[KDJ#11] Un exercice pour sécher tes amis en pleine digestion !

Dans cette émission, je me lance à la recherche d'un ensemble de polynômes vérifiant une collection d'égalités réelles: P(cos(t)) + P(sin(t)) = 1. Dans ce genre de circonstances, un raisonnement par analyse-synthèse semble tout indiqué… et l'analyse va nous faire voir du pays, c'est Marcel qui le dit !
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🕒 Repères temporels:
0:00 - Énoncé de l'exercice
0:29 - Remarques des étudiants
1:33 - Analyse (1/2) - Une histoire de parité
5:11 - Analyse (2/2) - Une nouvelle équation
8:18 - Où en est-on, en fait ?
10:00 - Synthèse et conclusion
12:08 - Outro
✒️ Notions abordées: équations réelles, équations polynomiales, périodicité, parité, fonctions trigonométriques, racines d'un polynôme, surjection, centre de symétrie, translation, changement de repère, raisonnement par analyse-synthèse, cos² + sin² = 1, identité trigonométrique, Dedalus Fecit, méthodologie de résolution d'exercices.
🌞 Bonne écoute !
✍🏻 Pour les curieux qui liront ces lignes, j'écris ici une petite remarque que je n'ai pas exploitée dans la vidéo: on pouvait remarquer d'emblée que l'ensemble des solutions est un sous-espace affine de R[X]. Ainsi, j'aurais pu exploiter la connaissance de l'une des solutions particulières mentionnées par Séraphin et Agathe pour ne résoudre « que » P(cos(t)) + P(sin(t)) = 0, puis expliquer que la solution générale est de la forme [solution particulière + solution de l'équation homogène], à l'instar de ce qu'on fait en résolvant des équations différentielles, par exemple.
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#BacPlus1 #Analyse #Exercice

[@palicot]

Bonjour Oljen, tout d'abord merci. Ton travail et la passion que tu mets dans chacune de tes vidéos me donnent l'envie de reprendre les cours de maths après maintenant 12 ans d'arrêt ! Je suis vraiment admiratif de ta pédagogie ! Probablement le meilleur contenu mathématiques de la plateforme, et j'espère que tu continueras encore longtemps ! Petite question sur l'analyse synthèse dans cet exercice spécifique. Comment peut-on decider que la forme de P[X] en fonction de T[X] est la forme finale qui conclue l'analyse, et qu'il faut passer à la synthèse ? Au moment de la synthèse, tu dis "qu'il ne restera qu'à éliminer les solutions en trop". Dans ton cas, puisque tu as mené l'analyse jusqu'au bout, tu arrives à un ensemble E qui est justement l'ensemble des solutions que l'on cherche. Mais dans le cas où l'on s'arrêterait plus tôt dans l'analyse, (par exemple si on a uniquement trouvé que P était pair), la synthèse ne permettrait pas "d'éliminer les solutions en trop".

[@oljenmaths]

Salutations et merci infiniment pour ce message chaleureux 😁 ! J'attendais cette question, j'ai failli intégrer sa réponse dans la vidéo, mais je m'en suis aperçu « trop tard » dans mon procédé de production. En somme, je n'ai pas de moyen sûr et certain que T[X] soit la « forme finale ». En réalité, c'est pour cela qu'après avoir obtenu la condition nécessaire « P pair », ainsi que l'écriture de P comme Q(X²), j'ai réinjecté cette nouvelle information dans l'équation, ce qu'on peut considérer comme une tentative de synthèse qui échoue: plutôt que de trouver une égalité vérifiée dans tous les cas (c'eût été inespéré), on a obtenu ainsi une nouvelle condition nécessaire en supplément de la première (celle qui concerne la parité). On est ainsi rentré dans un petit jeu avec deux phases: trouver une condition nécessaire, injecter dans l'équation pour obtenir une nouvelle écriture, et cela en boucle jusqu'à écrémer l'ensemble de polynômes candidats jusqu'à ce qu'il ne reste plus que des solutions dans nos filets. Là où la stratégie peut échouer, c'est dans la créativité dont il s'agit de faire preuve pour « trouver une condition nécessaire ». Parfois, il faut ruser ! J'espère que cela répond à la question 😇.

