Massimi e minimi assoluti su dominio chiuso e limitato di una funzione variabili.Esercizio analisi 2

Come trovare massimi e minimi relativi o assoluti di una funzione a due variabili in un dominio assegnato .
Con la presente videolezione svolgo passo passo un brevissimo esercizio in cui si richiede di determinare gli eventuali punti di massimo e minimo relativi /assoluto in una determinata restrizione del piano .Si tratta di un semplice esercizio tipico di analisi matematica 2 .
Nel nostro caso la restrizione é rappresentata da un cerchio centrato nell’orine degli assi cartesiani e raggio 2 .Si cercheranno eventuali punti stazionari “interni” all’insieme e successivamente analizzeremo il comportamento della funzione lungo la frontiera (nel nostro caso la circonferenza di raggio 2) .
Al solito ho preferito utilizzare il metodo dei moltiplicatori di Lagrange , ma in casi selezionati é possibile e anche molto semplice parametrizzate la frontiera .
Per quanto concerne la videolezione su come i massimi e minimi vincolati con il metodo dei moltiplicatori di Lagrange vi rimando al seguente video :
• Massimi e minimi vinco...
Buona visione .
#salvoromeo #analisimatematica2 #massimieminimi

[@matteodicarloo__]

Chiaro e conciso,grazie.

[@Mike-ms1sj]

Molto chiaro, grazie

[@biziomauro6895]

Professore mi scusi la domanda ma se lambda dovrebbe essere diverso da zero, cosa succederebbe alla nostra

[@aleb0705]

Buonasera Professore, come sempre i suoi video sono un'ancora di salvezza. Una domanda: in problemi di ottimizzazione vincolata devo sempre usare lagrange o ci sono anche altre soluzioni? La ringrazio

[@salvoromeo]

Buonasera Alessandro abbia la pazienza di attendere la prossima lezione e ci sarà la lezione adatta che Le chiarirà moltissimi dubbi a riguardo .Questione di 6 giorni e ci sarà il video . Buona serata .

[@emanueledemasi4270]

e se il vincolo fosse soltanto x^4+y^4

[@salvoromeo]

Si certamente , in questo caso si considera solo l'interno a livello topologico .

[@astro.lewennhart6452]

Salve professore, se tutti i punti che calcolo dovessero produrre un unico punto (per esempio la funzione e' un classico paraboloide ellittico nella forma x^2 + y^2 e i punti trovati A=(1,1); B=(-1,1); C=(1,-1); D=(-1,-1) ), cosa significherebbe? Che c'e' un unico punto di massimo o di minimo? E in caso come faccio a capire se quello che ho trovato e' un punto di massimo o di minimo assoluto? La ringrazio!

[@salvoromeo]

Buonasera , per un noto teorema il massimo assoluto è "unico " così come il minimo assoluto è "unico " . Se studiamo una funzione a due variabili in un dominio chiuso e limitato e troviamo diversi punti di massimo può capitare che la funzione in tutti i punti di massimo abbia lo stesso valore (ad esempio f(1,1) =f(-1,-1)=f(0,1) =6 . In questo caso il massimo assoluto vale 6 . Comunque entro 10 giorni rilascerò un video che Le potrà chiarire qualche dubbio a riguardo .

[@vincenzosarnataro3644]

è possibile svolgere l'esercizio senza i moltiplicatori di lagrange ? se si avete dei video dove avete fatto vedere?

[@salvoromeo]

Buonasera Vincenzo grazie per la domanda .È possibile si risolvere il problema utilizzando altro metodi anche se a volte non è la scelta ottimale . Quando la frontiera (o il vincolo ) è una curva facilmente parametrizzabile , si può fare a meno di utilizzare il metodo dei moltiplicatori di Lagrange .Purtroppo non ho ancora pubblicato nulla a riguardo dal momento che le videolezioni di analisi 2 sono in via di realizzazione . Mi dispiace tantissimo non poter esserLe utile .

[@alessandromunaro5381]

Devi parametrizzare D (è una varietà con bordo) e poi cerchi una certa funzione F che è data da f composto la funzione che parametrizza D e poi è un semplice problema di analisi 1

[@mb-xx6kp]

Buonasera professore, grazie per le sue lezioni preziose che mi stanno aiutando molto per il ripasso finale prima dell'esame, vorrei chiederle, se possibile, se potesse risolvere questo esercizio: Data f(x,y)=(x-1)²+y determinare estremi assoluti di f in E=((x,y)eR²:x²

[@salvoromeo]

Buongiorno per questo tipo di esercizio deve visionare uno degli ultimi video appena pubblicati a dicembre .Deve eseguire delle parametrizzazioni della frontiera e il metodo dei moltiplicatori di Lagrange è scomodo e poco adatto a tale tipologia di esercizio .Se non trova il video in questione mi faccia sapere . Il titolo è qualcosa del genere : "Massimi e minimi vincolati senza usare i moltiplicatori di Lagrange " . Visto che è un video recente lo trova quasi alla fine della playlist di analisi matematica 2 , oppure nella home page del mio canale dovrebbe apparire tra i video più recenti .

