OLYMPIADE DE MATHÉMATIQUES : 2ⁿ - 2ᵐ = 4080

[@gragsDD5654]

Une autre façon de trouver la solution tout en prouvant l'unicité de celle-ci: On constate que n >= 12 car il faut que 2^n > 4080 Maintenant en prenant n > 12 on peut essayer de minimiser 2^n -2^m pour ça on choisi m=n-1 on a alors: 2^n - 2^(n-1) = 2^(n-1) Or cette fonction est strictement croissante et son premier terme (pour n=13) est 4096 > 4080 Donc pour tout n > 12, quelque soit m < n on a pas de solution. Il reste uniquement n = 12 et on déduit m = 4

[@cathycai]

Oui plus rapide et plus fin comme raisonnement

[@draconsilver]

Je suis embêté parce que je savais que 4096 était une puissance de 2. Du coup 16 aussi et du coup sans raisonner j’avais les bonnes puissances ^^

[@alphacentauri7757]

Pareil pour moi

[@samueljehanno]

Pareil

[@Laggron93]

On est beaucoup dans ce cas, la difficulté était de prouver l'unicité de la solution!

[@Axel_Roffi]

idem pour moi, 4096=4080+ 2^4...et on avait 2^n-2^m+2^4=4096 soit 2^n-2^m=2^12-2^4 donc on avait bien 12 et 4 mais je me demandais si c'était les seules solutions possibles pour n et m

[@florianbasier]

@@Axel_Roffi Pareil. C'est dommage d'ailleurs que @hedacademy ne le mentionne pas. Quand on arrive à 2^m * Ximpair = 4080, la decomposition en facteurs premiers étant unique on a donc 2^m=2^3 et (2^k-1)=3*5*17, ce qui prouve l'unicité je suis d'accord avec toi

[@abdelghanibenabbou2990]

Vous êtes vraiment formidable.... On aime votre façon de traiter les problèmes.

[@Carlos31416]

Je trouve ce mode de résolution très intéressant et élégant. En parlant d'autres chaînes, la chaîne «Multiply divide» a d'autres exercices de ce type, un peu plus relevés, soit en base 2 ou en base 3, ce qui complique les choses, car si vous avez fait de l'informatique les bases 2 ça va tout seul, alors que la base 3...

[@alestane2]

Je vois beaucoup de gens qui disent avoir trouvé les valeurs parce qu'ils ont reconnu 4096 ou autre. C'est bien, vous avez trouvé une solution. Selon la façon dont le problème était posé, ça pouvait suffire ou pas. En tous cas, sans la démonstration, vous pouvez dire que vous avez *une* solution mais vous ne pouvez pas dire que c'est la seule solution possible.

[@papiou3243]

2^n-2^m = 4080 2^n = 4080+2^m A partir de là il suffit de calculer toutes les puissances de 2 jusqu'à un nombre supérieur à 4080. Pour quelqu'un qui s'y connait un peu en informatique, il connait cela : On sait que 1024 est 2^10 (2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024) 2048, 4096 (hop ça y est nous sommes pile au dessus de 4080) Or 4096 = 2^12 = 2^n n=12 4096-4080 = 16 = 2^4 = 2^m m=4

[@dastat7443]

1024, 2048, 4096, 8192, ... Quand on taf dans l'informatique on est habitué à ces puissances là. Je l'ai fait de tête en moins de temps mais l'approche équation est super intéressante. Merci.

[@hmz-25]

Hahahah pareil

[@paolo_mrtt]

Dis toi que j'ai pensé exactement à ton commentaire dans un exercice d'olympiades de maths pour utiliser les nombres binaires, sans quoi j'aurais pas trouvé la solution. Merci ! x)

[@midaway_-]

C’est passionnant moi j’avais pas du tout fait comme sa j’avais fait des test avec 4096 mais maintenant que j’ai vu le raisonnement je réalise que je ne m’y suis pas pris de la bonne manière pour trouver la solution merci

[@kitsune6834]

Yes enfin j'ai trouvé une bonne réponse avant la correction :) Bon j'avoue comme je suis en filière numérique et électronique je connaissais mes puissances de 2. Merci pour ce partage, vous êtes TOP

[@42ArthurDent42]

J'ai envie de parier que tu avais eu l'intuition d'une solution évidente, mais que tu n'as pas cherché à prouver qu'il n'y en avait pas d'autres...

[@kitsune6834]

@@42ArthurDent42 Bah en fait, jsuis électronicien donc j'ai l'habitude des mots binaires... Le 2^10 je connaissais déjà et donc en montant juste deux crans au dessus t'as 2^12 qui fait 4096 et donc pour soustraire 16 je sais que 2^4 = 16. Oui je me suis pas trop cassé la tête 😅😂

[@42ArthurDent42]

@@kitsune6834 Oui, la solution (4,12) est évidente ! l'intérêt de l'exo est de montrer que c'est la seule, et là c'est plus dur !

[@kitsune6834]

@@42ArthurDent42 Exactement si la question c'est montrer que... Jsuis foutu 🥲 mais grâce à ce super prof je pourrais prétendre faire un autre de ce genre 👍.