[@naturalbeatmaker7785]

Je suis d'accord pour dire qu'il s'agit probablement du meilleur contenu maths Fr, tant sur le fond que sur la forme. J'espère que l'aventure continuera encore de très nombreuses années !

[@michelbernard9092]

On ne me l'avait jamais faite celle-ci , alors je vais y réfléchir. j'avoue que de prime abord je ne vois pas par quoi commencer (séries entières, grand théorème de l'algèbre, espaces vectoriels ; équations différentielles ??), alors peut-être à demain pour vous donner mon premier jus. Je refuse de regarder la solution sans chercher, mais là je vais dormir... quoiqu' en écrivant, je me vois bien commencer par dériver tout ça pour voir !

[@fabienleguen]

Excellent 😮! En cherchant avant de voir la solution, j’ai vu les solutions évidentes 1/2 et x^2, puis je suis parti comme un bourrin sur une écriture générale en somme du polynôme de degré n pour linéariser les puissances de cos et sin (inextricable horreur). Après avoir abandonné cette voie, en auscultant les propriétés des solutions j’ai trouvé P(X)=P(-X) aussi qui avait le bon goût d’être compatible avec P(X)=1/2 et P(X)=X^2. Je me suis dit : hourra ! les polynômes solutions sont ceux ayant une symétrie par rapport à 0y. Mais ça ne marche pas avec P(X)=X^4 par exemple (en effet pour ce polynôme ça ne colle pas pour t=\pi/4) ! Las, j’ai craqué et ai été voir la solution. Magnifique solution ! Avec des manipulations habiles et une grosse dose de jusqu’au boutisme qui fini par payer. Merci ! Je crois que ce format de vidéo khôle est celui que je préfère 😗.

[@oljenmaths]

Superbe recherche, il faut déjà en vouloir pour éliminer toutes les fausses pistes et en arriver à la parité, le tout avec deux solutions particulières en prime. Après, il faut persévérer, et c'est vraiment ce que de tels exercices permettent d'encourager 🥳.

[@mehdielabdaoui1955]

Le passage à Q(X)+Q(1-X)=1 est très intéressant avec le changement de variable.

[@shakespeare258]

Magnifique présentation ! Bravo 😊👌

[@antoinebrgt]

Magnifique celle-là, je crois que c'est la première fois que je ne "vois" pas la solution de l'exercice immédiatement, et en effet l'analyse est légendaire!

[@oljenmaths]

Merci 🥳!

[@animeWorld-xq8ns]

Franchement j'adore le raisonnement

[@romaing2774]

Superbe vidéo ! Je suis en 2e année de prépa ça m’aide bien 😊

[@misnik1986]

franchement, la solution est super elegante

[@alejandrosaldarriaga6061]

Excellente video! Une methode inspirée des equations differentielles me semble un peu plus intuitive : à partir de l'equation Q(X) + Q(1-X)=1, on decompose Q en solution particuliere et solution homogene : Q(X) = 1/2 + R(X) où R(X) + R(1-X) = 0. Dès lors,on voit que R doit etre de degré impair pour satisfaire cette égalité. De plus, si a est racine de R, 1-a l'est aussi. Les racines de R viennent donc toutes par deux sauf 1/2 qui doit toujours etre incluse pour obtenir un degré impair. On a donc R(X) = (X-1/2)S(X) où S(X) contient uniquement des facteurs de la forme (X-a)(X+a-1) = (X-1/2)^2-(a-1/2)^2, autrement dit S(X)=T((X-1/2)^2) avec T dans R[X]. En scindant S dans C, on peut vérifier que si a est réel, cela correspond à une racine positive de T, et si a est complexe de conjugué 1-a, alors a doit être de partie réelle 1/2 ce qui correspond à une racine négative de T.

