✓ Касательная. Геометрический смысл производной и дифференциала | матан

Поговорим про геометрический смысл производной.
Как поддержать канал:
Bitcoin: bc1qwzx9t9mz5h5q8sgtz74mdgedxd5wu0g9kq6q5m
Ethereum: 0xAE872DcA8B135cf62Df4B36bE576a2EE64c6066a
Регулярная помощь (Boosty): boosty.to/trushinbv
Регулярная помощь (KZbin): kzbin.infojoin
Регулярная помощь (Patreon): / trushinbv
Регулярная помощь (Sponsr): sponsr.ru/trushinbv
Разовая помощь (Ю-money, бывшие Яндекс.Деньги): yoomoney.ru/to/410011017613074
Разовая помощь (PayPal): paypal.me/boristrushin
Разовая помощь (Donation Alerts): www.donationalerts.com/r/bori...
Разовая помощь (Сбер): 2202 2001 0398 5451
В этом учебном году я веду три курса:
✔ «Подготовка к ЕГЭ по профильной математике с 0 до 70 баллов (10-11 класс)»: trushinbv.ru/ege70
Подойдёт и десятиклассникам, которые хотят уже за год до ЕГЭ стабильно решать на 70+, и одиннадцатиклассникам, которые почти ничего не знают, но хотят за год выйти на приличные баллы. На курсе освоим как всю тестовую часть, так и многие задачи из сложной части ЕГЭ.
✔ «Подготовка к ЕГЭ по профильной математике с 60 до 100 баллов (11 класс)»: trushinbv.ru/ege100
Для тех, кто уже знает математику на базовом уровне, и хочет за год освоить её на 90+. Там, в основном, будем учиться решать задания из сложной части ЕГЭ, но залезем немного и в некоторые содержательные задания из тестовой части.
(Если у одиннадцатиклассника есть достаточная мотивация, можно параллельно учиться сразу на двух этих курсах - trushinbv.ru/egepack - их программы согласованы между собой)
✔ «Подготовка к перечневым олимпиадам по математике (10-11 класс)»: trushinbv.ru/olymp
В первую очередь этот курс для одиннадцатиклассников, которые освоили стандартную школьную программу хотя бы на «четыре», и хотят за полгода подготовиться к олимпиадам типа Физтех, Ломоносов, ОММО и ПВГ, чтобы попробовать зацепиться за диплом хотя бы в одной из них.
Кроме того, доступны мои прошлогодние курсы в записи:
✔ «Подготовка к ОГЭ»: trushinbv.ru/oge9
Это запись большого годового курса, который я провел пару лет назад. В этом году у меня не будет новых курсов для 9 класса.
✔ Мини-курсы по отдельным заданиям ЕГЭ:
- Теория вероятности с нуля и до ЕГЭ (Задания 3 и 4): trushinbv.ru/egeTV
- Уравнения и неравенства (Задания 12 и 14): trushinbv.ru/egeAL
- Стереометрия (Задание 13): trushinbv.ru/egeST
- Экономические задачи (Задание 15): trushinbv.ru/egeEC
- Планиметрия (Задание 16): trushinbv.ru/egePL
- Задачи с параметром (Задание 17): trushinbv.ru/egePR
- Теория чисел (Задание 18): trushinbv.ru/egeTC
✔ Мини-курсы по перечневым олимпиадам:
- Олимпиада Физтех: trushinbv.ru/fizteh
- Олимпиада ОММО: trushinbv.ru/ommo
- Олимпиада Ломоносов и ПВГ: trushinbv.ru/lomonosov
Другие курсы Фоксфорда: trushinbv.ru/courses
Репетиторы Фоксфорда: trushinbv.ru/coach
Магазин мерча: trushinbv.ru/shop
Книжка от Трушина: trushinbv.ru/book
вКонтакте: ege_trushin
TikTok: / trushinbv
Twitter: / trushinbv
Instagram: / trushinbv
Telegram: t.me/trushinbv
Facebook: / trushinbv
KZbin: / trushinbv
Личный сайт: TrushinBV.ru

[@George-qe3lr]

Словами не описать, как вы спасаете студентов! На лекции все быстро протараторили, никто ниче не понял, сиди теперь и разбирайся в своих каракулях) А наличие таких качественных видео-уроков с детальными пояснениями каждого момента значительно облегчает дело ❤

[@A_Ivler]

Мне всё успевают объяснить. Хотя эту инфу знал ещё в школе.

