La Differenziabilità NON è il Piano Tangente: Analisi della sua Formula

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#matematica #analisi #funzioni
Che vuol dire che una funzione è differenziabile?
Qual è il significato geometrico della differenziabilità?
Perché devo fare un limite in due variabili per h e k che tendono a (0,0) per studiare la differenziabilità di una funzione? C'entra l'o piccolo? C'entra il piano tangente a una funzione? C'entrano i polinomi di Taylor del primo ordine in due variabili?
Rispondiamo queste domande affrontando in pochi minuti uno degli argomenti più astratti, ma allo stesso tempo più pratici, dell'esame di Analisi 2. Studiamo la formula della differenziabilità e le sue applicazioni in matematica e fisica!
Vediamo anche come questo argomento permette l'esistenza del differenziale primo delle funzioni in due variabili, un operatore PRATICISSIMO per calcolare la variazione infinitesima di una grandezza quando le variabili da cui dipende variano infinitesimamente.
00:00-01:29 Differenziabilità di una funzione a una variabile (Derivabilità)
01:29-02:16 Differenziabilità di una funzione in due variabili
02:16-02:48 La Differenziabilità NON è il piano tangente a una funzione
02:48-03:40 Costruzione della formula della differenziabilità (limite in due variabili che deve tendere a 0)
03:40-05:10 Differenziale Primo Esatto di una funzione in due variabili (con esempio pratico)
Buono studio!
-Marco, ClearMath

[@ClearMath1]

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[@francescocaruso9196]

Ad analisi 2 non ci ho capito nemmeno metà di quanto ho capito ora, complimenti, in 5 minuti sei stato meglio del mio prof in 6 mesi

[@ClearMath1]

grazie mille! Commenti come questi mi sciolgono sempre. Se ti servono spiegazioni su altri argomenti di Analisi 2 qui trovi un'intera playlist: kzbin.info/aero/PL4tHcCynIz4BfVqvciaKTRHd4GHfEkMAD

[@zemp9671]

6 ore di lezione di analisi due in Bicocca e due video su youtube e bastavano i primi 35 secondi di sto video. Grazie. Quando e se mi laureo vi invito al buffet

[@ClearMath1]

grazie per le tue parole! Commenti come questo sono la benzina che mi fanno andare avanti 🔥 Se vuoi studiare tutti gli argomenti di Analisi 2 in modo così visivo, ti consiglio di dare un'occhiata al mio corso completo di Analisi 2. Ecco il link per dare un'occhiata al trailer, alle recensioni e alle lezioni di anteprima gratuite: www.udemy.com/course/visualizza-e-conquista-corso-completo-di-analisi-2/?referralCode=A11C64E0108349E6B69E Buona road to laurea! 💪

[@zenobedini8051]

😘

[@francescopaolodicorato9900]

ottimo video, continua a essere sempre così preciso e soprattutto divertiti nel spigarceli, in quanto non sono difficili le cose se li guardi in una prospettiva più ampia.

[@valentinagiusti8684]

Finalmente qualcuno che ha capito come spiegare le cose. Bravissimo

[@ClearMath1]

wow grazie mille!

[@valeriodestefano3784]

Mi piace un sacco l esempio della punta del cono ;)

[@FortyDario]

Complimenti per la tua eccellente chiarezza.

[@butterbean_01]

è una delle ultime cose che non riuscivo a capire in vista dell'esame di analisi 2 di domani, grazie mille per il tempismo! al minuto 2:54, a logica, mi verrebbe da pensare che intendevi T(x0, y0), è corretto?

[@ClearMath1]

Sono contento che ti sia stato utile! L'espressione al minuto 2:54 è corretta: al numeratore devo fare f(x,y)-T(x,y), dove T è il polinomio _centrato_ in (x0,y0) ma _calcolato_ in un punto (x,y) situato in un intorno di (x0,y0). Poi, si fa il limite proprio per (x,y) che tende a (x0,y0) e si vede se il limite tende a 0. Auguri per domani! 🔥💪

[@butterbean_01]

grazie mille, capito!@@ClearMath1

[@federicosmandelli9706]