[@mb-xx6kp]

@@salvoromeo perfetto l'ho trovato grazie mille, per cortesia potrebbe chiarirmi quando è consono usare Lagrange e quando no?, grazie ancora per la risposta.

[@studying430]

Salve, ho risolto un esercizio di questo tipo (con vincolo di disuguaglianza) trovando prima di tutti dei punti critici interni; invece sui bordi non ho utilizzato il metodo di Lagrange, in quanto i bordi dell’insieme erano tutti dei segmenti, e ho studiato la positività della funzione. Ho trovato molti punti critici (sia punti interni che sui bordi) e non ho avuto problemi a trovare il massimo e il minimo assoluto. Ma se mi chiedesse di trovare i massimi e i minimi relativi come dovrei fare per classificarli?

[@salvoromeo]

Buongiorno , sui bordi deve eseguire le parametrizzazioni dei segmenti .Una volta sostituite le espressioni del secondo membro delle equazioni parametriche nella funzione a due variabili (stessa cosa che ho fatto nel video). Si studia la funzione a una variabile come si faceva nel corso di analisi matematica 1 ma facendo riferimento solo alla monotonia .Dalla stessa monotonia si capisce chi è il massimo assoluto , chi è il minimo assoluto e per esclusioni chi sono i minimi e i massimi relativi .

[@salvoromeo]

Via messaggio purtroppo viene male a dare delucidazioni che praticamente sarebbero molto semplici se date a livello visivo .Spero di essermi spiegato al meglio . Buona giornata .

[@studying430]

⁠@@salvoromeoperfetto, invece per per quanto riguarda i punti interni e gli estremi dei segmenti(lì non studio la crescenza), una volta che ho trovato che anch’essi sono punti critici ma non massimi e minimi assoluti, come faccio a dire se sono massimi o minimi relativi?

[@salvoromeo]

@@studying430 se il dominio è chiuso e limitato si devono considerare solo i punti interni e in quel caso si procede come nel caso standard di una funzione a due variabili .Si utilizza la matrice Heasiana come ho spiegato in un bel video nella presente playlist . Comunque entro 10 giorni (potrebbe essere anche martedì prossimo ) rilascio una lezione sui punti di massimo relativo è assoluto lungo una frontiera chiusa . È un quesito che mi viene fatto spesso . Sarà un esercizio molto più complesso rispetto a questo sopra .

[@studying430]

@@salvoromeograzie mille!

[@luciomartini1855]

Bellissima lezione professore, credo però che si possa giungere alla stessa conclusione considerando il livello l=0 del piano f(x,y)=x-2y. tale livello è dato dalla retta x-2y=0. Ora la proiezione della retta di massima pendenza di quel piano sul piano z=0 che passi per l'origine degli assi è la retta perpendicolare alla precedente ossia y=-x/2 e l'intersezione di questa ci fornisce le coordinate dei punti A e B. Tuttavia per uno studente che inizi un percorso di studi forse è preferibile la strada più lunga. Grazie per le sue splendide lezioni e tanti auguri per il nuovo anno.

[@salvoromeo]

Buongiorno Lucio , eccellente risoluzione (del tutto originale ) della seguente funzione . I miei complimenti davvero .

[@luciomartini1855]

@@salvoromeo GRAZIE PROFESSORE, ma è tutto merito suo, è lei che mi ha insegnato a ragionare prima di scatenarsi sui calcoli. Ancora buona continuazione per il nuovo anno e complimenti per le sue lezioni e per il suo splendido canale.

[@luciomartini1855]

Professore mi perdoni ma la retta perpendicolare alla retta x-2y=0, non era quella che le ho spedito ma ovviamente la y=-2x.

[@danieleleanza1437]

veramente chiarissimo! Vorrei chiederle se fosse possibile risolvere questo esercizio : Data 3x^2 + 4y^2 - 6x+ 12 determinare gli eventuali punti di massimo e di minimo relativi. Determinare inoltre massimo e minimo assoluti della restrizione di f all'insieme D=f({x;y} appartenente a R^2 : x^2+y^2-4

[@salvoromeo]

Salve Daniele la funzione in esame è davvero semplice .Per chi ha l'occhio clinico si accorge che si tratta di un paraboloide a sezioni ellittiche e nel punto (1,0) la funzione assume il punto di minimo (assoluto ). Se non si accorge di ciò basta notare che il gradiente si annulla nel punto (1,0) e facendo uso della matrice Hessiana si trova che la natura del punto stazionario trovato (1,0) è un punto di minimo come detto in precedenza .Tale punto è interno al cerchio da Lei assegnato.

[@danieleleanza1437]

@@salvoromeo grazie mille per la tempestività di un suo riscontro, purtroppo continuo ad avere dei dubbi dato che non riesco a capire a pieno il suo svolgimento sopracitato, chiederei troppo chiedendole anche un breve video sulla risoluzione di tale esercizio?