[@motivationallessons4life]

@@42ArthurDent42tu sais comment on peut demontrer l’unicite

[@cyruschang1904]

2^n - 2^m = 4080 = 8 x 510 = 8 x 2 x 255 = 2^4 x 255 (2^n - 2^m)/2^4 = 255 2^(n - 4) - 2^(m - 4) = 255 On sait que 2^8 = 256 Donc 2^(n - 4) - 2^(m - 4) = 255 = 2^8 - 1 n - 4 = 8 et m - 4 = 0 => n = 12 et m = 4

[@NOAR-uw2jl]

C'est beau! 😘 Je retiens la démonstration. Pas mécontent, je n'ai pas su aller au delà de la formule factorisée avec des puissances inconnues mais le début était bon, restait la logique qui opérait après ☺️

[@fruixfraise7708]

Let's go j'ai mit un commentaire il y a quelques vidéos pour des questions d'olympiades, je sais pas si c'est grâce à ça mais merci ! J'adore la vidéo

[@hedacademy]

Si si je l’avais vu, c’était un petit clin d’œil en plus en le citant. En vrai plusieurs vidéos sont inspirées des olympiades, j’oublie de le mentionner. Mais cette fois-ci grâce à toi j’y ai pensé 😅👍🏼

[@fruixfraise7708]

Merci beaucoup ! On voit que tu lis les retours ça fait plaisir : )

[@jeffh.8251]

super exercice, jour après jour on s'améliore, et on dit MERCI QUI ???? MERCI HEDACADEMY's brothers

[@guypannetier7424]

Magnifique.... Un régal à voir.

[@mohamedkaram8094]

J'ai essayé une methode plutot plus simple pour le resoudre On a : 2ⁿ - 2ᵐ = 4080 J'ai essayé de lister les puissances de 2, et alors a noter que ( 2^12 = 4096 = 4080 + 16 ; et on sait que 2^4 = 16) On aura alors : 2ⁿ = 4080 + 2ᵐ On met : m = 4 Ce qui donnera : 2ⁿ = 4080 + 2^4 = 4096 On déduit alors que : n = 12 Sympa :D

[@elc6927]

Salut j'aimerai savoir si possible tu es en quelle classe ? ( niveau d'etude ) Merci

[@mohamedkaram8094]

@@elc6927 j’ai deja fini mes etudes ( j’ai 25 ans 😁) je suis ingénieur

[@elc6927]

@@mohamedkaram8094 super je te remercie

[@mohamedkaram8094]

@@elc6927 t’as besoin de qlq chose ?

[@elc6927]

@@mohamedkaram8094 Non en fait c'est juste que je suis en spé maths en 1ere et bon je m'en sors avec 14 de moyennes mais je suis super mauvais en maths ... Et étant donné que je veux faire maths expertes l'année prochaine ( puisque je veux aller en PCSI) j'aimerai bien m'améliorer c'est tout. Quand j'ai vu ton commentaire je me suis demandé quel était ton niveau d'étude puisque je n'ai su trouver la réponse...Voilà tout

[@vinceguemat3751]

sinon, tu écrit en binaire le nombre 4080 = 1111 1111 0000 et donc pour obtenir ca a partir de 2 puissances de 2 il faut 1 0000 0000 0000 - 1 0000 soit 2^12 - 2^4

[@MrChompenrage]

Je pense qu'il manque un 1 dans ta décomposition de 4080 et un 0 dans celle de 2^12

[@vinceguemat3751]

@@MrChompenrage oui, probable

[@pascalvaccaro371]

Étant informaticien, je connais très bien mes puissances de 2 alors j'ai fait 4080 = 4096 - 16 = 2^12 - 2^4 mais j'ai bien aimé la solution factorisation !

[@pierreg9898]

Oui c’est une solution triviale mais l’enjeu étant ici de prouver aussi l’unicité de la solution ce qui n’est pas le cas avec votre méthode

[@cofbmaitres1177]

En partant de 2^10=1024, on trouve que 2^12=2²x2^10=4x1024=4096. On trouve alors que 4080=4096-16=2^12-2^4. On peut alors conclure que n=12 et m=4. Voilà, je ne sais pas si c'est assez rigoureux pour un excercice où on doit rédiger, mais ça permet d'aller rapidement à la réponse. La seule limite c'est qu'on n'a pas démontré que ce sont les seules solutions

[@42ArthurDent42]

oui ahah t'as rien prouvé du tout ! t'as juste trouvé une solution évidente ;)

[@nahil1721]

@@42ArthurDent42 dsns cette exo il devait juste trouver m et n donc sa marche en aucun cas c est ecris démontrer

[@matthieuappenzeller9244]

Après n>m => n-1≥m (car n et m entiers) => 2^(n-1)≥2^m => 2^n-2^m≥2^n-2^(n-1)=2^(n-1). On a donc, s'il y a une solution, 2^n≥2^n-2^m=4080≥2^(n-1). Donc n=12 puis m=4.