[@wise_scarecrow]

А если вы запишете лекцию на видео и потом спокойно просмотрите, не то же самое будет?

[@George-qe3lr]

@@wise_scarecrow, нет, далеко не то же самое) Довольно часто объяснение Бориса Викторовича отличается от приведённого на лекции, что помогает взглянуть под другим углом и лучше осознать материал. Я уже молчу про то, что многие моменты на лекции объясняют вскользь, а то и вообще принимают на веру без доказательства

[@safil747]

​@@A_Ivlerлюди привыкли, что со школы им все разжеванное в рот кладут. А тут говорят "инженер должен знать и уметь все" и дают теорию.

[@nnn7459]

​@@A_Ivlerя тоже знала ещё в школе, но снобизм можно оставить при себе, далеко не всём повезло с учителями

[@raff_anglewood7456]

Честно говоря, когда вырасту, хочу стать Трушиным. Спасибо за видео!

[@user-ix9tn8zb1w]

Не хватает слов, чтобы описать весь мой восторг от этого видео)) Источаю лавину благодарности, спасибо, Трушин, что есть Вы и Ваши видео)))))))

[@braxxis4520]

как же приятно иногда вернутся к первому семестру анализа, когда все было весело легко и приятно

[@user-mb4yc7by5m]

Матан, матан, матан, ура! В этом году поступил, и к сожалению наша программа к моему удивлению оказалась менее подробной, чем серия ваших роликов

[@nicholasspezza9449]

Ну так мы тут 5 лет проходим то, что вы пройдете за полгода. Само собой тут минимум в 10 раз подробнее 😅

[@user-fg8qh8kn7t]

Спасибо большое за ваши ролики по матану! Сейчас как раз начали проходить дифференцирование по матану. Вы очень помогаете!!!

[@honeycatcher9565]

В поддержку матана!

[@xuderelet]

Спасибо вам большое за мат анализ❤

[@lestergt3973]

только вот прошли эту тему, спасибо!)

[@alekseyfedorov18]

Эх х х, студенчество вспомнил. Славное время, было! :) Спасибо Борис. :)

[@user-zg2bx5cb3d]

Да это же снова Борис Трушин и мы продолжаем заниматься матанализом!

[@lamasnik]

Очень полезно при работе на финансовых рынках

[@amorisya]

ваши видео прекрасны, спасибо вам Борис Трушин ❤

[@user-if1mo1ys3e]

О кайф Трушин попал в тайминг! Я как раз сегодня пытался понять производную и интеграл и пересматривал старый видос про интеграл. И вот я здесь

[@nikito4ka041]

Ждём, чтобы такие ролики по "матан" выходили чаще! Спасибо тебе большое за твои старания!

[@thestranger2306]

Смотрю плейлист по матану и новое ,не вышедшее видео! Вот так да!

[@elfkrovv1690]

Как хорошо, что вышел такой гайд. У меня по матану будет матдиктант на 15 вопросов, тут вы объяснили достойно 1 и 2 вопрос

[@user-gv8fb8xi2l]

Круто!

[@faton8889]

Спасибо

[@thestranger2306]

Эксклюзив!

[@denisgoogle_search]

вот теперь я начинаю понимать математику)

[@leiladaskieva8237]

❤❤❤

[@Lurkin_Noname]

Борис гигант

[@za_warka_kun]

Огромное спасибо за этот ролик, очень скоро мне это будет нужно, а ваши лекции смотреть так интересно

[@pykush493]

Спасибо, дорогой Борис Викторович! Невероятно круто

[@excentrisitet7922]

16:24 "Не то чтобы это прямо геометрически очень понятно для чего это надо." В физике именно так считается погрешность измерений. Берётся функция, потом считается её дифференциал. В бо́льшем числе случаев - многомерный, т.к. редко функция там только одной переменной. Но физическое применение для дифференциала именно такое.

