Математичні викрутаси, або олімпіадне завдання з математики для 8 класу

Переглядайте відео та готуйтеся до учнівських математичних олімпіад • Олімпіадні задачі
Станьте спонсором цього каналу, щоб отримувати бонуси:
/ @halynakarpyshyn

[@ІванФедак-й9ъ]

Якщо число 6 замінити на а, де IaI >= 2, то отримаємо таку відповідь: a^5 - 5a^3 + 5a. З метою проміжних дій з меншими числами її зручно записати у вигляді a*((a^2 - 5)*a^2 + 5). Для а=6 будемо мати 6*(31*36 + 5) = 6726. Для IaI < 2 наведена формула також правильна, але при цьому х будуть комплексними числами.

[@HalynaKarpyshyn]

👍🤔

[@ІванФедак-й9ъ]

І ще один коментар, який не пов'язаний з цією задачею, але є надія, що його прочитають. Не знаю, чи зараз вивчають у школі формулу складних радикалів: sqrt(a + sqrt(b)) = sqrt((a + sqrt(a^2 - b))/2) + sqrt((a - sqrt(a^2 - b))/2), де a > 0, a^2 > b > 0. Але впевнений, що учням не так просто її запам'ятати. Тому пропоную альтернативний підхід. Розв'язуємо квадратне рівняння x^2 - 2ax + b = 0 і записуємо sqrt(a + sqrt(b)) = sqrt(x1/2) + sqrt(x2/2). Успішно спрацьовує і для виділення без вгадування повних квадратів під квадратним коренем.

[@HalynaKarpyshyn]

На рівні стандарт так вчать, що це просто жах. Треба щось робити, писати в міністерство, бо 3 уроки в тиждень математики - це насмішка над вивченням математики. Один урок алгебри зараз маємо у першому семестрі на тиждень. Не встигаю пояснити навіть те, що є за програмою. Ось записую відео.

[@ІванФедак-й9ъ]

Ще одна цікава ідея з розв'язуванням квадратних рівнянь за формулами Вієта. Замість рівняння ax^2 + bx + c = 0 розв'язуємо рівняння t^2 + bt + ac = 0 та записуємо x1 = t1/a, x2 = t2/a. Пропоную глядачам Вашого відео обґрунтувати правомірність такого підходу.

[@HalynaKarpyshyn]

Я його називаю метод перекидання коефіцієнта. Вже давно хочу написати відео про це)

[@ІванФедак-й9ъ]

@@HalynaKarpyshyn Буде цікаво побачити.

[@k03ak]

Супер

[@HalynaKarpyshyn]

😊👍

[@lironne882]

я зачарована Галиною Карпишин

[@HalynaKarpyshyn]

Дякую вам💛💙

[@HalynaKarpyshyn]

Тільки на фото - це не я 😁

[@stepansharuk6983]

@@HalynaKarpyshyn 😀

[@CTheHorse]

Головне з такими задачами з "знайти x^n+1/x^n якщо x+1/x=a" розуміти наступне: (x^(n-1)+1/x^(n-1))(x+1/x) = x^n+1/x^n + x^(n-2)+1/x^(n-2) - просто перемножив. з цього випливає рекурентна формула x^n+1/x^n = (x+1/x) * (x^(n-1)+1/x^(n-1)) - x^(n-2)+1/x^(n-2) тобто f(x,n) = f(x,1) * f(x,n-1) - f(x,n-2) І якщо вона не сходиться то для великих n треба використовувати (x^n-+1/x^n)(x^(n-1)+1/x^(n-1))= x^(2n-1)+1/x^(2n-1) + x+1/x => x^(2n-1)+1/x^(2n-1) = (x^n-+1/x^n)(x^(n-1)+1/x^(n-1)) - (x+1/x) тобто f(x,2n-1) = f(x,n) * f(x,n-1) - f(x,1) та (x^n-+1/x^n)(x^n+1/x^n)= x^2n+1/x^2n + 2 => x^2n+1/x^2n = (x^n-+1/x^n)(x^n+1/x^n) - 2 тобто f(x,2n) = f(x,n)^2 - 2 Що дозволить скоротити cкладність обчислювальних процесів з O(N) до O(logN) Власне конкретний приклад цього всього і є в відео, з тим винятком що для f(x,3) була застосована альтернативна формула

[@HalynaKarpyshyn]

Ця задача записана для дітей десь 8 класу. Так дітям простіше сприймати розв'язання, аніж з n. В загальному випадку так, як ви кажете, то є круто!

[@irapetrova2431]

👍👍👍

[@ІванФедак-й9ъ]

Ви, як це часто робите, написали коментар з точки зору програміста. Тоді Вам нескладно буде розв'язати і таку задачу, яку я розв'язував ще у далекому 8 класі, а нещодавно побачив її коряве розв'язання у Волкова, але яке так сподобалося одному з коментаторів, що він навіть запропонував видати Волкову за це Нобелівську премію. 🙂Довести, що добуток дробів 1/2, 3/4, 5/6, ... , 99/100 менший за 1/10.😊 Зрозуміло, що результат, отриманий з допомогою комп'ютера, за розв'язання не вважається. Та якщо постаратися, то цілком математично можна довести, що цей добуток менший за 1/12. Він менший і за 2/25, але без додаткових обчислень кількох його перших множників довести це не вдасться. А продовживши набір таких множників до нескінченності, у границі отримаємо 0. Проте така збіжність до нуля доволі повільна. Наприклад, менше 1/100 отримаємо десь у районі понад 3000 множників.

[@CTheHorse]

@@ІванФедак-й9ъ Я б сказав це не точка зору програміста, а спроби все узагальнити та формалізувати. Що дійсно є критичною необхідністю в програмуванні. Що до задачі, то сбіжність до 0 - це непогана така підказка.. Яка сідчить про наступне f(1) = 1 / 2; f(n) = f(n-1) * (2n-1)/2n; f(inf) = 0 => f(n) < 1/g(n) де g(n) якась моното зростаюча функція з g(inf) = inf. Підберемо g(n) так щоб f(50) < 1/10... А саме підходить g(n) = 1 / sqrt(2*n) (щоб g(50) було 1/10). Перевіряємо за допомогою методу математичної індукції і все виходить.. Наводити доведення не буду :P Щодо Волкова - не дивлюсь, схиляюсь до підтримки вітчизняного виробника.

[@ІванФедак-й9ъ]

@@CTheHorse Дозволю собі засмутити Вас. Для g(n) = 1 / sqrt(2*n) крок індукції здійснити не вдасться. Треба брати g(n) = 1 / sqrt(2*n + 1). Тоді все проходить. Хоч, здавалось би, мало би бути навпаки. А для менше 1/12 підібрати функцію g(n) треба ще меншою. І також можуть виникнути подібні проблеми з кроком індукції. Першу ж нерівність можна легко довести і без індукції, використавши ідею a^2 < ab = 1/(2n + 1), вдало вибравши b > a як добуток дробів 2/3, 4/5, 6/7, ...

[@DenisenkoOlga-x7o]

Я вражена, це 👍

[@HalynaKarpyshyn]

Дякую) Переглядайте інші відео. Там на каналі ще багато цікавого