[@oljenmaths]

Merci beaucoup pour ce partage très intéressant ! J'aime beaucoup l'idée de la solution particulière, cela n'aurait que renforcé mon fil narratif. Puisqu'on dispose de solutions particulières dès le départ, autant s'en servir, effectivement ! Au top 🥳!!

[@abdellatif8554]

Superbe

[@adamboussif8035]

J'ai adoré l'exercice Merci beaucoup !

[@oljenmaths]

Au plaisir 😁!

[@user-rz6si9mh1p]

Génial ! J'adore ce mélange de trigonométrie, d'analyse (parité des fonctions) et un peu d'algèbre des polynômes (égalité de 2 polynômes), ce qui en fait un exercice assez complet finalement. A l'époque, étudiant de MPSI, j'aurais sûrement foncé tête baissée en décomposant P en sommes de monômes $ak.Xk, sans aller bien loin 😅. Bravo pour cette présentation, aussi claire que toutes les autres.

[@oljenmaths]

Merci beaucoup 🙏🏻!

[@alexandredoyen9714]

J'ai fait ça aussi, mais j'arrivais sur X^2

[@hfcitasi6570]

Grandiose

[@KarimR-cu9se]

Bonjour Oljen. Cette analyse mérite bien le qualificatif de légende. Très beau problème, merci de l'avoir proposer. Au temps 11:05 de la vidéo, il y a cependant une affirmation erronée. Il n'y a pas de différence de carré, ce n'est que des sommes de termes! Pour simplifier la somme de trois termes et arriver à la valeur 1, il suffit de remarquer que cos2(t)-1/2 et 1/2-sin2(t) sont egaux qqs t.

[@oljenmaths]

À 11:05, j'explique que je calcule la différence entre les deux carrés à l'intérieur des crochets et que je trouve 0, donc que les termes entre crochets sont eux-mêmes égaux. Cela dit, ce passage a engendré pas mal de confusion, et on pouvait se contenter d'utiliser une nouvelle fois cos² + sin² = 1 pour parvenir à cette même conclusion 😉.

[@manwork6545]

Marcel a été à la hauteur. En voiture Simone...

[@oljenmaths]

Je ne sais pas pourquoi, mais ce commentaire m'a fait exploser de rire 🤣!

[@michelbernard9092]

Bonjour, je n'ai pas trop compris le virage sur les chapeaux de roues à la minute 10'50" Je ne vois pas très bien ou vous voyez une "différence" de carrés. Cependant, ça change rien du fait que chaque parenthèse est égale car pour l'une c'est [(cos²t-sin²t)/2]² et pour l'autre [(sin²t-cos²t)/2]² d'où sort donc le cos²+1/2+sin² +1/2 ?? ensuite on a effectivement 1+ T*0 =1

[@_Ytreza_]

En gros, pour remarquer que les carrés sont égaux il s'intéresse à leur différence. En factorisant cette différence, un facteur nul apparait. Mais j'avoue que c'était pas très clair initialement.

[@michelbernard9092]

@@_Ytreza_ Bien vu, merci !

[@kakaygor5845]

Sois le bien venu.... À la prochaine. Les deux meilleurs mots que j'ai entendu aujourd'hui. Cependant, ça sera possible, de s'intéresser à résoudre une équation fonctionnelle classique , voir minute 5:05. Merci ❤!

[@guillaumeproux7877]

Bonjour, j'ai eu du mal a suivre votre raisonnement a 11:10 sur le (a+b)(a-b) ?? pour moi j'ai simplement remarque cos**2(t)-1/2 = (1-sin**2(t))-1/2 = (1/2-sin**2(t)) et donc les polynomes T evalues a (cos**2(t)-1/2)**2 ou evalues a (sin**2(t)-1/2)**2 valent la meme chose... et donc effectivement on peut factoriser le big T. pour voire que pour la meme raison il reste alors (cos**2(t)+sin**2(t)-1/2-1/2)

[@oljenmaths]

Très juste ! Pour démontrer que les crochets sont égaux, j'ai essayé d'expliquer que leur différence était nulle en calculant mentalement cette différence. Dans la différence, on observe une somme nulle, et le tour et joué. Mais effectivement, l'utilisation de l'identité trigonométrique cos² + sin² = 1 fonctionne à merveille 👍🏻.