[@trushinbv]

Это понятно, но для этого не нужно это геометрически представлять )

[@themachine9329]

@@trushinbv вообще почему то забывают говорить что производная нужна для нахождения мгновенной скорости ЛЮБОГО процесса (физического, экономического и т.п., а не только физического) и вот как раз угол касательной показывает текущую скорость изменения процесса ну а перед этим объяснить что скорость изменения функции = скорость изменения любого процесса p.s. понятно что физический смысл производной в другом видео, но вот эта связь между смыслами должна быть в обоих видео. А так спасибо, очень круто объясняете

[@akramnurullayev3575]

👍👍👍

[@sobolevmath]

👍👍👍🔥🤓

[@Metal_dead]

Борис, а будет в будущем видео про радиус кривезны. Видел формулу когда решал задачи по физике, но всегда интересовало, откуда она получается

[@trushinbv]

Будет. Но не скоро )

[@Metal_dead]

@@trushinbv ну, я не спешу

[@irinaprokofieva2813]

❤❤❤❤❤❤❤❤👏👏👏👏👏

[@gymnasiematematikmedigor5035]

Привет, Борис. Идея для очередного видео, где как раз используется геометрический смысл дифференциала (как "приращение касательной"). Формулу Ньютона-Лейбница как раз можно визуализировать с помощью дифференциала. В записи определенного интеграла присутствует символ f(x)dx. Его как раз можно интерпретировать как дифференциал dF первообразной F. Поскольку dF примерно равен приращению функции F на маааленьком промежутке dx, то интеграл от a до b можно визуализировать как сумму дифференциалов dF, что дает приращение функции F(b)-F(a). Спасибо за видео. Удачи! Игорь

[@user-uh2fu3qb5k]

А можете как-нибудь рассказать про странные функции, которые определены и непрерывны везде, но не дифференцируемы нигде? Или про поведение функции e^(-1/x^2) рядом с нулём?

[@alicelisova3123]

здравствуйте!! можете пожалуйста объяснить инверсию на пальцах. Спасибо вам за это видео

[@REBOOT19]

Маатан! о ес! о да!

[@user-sc9qf9qj7x]

Шульман в президенты, Трушина замом. В такой России хочу жить.

[@krzysztofpukicz3252]

Больше матана богу матана!

[@user-qj5ld3vy7j]

Что такое интеграл? Интеграл - это площадь под графиком. А что такое площадь. А площадь - это интеграл. А что такое интеграл? А интеграл - это площадь.

[@gitarre_spielen]

Ага, "у попа была собака".

[@user-qs7gq6vs1y]

у собаки была попа... эта попа нравилась попу и потому...у попа была собака..................@@gitarre_spielen

[@suprememaster1133]

А что в вашем понимании площадь?

[@user-qs7gq6vs1y]

мера квадрируемого множества точек... @@suprememaster1133

[@EndyKaufman]

а что если сложить 2 и более производных? при том что каждая из них несет свою "информацию"

[@alexeyshnaider9290]

Книги по математике Трушина есть?

[@trushinbv]

Гуглите серию книг «математика с Борисом Трушиным» )

[@alexeyshnaider9290]

@@trushinbv ну там комбинаторика и все

[@trushinbv]

@@alexeyshnaider9290теория чисел ещё через месяц выйдет

[@alexeyshnaider9290]

@@trushinbv хочу большой современный справочник по математике на все разделы

[@trushinbv]

@@alexeyshnaider9290 это коллективу из ста человек лет десять писать нужно )

[@user-sk1tq9ml7d]

Это первая Ваша лекция которая мне понравилась.(((:::

[@TheAntipendos]

Спасибо, пригодится в расчёте ПИД-регулятора для охоты на чубы

[@TurboGamasek228]

только попробуй гад

[@A_Ivler]

Сейчас бы хорошо понять, что такое ПИД-регулятор для охоты на чубов.

[@user-qs7gq6vs1y]

полистать что-ли Контрпримеры в анализе ещё раз на старости лет...

[@olegpisarenkov4908]

Может определить касательную как прямую, которая имеет единственную общую точку с графиком функции при данном Х в окрестности Х ?

[@trushinbv]

Бывают касательные, для которых это не так (был даже ролик про это), и для многих функций можно в одной точке бесконечно много прямых провести с таким свойством.

[@olegpisarenkov4908]

а они - эти функции - дифференцируемы при этом в данной точке? очень интересно, спасибо, ролик поищу@@trushinbv

[@9TailsExar]

существует ли производная для функции у=кв.корень(1-х^2) в точке х=1 или х=-1? И чему равно? можно ли считать функции у=1 и х=1 обратными друг другу? Можно ли это доказать математически? Какой предел у функции у=1 при х стремящийся в бесконечность? немного бесполезных размышлений на вечер...

[@braxxis4520]

1) зависят от определения, в данном случае говорят, что функция имеет бесконечную производную 2) нет, можно доказать, что нет 3) 1

[@gitarre_spielen]

@@braxxis4520, товарищ, а как понимать "функция имеет производную в точке..."? Если, грубо говоря, производная функции - скорость изменения функции при изменении аргумента, то если функция имеет производную в точке, имеют в виду "ей есть куда расти, и вот на столько", или же "она выросла на столько по сравнению с предъидущей точкой" (тогда какой)?

