Komplexe Zahlen radizieren (Wurzeln ziehen) | Herleitung, Bedeutung, Beispiel z⁴=1+i√3 in Eulerform

[@MathePeter]

Meine Kurse zur Prüfungsvorbereitung: www.champcademy.com/

[@endritp9787]

Peter, dank dir bestehe ich meine Mathe Prüfung. Ich weiß nicht, wie ich dir danken soll. Bitte hör niemals auf, denn dank dir macht mir Mathe echt Spaß!

[@swedsa6004]

Wie liefs?

[@TheMasters85]

Peter, du hast mir schon unzählige male den Arsch gerettet! xD Du bist die erste Anlaufstelle bei mir wenn ich Themen in meinem Studiengang in der Mathematik nicht verstehe. Danke für die kostenlosen und motivierenden Mathevideos :D

[@MathePeter]

Das freut mich wirklich!! Vielen Dank 😊

[@markganus1085]

bei mir, kam dieses Video zur rechten Zeit auch

[@josefthoma6398]

Bin pensionierter Arzt und habe endlich mal Zeit. Mathepeters Unterricht ist die beste Freizeitbeschäftigung, die ich mir vorstellen kann. Vielen Dank!!

[@MathePeter]

Macht mich echt glücklich zu hören, vielen Dank!! :)

[@thepure7]

Deine Videos sind 100% effizient und die Begeisterung aller spricht auch für sich! Du verschaffst Verzweifelten Erleichterung in hohem Maße. Danke von Herzen

[@enginepreneurmind_3923]

Du rettest mir mein Studium, danke Daniel Jung auf Testo :D

[@vin5852]

So ein G der Mann. Besser als jede Vorlesung und auf einmal macht Mathe wieder bock.

[@MathePeter]

Haha sehr gut, das freut mich!

[@louishauger3057]

VIELEN DANK du über nimmst die Aufgabe von so vielen Professoren: Es verständlich machen.

[@LetsDesigning]

Mit der Definition aus meinem Skript konnte ich nichts anfangen aber das hier war perfekt verständlich, dankeschön.

[@Hallihallo884]

Ich danke dir für deine tollen Videos. Möge Gott dich dafür reichlich belohnen. Danke dass du dein Talent mit uns teilst!

[@MathePeter]

Ich danke dir!

[@bpuespoek]

Danke Peter! Du bringst mich durchs Studium... Du schaffst es die komplexe Welt der Mathematik verständlich rüber zu bringen. Danke für deinen tollen Einsatz, mach weiter so und rette Ärsche xD

[@prinzvegeta6212]

Bitte ersetzt meinen Prof. in Mathe.Junge bist du eine Machine,du erklärst alles so gut!!!

[@emma98800]

Hey Peter, Du hast mich als ausländische Studentin in Deutschland wirklich gerettet. Vielen Dank für die Videos.

[@MathePeter]

Das freut mich wirklich sehr!! 😊

[@BlackAUT96]

Falls es ne Möglichkeit gibt dir ein Bier zu spendieren lass es mich wissen :D

[@MathePeter]

Wenn Corona vorbei ist, gern 😄

[@maxischluter1597]

Noch kein so gutes Video zu dem Thema gesehen

[@eddill2638]

Du bist so eine Legende, ich danke dir vielmals für die große Mühe in Form von Know-How und Vermittlung die du in deine Videos steckst

[@GOD_ALGO]

entspannt digga

[@derjoachim906]

Klasse Videoreihen die du machst Peter. Ich freue mich auf mehr von dir.

[@BigBadBowserJr]

Du bist ein King, ich bin verzweifelt aber dank Dir hab ichs nun endlich gerafft. Weiter so! Deine Arbeit bringt mich durchs Studium haha

[@xdakiXtritex]

Bin extra ans Handy gegangen um zu liken.. unglaublich wie du in 10 Minuten viel verständlicher erklärst was die Dozentin in 20 nicht kann.. und das nicht weil sie unbedingt so schlecht erklärt, hier war es nur einfach überdurchschnittlich verständlich 😅😅

[@tz9976]

Hammer... hatte vorhin den Papula offen und denk mir.. oh zum Wurzel ziehen im Komplexen hat Peter noch nix drin ☹️ N paar Stunden später kommt das Video online 🥳 Danke ! 🥰❤️

[@SiIkkEdits]

Sehr tolles Video! Top erklärt und leicht verständlich dargestellt! Vielen Dank.