Più video così👏🏻👏🏻👏🏻🙏🏻🙏🏻🙏🏻🙏🏻non capisco perché spiegazioni così chiare e intuitive supportate dai grafici non vengano mai fatte in università (vado al PoliMi)

[@ClearMath1]

grazie! Questo video fa parte di una playlist totalmente dedicata ad argomenti di Analisi 2 spiegati con animazioni simili. Sono tutti estratti del mio corso di Analisi 2, te la consiglio caldamente! Link: kzbin.info/aero/PL4tHcCynIz4BfVqvciaKTRHd4GHfEkMAD

[@ng5309]

Le universitá applicano questa politica apposta secondo me. Non hanno interesse ad aiutarti ed appassionarti alle materie anzi si potrebbe dire che fanno il contrario per farti fallire gli esami e farti pagare piú tasse

[@leonardosani9535]

Quindi è giusto poter affermare che: “il polinomio di taylor di ordine n esiste se la funzione è DERIVABILE n volte, ma è anche un polinomio Approssimante se la funzione è anche DIFFERENZIABILE n volte”?

[@ClearMath1]

Esatto! Se la funzione è derivabile (cioè se esistono le derivate parziali in x e y) possiamo pure, in linea teorica, scrivere l'equazione del polinomio di Taylor, ma non ci faremmo molto perché la funzione non può essere approssimata ad esso se non è differenziabile. In una dimensione, derivabilità e differenziabilità sono la stessa cosa. In 2 dimensioni, la funzione potrebbe essere derivabile ma non continua, oppure continua e derivabile ma con alcune derivate direzionali inesistenti... sono tutti casi per i quali diciamo che la funzione non è differenziabile, per cui non posso approssimarla a un piano tangente (Taylor primo ordine), a un paraboloide osculatore (Taylor secondo ordine kzbin.info/www/bejne/jX3TgGRmn5yFfbM ) ecc. Nell'esempio della punta del cono a 02:28 , la funzione non è né derivabile né differenziabile, quindi non posso nemmeno scrivere l'equazione del polinomio di Taylor perché non ho le derivate da inserire. Per qualsiasi cosa sono a disposizione!

[@marcocompagnoni3818]

Potresti spiegarmi come definisci il piano tangente nel vertice del semicono? E in generale come lo definisci?

[@ClearMath1]

ciao! La funzione che ho usato al minuto 02:23 ha la punta situata nel punto (0,0,3), quindi il piano tangente ha equazione z=3. In generale, un piano ha equazione z=z0+a(x-x_0) + b(y-y_0) e, come spiegato al minuto 03:07, quando una funzione è differenziabile si può scrivere il polinomio di Taylor del primo ordine, che è proprio l'equazione di un piano che ha: z0=f(x0,y0) a=df/dx(x0,y0) b=df/dy(x0,y0) Per qualsiasi domanda sono a disposizione!

[@marcocompagnoni3818]

@@ClearMath1 Sono d'accordo che la definizione del piano tangente al grafico di una funzione in un punto di differenziabilità sia esattamente quella che dici. Ma non capisco l'origine della tua definizione nel punto singolare. Perché dovrebbe essere il piano orizzontale per quel punto? E' una tua definizione ad hoc?

[@ClearMath1]

@@marcocompagnoni3818 in realtà dipende dal contesto. Se non è differenziabile non ho sufficienti informazioni per creare il piano tangente dato che non posso ricavarlo dal polinomio di Taylor. Molte volte, per casi del genere (che però non vengono mai richiesti negli esercizi) si vede "ad occhio".

[@ClearMath1]

@@marcocompagnoni3818 nel caso del video possiamo addirittura dire che ci sono infiniti piani tangenti che passano per quel punto. Io ne ho animato uno solo, Z=3

[@marcocompagnoni3818]

@@ClearMath1 Scusami ma se fossi in te io eviterei di toccare un punto così delicato in un video di pochi minuti. Il piano tangente è definito rigorosamente nei punti di differenziabilità e questo è il concetto che viene spiegato in ogni corso universitario. Qualsiasi cosa ulteriore è per lo meno discutibile e controproducente per uno studente che deve preparare un esame. Te lo consiglio da professore di Analisi 2. Se un mio studente mi dicesse una cosa del genere non sarebbe un punto a suo favore.