[@braxxis4520]

@@gitarre_spielen грубо говоря производная имеет строгое определение, проблема ваших рассуждений, что вы не знаете, что такое скорость

[@suprememaster1133]

@@gitarre_spielenпроизводная в точке x0 - это предел (f(x)-f(x0)/(x-x0). В случае корня, он равен бесконечности, и в таких случаях считают, что в точке функция не дифференцируется

[@ArsenMejlumyan-yv9fo]

Круто! Такой вопрос (может и не грамотный). Можно ли с помощью производной от производной от производной от...от производной функции понять функция убывает или возрастает в заданном промежутке ? Первая производная не очень ... Функция представляет произведение синуса на квадратный трёхчлен. Кроме построения графика (без нахождения критических точек) как можно ответить на такой вопрос ?

[@suprememaster1133]

Чтобы понять монотонность функции на промежутке, понадобится только и только первая производная. В ее нулях в функции экстремум или точка перегиба, а между она возрастает или убывает. Вторая производная покажет выпуклость функции, насколько быстро возрастает производная. Третья и далее производные уже какого-то конкретного значения не имеют, поэтому для бытовых целей нет смысла их брать

[@User_name_2pizza]

Борис, день добрый! Мне стало интересно следующее (к сожалению на клавиатуре нет значка "дельта", поэтому буду обозначать дельту знаком ♤): Вычисляя касательную, мы расчитываем ее отталкиваясь от Х0 + ♤Х (при ♤Х стремящейся к 0). Но ведь какой бы малой ни была ♤Х, мы все равно не вычислим касательную точно. Предположим, что мы ищем касательную так же отталкиваясь от Х0, но не плюс, а минус ♤Х (то есть вторую точку мы выбрали левее Х0). Согласно логике получается, что касательная при (X+♤X) должна совпасть с касательной при (X0-♤X). Да, конечно же ♤Х стремится к нулю, но нет ли здесь математического противоречия, когда некая функция f(X+♤X)=f(X-♤X)? И почему бы тогда вообще не получить усредненное значение, которое, на мой взгляд было бы еще точнее? 😂 Вот, написал, и самому стало смешно!!!

[@nemetskiylager]

Насчёт "Мы все равно не вычислим касательную точно" - советую изучать пределы, что это такое, как находится и так далее. Производные же, очевидно, вычисляются не путём подстановки конкретных чисел, как вы скорее всего думаете. Возьмём, например, функцию x². Lim ∆x => 0 (f(x+∆x)-f(x))/∆x = (x²+2x∆x+∆x²-x²)/∆x = (2x∆x+∆x²)/∆x = 2x + ∆x = 2x. Так доказывается, что производная от х² = 2х. И для вычисления значения в точке 4 просто 2 умножается на 4 и получается 8, а не берётся очень маленькое значение ∆x(скажем, 0,01) и подставляется в предел(тогда получается (4,01²-4²/0,01) - неточное значение, а именно, 8,01 вместо 8). Ну и насчёт того, что если заменить ∆x на -∆х, то получится, что x+∆x=x-∆x, то не надо забывать, что если мы заменяем ∆x на -∆x, то мы заменяем его и в знаменателе, и в знаменателе получается -∆x. То есть, (f(x+∆x)-f(x))/∆x = -(f(x-∆x)-f(x))/∆x, что выполняется для всех непрерывных функций(в ином случае производная для функции не определена).

[@space1r]

На это классное замечание (аж о 3 точках f(x-∆x), f(x), f(x+∆x)), где есть только одна касательная, а через 2 других - секущие, есть "лайфхак": использовать нормаль. Уж её точно можно провести в точке f(x) только ОДНУ. Причем на чертеже нормаль легче построить с помощью зеркальца: приложить в искомой точке перпендикулярно к кривой (в зеркале линия графика должна войти "сама в себя") , провести нормаль, и потом, в точке пересечения - касательную под углом 90°. Всё! Так вот из-за единственности нормали и возникает эта единственность касательной! И тогда никаких секущих не нужно!

[@User_name_2pizza]

@@space1r КЛАААССС!!! Просто и офигенно!!!