[@rudolfrodler8666]

Das Video ist echt besonders gut erklärt! Danke

[@a.p5332]

du rettest mein Leben

[@grelllestrange]

DANKE! Haben das in einer Mathe Hausaufgabe im ersten Semester des Chemiestudiums und haben sowas noch nie gemacht. 😂

[@BenzinLover]

Vielen Dank! wird sofort mit dem Studiengang geteilt

[@carstenposingies6531]

Peter, du erklärst sehr gut. Ich mag deine Videos und lerne viel daraus. Zwar muss ich noch ein bisschen weiter suchen, um auf meine eigentliche Frage eine Antwort zu finden (komplexe Zahl hoch komplexe Zahl), aber eins möchte ich doch los werden. Du wechselst relativ "freestyle" zwischen Wurzeln und "hoch Bruch". Wurzel aus 4 ist 2, 4 hoch 1/2 ist aber {-2;+2}. Das heißt, wenn du Brüche in Exponenten rein multiplizierst, kannst du die nicht einfach so mit |Wurzel aus... wieder weg hauen. x = 4 ^ (1/2) * 9 ^ (1/2) hat nicht 1, sondern 2 Lösungen, nämlich (+-2) * (+- 3), also {-6;6}. D'accord?

[@MathePeter]

Vielen lieben Dank! Bei komplexe Zahl hoch komplexe Zahl, kannst du die Umformung a^b = e^(b*ln(a)) nehmen. Dann von der komplexen Zahl a Betrag und Argument bestimmen und in Eulerform bringen. Das e und ln löschen sich aus. Beim zweiten Punkt nicht D'accord. Wurzel aus 4, also 4^(1/2) ist nur 2 und nicht ±2. Eine (gerade) Wurzel von positiven reellen Zahlen ist immer eine positive Zahl. Per Definition. Wenn du allerdings hast x^2=4 und ziehst die Wurzel, dann bleibt über |x|=2. Und da gibt es zwei Lösungen für das x. Dennoch war die Wurzel aus 4 nur 2. Schau dir dazu gern mein Video an: kzbin.info/www/bejne/q5qphHqId7GsapY Kaum ein Lehrer erklärt diesen Zusammenhang im Detail, oder?

[@destroyer1023]

Perfekte Erklärung, vielen Dank 🙏👍

[@Sarah-mp9lb]

Endlich verstanden! Danke!!

[@markganus1085]

ich habe genau den gleichen Fehler wieder gemacht. Ich werde dies benutzen, um meine Leistung zu verbessern.

[@BoomBoomMove]

Du hast so eine sympathische Art an dir :)

[@schlechtestergtaspielerdek3851]

Danke vielmals. Sehr verständlich

[@mathemitnawid]

Deine Videos sind einfach der Hammer 👏👏👏

[@LKolunzo-Fan01]

Du bist der beste , danke ❤

[@Partyboy10009]

Hi Peter! Vielen Dank für das Video. Eine Frage hätte ich - die Umrechnung in die Euler Form kann beim Winkel prinzipell mit arctan(x/y) errechnet werden, richtig? Die Lösung daraus ist 1/6 Pi und nicht 1/3 Pi... welchen Grund hat es? Und was muss ich tun, damit ich eine korrekte Lösung per arctan() errechnen kann?

[@MathePeter]

Im ersten und vierten Quadranten kannst du den Winkel auch mit dem arctan(y/x) berechnen. Das ergibt hier auch 1/3*π.