[@elyesayaida3325]

Moi ayant joué au jeux 2048 je connais quasi toute les puissance de 2. J'ai compris cash que c'était 4096-16 plus qua trouve l'exposant.(2E12 2E4)

[@blurp6206]

pareil bahaha

[@Laggron93]

Attention, la notation "E" renvoie à l'écriture scientifique! 2E12 veut dire 2 x 10^12.

[@samueljehanno]

Pareil mdr

[@elyesayaida3325]

@@Laggron93 à oui mince. C'est juste que je voulais dire exposant.

[@armand4226]

Mais pourquoi vous en revenez tous à ces valeurs 4096 et 16 ? Que viennent elles faire ici ?

[@pascalgallet5931]

Super intéressant Professeur. Amitiés.

[@Truuffe]

Très intéressant 💪💪

[@antoinet1304]

ici un vieux (MPSI 96) j'adore ;) CONTINUE

[@JeanDeLaCroix_]

J'avais réussi en faisait exactement la même chose (factoriser, changer de variable, décomposer en facteurs premiers), mais j'ai pas pensé à séparer pair/impaire, ça fait gagner un peu de temps.

[@chronostone9320]

J'ai une autre méthode: on prend l'écriture binaire de 4080 qui est 111111110000 il y 4 zéros et 8 uns donc 2^4 et 2^12. Et on peut se convaincre que ça marche en essayant avec 2016

[@happystoat99]

Bien vu! Codeur assembleur? :)

[@pureffm]

J'ai fait une solution un peu plus intuitive sans passer par k: 2^n - 2^m - 4080 = 0 2^4 ( 2^(n-4) - 2^(m-4) - 255) = 0 => 2^(n-4) - 2^(n-4) = 255 Comme n> m , m = 4 (impossible d'obtenir un nombre impair sans m-4 = 0, seule une puissance entière de 2 nulle peut créer un nombre impair) Donc 2^(n-4) - 1 = 255 2^(n-4) = 256 => n-4 = 8 < => n = 12

[@druzicka2010]

bon exemple et l'approche pour le résoudre. ça va sans doute m'éclairer sur un calcul de capacité de disque dur...

[@pierrettebalazut9407]

Oui ça m'a plut et en plus j'ai compris. Merci

[@Gkgkf28]

n=12 ,m=4 is also a solution ; 2^n-2^m=4080 2^n-2^m=4096-16 2^n-2^m=4⁶-4² 2^n-2^m=2¹²-2⁴ ;)))

[@MR..mohamedelsayed]

Is it possible to solve this equation [ 3 ^ m - 2^ m = 211 ] using the same steps as solving the equation [ 2 ^ m - 2^ n =4080 ] ? Assuming m is an integer .Of course, the solution, ( m = 5 ) how , is required to solve the steps

[@fanderyosensei9937]

S'il vous plaît je voudrais que vous continuez de traiter les exos olympiade de maths

[@bernardbrinette5388]

J'ai fait une approche un peu différente mais qui tient surement aussi la route. En fait, dans ce cas, 2^n sera toujours la puissance la plus proche juste au dessus du résultat (4080). ça ne peut pas être 2^n-1 car aucune autre puissance de 2 ne pourrait atteindre le résultat, ni 2^n+1. Connaissant 1024 comme 2^10, je savais qu'effectivement 4096 était 4x1024 donc 2^(10+2) = 2^12. Donc n=12, puis la différence entre 4096 et 4080 étant de 16, cela voulait dire m=4, puisque 2^4=16.

[@Laggron93]

Je suis passé par des considérations bien pénibles pour montrer que 2^n - 2^m pour des entiers tels que n>m était compris entre 2^n-1 et 2^n pour prouver l'unicité de n dans une telle équation, pour ensuite déterminer m en connaissant n... Je me suis bien cassé la tête pour rien!

[@romanjoulain7293]

Pour éviter l'intuition sur la puissance de 2 à la fin: 2^k-1 = 255 2^k = 256 kln2=ln(256) k=ln(2*2*2*2*2*2*2*2)/ln2 k= (ln2+ln2+ln2+ln2+ln2+ln2+ln2+ln2)/ln2 k = 8ln2/ln2 k=8 Au moins là un ordi peut le faire

[@patricekoffi4474]

peux t-on utiliser le logarithme à base 2 pour le rapport 2^n/2^m = 2^(n-m) ?

[@rudysoobaroyen3149]

C'est ce que j'ai egalement fait et je me suis avec une valeure de 12.99435 (5 pd) pour n et 11.99435 (5pd) pour m. Je pense que le prof n'a pas precise si les valeurs devaient etre naturelles ou reelles.

[@GileadMaerlyn]

C'était vachement long comme méthode. Perso, ayant une formation d'informaticien, j'ai de suite vu que c'était 4096 - 16 donc 2^12 - 2^4, ça m'a pris 10 secondes xD

[@paperyka8160]

Oui mais le but c'est de trouver toutes les solutions, donc en trouver une par intuition ne suffit pas en maths, il faut aussi montrer qu'il n'y en a pas d'autres !

