偏差値68の校内実力模試で出題された問題｜整式の余りを２通りで。

とある私立高校の実力模試で出題された問題です！
単元をまたぐ良問ですね！しっかり完答できましたか？
高２向けに出たみたいですが、２通りの方法がわかれば
より数学の面白さが伝わる問題だったかなと思います。
整数問題の全パターン解説はこちら
• 【整数問題】入試頻出解法を”４時間で”全パタ...
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[@user-uv9wj9oq9u]

解法1は、よく余りをさらに（x+1）＾2で割ったりするのを見かけるけど、微分が一番手っ取り早くて汎用性が高いと思いました！

[@takapyoon706]

解説中の計算ミスを「みんな気をつけて」に置換w

[@ans0kuk0u3]

不注意に注意ね

[@koutenshi69gou]

微分が利用できる理由がよくわからないというコメントをいくつか見かけましたので、お役に立つかわかりませんが、この場をお借りして少し書かせていただきます。 微分を使う方法は大本は以下の定理に基づいています。 「定理：整式f(x)がx=αを3重解としてもつ為の必要十分条件は、f(α)＝f‘(α)＝f‘‘(α)＝0が成り立つことである。」 ちなみに上記の定理の証明で用いた方法を帰納的に操作して、N重解バージョンに一般化することができます。2重解なら一回微分までの成立でOKです。必要であれば、上の定理の証明も紹介します。 さて、この定理を(x－α)^3で割ったときの余りを求めるのにどう使うのかというと、次のように考えます。 この問題は(x+1)^3で割ったときの余りを求めるので、以下の式が成り立ちます。 x^30＝(x+1)^3×Q(x)＋ax^2+bx+c(ここで、Q(X)は商、２次式部分は求める余り) ここで、f(x)＝x^30ーax^2ーbxーc とおくと、f(x)＝(x+1)^3×Q(x)となり、f(x)はx=-1を３重解としてもつと考えられます。 この、f(x)に対して、上記の定理を適用するために、微分をすることになります。 一応、これが正式な定理の利用方法なのですが、導関数の性質を考えると、余り部分を左辺に移項しなかったとしても、計算上は全く変わりありません。そこで、(ｘ-α)^ｎで割った余りを求めるときには、条件式を増やすために、とりあえず微分するという流れになっているというわけです。

[@user-yk1fk8wr3m]

初めて知った助かります

[@napyfishy1701]

ミスすらも教訓にしていく男

[@user-xy6yw7tw1o]

後半の方法で解いたので、前半を見た時に｢しまった。計算ミスをした｣と思いましたが、後半を見て安心しました。

[@korp0620]

解法3 ひたすら筆算

[@johnyuya1092]

嫌いじゃない

[@user-riku-Chanel]

解法1で自分の答案と答え違って まじか！って思ったけど、解法2で安心した笑 二項定理は慣れるとかなり便利ですよね。多項式具体的に列挙できるので。 （数学得意すぎる方の考えは分からないので、あくまで個人の感想です！）

[@user-uv7vm6dk4f]

恒等式は右と左が同じ関数だから微分しても同じ関数のはずx^2=x^2→2x=2x いろんなのに使う気がする

[@user-qy6ic5iv8r]

二項定理の解法良いねぇ

[@jr.691]

二項定理って影薄いけど重いですよね…

[@abcdcho]

マジこれに尽きる

[@cheva748]

解法2は初見で思いつく自信全くないけど気づけたらめっちゃ気持ちよさそう。

[@user-ph8gs6nc8m]

今日も良い問題でした！特に、微分、二項定理を覚えた高校生は解けてほしいですね。 自分は、最初解法２を思いつき、最後の２次式以下がまんま答えだな、というのは直ぐ分かり、解法１は余りを設定したところで手が止まり、動画視聴と同時に微分だということに気付きました！ コメ欄の「通りすがりの数学者」さんが、余りをa(x+1)^2+b(x+1)+cと置く方が簡単とありますが、これは、素晴らしい着眼だと思います。細かいかもしれませんが、こういう細かいことを知っている、気付く、というのが数学は大事だと感じます。 （現役のときに知りたかった・・・ｗ）