[@cherkasA]

когда то учил и даже решал, но до сих пор не понимаю где это в жизни применяется)

[@trushinbv]

Вы про мозг? )

[@cherkasA]

@@trushinbv ) смешно мозг знаю где применяется) дифференциал более менее понятно где применяется интеграл тоже встречал в инженерных расчетах а исследование функции и производную кроме как в ВУЗе нигде не видел в жизни. не понятна его практическая суть

[@whois1313]

​@@cherkasAа как без понимания производной разобраться в интегралах и дифференциалах?

[@qwlori]

Дублирую свой комментарий, вдруг всё-таки будет интересно) если нет, так нет Борис, здравствуйте! На уроках недавно мы прошли матричный способ решения систем линейных уравнения и я бы хотела предложить вам идею - может быть, возможно снять видео о матрицах или методе Крамера? Мне на самом деле просто очень интересно, почему эти способы вобще работают и на чём они основаны. Извиняюсь, если у вас уже есть видео о матрицах, но я не нашла

[@trushinbv]

То есть вам на уроке дали метод, не объяснив почему он работает?

[@qwlori]

@@trushinbv нам дали способы и мы научились решать системы линейных уравнений с их помощью, но именно почему они работают и на чём они основанны не объяснили. я имею ввиду, почему, перемножая коэффициенты именно таким способом, мы получаем решение системы. я думаю, это из-за очень ограниченного количества уроков, выделенных на эту тему. поэтому мне очень интересно послушать вас! мне нравится, как вы в своих видео можете доказать даже самые казалось бы очевидные вещи

[@trushinbv]

@@qwloriя подумаю ) Но у вашего не очень разумный подход

[@qwlori]

@@trushinbv в любом случае спасибо за ответ!

[@user-ok5pi3dg7y]

"какая-то функция" - и нарисовал ехпоненту!

[@A_Ivler]

Так у неё производную легче всего считать.

[@leiladaskieva8237]

А у вас нет курсов по вышмату?

[@trushinbv]

Нет (

[@user-ot7ck7mt2i]

Здравствуйте, подскажите, пожалуйста, как можно интерпретировать точку пересечения касательной с осью абсцисс?

[@user-jg9gi3cv3j]

Из геометрии давно известно "не твоя касательная-не твои проблемы"😅

[@A_Ivler]

-Как там твоя прямая? -Тебя не касается. И изображение двух кругов на координатной плоскости, где у одного нет касательной, а у другого есть.

[@KOTO3BEPb]

а если производная не является линейной функцией?

[@braxxis4520]

производная в точке - это просто число, поэтому сам вопрос непонятен

[@user-zb1by5qy4v]

Через одну точку можно провести множество прямых, через две точки только одну прямую. Как я понял производная это скорость изменение функции в данной точке, но на самом деле при увеличении данной точки мы увидим две точки на грвфике. Вот через 2 эти точки мы проведем одну прямую.

[@user-fo6mh5qt7w]

Борис, здравствуйте...Замечательно слушать ваши видеоролики, нравятся особенно ваши прозрачные и доходчивые объяснения, но хотел бы выразить своё ненавязчивое пожелание. Очень интересно было бы послушать ваши мысли про гиперболические функции: связь с тригонометрией, геометрическая аналогия, обратные гиперболические функции, разложения в ряды и прочее. Очень красивая и обширная тема, которой, к сожалению, я не нашел в вашем изложении. Недавно столкнулся на практике с этими функциями, рылся в справочниках подручных, искал аналог формулы Asinx+Bcosx=✓(A²+В²)sin(x+p), где p=arctan(B/A). Не найдя нигде аналогии, понял, что для гиперболических функций единой формулы нет, а аналог зависит от того, что больше по модулю из коэффициентов А или B. Уже благодарен, если пожелание не останется незамеченным.

[@safil747]

Геометрический так и сложно понять, физический смысл - сразу понятен.

[@user-th4xz7bs4k]

Борис, здравствуйте! Можете, пожалуйста, разобрать эту задачу kzbin.info/www/bejne/fHfVnXusaN6kgpYsi=-6B0u_grcynuuGnp Как так выходит, что верных ответов на эту задачу несколько?

[@trushinbv]

Он же сказал, что это просто нес шествующая конструкция. Если нижний имеет площадь 4, то этого уже достаточно, чтобы решить задачу, и при этом у верхнего не будет площадь 16

[@user-th4xz7bs4k]

Благодарю!

[@MrKesseker]

Когда функан, уважаемый БВ?)