[@guillaumeproux7877]

@@oljenmaths je viens de comprendre dans le polynôme T=ΣtnX**n pour n=0 les constantes s'annuleraient puis pour les puissances suivantes X pourrait etre mis en facteur et comme le polynôme est évalué sur des carrés on se retrouve bien avec l'identité remarquable.... Merci.

[@leporcquirit]

Comme déja signalé, le passage à 11:10 n'est pas très clair. Voici l'explication (comprise d'après les comm') : on a du T[A²] et du T[B²] et on remarque que A²-B²=(A-B)(A+B) et que A+B=cos²-1/2+sin²-1/2=0, donc A²=B², et on peut donc factoriser par T[A²] (ou T[B²] puisque c'est la même chose)

[@leporcquirit]

Plus simplement d'ailleurs, il suffisait de dire que cos²-1/2 = (1-sin²)-1/2 = -(sin²-1/2), donc leurs carrés sont égaux

[@samueldeandrade8535]

I don't understand French, but that was awesome.

[@oljenmaths]

Hi there! Thank you so much for your kind words about the video 🥳. I'm really glad you enjoyed it! I'm curious, how did you come across this video 🕵🏻‍♂️? Also, are you from Portugal or Brazil by any chance?

[@samueldeandrade8535]

@@oljenmaths well, I will answer both questions, saying that because I am one more crazy Brazilian guy, sometimes I became obsessed about some subject, like some anime, or neighborhood disputes, or some Math problem. KZbin feeds my obsession, and now I follow dozens of Math channels, in English, in Russian, in French, in Spanish and in Portuguese, of course. Hahahaha. Like I said, one more crazy Brazilian guy. Happy New Year!!!

[@oljenmaths]

Haha, we share a certain kind of craziness then @@samueldeandrade8535! At home, for example, I have the complete Harry Potter books in Brazilian Portuguese (as well as in Italian, Spanish, English...)! Can you recommend two or three Portuguese mathematics channels? Happy New Year to you too, brother in craziness 🤣!

[@samueldeandrade8535]

@@oljenmaths oh my Euler! I am very critical about everything, including KZbin channels and youtubers, and I have a hard time watching brazilian channels. I feel they are all terrible! Hahahaha. That's why I set my KZbin and Google accounts in English, so to avoid brazilian content. And I have to dress to go to a birthday party now. If I remember your task when I get back, and it is a task, I will do my best to complete it. Big hug!

[@emilie375]

Trop de polynômes pour moi 😆

[@thomasmeslin8399]

:o c'est chouette mais la formation est chère 😭

[@oljenmaths]

Je comprends que le prix soit une considération importante. De mon côté, je peux vous assurer que ce prix reflète fidèlement la qualité de la formation, et j'ai confiance en le fait que vous parviendrez à la même conclusion si vous vous laissez tenter par l'aventure 😇. Pour vous faire une idée de ce que cette formation peut vous apporter, je vous recommande: 🎁 Dedalus Fecit (Extraits gratuits) - bit.ly/3SlYXfJ

[@prada_4629]

Bonjour, fabuleux exos, vraiment bluffant, néanmoins il y a un passage qui m’échappe bien que je pense que ce soit un manque de connaissances de mon cours.. Je ne comprend pas pourquoi à 2:50 puisque les deux polynômes coïncident sur [-1;1] alors ils coïncident sur R.. ça m’échappe. Quelqu’un saurait m’éclairer ? Merci d’avance

[@sergial2]

Si deux polynôme P et Q coincident sur une infinité de valeurs, alors P-Q a une infinité de racines. Or pour un polynôme non nul, le nombre de racines est majoré par son degré. Donc P-Q est le polynôme nul et P=Q.