[@joshuafuchs4371]

Ich habe eine Frage zu 7:00. Und zwar machst du das mit dem arccos, aber ich habe ein anderes Video gesehen, wo man mit arctan rechnen muss und da würde 30° rauskommen. Wann benutzt man denn was?

[@MathePeter]

Im 1. Quadranten ist arctan(y/x) = arccos(x/r) = π/3, also 60°. Funktioniert also beides. Generell kannst du auch gerne immer mit arctan rechnen, aber dann musst du 4 verschiedene Fälle unterscheiden. Wenn das für dich kein Problem ist und du immer in Sekunden weißt, in welchem Quadranten zu dich befindest, dann mach das. Wenn dir das allerdings zu aufwendig ist und du lieber eine Formel willst, die absolut immer funktioniert, ohne dir je wieder Gedanken darüber zu machen, dann arbeite mit dem arccos wie im Video.

[@vv7132]

so smooth wie er mit 2 Eddings in einer Hand schreibt ohne einen davon weg zu legen

[@christoph7794]

Ich habe Mal eine Frage: der Winkel Phi bei 8:00 ist pi/3, aber da fehlt ja noch die Fortsetzung+2pin n ganze Zahl Wieso dürfen wir hier die Fortsetzung weglassen? Also die Eulerform müsste eigentlich: 2e^(pi/3+2pin) i sein

[@MathePeter]

Wenn du 2π auf den Winkel drauf addierst, dann kommst du immer wieder am selben Punkt an. Du kannst es also auch weglassen.

[@tunsiagaming1412]

Bester Mann !!! Danke dir ☺️

[@bmn79]

Mega Video, danke dafür

[@SajjadNaderi-s9x]

Danke Fantastik

[@senritsu_soei]

Danke, einfach nur Danke

[@jlayable]

Bei 5:00 gibt es eine Einblendung des Vollkreises, der in 5 Teile geteilt wird. Ich sehe aber als ,,Beispiel: Phi = Pi / 2". Ist das wirklich so gedacht? Die Umrechnung und Angabe der vier Lösungen in kartesischer Form wäre auch noch schön.

[@MathePeter]

Ja das π/2 ist nur der Startwinkel, von dem aus die 5-Teilung beginnt. Du kannst ja auch die 5-Teilung um einen beliebigen anderen Winkel drehen und die Winkelabstände bleiben gleich.

[@jlayable]

@@MathePeter Danke noch für die Antwort mit dem Hinweis auf den Startwinkel.

[@KaracanYildiz]

Klasse, danke für das Video. Du bist der Beste Peter. Ich habe da eine Frage für (z-i)^3 = 8. Wie gehe ich da vor bzw. was mache ich mit den (z-i)^3?

[@MathePeter]

Vielen lieben Dank! Bei (z-i)^3 = 8 kannst du erst einmal den Term z-i gleich w nennen und alle drei komplexen Zahlen für w bestimmen, die hoch 3 gerechnet gleich 8 ergeben; also 3. Wurzel ziehen. Am Ende dann einfach noch w = z-i nach z umstellen, also die Ergebnisse +i rechnen.

[@nicoh.2550]

Stabil

[@MathePeter]

sehr stabiler kommentar!😎

[@Juan-xm7tt]

klasse video

[@AbdelKarim-nh9zm]

Ich danke dir man

[@T1MPACT]

Danke!

[@yunes_bzkt3538]

Sehr hilfreich

[@mouadmeziani1983]

Ich hätte eine Frage zur letzten Aufgabe um die 4 lösungen zu bekommen, kann man schreiben z0 = 4te wurzel von 2 mal e hoch i((pi/3)/4 + (2pi/4)*0 ) z1 = 4te wurzel von 2 mal e hoch i((pi/3)/4 + (2pi/4)*1 ) z2 = 4te wurzel von 2 mal e hoch i((pi/3)/4 + (2pi/4)*2 ) z3 = 4te wurzel von 2 mal e hoch i((pi/3)/4 + (2pi/4)*3 ) man muss nur immer k mit Null intialisieren. oder? das habe ich nur geschreiben, um alles im Kopf organisiert zu haben, falls es eine gute Gewohnheit wäre

[@MathePeter]

Sieht gut aus :)

[@a.gervalla6258]

Kann man bei dem phi auch einfach mit den Fällen arbeiten? Sprich arctan(komplex/real) ? Hab das mit dem arccos und r noch nicht gesehen.