[@diary2854]

微分の考え方はテイラー展開の理論に用いられていますね。

[@YouTubeAIYAIYAI]

備忘録70V" 【 解法1 ~多重剰余定理 ( 微分法の応用 ) 】 x³⁰＝ ( x＋1 )³・P(x) ＋ax²＋bx＋c ･･･① とおくことができる。 両辺微分を繰り返して、 30 x²⁹＝ ( x＋1 )²・Q(x) ＋2ax＋b ･･･②, 30･29 x²⁸＝ ( x＋1 )¹・R(x) ＋2a ･･･③ x＝－1 を代入して、 1＝ a－b＋c ･･･①', －30＝ －2a＋b ･･･②', 30･29＝ 2a ･･･③' 以上より、 a＝ 435, b＝ 840, c＝ 406 よって、( 求める余り )＝ 435x²＋840x＋406 ■ 【 解法2 ~二項定理より、】 x³⁰＝ { ( x＋1 ) －1 }³⁰ ＝ ( x＋1 )³・P(x) ＋30Ｃ28( x＋1 )² －30Ｃ29( x＋1 )¹ ＋30Ｃ30 ■

[@choco5924]

x+1=tとおいて二項定理で一発。1分くらいかな？

[@user-gd9ln4gw3z]

覚醒講義式でいくならテイラー展開

[@user-we3cv6he3h]

今日も良問ありがとうございます！！

[@smbspoon-me-baby]

解法1は脳死で他に何も方針が浮かばない時に用いるべきで、計算ミスも誘発しやすくなる。この程度の問題なら解法2で解きたい。

[@LeeLee-te6td]

ミスしてるの見て、 やはり彼も人間だなって思った

[@user-gr9ht7fm6n]

0:15 小泉構文()

[@user-lh6vk8xl8j]

解放1で解いた人です。 解放2を見て感動しました。

[@user-of4do1by6g]

問題　 1以上3500以下の整数xのうち、x^3+3xが3500で割り切れるものの個数を求めよ。 京都大学数学系の院試で数学Aの範囲で解ける問題です。難しい問題にチャレンジしてみたい人は挑戦してみてください。

[@user-os3pw2yq4q]

最後高校数学でやらないと思うんですけど面倒だったので使いました

[@user-mp3wj5xe1f]

説明下手だけど許して 間違ってるかもしれないけど許して 3500の倍数ってことは [①2²の倍数]かつ[②5³の倍数]かつ[③7の倍数]ということ。 ①のとき x(x²+3)は4の倍数で、xとx²+3は偶奇が異なるため、 xを4で割った余りは0,1,3でないといけない。 ②のとき x(x²+3)は125の倍数で、xとx²+3は同時に5の倍数にはならない。 よって、次の2つのケースがある。 (1)xが125の倍数 (2)x²+3が125の倍数　　←(このケースは、そもそもx²+3が5の倍数にならない 　　　　　　　　　　　 　から実はあり得ない。) xが125の倍数でないといけないことが分かる。 ③のとき x(x²+3)は7の倍数になる。(←ここまで来たら調べ上げた方が速い) 　x mod 7 0　　1　　2　　3　　4　　5　　6 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ x(x²+3) mod 7 0　　4　　0　　1　　6　　0　　3 xを7で割った余りは0,2,5でないといけない。 よって、積の法則より、求める個数は 3×28×3=　Ｖ 252個　Ｖ

[@user-cr7rq8pk9q]

x+1=tとおくとやりやすくなりますね！

[@user-ns7dc4xp7m]

二項定理で余りを出すなんて初耳だ。勉強になった。だけど微分の解法では積の微分の結果をまともに書く必要はないと思います。 Q1(x)とかQ2(x)とか置けばよい。

[@bobat5132]

微分は一対一対応でやって、変形は、今日標問でやったんで出来ました！

[@user-uy3zr1ui9z]

解法1のcは466ではなく406ね。整数問題では二項定理を使うケースが多い。

[@user-ki6rh7hv8q]

x+1=tでもできるね 俺は微分するけど

[@user-mp9zo5hz2l]