[@dlep9221]

😁 Idem, même formation, j'ai donc vu tout de suite le 4096-16

[@Srtnn...]

@@paperyka8160 Tu as raison mais dans ce cas précis il était demandé de déterminer LES entiers m et n qui conviennent. Cela sous-entend qu'un seul couple de valeurs convient. 👍

[@herve6525]

@@Srtnn...l'énoncé ne dit pas explicitement qu'il n'existe qu'un seul couple solution ;-)

[@Srtnn...]

@@herve6525 Si si, c'est clairement sous-entendu. Tu fais des maths ? Si oui, alors tu sais que l'utilisation du "le" décrit une unicité. Si non, tu n'as pas ton mot à dire.

[@fanderyosensei9937]

Salut, j'adore vos exercices

[@grouchomarx6156]

J'adore ce type!

[@laurentsoria1528]

Trés joli, et trés stimulant . Bravo

[@raphaelsbr1899]

Très propre merci !

[@YOUSSEFENNACIRI-f5h]

Merci pour l'explication😊

[@sonia.bouzouita]

Trop cool ! J'adore 🤩

[@stefancombski1921]

Moi je savais que 2^12 = 4096. Du coup 4096 - 16 = 4080. Or 16 c'est 2^4. J'ai trouvé le résultat en 15 secondes, mais il fallait connaître les puissances de 2.

[@erramdaniabdellah2984]

Très astucieux. Chapeau!!

[@LouisLeCrack]

très facile surtout oui... extrêmement facile meme

[@z-ryk]

2^x - 2^y = 4080 x > y , donc 2^y (2^(x-y) -1) = 4080 4080 = 4080 x 1 2040 x 2 1020 x 4 510 x 8 255 x 16 au delà de 16, on est sur des nombres décimaux. cas 2^y = 1: y = 0 2^(x-y) -1 = 4080 => 2^(x) = 4081 => Impossible cas 2^y = 2: y = 1 2^(x-y) -1 = 2040 => 2^(x-1) = 2041 => Impossible cas 2^y = 4: y = 2 2^(x-y) -1 = 1020 => 2^(x-2) = 1021 => Impossible cas 2^y = 8: y = 3 2^(x-y) -1 = 510 => 2^(x-y) = 511 => Impossible cas 2^y = 16: y = 4 2^(x-y) - 1 = 255 => 2^(x-4) = 256 => x-4 = 8 => x=12 => (4,12)

[@Ctrl_Alt_Sup]

Quand on baigne dans l'informatique depuis l'enfance, on connaît les puissances de 2 au moins jusqu'à 8192. 4080 évoque de suite 4096 - 16

[@confiance8143]

L'école c'est devenu trop facile à l'heure des nouvelles tech, réseaux sociaux. La seule contrainte c'est désormais de s'assoir et travailler. ❤

[@PADABOUM]

Ma solution favorite, m=4 car 4080 est égal à 255 x 2^4 et n est égal 12 car 2^n > 4800 mais 2^(n-1)

[@Cangske]

Bravo professeur 🙃🙃 En tant qu'informaticien, on a l'œil pour les puissances de 2 (je vois dans les commentaires que beaucoup l'ont vu) et on trouve assez vite les solutions. Mais ta démonstration est juste énorme 😁😁 Par contre, 4080 ou 2016 et pas d'autres, tu nous as pas dit pourquoi 🙃🙃

[@leodew7846]

je pense que sinon il y a plusieurs solutions possibles

[@wildcat1139]

@@leodew7846 Non il n'y a toujours qu'une solution possible, et ça ne fonctionne que pour les nombres qui s'écrivent en binaire 1...10...0

[@leodew7846]

@@wildcat1139 bah pour zero il y a une infinité de solution

[@wildcat1139]

@@leodew7846 La démonstration s'appuie sur n>m

[@francefrance8659]

Je ne suis pas entré pour voir la solution, mais comment avez-vous écrit un numéro de puissance dans le titre

[@eliseeorega6146]

Pour trouver k on pouvait faire les ln aussi 2exposant k -1=255 2exposant k=254 Kln2=ln254 K=ln254/ln2 K environ 7,9 K =8 😊

[@zzk501]

Bsahtek khouya

[@patricekoffi4474]

peux t-on utiliser le logarithme à base 2 ?

[@Shyynz]

La méthode est élégante mais ne faudrait-il pas montrer pour commencer que le couple {n,m} est unique ?

