[EM#38] Un exemple d'e.v.n. non complet (Démonstration)

Dans cette émission, je présente l'exemple d'un espace vectoriel normé non complet. Le procédé de réflexion qui mène à la construction du contre-exemple choisi est d'autant plus intéressant qu'en manipulant des suites de fonctions, la porte vers la confusion est grande ouverte. Heureusement, Cauchy veille sur nous…
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0:00 - Énoncé de la proposition
0:40 - Que souhaite-t-on démontrer ?
1:03 - À la recherche d'un contre-exemple
3:08 - Démonstration - Suite de Cauchy
5:46 - Démonstration - Divergence
7:43 - Conclusion
7:58 - Ouverture
🎥 Émissions connexes:
[UT#74] Espaces vectoriels normés - • [UT#74] Une introducti...
✒️ Notions abordées: espace vectoriel normé, espace de fonctions, norme, suite de Cauchy, construction d'un contre-exemple, convergence ponctuelle, convergence uniforme, bijection réciproque, théorème d'encadrement, restriction d'une fonction à un sous-ensemble, unicité de la limite.
🌞 Bonne écoute !
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#BacPlus2 #Analyse #Démonstration

[@Ablatius]

Tout ça est bien loin pour moi aujourd'hui et j'ai perdu de vue toutes les subtilités de ces notions. Qu'apporte la propriété de complétude à un e.v.n ? Un changement de norme peut-il le rendre complet? Si on trouve une norme sur un e.v. qui le rende complet, est ce que cela n'implique pas qu'il y ait des normes à 'privilégier' par rapport à d'autres?

[@mehdih776]

Bonjour, la notion de complétude signifie qu'en gros "il n'y a pas de trous" dans l'espace et que les suites de Cauchy sont bien les suites convergentes de cet espace. Par exemple, Q muni de la norme "valeur absolue" (on considère la restriction à Q de la valeur absolue sur R) n'est pas complet mais R muni de cette norme est complet. La réponse à votre seconde question est oui. Par exemple, l'EVN E considéré dans cette vidéo muni de la norme infinie est complet, alors qu'il ne l'est pas pour N1.

[@MatheFysyk]

Effectivement, certaines normes sont plus intéressantes que d'autres dans certains contextes, mais ici, le fait que cet espace ne soit pas complet pour la norme N1 peut t'inviter à poser la question suivante : quel est le complété de C^0([0,1]) pour la norme N1 ? C'est-à-dire quel espace obtient-on si on ajoute à C^0([0,1]) les limites des suites de Cauchy ? Attention, ici on considère que les suites de Cauchy non convergentes dans C^0 convergent en fait "quelque part", et là question, c'est de savoir où. Et dans ce cas, la réponse, c'est l'espace L¹([0,1]), un des espaces fondamentaux de l'analyse fonctionnelle 🙃

[@Ablatius]

Merci pour vos réponses.

[@fabienleguen]

Autre utilité majeure d’être complet pour un espace : ça permet d’utiliser les outils mathématiques fondés sur les limites pour explorer cet espace, ses éléments ou les isomorphismes de cet espace. Et ces outils ne sont rien moins d’autre que les outils de l’Analyse qui sont ultra-puissants : dérivation, intégration, transformées de fourrier, en ondelettes etc. Exemples : R est complet pour la norme euclidienne. si une application de R dans R se présente, on peut l’analyser sous toutes ses coutures avec les outils de l’analyse mentionnés ci-avant. Q n’est pas complet pour la norme euclidienne. Une fonction de Q dans Q se présente et nous sommes alors plus démunis pour l’analyser.

[@Atom_Line]

J’adore cette chaîne. ☀️

[@AllemandInstable]

**J'adore** le concept. C'est je pense typiquement le genre de chose importante dont les professeurs attendent qu'on le fasse par nous même, mais on n'est pas tous capable de le faire ou d'en tirer tout ce qu'il y a à apprendre. Les contre exemples sont très riches en information, essentiels pour une compréhension fine, et pourtant durs à trouver proprement expliqués. Bon je sais que Big Brother KZbin se gave sur ce don mais c'est une carotte symbolique pour en avoir plus 🤩

[@oljenmaths]

Merci beaucoup Instable🙏🏻!

[@Benzemaths]

Bonjour je suis en 3eme année de Licence maths et ce genre de vidéo m'aide vraiment a comprendre certaine notion visuellement parlant, merci !

[@oljenmaths]

Salutations et merci bien 🙏🏻!

[@giovanni1946]

Très belle vidéo !

[@MatheFysyk]

On pourrait même modifier un petit peu le contre-exemple pour que les f_n soient C^oo, en prenant une arctangente composée à droite avec x donne nx par exemple 🙃 J'ai beaucoup aimé l'astuce de l'intégrale de la réciproque, c'est très visuel.

[@oljenmaths]

… et j'ajoute qu'on peut aussi aller dans l'autre sens en considérant une suite de fonctions affines par morceaux: constantes égales à -1, puis croissantes avec une pente constante (de plus en plus grande à mesure que n augmente), puis constantes égales à 1. Comme ça, il y en a pour tous les goûts 🤣!

[@guillaumeg611]

En une ligne: c'est un sev strict de L1 qui est dense et donc non complet

[@lexponentielexp6844]

Merci bien, jais une question. On sait que tout sous e.v.n fermé borné est compact, mais à condition qu’on est en dimension fini. Est-ce que votre exemple pour être un contre exemple en dimension infini? Merci par avance.

[@oljenmaths]

Oui, complètement. Compact implique complet, donc non complet implique non compact. Ainsi, l'exemple vaut pour les deux 🎳!

[@christophem6373]

Pourquoi l'aire colorée dans le cas de la suite des racines est au dessus de la courbe, alors que l'intégrale c'est l'aire sous la courbe ?

[@brettsteed7242]

Je pense que l'aire coloriée c'est l'écart entre la fonction f_n et sa limite, autrement dit la norme 1 de leur différence. Hope to be clear😅

[@oljenmaths]

Affirmatif ! Avec cet instrument de mesure, on peut voir qu'une fonction tend vers une autre lorsque la différence d'aires tend vers 0. J'ai représenté, sans le dire hélas, l'écart entre les fonctions de la suite (f_n) et sa limite qu'on peut conjecturer 👍🏻.

[@christophem6373]

@@brettsteed7242 effectivement ça tombe sous le sens, c'est juste que ça fait bizarre de passer d'une aire en dessous à une aire au dessus. Merci en fait c'est très clair comme explication.

[@luccharles3324]

Je comprends juste pas comment la fonction est defini , ce qu'il me perturbe c'est les nombres négatifs dans la racine

[@brettsteed7242]

C'est une racine 2n+1ième, ce qui ne pose pas de problème avec les négatifs. En effet 2n+1 est impair. Par exemple la racine 3eme de -1 est -1, celle de -8 est -2....

[@oljenmaths]

Merci d'avoir répondu 😇!

[@brettsteed7242]

@@oljenmaths mais de rien ,voyons :)

[@mehdielabdaoui1955]

Vous allez beaucoup trop vite, je ne crois pas qu'on puisse retenir quelque chose de cette vidéo, trop d'informations trop rapidement.

[@oljenmaths]

Ces vidéos ne sont pas forcément faites pour être regardées d'une traite… La promesse, c'est plutôt qu'en traitant l'exemple avec un papier et un crayon, la vidéo fournit largement assez d'indications pour être sûr de comprendre ce qu'il se passe. Et sinon, il y a la possibilité de poser des questions 🤷🏻‍♂️!