[@MathePeter]

Klar du kannst auch mit arctan und den 5 Fällen arbeiten, wenn dir der arccos mit dem einen Fall zu leicht ist. Wenn du wissen willst, wo es herkommt, schau dir die Herleitung der Darstellungsformen an: kzbin.info/www/bejne/ioTIdJJoeZ2rhNU

[@plavix2215]

Dein Videos find ich echt toll und sie helfen mir momentan sehr weiter. Nur eine Sache verstehe ich hier nicht. Wir mussten in unseren Übungen die Lösungen immer mit dem Hauptwert -pi,+pi angeben. Wieso machst du das hier nicht? Wo ist der Unterschied?

[@MathePeter]

Das kommt auf das Anwendungsgebiet an. Die einen geben den Hauptwert im Bereich von -pi bis pi an, die anderen von 0 bis 2pi. Wenn mir kein Anwendungsgebiet vorliegt, mache ich das so, wie ich es will, weil ja keine Notwendigkeit besteht mich festzulegen. Allerdings sollte es immer einer der beiden Bereich sein. Es ist niemandem geholfen mit einem Winkel von z.B. 137/4*pi.

[@plavix2215]

@@MathePeter Danke für deine Antwort. Deine Videos sind echt toll. Man weiß sie erst so richtig zu schätzen wenn man kurz vor einer Klausur steht. XD

[@jimmyjohnny666]

Hey tolles Video, sehr hilfreich, also ist es möglich das mehrere der komplexwertigen Lösungen an der selben Stelle liegen? Wie hier bsp.weise z0 & z2 sowie z1&z3

[@jorex6816]

Die Lösungen liegen nicht an derselben Stelle, sie haben lediglich denselben Abstand zum Koordinatenursprung.

[@jimmyjohnny666]

@@jorex6816 Und inwiefern unterscheidet sich ihre Position?

[@jorex6816]

@@jimmyjohnny666 Sie unterscheiden sich nur in ihrem Winkel φ, alle Lösungen liegen auf einem Kreis mit Radius ∜2.

[@jorex6816]

Siehst du auch an der Zeichnung bei 5:08 nur mit einem anderen Beispiel.

[@jorex6816]

Peter, du korrigierst mich, wenn ich falsch liege, ne?

[@janniskuhne1790]

sehr gut erklärt! dankeschön :)

[@MathePeter]

Sehr gerne!

[@veritas8303]

Hi Peter, ich hätte eine wichtige Frage zu deinem letzten Beispiel. Müssten nicht im Zahlenraum der komplexen Zahlen, für die 4. Wurzel, jeweils zwei positive und zwei negative Ergebnisse rauskommen? Habe gerade eine ähnliche Aufgabe vor mir und in der Lösung wurde es eben so gemacht. z^4 = 81*i

[@MathePeter]

In dem Videobeispiel haben wir Lösungen in allen 4 Quadranten. Bringst mal zurück in kartesische Form mit x=r*cos(phi) und y=r*sin(phi). Also immer von der jeweiligen komplexen Zahl. Dann kommen alle Vorzeichenkombinationen vor. Bei deinem Beispiel genauso.

[@Tubemaster32]

mathe peter goes god mode

[@Tubemaster32]

jedes wort klar wie wasser, gedanken sortiert wie alexandria

[@xemunxenon1638]

Ich lieb dich

[@AaaBceK]

10:17 muss man das hier erweitern? Also warum macht man das

[@MathePeter]

Wenn du Kopfrechen-King bist, brauchst du das natürlich nicht. Ist nur angenehmer im Folgenden die Brüche zu addieren, wenn die Nenner gleich sind.