[@CharlesProspèreBahati]

Merci professeur

[@marcelnoguerol5040]

Plus simple : 4096 -16 = 4080 donc (2puissance12 - 2puissance4) soit n=12 et m=4

[@ngagne7760]

En utilisant la fonction ln , on trouve n = 12 et m = 0 ou m = 12 et n = 0

[@GillesF31]

En informatique on sait que 4096 est 2^12 (sur la base du fondamental 2^10 = 1024) et comme 4096 - 4080 = 16 donc = 2^4. En conséquence et en conclusion: 2^12 - 2^4 = 4096 - 16 = 4080. A propos, savez-vous pourquoi une pâtisserie bien connue porte le nom de "mille-feuilles" ? Parce la pâte, avant cuisson, est pliée 10 fois (étirée et pliée 10 fois) selon la recette et que 2^10 = 1024 ... sauf qu'en cuisine on "arrondit" un peu (1024 devenant 1000). 🙂

[@martin.68]

Pour le mille-feuilles l'explication semble alléchante mais comme souvent dans ces cas là personne ne va vérifier si c'est effectivement juste , sauf moi bien sûr 😉 Alors en réalité il n'y a pas 10 pliages mais 6 dans la majorité des cas, ensuite ce ne sont pas des pliages en deux. Mille est symbolique, c'est juste pour désigner un grand nombre. Comme dans mille-pattes par exemple.

[@mustaphaelmarkahi6511]

Si on connait les premières puissances de 2... 2^10=1024, 2^11=2048, 2^12=4096 4096 = 4080 + 16 2^12 = 4080 + 2^4 4080 = 2^12 - 2^4.

[@davidpasgoliath2673]

en 3 sec dans ma tete : 4096 est une puissance de 2 ( en informatique on le sait ) du coup 4096 -4080 = 16 => 2m=16 => m=4 et 2n=4096 => n=12

[@ronanb3]

On a trouvé 2 entiers qui fonctionnent. Peut-on démontrer que ce sont les seuls ?

[@PADABOUM]

Oui, très facilement. Cf mes autres commentaires

[@christophedidier6758]

Preums! 2^12=4096, 2^4=16, 4096-16=4080 le compte est bon Laurent ! 😅 bon ayant fait un peu de programmation quand j’étais jeune je me souvient de quelques puissances de 2 donc je l’ai vu tout de suite… toutes les routes mènent à Rome !

[@nid7819]

Tu ne réponds pas à la question, tu montres juste que le couple (12,4) est solution de l’equation

[@christophedidier6758]

@@nid7819 bah… si! D’après le théorème de l’homme fainéant… si j’ai une solution… bah c’est bon j’ai trouvé ! Non ?

[@leodew7846]

vu la taille du nombre je me suit dit de la première puissance de 2 serait inférieur à 15 et la deuxième beaucoup plus petite puis après juste chercher la puissance la plus proche donc 12 pour 4096 et donc 16 d'écart soit 2^4

[@maxilou8670]

J'ai procédé de la même manière, beaucoup plus simple qu'une factorisation avec un changement de variable ... Très bel exercice !

[@jige1225]

@@maxilou8670 OK, maintenant, faites pareil en base 3, 7, 13, 61, ...

[@42ArthurDent42]

Je suis un abruti ahaha ! 1 - j'avais la solution évidente (4,12) 2 - du coup j'ai réécrit 2^n-n^m = 2^12 - 2^4 3 - j'ai factorisé : 2^m(2^n-m - 1) = 2^4(2^8-1) 4 - je suis passé en log 2 : m + lb (2^n-m - 1) = 4 + lb ((2^8-1)) 5 - j'ai converti la différence de log en ratio de log : m-4 = log2 ((2^8-1) / ((2^n-m - 1) ) 6 - m-4 est entier, donc le log2 est un entier, donc l'intérieur est une puissance de 2 7 - posons k l'entier en question 8 - si k = 0 alors n-m = 8 et m-4 = 0 => on retombe sur les solutions triviales 9 - si k >0 alors je suis passé en modulo 2 pour trouver une absurdité après de très longs calculs. 10 - putain ça peut pas être aussi compliqué... 11 - je regarde la soluce 12 - Conclusion : je suis un abruti :D

[@h.younous3290]

🤣🤣🤣🤣

[@Srtnn...]

Pourquoi te casser la tête si tu avais déjà la solution ? 😆

[@42ArthurDent42]

@@Srtnn... J'avais UNE solution, différence... Il se trouve qu'elle était unique, mais ce n'est pas évident, c'est justement le but de l'exercice de le démontrer... Tu es niveau lycée ? à ton niveau c'est assez rare qu'un problème ait plusieurs solutions, mais plus tard tu verras des problème sans solutions ou avec une infinité... Si je te dis "donne moi les entiers m et n tels que m^3+n^3 = 27", tu me réponds quoi ?

[@Srtnn...]

@@42ArthurDent42 Mais quelle condescendance... Je suis en deuxième année de prépa. L'enoncé est clair et sous entend qu'il n'y a qu'un couple de valeur qui est solution.

[@Srtnn...]

@@42ArthurDent42 Énoncé faux.

[@caribou2073]

Avis à tous les informaticiens : y'a pas que vous qui connaissez les puissances de 2...