微分パターンは知らなかった 今度使お

[@user-iu5ie4fb7v]

ωv(3)＝1として、Xにωを代入する解答もありですかね？

[@user-xb5jw2gc3e]

解法2は標問で死ぬほどやったから自然とできた〜 けど2通りでやれって言われて解法1でやるのは嫌やなあ笑笑

[@kazumadayo9780]

(t-1)^30をt^3で割ったあまりに t = x+1を代入しちゃダメかな？ これなら二項定理で簡単に解ける

[@user-sw7qm4ht6q]

ああ、別解だ。 X+1をYとおいて軸変換（平行移動）して二項展開。 （Y-1）＾80をY＾3で割ったあまり。 まあやっていることは解析でも同じ（計算過程も）なんだけどね。

[@yatchism]

計算ミスと見せかけて視聴者に教えたい事がある、さすがです。うちの娘に、東大生でもゴリ押し計算ではミスる事もある、と教えます。

[@user-he8og6te3l]

今は試験範囲が決まっている高1と高2の夏休みや冬休み明けのテストは課題テストと呼ぶ高校が増えました。

[@mathseeker2718]

解法1で、余りの係数をan、bn、cnとして漸化式を立てましたが、4項間漸化式になり、解けませんでした😅

[@nightstay738]

Focus Goldに二項定理用いる問題ありましたね

[@hideo_787]

微分かー。知らなかったな 引きだしが１つ増えました。

[@the7jump]

これいつも疑問に思っているのですが、微分しても等式は常に成り立つのでしょうか？ 定数が消えた分だけズレてしまって等式が成立しない気がします。

[@user-qp1ot8ow2j]

微分したら必要条件になるんやね、でも一つ前の段階で十分条件になってる

[@anti_simulacre7907]

恒等式は微分しても恒等式。

[@the7jump]

返信ありがとうございます。また、言葉足らずですみません。感覚的にはわかるのですが、自明なのか証明できるのかという意味でした。 ε-δ論法というものを使う必要があるそうですが、結果「成立する」でよかったです。

[@user-pu7hb7dl4e]

いやいやそんなもん不要だから. 微分可能な関数 f (x), g(x)があって, f(x)＝g(x) (恒等的に) ⇒ f'(x)＝g’(x) (恒等的に) を示すには g(x)＝0の場合を示せば十分 (f⁻gをfと見れ) 「f(x)＝0 (恒等的に) ⇒ f'(x)＝0 (恒等的に) 」　これは微分式の定義を考えれば明らか．

[@user-pd2bt8pt4q]

二乗以上の冪乗の場合は微分が有効であとは割る式の次数より余りの字数の方が小さいって設定してやるのと二項展開で３通りかな？

[@user-zv6my1oj7d]

やさ理チックな解法だよ

[@user-ei4de6pl4i]

楽しいです

[@user-hm9he8mj9n]

二項定理習った頃は何にどう使えばいいか全然分からんかったなあw

[@user-xk6es4ni5f]

(1)は河合か東進かのテクストに載ってた(同じ解き方が)

[@strmandola5484]

解法2で得られた式を微分してみるとわかりやすいと思います

[@tt-ho6iw]

二通りといわれたら、片方は筆算した振りになっちゃうな、、、

[@user-yc3ei9oo4n]

自分で解いて答え間違えてるやんと思いましたが 最終的には訂正されて納得しました！わら

[@user-mv6de3hi8q]

文系プラチカと同じ問題だったから解けた

[@study_math]

x+1=tと置いたが、実質解法2と同じ

[@hayatohey8156]

編集少なめで見やすいです カンタロウ式

[@user-ht2lu8zw8o]

やさ理で後者のやり方載ってたな〜w 忘れてた！！

[@user-we4kl8dc7e]

二項定理なんて習った記憶がないのだが・・・ こんなのあるんだな。

[@uiwetughwtuw]

間違ってオッケイ？って聞くの草

[@user-ib5hp1ee4c]

いいかお前ら！！！ 割り算はなぁ、掛け算だ！！！！！！！ っていう先生の声が聞こえる……笑

[@onigiriponko2_88]