[@ThePlerox]

Ich bin ein paar Jahre später dran, aber vielleicht siehst du es ja trotzdem. Wieso rechnest du mit arccos und nicht mit arctan? Danke für die super Videos!

[@MathePeter]

Weil man mit dem arccos keine Fallunterscheidungen braucht und das Ergebnis so nehmen kann, wie es der Taschenrechner sagt! Vorausgesetzt du achtest auf das sgn(y).

[@marcusgloder8755]

Hallo und guten Tag, ich habe eine ganz einfache Frage. Wenn ich mit reellen Zahlen rechne, dann gilt: √(x²) = |x| Das heißt, das Ergebnis einer Quadratwurzel ist immer eindeutig, nämlich nichtnegativ (positiv oder Null). Bei Wurzeln mit geradem Wurzelexponenten ist das generell so. Wenn ich Dein Video richtig verstanden habe, dann gilt das bei komplexen Zahlen nicht. Ist das richtig? Und wie wird sichergestellt, dass eine einfache Rechenaufgabe, in der auch Quadratwurzeln aus komplexen Zahlen vorkommen, ein eindeutiges Ergebnis hat? Viele Grüße Marcus 😎

[@MathePeter]

Hi Marcus, auch in den komplexen Zahlen ist die Wurzel eindeutig, genau wie in den reellen Zahlen. Das Ergebnis ist die "Hauptwurzel". Es gibt aber umgedreht zwei verschiedene Zahlen, die quadriert die andere Seite der Gleichung ergeben. Wie du auf alle diese Zahlen kommen kannst, erkläre ich in diesem Video!

[@marcusgloder8755]

​@@MathePeter Aha. Das, was Du sagst, kenne ich eher aus dem amerikanischen Begriffssystem. Da wird die Quadratwurzel (√) »principal square root« genannt. Die Ergebnisse einer quadratischen Gleichung heißen dann »roots of a quadratic equation«. Im Deutschen kenne ich den Begriff »Hauptquadratwurzel« nicht. Eigentlich wird das, was auf englisch »principal square root« heißt, auf Deutsch einfach »Quadratwurzel« genannt. Mit Wurzeln hat man es also zu tun, wenn ein Wurzelzeichen oder ein Bruch als Exponent dasteht. So etwas wie x² + 25 = 0 ist dagegen eine quadratische Gleichung. Quadratische Gleichungen können eine reelle Lösung, zwei reelle Lösungen oder wie hier zwei komplexe Lösungen haben (soviel ich weiß). Die Quadratwurzel aus 4 ist 2. Nur 2. Die quadratische Gleichung x² = 4 hat dagegen zwei Lösungen, 2 und -2. Das sind aber keine »Wurzeln«, jedenfalls nicht so, wie ich das auf Deutsch kenne. Das ist das mir bekannte deutsche Begriffssystem. Ich habe noch nie auf Deutsch von einer »Hauptquadratwurzel« oder von den »Wurzeln« (statt den Lösungen) einer quadratischen Gleichung gehört. Soweit an dieser Stelle. EDIT Gerade habe ich mir den Anfang des Videos noch einmal angeschaut. An sich ist es eindeutig, dass es gar nicht ums Wurzelziehen im engeren Sinne geht, sondern darum, herauszufinden, welche Lösungen Gleichungen höheren Grades mit komplexen Zahlen (ich hoffe, ich habe das richtig ausgedrückt) haben können. Da steht nämlich nicht z = ⁿ√(u + i ‧ v) sondern stattdessen das hier: zⁿ = u + i ‧ v Viele Grüße Marcus 😎

[@MathePeter]

@@marcusgloder8755 ich stimme dir zu 100% zu. Freut mich, dass du es richtig verstanden hast. Ich hab auch nur aus dem englischen übersetzt, um den Unterschied klar zu machen. Kleine Anmerkung: eine quadratische Gleichung hat (im Komplexen) immer genau 2 Lösungen (mit Vielfachheit gezählt).