[@esunisen3862]

Sans doute mais si ça avait été des puissances de 3 on aurait pas su xD

[@ladypacmon]

Pour moi ce fut une évidence, je connais par coeur les puissances de 2 jusqu'à 2^13 xD

[@PADABOUM]

Moi je suis toute de suite allé au racine de 4080 jusqu à trouver un nombre impair(255x4x4 ou 2^4) donc m-4 est égal à 0 pour que 2^(m-4) soit égal à 1 Après il reste jute le calcul pour n

[@rafaell-t4762]

Je suis partis sur un autre raisonnement : On a 2^n -2^m = 4080, Or en décomposant 4080 on trouve que 4080= 2^12 - 16 = 2^12 - 2^4. D’où : 2^n -2^m = 2^12 - 2^4. Donc à partir du moment où on part du principe que n et m n’ont qu’une solution possible alors n=12 et m=4.

[@alain9337]

On cherche tout de suite une puissance de 2 >4080, on trouve immédiatement 4096 Donc 4096-16=4080

[@rayanpgc]

il faut que vous deveniez prof

[@rekiaouhaji4776]

ادن المعادلة الصخيحة هي 2-2= 0 ولاكن لكي نخصل على 4080 يجب تحديد حجم نانومتر و متر

[@thierryf2789]

Pour moi: 2 m est plus petit que la moitié de 2 n. 2 n = 4080+ 2 m et ne peut qu’être égal à 4096 donc n= 12 et m= 4

[@AHMDZ696]

C'est beau, astucieux

[@jean-francoisrouland1686]

bonjour, moi aussi je suis passé par 4096 - 16; Est-ce que c'est valide comme raisonnement ?

[@thierryf2789]

Non, car il faut montrer que c’est la seule solution doti être plus grand que 11 et plus petit que 13 car 2^m est I forcément plus petit que la moitié de n

[@VincentCama]

Réponse de chatGPT, c'est bien partie mais après ... Pour résoudre cette équation, il est utile de remarquer que 2^n - 2^m peut aussi s'écrire comme 2^n - 2^m = 2^m (2^(n-m) - 1). Cette forme de l'équation nous permet de voir que 2^(n-m) doit être égal à 41, car 2^(n-m) - 1 = 4080. Nous pouvons maintenant résoudre cette équation en utilisant la propriété suivante : si a et b sont des entiers positifs tels que a^b = c, alors a = c^(1/b). En utilisant cette propriété, nous pouvons écrire 2^(n-m) = 41 comme 2^(n-m) = (41)^(1/(n-m)). Nous savons que 41 est un nombre premier, donc la seule façon pour qu'il soit égal à une puissance de 2 est qu'il soit égal à 2^5. Cela signifie que n-m doit être égal à 5. Nous ne savons pas encore la valeur de n et m, mais nous savons que n-m = 5. Nous pouvons maintenant résoudre cette équation en utilisant la propriété suivante : si a et b sont des entiers positifs tels que a + b = c, alors a = c - b et b = c - a. En utilisant cette propriété, nous pouvons écrire n-m = 5 comme n = 5 + m et m = 5 + n. Nous pouvons maintenant utiliser ces équations pour trouver les valeurs de n et m. Par exemple, si n = 5 + m, alors m = n - 5. Si n = 10, alors m = 5. Si n = 15, alors m = 10. Etc. En résumé, pour que 2^n - 2^m = 4080, il faut que n-m = 5 et que n et m soient des entiers positifs. Plusieurs valeurs de n et m peuvent satisfaire ces conditions, par exemple (n,m) = (10,5), (15,10), (20,15), etc.

[@VincentCama]

En lui disant qu'il fait une erreur, c'est mieux, mais pas encore ça : Vous avez raison, 2^5 n'est pas égal à 41. J'ai mal interprété l'équation 2^n - 2^m = 4080 dans ma dernière réponse en utilisant la propriété qui permet de trouver la valeur de a lorsque nous connaissons la valeur de c et de b. Pour résoudre l'équation 2^n - 2^m = 4080, nous devons utiliser une autre approche. Une façon de résoudre cette équation est de remarquer que 2^n - 2^m = (2^m)(2^(n-m) - 1). Si nous connaissons la valeur de n-m, alors nous pouvons trouver la valeur de 2^(n-m) en divisant 4080 par 2^m. En utilisant cette approche, nous pouvons trouver que les valeurs de n et m qui satisfont l'équation 2^n - 2^m = 4080 sont (n,m) = (12,4), (17,9), (22,14), etc. Si n = 12 et m = 4, alors 2^n - 2^m = 2^12 - 2^4 = 4096 - 16 = 4080, ce qui montre que ces valeurs de n et m satisfont bien l'équation. Je suis désolé pour les erreurs que j'ai commises dans mes réponses précédentes. Si vous avez d'autres questions, n'hésitez pas à me les poser. Je ferai de mon mieux pour vous aider.