[@salvoromeo]

Non rimane altro che studiare la funzione nei punti di frontiera (circonferenza di raggio 2 centrata nell 'origine ) . A tale scopo basta utilizzare il metodo dei moltiplicatori di Lagrange e risolvendo il sistema trova (vado ad occhio ) due punti (2,0) (-2,0)

[@salvoromeo]

A questo punto calcoli la funzione nei punti (1,0) (2,0) (-2,0) e il pl valore assunto più grande rappresenta il massimo assoluto , mentre il più piccolo rappresenta il minimo assoluto .

[@salvoromeo]

@@danieleleanza1437 in questo momento sono in vacanza e tutti i video pubblicati sono già stati programmati (precaricati e rilasciati nei giorni programmati ) . Mi faccia capire il punto che non riesce a capire che faccio prima a comunicarlo tramite messaggio oppure mi contatti alla mail in descrizione canale . Fare un video nei prossimi giorni non mi è possibile in quanto sono lontano dalla sala di registrazione .

[@annagiannini5125]

Perché il punto A è di tipo relativo e il punto B è assoluto. Grazie

[@salvoromeo]

Buonasera , appena posso vado a controllare il video .Sono esercizi che improvviso e non ricordo più il testo .Appena posso Le darò una risposta

[@MsIlRusso]

sono entrambi assoluti sul vincolo assegnato. nel dominio della funzione di partenza non esistono minimi massimi o punti di sella non annullandosi mai il Grad f(x)

[@alessandromunaro5381]

Penso siano entrambi assoluti in quanto D è compatto

[@leonardoimparato7939]

potrebbe spiegare i metodi invece che fare solo esempi su esempi? spiegando i metodi risolutivi sarebbe tutto molto più chiaro invece che fare mille esempi diversi ed impazzire

[@salvoromeo]

Buonasera il presente esercizio è molto pratico e richiede le conoscenze di analisi matematica 1 che imperativamente do come scontati e per tale motivo mi permetto di risolvere l'esercizio senza dare alcuna spiegazione che riguardano i concetti di analisi matematica 1 . Se osserva altre lezioni impiego anche 40 -50 minuti di spiegazione poiché l'argomento è nuovo e in quei casi spiego anche il concetto di teoria che sta alla base .Ci sono lezioni come questa che richiedono i concetti del passato ed è uka semplice applicazione . Le lezioni che prevedono solo gli esempi presuppongono una base sulla prima parte di analisi . Non si tratta di lezioni private ma di lezioni sul web dove se ometto delle nozioni è perché sono state spiegate in 10 -20 lezioni realizzate in precedenza e quindi date come scontate.

[@leonardoimparato7939]

il mio era un commento generale, non solo riferito a questo esercizio. sto guardando la playlist di analisi 2 e si capisce ben poco anche perchè alcuni video sono in disordine: il sesto video è un esercizio con la matrice hessiana svolto senza fare riferimento alla teoria o lasciare link di altri video e solo al nono video della playlist viene finalmente spiegata la matrice hessiana. questa disorganizzazione nella playlist crea a mio avviso molta confusione poiché concette di analisi 2 (e non di analisi 1) vengono dati per scontati e spiegati solo in video successivi. altri video invece sono ben spiegati poiché viene visto l'argomento e l'esempio nello stesso video (esempio 1°, 2°, 3°)@@salvoromeo

[@salvoromeo]

@@leonardoimparato7939 perfetto Leonardo allora ci siamo .Dal primo messaggio non capivo che intendeva dire tutto ciò . Grazie a questo messaggio provvederò al più presto a scambiare i video che sono stati posizionati erroneamente .I commenti construttivi sono ben accettati e adesso provvedo a mettere in ordine questi due video . A questo punto non posso fare altro che ringraziarla . Le auguro una buona serata 😊

[@instrumentalvideo-rapbeat3424]

Salve, se in un esercizio il mio insieme invece non fosse chiuso come in questo caso dalla circonferenza...come dovrei fare nel calcolo di massimo minimo,punti critici?

[@instrumentalvideo-rapbeat3424]

ad esempio nel caso di f(x,y)=x+y coi vincoli x'2+y'2>=2, x+1>=0, y>=0 o anche nel caso di un iperbole in cui considero la parte esterna. Grazie mille

[@salvoromeo]

Buonasera il dominio che mi ha dato Lei è sempre chiuso , ma non limitato e deve in questo caso cercare al solito eventuali punti stazionari interni (scoprirà che nel suo esercizio non ce ne sono ) e successivamente cercare punti di massimo e minimo nella frontiera scrivendo di volta in volta le varie equazioni parametriche delle curve (due semirette e un quarto di circonferenza nel suo caso ) e procedere come fatto nel mio esempio .

[@instrumentalvideo-rapbeat3424]

@@salvoromeo Buonasera, per il calcolo dunque dei punti interni li provo a calcolare ponendo le derivate parziali = 0 e trovare gli eventuali punti senza considerare i vincoli imposti per poi passare a considerarli e ad utilizzare la funzione ausiliaria di Lagrange per ogni vincolo considerato? Si nel mio caso non è limitato ma chiuso dunque i punti di massimo assoluto non esisteranno?