[@mrchrisp8103]

Wie schreibe ich e^-1+pi/2*i in die kartesische Form um bzw. wie bekomme ich den Real-und Imaginärteil davon raus? LG!

[@MathePeter]

Meinst du e^(-1+pi/2*i)? Erst mal die Summe im Exponenten mit Potenzgesetzen umformen zu e^(-1) * e^(pi/2*i) und dann mit der Euler Formel arbeiten. Der Realteil ist e^(-1) * cos(pi/2) = 0 und der Imaginärteil ist e^(-1) * sin(pi/2) = e^(-1).

[@mrchrisp8103]

@@MathePeter Vielen Dank! :)

[@dietvriet2456]

Kann man phi auch mit dem arcsin ausrechnenn? Also dannn arcsin(y/r) ?

[@MathePeter]

Ja genau. Und dann noch die Fallunterscheidung mit dem Vorzeichen vom Realteil.

[@Adler9501]

Ein Video über Konvergenz mit komplexen Zahlen wäre noch sehr hilfreich👍

[@MathePeter]

Danke dir, kommt alles noch! :)

[@ericneumann2558]

Hallo MathePeter, Ich rechne aktuell eine Klausuraufgabe die lautet: z^3=-8i Hier wird für den Startwert nicht 2e^(pi/6) genommen sondern 2e^(pi/2) Warum ist das so? MfG Eric

[@MathePeter]

Die komplexe Zahl -8i in Eulerform lautet ja 8*e^(3/2πi). Daraus die dritte Wurzel gezogen ergibt 2*e^(1/2πi) als "Startwert".

[@JulianWenzel-l6w]

@MathePeter kannst du mir erklären, warum man bei k=0 beginnt und nicht bei 1? Super Videos, Grüße aus Frankreich!

[@MathePeter]

Es ist egal, wo du anfängst zu zählen. Wichtig ist nur, dass du am Ende n aufeinander folgende Indizies hast. Mit 0 zu starten ist außerdem sehr entspannt, weil du einfach nur Potenzgesetze nutzen musst.

[@JulianWenzel-l6w]

@@MathePeter Die Ergebnisse würden sich doch aber vergrößern, würde ich beispielsweise mit k=20 beginnen, ist das Ergebnis SEHR viel größer, als es sein sollte. Oder sind die Lösungen immer die selben, da man nur auf die Lösungspunkte entlang der Kreislinie gelangt. PS: Vielen Dank für die schnelle Rückmeldung!

[@MathePeter]

Die Lösungen sind immer die selben, weil sich alle Lösungen auf einem Kreis mit dem selben Radius befinden. Der Winkelkabstand von einer Lösung zur nächsten beträgt gerade 2π/n. Darum reichen n aufeinander folgende Zahlen für k, egal welche. Am einfachsten aber du fängst mit k=0 an und addierst dann für die nächsten n-1 Lösungen jeweils nur 2π/n im Winkel dazu.

[@orionnebula3487]

Wie berechne ich das für die Gleichung z^4=-16? Ist der Winkel da immer 0 ohne i Zahl? Muss man hier etwas beachten? Oder was ist wenn mein Winkel eine Rationale Zahl ist?

[@MathePeter]

Von der (komplexen) Zahl -16 ist der Radius 16 und der Winkel π. Also -16 = 16*e^(π*i). Davon ziehst du dann die 4.Wurzel, wie im Video.

[@berkakyuz5618]

Hallo ich hätte kurz frage phi ist ein Winkel zwischen x Achse aber Bsp für z=-i wäre phi negativ aber in Euler e^3/2pi wie kann man phi interpretieren und diese Umwandlung machen

[@MathePeter]

Genau wie du sagst: phi ist der Winkel ausgehend von der x-Achse. z=-i hat den Winkel 3/2*π bzw. -π/2. Das ist beides das selbe. Einmal geht man 270° im mathematisch positiven Uhrzeigersinn und das andere mal 90°im mathematisch negativen Uhrzeigersinn. In jedem Fall landet man bei der selben Position.