微分、二項定理、それって美味しいの？🍠 modじゃ無理なんですか⁇😭

[@user-oo2qj6bv3q]

これ{(x-1)+1}にして展開したら二項定理の符号は気をつけずに済むのか

[@user-zr8jc4bi3e]

自分のミス反面教師にしてておもろい笑

[@kiichiokada9973]

何で微分するのか分からなかったんですが、あくまでa-b+c=1以外の等式を作るための手段の1つってことですか？

[@anti_simulacre7907]

これ、本当は大学の微積分で出てくるような内容なので、大学入試レベルであまり深入りしないほうが良いと思うんですけど、今の段階では恒等式をいくつか作るため、というくらいの理解でよろしいかと思います。（私も詳しくない。）

[@kingofm2010]

割る数式が本問題のように重解を持つ場合、微分をすることで割る数式の次数を下げても元々の数式の解を代入することによって剰余式部分のみを残す(Q(x)の項を消せる)からですね。この手の重解出現時の微分による次数下げテクニックは数学において随所に登場してくる。。。

[@anti_simulacre7907]

@@kingofm2010 さん 勉強になります。ありがとうございます。

[@user-cm5qx6xy1r]

めっちゃおもろい問題だと思う。こういうのを良問と言うんだろうな。

[@anti_simulacre7907]

前半はテイラー展開になるのかな？ 後半は鈴木貫太郎大先生が得意なヤツっぽい。

[@mizukik.177]

どちらかというと後半がTaylor展開と関連します. このような問題でTaylor展開をするモチベーションは(g(x)で割るとして)g(x)の多項式を作り出すことですから，二項定理を利用するモチベーションと同じです. Taylor展開の係数と二項係数にも関係がありますし.

[@anti_simulacre7907]

@@mizukik.177 さん ありがとうございます。勉強になります。

[@Sukosuko-no-suchiko-iLoveu]

やさ理は偉大

[@gozytang]

9:12 ここって答案にどうやって書けばいいですか？ 下線使っていいんですか？

[@chopin_taiko]

逆に解法1の方思いつかなかった

[@user-ok7iu1uu1g]

i^2代入すればいけるくね？

[@YU-sx1dc]

この問題解けました

[@user-ur2qg1uh7q]

どうして微分がこの問題に応用できるのでしょうか？習いたてでよくわかっていません、誰かー教えてください

[@yoheitamura6760]

ｎを自然数とする。ｎ³をｎ²+1で割った商と余りを求めよ。　解答　商ｎ　余り　－ｎ　は誤り。

[@user-bn7ql1sb8x]

最初の解法で、わざと計算ミスをしていた説。論拠：後で比較できるように、計算結果をわざわざ右下にメモしておいた

[@IamReaa]

やっぱ微分安牌ですね

[@Lookingforwardto227]

二項定理きもちいい

[@user-dz7jn4lb5o]

高 2駿台で出たな とけんかった

[@user-xc7tj3cl1s]

x+1=kと置換したら自明

[@kin3kin13]

微分すごい

[@itsuki_death]

focusの例題レベルやん(笑)

[@user-lz2hr8or3y]

なんで①と②の式にx=-1を代入すると違う条件式が出てくるんですか？ よくある、同じ式出てきちゃった状態になると思ったんですが

[@user-xk8ln6it5w]

びぶんつよ

[@lilly832]

x=-1で割る数が0になるのになんでx=-1を代入していいんですか？

[@user-tz8xp1xv3w]

解けた人は解けたけど、解けなかった人は解けなかったってなんかおもろいな

[@user-hi4xf5cc3x]

解法1しかわからなかった(笑)

[@Sandra_4869]

脳死で微分しか思いつかんよ笑

[@user-ik9xb7pj2f]

解法2ばっか使ってたら解法1のやり方忘れてたwww

[@naoh22000]

ハイレベルな学校

[@user-oc6qt7oo4j]

一対一やったからよゆー

[@user-re1fg4nj7v]

二項と割り算か、くそ

[@user-ng5wg6pw3j]

受験難易度的には普通ですね

[@irritating4373]

クソ簡単

[@JohnnieFK]

うーん、メカウロ！