[@elkinyeye]

@@sergial2 j'ai l'impression que tu ne réponds pas à la question de @prada_4629 La question est: pourquoi le fait que P et Q coïncident sur [-1;1] implique que P et Q coïncident sur R ?

[@sergial2]

@@elkinyeye je ne vois pas bien que te dire de plus. Je t'ai montré que si P et Q coincident en une infinité de valeurs, alors P=Q et de là P(x)=Q(x) pour tout x réel (et même complexe). Il y a quoi que tu ne comprends pas ?

[@sergial2]

Il faut juste connaitre ce point de cours : si pour un polynôme P (P-Q en fait dans mon premier post), P a plus de racines que son degré, alors P est le polynôme nul.

[@elkinyeye]

Personnellement j'ai le même problème que @prada_4629: je ne comprends pas l'implication: coïncider sur [-1,1]->coïncider sur R Je ne peux pas être plus explicite Et je loupe probablement quelque chose dans votre explication car je n'y vois pas l'élément qui explique cette implication C'est probablement évident pour vous, mais pas pour moi 😄

[@cb6020]

Bonjour, pour ma part j'ai directement posé i) R(X) = P(X) - 1/2 ce qui donne : R(cos) + R(sin) = 0 ii) Je trouve donc pour t = pi/4 et 5pi/4 que R(1/sqrt(2)) et R(-1/sqrt(2)) s'annulent donc R = (X^2 - 1/2)Q(X). iii) En réécrivant R(cos) + R(sin) = 0 j'obtiens Q(cos) - Q(sin) = 0 iv) Du coup j'ai Q(-sin) = Q(sin) et donc Q(-X) = Q(X) d'ou : Q(X) = T(X^2) Finalement : P = (X^2 - 1/2)T(X^2) + 1/2 Arrêtez moi si il y a une erreur mais si c'est bon ça économise un polynôme ;)

[@oljenmaths]

Salutations et merci pour le partage 🙏🏻! Et oui, c'est une économie appréciable que permet ces deux évaluations de l'étape (ii), et une économie appréciée 🥳!

[@michelbernard9092]

Bon, je vous propose ma solution telle qu'elle, je doute qu'elle soit juste et même si c'était le cas, je pense qu'il y a une démo plus élégante . d'abord, il existe de tels polynômes, il suffit de choisir P(X)=0.5 cherchons s'il existe des polynômes de degré 1 P(X)=a0+a1X P(sin x) + p(cos x) = 2a0 +a1 (sinx+cosx) =1 ceci pour tout x donc a1=0 et a0=1/2 Cherchons s'il existe des poly de degré 2 P(X)=a0+a1X+a2X² P(sin x) + P(cos x)= 2a0+ a1(sinx + cosx) + a2 = 1 pour tout X donc a1=0 et 2a0+a2=1 les polynômes de la forme P(X)= a0+(1-2a0)X² conviennent Généralisation : Soit p(X)= a0 + a1X +a2X²+a3X^3+a4X^4 Q(x)=P(sin x) + P(cos x)= 2a0+a1(sinx + cosx)+a2+a3(sinx^3 +cosx^3)+a4(sinx^4+cosx^4)=1 Q étant constant, sa dérivée est nulle Q'(x)=a1(cosx-sinx)+a3(3sin²xcosx-3cos²xsinx)+a4(4sinx^3cosx-4cosx^3sinx)=0 Q'(x)= (cosx-sinx) [a1+3a3*sinx*cosx+4a4*sinx*cosx(sinx+cosx)]=0 pour tout t donc a1+3a3*sinx*cosx+4a4*sinx*cosx(sinx+cosx)=0 pour tout x du fait que cosx-sinx n'est pas constante pourx=0 a1=0 d'où 3a3*sinx*cosx+4a4*sinx*cosx(sinx+cosx)=0 =>sinx*cosx *[3a3+4a4(sinx +cosx)]=0 sinx*cosx n'étant pas constante on doit avoir 3a3+4a4(sinx +cosx)=0 pour toutx en dérivant 4a4(sinx - cosx)=0 d'où a4=0 et a3=0 Il n'existe aucun p(X) de degré 3 ou 4 répondant à la question. Supposons qu'il existe un polynôme de degré 5 répondant à la question, celui-ci ne pourra être que de la forme P(X)= a0+(1-2a0)X²+a5X^5 Alors on a P(sinx)+P(cosx)= a5(sinx^5+cosx^5)=0 et a5=0 de la même manière pour les autres degrés car sinx^n+cosx^n n'est jamais toujours nul Conclusion les seuls polynomes qui marchent sont P(X)=a+(1-2a)X² Bon je vais aller voir ou j'ai fait des bêtises en regardant la solution.