[@t.9415]

wirklich richtig gutes video. Aber wenn man zum Beipiel von einer reelen Zahl r die vierte Wurzel zieht, dann kommt ja + oder minus der vierten Wurzel der reelen zahl raus. Warum ist das auch nicht so im Komplexen

[@MathePeter]

Eine vierte Wurzel ist per Definition ein positives Ergebnis. Da kommt nicht ± raus. Genauso ist es auch bei einer zweiten Wurzel.

[@chrisfritsch2158]

Rechnerisch kommt bei 2^(1/4)e^(pi/12) = 1,54 und 2^(1/4)e^(25pi/12) = 827 nicht das gleiche raus (für k=4 als 5. Ergebnis), ist ja auch logisch -> höherer Exponent bei Basis > 1 wird immer größer. Es ist also eine Regel, die wir uns merken ... ? Oder habe ich einen Denkfehler?

[@MathePeter]

Du hast die imaginäre Einheit i im Exponenten vergessen.

[@BoomBoomMove]

Ich: Schalte das Video zur nächsten Vorlesung ein Auch ich nach 5 Minuten: ,,Okay MathePeter, dann leg mal los..."

[@freddybus7755]

Hab bisschen Probleme die Werte für z zu berchnen, wenn man als Ergebnis von z^n nur eine reelle Zahl bekommt, könntest du dazu noch ein Video machen?

[@MathePeter]

Dazu gibts mehrere Videos in meinem Online Kurs "Komplexe Zahlen", den ich unter dem Video verlinkt hab. Wenn z^n = r eine reelle Zahl ist, dann hast du es ziemlich einfach. Der Radius der komplexen Zahl ist r und der Winkel ist 0, also z^n = r*e^(i*0). Jetzt die n-te Wurzel ziehen, also z=r^(1/n) * e^(i*0/n). Das ist die erste Lösung. Jetzt einfach noch (n-1)-mal auf den Winkel 2π/n drauf addieren und du kommst jedes mal zu einer weiteren Lösung.

[@Disser59]

Was mach ich wenn der Realteil 0 ist, dann teile ich ja durch 0 im arccos oder?

[@MathePeter]

Nein, weil der Realteil im Zähler steht. Geteilt wird durch den Radius, der immer positiv ist. Außer im Nullpunkt, aber da ist der Winkel ja auch egal haha.

[@Rnrnr12367]

Hallo Peter, ich hast du vor mal eine Videoreihe zur Tensoralgebra zu machen? Gruß

[@MathePeter]

Ich hab dazu noch nichts geplant, aber wenn irgendwann mal die Zeit ist, dann auf jeden Fall!

[@nilsbehncke1261]

Aus welchem Grund wurde das i nicht berücksichtigt?

[@MathePeter]

An welcher Stelle?

[@nilsbehncke1261]

​​@@MathePeter Alles gut hat sich geklärt! Gibt es eine Möglichkeit Phi ohne Taschenrechner zu berechnen?

[@MathePeter]

Ja es gibt einen sehr einfachen Trick, sich die wichtigsten Funktionswerte zu merken. Schau mal hier: kzbin.info/www/bejne/jKKse6ubg9ZkqdE

[@Jonnyjey]

Könnte mir vielleicht jemand kurz helfen und erklären, warum wenn die komplexe Zahl z1 lösung der Gleichung z2^5 = ia ist, dann die Zahl -([konjugierte] von z1) auch einer lösung ist?

[@MathePeter]

Meinst du in der Gleichung z2^5 = ia mit dem i die imaginäre Einheit und mit a eine beliebige reelle Konstante oder was genau ist damit gemeint? Aufgrund von dem hoch 5 bin ich mir da nämlich nicht so sicher. Der Einheitskreis würde in 5 gleiche Teile zerlegt und dann bleibt (mindestens) eine Lösung über deren komplex konjugiertes keine Lösung ist.