[@5pa1c]

Не могу найти видит где он объясняет как учить не надо на примере нелинейных функций, может кто подскажет?

[@user-qm7pv5es4t]

Какой физический смысл данного угла?

[@wise_scarecrow]

А я всегда думал, что производная, это просто скорость изменения функции в данной точке, а касательная, соотетственно, наглядное представление ускорения.

[@vadiquemyself]

ну не знаю, основывать определение касательной на частном от деления координат ‘y’ на координаты ‘x’ это как-то.... не очень ну найдите таким путём касательную к той же x = y² в нуле или к x² + y² = R=constant в ±R, а касательные там существуют и единственны, не говоря уже про спирали с неконстантным радиусом не-не, такая дефиниция меня не удовлетворяет

[@trushinbv]

Это определение касательной к графику функции y=f(x)

[@vadiquemyself]

@@trushinbv ...предполагая, что дефиниция “функции” такова, что это не любой мэппинг, а только лишь такой, у которого обратный мэппинг (инверсия) инъективен тогда простым поворотом координат на ½π в любую сторону функция превращается, превращается функция в .... нефункцию!

[@trushinbv]

@@vadiquemyself Мне кажется, вы путаете график функции в конкретных координатах и саму функцию От того, что вы что-то поворачиваете, на саму функцию это никак не влияет )

[@vadiquemyself]

@@trushinbv ага, не меняется, и... а, понял, это к тому, что, поменяв буковки ‘x’ и ‘y’ местами, меняем их всюду и везде, и делим для x = 𝑓(y) уже́ на НЕнулевое изменение y’а, а не на (нулевое) изменение x’а окей, но тогда мы всё одно полагаем 𝑓(a)≠𝑓(b)→a≠b («∆y≠0→∆x≠0»), и чтобы получить уравнение касательной всюду, придётся подбирать и менять координаты, и в каждой такой системе будут свои «особенные» точки, так.... а без этого всего никак? не ограничивая определение функции только каким-то узким классом «инвертно-инъективных ∆y≠0→∆x≠0» ? не ища «специальные» точки и системы координат для них? я, конечно, понимаю, что это видео- для студентов на первом семестре обучения, для которых любая трансформация координат вдиковинку, кто сидит на этих лекциях внезапно-интенсивного калькулюса с такими огромными 😳глазами, полными искреннего непонимания происходящего вокруг, для кого функция это то, что в учебнике было нарисовано и на е.г.э

[@trushinbv]

⁠@@vadiquemyselfпочему вы считаете, что есть какие-то ограничения на функцию? Берем любую функцию, определенную в окрестности точки Хо.

[@1luffiz]

то есть дифференциал это f(x0+∆x)-f(x0) при ∆x -> 0 ???

[@buff9943]

Так и есть

[@trushinbv]

Нет. Это линейная часть этого приращения

[@Qraizer]

Ага. А асимптота - это касательная к функции в бесконечно удалённой точке.😁

[@user-qs7gq6vs1y]

Борис, поаккуратнее в терминах, имеющих привычный смысл... в окрестности х=0 возьмём осциллирующую функцию у=х^3*(sin1/x)... прямая лучшего приближения у=0... у Вас губа поднимется назвать её касательной к графику... нужен какой-то дополнительный критерий привычной нам касательности и которую 99,999% преподавателей рисуют на досках... проще сказать - не надо нам такого критерия ...

[@trushinbv]

А что это, если не касательная? ) При условии, что вы её в нуле нулем доопределили

[@user-qs7gq6vs1y]

можно ли - условно амплитудно уменьшающуюся волну назвать касающейся прямой - вряд ли...мозгу вопреки... @@trushinbv

[@user-qs7gq6vs1y]

на первый взгляд достаточным критерием будет бесконечная дифференцируемость...уберёт осцилляцию...но - не факт...

[@EvgenyKnoblokh]

😢я ничего не понял, но очень интересно, икс ноль

[@DmitriiSafonov]

дельта альфа бетта штрих...

[@papaschultz]

а нельзя просто сказать что касательная к аналитической кривой - это просто прямая имеющая только 1 общую точку с этой кривой? Разумеется только в некоторой дельта-окрестности точки касания. Размеры дельта окрестности ограничены только ближайщими локальными минимаксами в этой окрестности, если, конечно, они существуют. Если эктстремумов нет, то и ограничений на размер тоже нет

[@wovada]

Слишком быстро. Ничего не понятно!

[@stagirit384]

дальше матан, больше