差分はΔf(n)=f(n+1)-f(n)ですね。本問はf(n)=2^n-n^2と置いてΔf(n)の符号変化を見ていけばわかりますね

[@su3861]

@@sw108o7 青木先生しか出てこん‥

[@sw108o7]

@@su3861 その通りです笑 はじめて知った時めちゃくちゃ感動しましたw

[@user-ng4wi1tt3j]

学校でやったところだ！！ 2^n=(1+1)^nと考えて二項定理を使っても解けますね

[@user-ng4wi1tt3j]

既に書いている人がいた…

[@user-hn7tc7xj4q]

まじ！！？二項定理でできるの！！？俺、理系だけど、微分と帰納法しか思いつかなかったぜ！

[@user-uj6rx7dw3n]

π^eとe^πに似てると思ったから即logとった

[@study_math]

nが3以上なら、nが1増えるごとに左辺は2倍、右辺は2倍には足りない(2n²>(n+1)²) どっかで追い越したらおしまい。

[@mnr_4391]

さすが京大

[@user-gc8qq2uf1n]

遊んでから帰納法使えば良さげとぱっと見の感想

[@adjustment1414]

類題です。｢2^(n+1)≧n^3をみたす正の整数nをもとめよ。｣

[@user-te6wv7mh6h]

差分でやってみました

[@smbspoon-me-baby]

差分や帰納法など、定番の証明法に反旗を翻したいと思います(笑)。 a(n)=2^n b(n)=n^2 n=5までの大小関係は確認済みとする。 n≧5でa(n)＞b(n)を示す。 c(n)=a(n)/b(n)とすると、n≧5で、 c(n+1)/c(n)=2/(1+1/n)^2 ≧2/(6/5)^2＞1 つまり、c(n)はn≧5で単調増加、かつc(5)=32/25＞1なので、c(n)＞1(n≧5)、すなわち、a(n)＞b(n)(n≧5)が従う。 これと実験結果より、n＝1,n≧5◼️

[@user-wj5gq8tq7w]

これメジアンにあった気がする

[@77south1]

xが1以上におけるf(x)=2^x/x^2>1の範囲と同値だと考えて f’=0となるxがあってfが最小値を持つことになるから、あとはx=1～5を入れれば解が出た で、動画見たら両辺対数とって式変形すれば良いのか、おっさんは感心したよ

[@user-lp5rz4yh5q]

微分して単調増加になるからはだめでしょうか？

[@user-changchang]

同じ単調増加関数の間ではもう一個交点を持つ可能性自体はあるので、それだけではダメと思います。

[@user-changchang]

？？？

[@user-changchang]

そうですね。定数分離だと行けますね。対数をとっても良さそうですね。 凸の向きが同じ関数でグラフの議論をするのは結構危ないみたいです。

[@user-lp5rz4yh5q]

@@user-changchang なるほどー！考えが甘かったです💦

[@user-yv2ff4hk6u]

普通にlog(x)/xで解いたわ

[@user-xe4sr8kh7g]

些細なことなのですが、2^5＞5^2と書くより　2^5＝32かつ5^2=25よって2^5＞5^2　と書いたほうがいいのではないでしょうか？

[@stv9970]

詳しく書くならそうだけど、ここまで来たら単なる数字だからそのまま比較しちゃっても良いと思う まあ3^10とかでかい数字でやったら勿論ダメだけど

[@tomotsun2508]

論文、受験においては不要。 進学塾の授業でも不要。 学習塾の授業ならあったほうが親切かな〜程度。

[@dragoningd7790]

駿台でやったやつだ！

[@xXdeloreanXxst.doctor]

うおお横市の小問

[@mitto4648]

グラフ使うのダメなんですか？

[@user-dh7gd4cc9p]

2^k>k^2ならk>3のとき2^(k+1)>2(k^2)>k^2+3k>k^2+2k+1=(k+1)^2　ではだめなのだろうか？

[@user-oi4tr5mi3t]

s^tとt^sを見たら反射的にf(x)=logx/xを考えたくなる

[@shunsuke8321]

帰納法で余裕

[@_safari4476]

ツイッターなので高評価

[@user-ct9ir6yy2d]

グラフで考えて暗算で行けた

[@user-yi8sq3vr4h]

自然数nじゃなくて実数xに拡張してから微分して考えるとよい． 2^(1/2) > x^(1/x)

[@user-rv9mp1cv8r]

やった、今回は解き方同じだ

[@user-hj8if9sk3e]

解いてないけど方針あってた

[@user-tu9jf9dp4x]

ln n / nのグラフ考えたけど文系の問題だった。

[@user-zv6my1oj7d]

やってみれば京大もこんなもんかって思うよね。

[@user-gq4pc5ju8j]

2回差分でおわり

[@user-on1dk4cu8y]

二項定理使って解けそうだなって言うのが最初の印象だった e^πとπ^eの大小比較の形よく見てたのに関数使って解くやり方出てこなかったのは反省

[@user-oi2mg2hz5g]

なんかの問題集（先生のプリントかも）で解いた思い出...(from大学生

[@goodolddaysjp]

高校卒業して40年経つけどこれぐらいなら簡単に解ける．試験だから一番早く解ける数学的帰納法を使う． 京大の文系の問題ってこんなに簡単なの？　理系の問題はきっともう（絶対に）解けない．ｗｗ

[@user-uj5jd2nz7w]

二項定理より

[@user-mm8hj1cj1b]

グラフで考えるのはダメですか？

[@reizayntbs5545]

ありです

[@shjturtle]

よーしパパ、両辺を1/(2n)乗してy=x^(1/x)の増減を調べちゃうぞー。logを取るのとなんら変わらないという。

[@52te62]

全然微分しようとした

[@xy8066]

帰納法が最初に思いついたからこれかな

[@user-hh6mh3vy3h]

これ教科書の問題に数学的帰納法の問題であった

[@user-eb5di5kd9i]

黄チャBに似た問題あった！

[@user-nd5vd7ko3m]

帰納法しか勝たん！

[@user-or7dy2pg4z]

現在高1こんなのも再来年解くと思うと…((((；ﾟДﾟ))))ｶﾞｸｶﾞｸﾌﾞﾙﾌﾞﾙ

[@user-qj8go5ov4c]

この問題パスラボでも見たような、気のせいかなw

[@user-dj2vq5ol2j]

確率の問題でも数学的帰納法は使うな

[@user-dm7mv5fr7q]

n=3で二項定理で簡単に求められる。 数学5年やってないけどセンスは鈍ってないな