[@matteoversaen105]

Quel est votre outil numérique / logiciel vous permettant d’écrire de si belles équations?

[@Minute2Sup]

Je crois que c'est un secret bien gardé

[@oljenmaths]

J'utilise GoodNotes pour les graphismes (sur iPad), avec ma meilleure écriture manuscrite, puis Photoshop et tout le tralala. J'ai passé des heures carrées à « calligraphier » à peu près tout ce qui apparaît à l'écran 😇.

[@Minute2Sup]

@@oljenmaths comment fais-tu pour faire disparaitre le fond de ce que tu as produit sur GoodNotes , c'est au moment de Photoshop ? Tu écris sur un fond vert ?

[@matteoversaen105]

Beau travail !

[@oljenmaths]

@@Minute2Sup GoodNotes permet d'exporter des PDF avec l'écriture seule et sans aucun fond, tout simplement 😉.

[@chaneru_]

poser S(X)=XT(X^2),j’aurais jamais eu l’idée

[@oljenmaths]

C'est l'exercice le plus difficile de la série, sans conteste 😅!

[@chaneru_]

@@oljenmathsen tout cas ça permet d’apprendre des nouvelles méthodes, merci pour le partage

[@Terrible_musculature]

Dommage que la synthèse (qui est super délicate) soit faite a la va vite

[@oljenmaths]

La difficulté principale de la synthèse consiste à démontrer que [cos²(t)-1/2]² = [sin²(t)-1/2]²… ce n'est pas si compliqué. J'ai proposé un calcul de tête, mais on peut simplement utiliser cos² + sin² = 1 pour obtenir cette égalité et après, le tour est joué 😉. La difficulté de l'exercice est concentrée, à plus de 80%, sur l'analyse 🤷🏻‍♂.

[@kikilolo6771]

mdr un peu chiante l'équation fonctionnelle et la forme générale des solutions mais le raisonnement est exquis !

[@mehdielabdaoui1955]

Sinon l'exo semble beaucoup trop dur sans questions intermédiaires, mis à part des normaliens, je ne vois pas qui pourrait trouver tout ça seul.

[@Pod_TM]

Tu as l'impression qu'il est dur parce qu'il détail énormément mais en soi l'analyse synthèse est la seule possibilité raisonnable et ensuite il suffit de dérouler, la seule difficulté vient du doute de soi même après avoir posé 4 polynôme différents mais avec un peu de confiance en soi l'exercice tombe sans soucis. En tout cas ce fut mon ressenti et je suis très loin d'être normalien

[@mehdielabdaoui1955]

@@Pod_TM encore faut-il avoir l'idée de poser ces 4 polynômes ! C'est pas un exo niveau ENS mais le niveau est quand même élevé.

[@oljenmaths]

Dans un premier temps, il ne faut pas chercher à tout faire d'un coup. Déjà, mettre en place un raisonnement par analyse-synthèse et constater qu'un polynôme solution est forcément associé à une fonction paire, c'est pas mal, pour commencer 😉!

[@mehdielabdaoui1955]

@@oljenmaths d'accord merci monsieur.