[@VincentCama]

et finalement : Vous avez raison, il n'y a que (n,m) = (12,4) comme solution de l'équation 2^n - 2^m = 4080. Si n = 12 et m = 4, alors 2^n - 2^m = 2^12 - 2^4 = 4096 - 16 = 4080, ce qui montre que ces valeurs de n et m satisfont bien l'équation. Dans ma dernière réponse, j'ai indiqué que les valeurs de n et m qui satisfont l'équation 2^n - 2^m = 4080 sont (n,m) = (12,4), (17,9), (22,14), etc. Cette information était erronée, car seules les valeurs (n,m) = (12,4) satisfont l'équation. Je suis désolé pour cette erreur et pour toutes les erreurs que j'ai commises dans mes réponses précédentes. Si vous avez d'autres questions, n'hésitez pas à me les poser. Je ferai de mon mieux pour vous aider. @hedacademy tu ne sera pas encore au chômage !

[@42ArthurDent42]

@@VincentCama waouh, super test pour gpt4 je vais essayer ça sur d'autres trucs rigolos !

[@djalikaassiabassande9689]

Merci beaucoup

[@happystoat99]

Il n'y aurait pas moyen de résooudre ça avec des logarithmes?

[@michellepivert3964]

Je mets au propre ma solution : 2n - 2m = 4080 n supérieur à m je pose n = k + m on a 2 ( 2k+m-1 - 2m-1 ) = 4080 et le tableau (2k+m-1) - (2m-1) = 2040 (2k+m-2) - (2m-2) = 1020 (2k+m-3) - (2m-3) = 510 (2k+m-4) - (2m-4) = 255 le premier membre étant pair , le deuxième membre doit être impair seul 2 puissance 0 est impair et égal à 1 m = 4 , 2 puissance k = 256 k=8 solution claire qui met en évidence l'unicité du résultat

[@michellepivert3964]

dans sa démonstration le prof part de l'hypothèse que tout le monde connaît 2 puissance 10 = 1024 , l'ai-je su je n'en ai pas mémoire cependant que je retiens encore pi, racines de 2 , 3 , e , les identités remarquables , sinus carré X + cosinus carré X = 1 sinus 2a = 2sinus a cosinus a , etc.... en revanche 8 X 8 = 64 = 2 puissance 6 128 et 256 m'arrivent immédiatement, c'est plus facile de multiplier à partir de 2 plutôt que diviser depuis 1024 prétendu connu !

[@michellepivert3964]

ce que j'apprécie avec cette solution est qu'à aucun moment elle ne nécessite la transformation de 2n - 2m en un produit de facteurs opération délicate le plus souvent .

[@michellepivert3964]

par ailleurs vous ne serez pas surpris d'apprendre que : 255 = 2 p8 - 2p0 , 510 = 2p9 - 2p1 , 1020 = 2p10 - 2p2 , 2040 = 2p11 - 2p3 , 4080 = 2p12 - 2p4 à méditer !

[@jean-alexandrecamus8807]

Merci le jeu 2048 qui me rappelle a chaque fois les puissance de deux ... Grâce à ça je sait que 4096 est égal à 2^12 après le reste coule tout seul

[@Christian_Martel]

Exactement ce que je me suis dit. 😂 je suis arrivé rapidement à la réponse, car je trouvais que 4080 était plutôt proche de 4096. 😂

[@mikaelderetour1933]

J’ai fait un raccourci parce que je connais les 1ere puissance de 2 , et 4080 très proche de 4096. Puis 4096-4080 = 16, une autre puissance de 2…. C’est un peu tricher mais ça marche. Pour des puissances de 3 c’était un autre problème…

[@vinuxcyldrik]

Vous n'avez pas explicité la raison du fait que ça ne fonctionne pas avec tous les nombres (même si ça se voyait). Dans votre démonstration, le nombre impair doit être forcément de la forme 2^k - 1, donc des nombres comme 1, 3, 15, 31 .... 255, 511, 1023, 2047 ... etc qu'on multiplie donc par une puissance de 2. Et de cette manière, il est impossible d'obtenir tous les nombres entiers. On est donc forcément limité dans le choix (même s'il y en a une infinité, évidemment) J'ai eu un raisonnement moins matheux et plus instinctif : on est en train de parler d'une différence de puissance de 2. Donc on doit forcément partir d'une puissance de 2 plus grande que le résultat, qui nous donne n, et la différence avec ce résultat devra forcément être une puissance de 2 qui nous donnera la valeur de m (si ce n'est pas une puissance de 2, c'est que le nombre a été mal choisi. C'est aussi une autre façon de voir que tous les nombres ne fonctionne pas) le repaire 2^10=1024 est très utile effectivement, donc on remarque que 1024 * 2^2 = 2^12 = 4096 est très proche du résultat, et la différence vaut 16 qui vaut 2^4, et on a nos 2 valeurs.

[@quentinlardeau2867]

Perso j'ai résonné différent, j'ai remarqué que le nombre final était 0 donc que le dernier chiffre des résultat des exposants sont les mêmes et que en connaissant les puissances de 2 j'ai pue rapidement trouver n et m

[@Pima546]

4080 J'ai tout de suite vu que c'était 4096 - 16 et du coup 2^12 - 2^4 n=12 m=4

[@ghalimalek2444]

avec toute respect, mais on fait toujours la meme bétise a propos les eq d'égalité : chaque eq d'égalité se compose de 2 bornes (borne 1 = borne 2). la majorité des mathématitiens moyen commencent par le borne 1, malgré que le commencement par la 2eme borne est plus facile. dans notre cad, au lieu de commencer par transformer 2*n - 2*m en multiplication, mieu de transformer 4080 en soustraction . 4080=4096-16 = 2*12 - 2*4. et ç'est fini

[@quentin1982]

Difficile sans avoir la technique mais mathématiquement c’est faisable pour beaucoup de monde

[@chihiroetledragonmythique9404]

Excellent.