[@Jonnyjey]

@@MathePeter Wow, erstmal danke für die schnelle Antwort. Entschuldige die Verwirrung. Ja genau, Z1 ist eine komplexe Zahl, und Lösung der Gleichung Z^5 = ia, wobei i die imaginäre Einheit ist, und a der imaginärteil (also in Polarform a * e^(i*pi/2). Die Aufgabe lautet nun, welche der möglichkeiten ebenfalls eine Lösung dieser Gleichung ist (also von Z^5=….). Eine Auswahlmöglichkeit war eben das negative der Komplexionjugierten von Z1, also die an der „imaginären“ y-Achse gespiegelte Zahl. Bei Überprüfung mit allen Wurzeln dieser Gleichung sieht man, dass dies tatsächlich die richtige Antwort ist. Mich würde aber interessieren, ob diese negativ komplex konjugierte immer eine Lösung ist (bzw ich weiss dass dies eigentlich nicht der Fall ist), oder ob man das ganze einfach schneller, „logischer“ beantworten könnte, anstatt alle Wurzeln von Z^5 (konkret also noch Z2, Z3, Z4 und Z5) auszurechnen und dann eine Antwort zu finden.

[@MathePeter]

Ah ok ich hab überlesen, dass die Zahl nicht nur komplex konjugiert wird, sondern auch das Vorzeichen geändert wird. Also wie du sagst: An der y-Achse gespiegelt wird. Dann stimmt die Aussage natürlich, weil wir mit der 5-Teilung des Kreises den Startpunkt auf der y-Achse selbst haben. Für diesen Punkt gilt die Aussage. Für die anderen Punkte aber auch, wenn du das mal versuchst aufzumalen. Der Winkelabstand zwischen allen Punkten ist gleich groß. Du gehst also im Winkel gleich weit zu beiden Seiten.

[@Jonnyjey]

@@MathePeter aber gilt diese Aussage auch allgemein, oder nur bei der 5. Wurzel?

[@MathePeter]

Die Aussage sollte gelten wenn für ungerade n die Zahl z^n rein imaginär ist.

[@NoahElRhandour]

Ehre

[@GSandSDS]

Habe mir das Video zur Mathe-Auffrischung nach langer Zeit Mathelosigkeit reingezogen. Gutes Video, aber irgendwie komme ich mit der Gleichsetzung r*e^(i*Phi) = r*e^(i*Phi+2*Pi*k) nicht so ganz klar. Zu Beginn ist es zugegeben harmlos, aber spätestens wenn ich dann auf beiden Seiten die n-te Wurzel ziehe (was man bei einer Gleichung ja können sollte), dann stimmen die rechte und die linke Seite, sobald ich etwas anderes als 0 für k einsetze, nicht mehr überein. Die rechte Seite gibt mir halt alle Lösungen, die linke Seite immer nur stupide die prinzipielle Wurzel.

[@MathePeter]

Das freut mich! Ist auch klar, dass links nur die prinzipielle Wurzel rauskommt. Dafür wird ja erst das +2π*k eingefügt. Die Idee ist ja alle z_k herauszufinden, die die Gleichung erfüllen. Dafür nutzt du z_k = rechte Seite. Den Zwischenschritt betrachtest du nicht weiter, weils dir keinen Mehrwert liefert.

[@mngt02]

Was ist denn eigentlich mit dem "k" passiert?😅

[@MathePeter]

Das k sind die Zahlen 0,1,2,3. Die Indizies von z.

[@oke816]

Ich küss doch dein Herz

[@nikkfz]

Wieso plötzlich arccos es ist doch der arctan!

[@MathePeter]

Hab ich doch im Video erklärt, dass du im rechtwinkligen Dreieck sowohl mit Sinus, Cosinus als auch Tangens arbeiten kannst. Mach doch deine 4 Fallunterscheidungen mit dem arctan. Ich bleibe bei einer knackigen Formel für absolut jeden Fall mit Hilfe vom arccos.

[@rainerhennig8889]

Danke!

[@MathePeter]

Vielen lieben Dank für deine Unterstützung!! 🥰