Определенный интеграл от бесконечного произведения дробей

[@AlexeyEvpalov]

Красивый способ нахождения интеграла. Большое спасибо.

[@dmitryramonov8902]

Прикольно, прямо телескопическое произведение какое-то.

[@constantine6052]

Интересно, что I_n можно взять аналитически и в общем виде, для произвольного n. Подынтегральная функция в I_n рациональная (1 - x) / (1 - x^2^n), а значит, раскладывается в сумму слагаемых вида b[k] / (x - a[k]) -- это стандартный метод для рациональных функций. Причем a[k] -- это корни полинома в знаменателе A(x) = 1 - x^(2^n), т.е. комплексные корни из единицы. А чтобы найти b[k], можно применить к числителю B(x) = 1 - x интерполяционную формулу Лагранжа (и не нужен никакой метод неопределённых коэффициентов!), взяв в качестве узлов a[k]. Согласно ей, b[k] = (1 - a[k]) / A'(a[k]) Дальше уже дело техники. Благодаря тому, что полином в знаменателе такой простой, выражения получаются вовсе не монструозные. И кстати, интерполяция по узлам вида "корень из 1" -- один из способов смотреть на дискретное преобразование Фурье. Так что ваши графики в конце фактически иллюстрируют сходимость ряда Фурье (только, возможно, с некоторой заменой переменных). Замечательно!

[@Archik4]

В уме это решил посмотрев на превью.

[@anvarhasanov8181]

Какую программу используете для построения графиков ?

[@Hmath]

desmos, geogebra

[@АлексейШубин-н8й]

Привет! Можно такой int (1/(x^5+a^5))dx вычислить?. На ютубе нет таких.

[@Hmath]

привет. если нужно именно ответ, то можно же его в какой-нибудь программе найти. я сейчас посмотрел: для неопределенного интеграла получается огромное выражение, а это значит, что там куча рутинных операций, такое видео никто не будет досматривать. несобственный интеграл вида 1/(x^5+a^5) с пределами от 0 до бесконечности сделаю когда-нибудь - для него есть интересные способы решения :)

[@АлексейШубин-н8й]

@@Hmath да не, вычислений там столько же, сколько и в интегралах вида, ну чуть больше 1/(x^3+1), x^4, x^6 - А этих полно на англояз. Мат каналах, а этот не делают). Думаю можно и более сложные и интересные задачи показывать.

[@Hmath]

www.wolframalpha.com/input/?i=integral+1%2F%281%2Bx%5E5%29 ну тут куча корней как бы намекает, что там не очень красивые вычисления :)

[@Abraxax]

@@АлексейШубин-н8й так а что в нем сложного? Типичный стандартный интеграл с рутинными преобразованиями. Раскрываешь на скобки на два квадратных и линейное и по методу Неопр. Коэффициентов - классика жанра

[@Mario_Altare]

Матемагика 😀

[@VSU_vitebsk]

покажу студентам на занятии для расширения кругозора

[@СветланаМещерякова-о3х]

Почему предел от определённого интеграла так и не был взят? Частичная последовательность интегралов не была использована! Вы брали интеграл от предела частичного произведения. Эти тонкости упущены.

[@Hmath]

да, у меня много тонкостей упущено в каждом ролике. Всегда будет компромисс между количеством деталей и длиной видео. Я никогда не претендовал на исчерпывающее изложение.