[@befreedv6]

c'est de cette façon que j'ai trouvé aussi - du même genre quel est le nombre dont la racine carrée et la racine cubique diffère de 18 ? avec un raisonnement analogue on peut trouver facilement

[@corenthinoillic44]

Ça revient à résoudre x^3-x^2=18 Du coup la réponse est 3

[@quentind1924]

@@corenthinoillic44 Tu as mal compris la question. C’est la racine carrée et la racine cubique. Pas le carré et le cube

[@corazon540]

meilleur prof ever c bon ?

[@taorgourgas5705]

J'ai pas compris d'où vient le - 1

[@pevenlaid]

Merde

[@esunisen3862]

Je l'ai fait en genre 10 secondes sans rien démontrer juste en connaissant les puissances de 2 par coeur ^^ 4080 = 4096 - 16

[@nicolaschung916]

Etrange je trouve ça un peu simple pour un exo d'Olympiades, non ?

[@RegisMichelLeclerc]

des puissances de 2... c'est du binaire, c'est facile: 4080, c'est 4096 ("4K" = 2^12) -16 (2^4), ça saute aux yeux et ça ne demande ni conversion ni calcul. C'est plus drôle avec d'autres nombres premiers que 2 (par exemple 11 ou 13, c'est rigolo), ça marche pareil. Maintenant, la question marrante, c'est comment trouver "a" dans "a^12 - a^4 = 4080"?

[@yvescarminati7805]

Sans doute pas exemplaire mais bcp plus rapide: 4080 = 4096 - 16 = 2^12 - 2^4, d'où n=12 et m=4

[@feandil666]

quand on programme et qu'on connait les puissances de 2 on voit tout de suite que 4080 = 4096 - 16, donc 2^9 - 2^4 = 4080. mais par contre comment on prouve que c'est la seule solution?

[@Tharkun35]

2^12 - 2^4

[@PADABOUM]

Soit en développant jusqu a 255 et donc démontre que m-4 =0 ou sinon on peut trouver le minimum et le maximum, il faut que 2^n >4080 et que 2^(n-1)

[@mustaphakhezami7213]

4080= 4096-16= 2^12 - 2^4 d'où n =12 et m= 4

[@reguedebulle]

La méthode que tu utilises pour trouver les diviseurs communs je la deteste aussi Je m'y attendais pas du tout, je pensais être seul dans ce cas Pour moi elle occulte toute objectivité; elle casse le rythme du raisonnement qu'on avait jusque là, et du coup elle me rend mal à l'aise

[@samyichalalen411]

C olympiades collège ça nn ?

[@michellepivert3964]

bonjour, je vous propose ma solution : 2 n - 2m 4080 on a n supérieur à m , je pose n = k + m et j'écris 2 ( 2k+m-1 - 2m-1 ) = 4080 en procédant par mises en facteur 2 j'arrive à 2k+m-5 - 2m-5 = 255 le premier membre étant pair , 2m-5 est impair la seule solution m = 5 2m-5 = 1 2k = 256 k = 8 un gâteau pour mes 80 ans ( j'ai dit gâteau, pas gâteux )

[@michellepivert3964]

je termine avec n = k + m = 13

[@michellepivert3964]

j'ai refait les calculs avec la même méthode mais j'avais loupé une réduction ma dernière équation est (2k+m - 4 ) - (2m-4 ) = 255 on a toujours 2k = 256 k = 8 mais m = 4 dans l'euphorie d'avoir la bonne méthode j'ai été trop rapide dans les calculs donc m = 4 et n = 12 et 4096 - 16 = 4080

[@michellepivert3964]

j'aurais pu me dispenser d'écrire les calculs puisque ma première réduction s'effectue avec le coefficient -1 et donc la 4ème avec -4 qui donne 255 mais ces améliorations se découvrent après analyse .

[@erwann2000]

Étant informaticien, j'ai tout de suite compris que c'était 4096-16. Comme quoi les math ça sert tous les jours

[@fueg31]

exact, en temps qu’électronicien, j'ai vu tout de suite le 4096, donc evident.

[@armand4226]

4096-16, et alors ? Où est-il question de ces valeurs dans la vidéo ? Les résultats sont 4 et 12.

[@fueg31]

@@armand4226 , non, les résultats sont 12 et 4. (je me mets à ton niveau hein...)

[@armand4226]

@@fueg31 Merci con..ard. 😡

[@fueg31]

@@armand4226 dire que t'as cru un instant venir relever le niveau ...

[@Seyrox-oo4qi]

Je n'ai pas compris la partie de factorisation avant qu'on change par k