Найдем интеграл через дифференциальное уравнение!

В этом видео будем находить несобственный интеграл от cos(x)*sin(x)/(x*(1+x^2)), используя для этого дифференциальное уравнение.
В этом видео найден интеграл от sin(a*x)/x: • Интеграл Дирихле: sin x/x
Здесь найден интеграл от cos(x)/(1+x^2) через вычеты: • Несобственный интеграл...
Здесь рассмотрен алгоритм решения однородных линейных диф. уравнений с постоянными коэффициентами: • Однородное линейное ди...
Если у вас есть возможность, поддержите канал материально,
карта Тинькофф: 5536 9140 7597 3911

[@AC-we9oq]

Смотрел как детектив: все действующие лица прописаны, обстоятельства и мотивы указаны, порядок их взаимодействия известен. В финале, мисс Марпл называет имя.

[@AlexeyEvpalov]

Оригинальный подход. Красивое решение. Большое спасибо за полезное видео.

[@VSU_vitebsk]

Диффурщики оценят. Автор - большой молодец!

[@user-dr2mz1sm8e]

Красивая задача и изящное решение. Как всегда - браво автору!

[@user-kk3el1mj7k]

Замечательно!

[@user-cz5vq3lx3s]

Здорово, очень четко и красиво. Успехов и всяческого благополучия.

[@SHIZ584]

Спасибо!

[@nikitaorel7444]

Как всегда великолепно!!!

[@canis_mjr]

Оригинальный подход. У меня сразу возникло желание найти все интегралы школьными методами))

[@user-bd6yf9ds9k]

спасибо за оригинальное решение!

[@rizvanwamxalov2264]

Спосибо, интересно

[@timurkash]

Круто! Оригинально! Даже не знаешь чем это все закончится! А ответ получается изящным и более общим!!! Слава производным!

[@user-wl7jo5sv6v]

Не математик, химик, но красиво, красиво

[@vladislavziyangulov7490]

Трансформацией Лапласа тоже довольно интересно выходит: L{y} = π/2 × 1/(s(s+1)) y = π/2 × (1 - e^(-t))

[@Hmath]

да, до преобразования Лапласа, надеюсь, когда-нибудь дойду :)

[@qwertmix111333]

Спасибо за видео. Есть информация о сумме ряда 1/n^n?

[@Hmath]

есть. она равна интегралу :) kzbin.info/www/bejne/eYK9nKSvg6akbtE

[@KonstantinDx]

Интересный метод, впервые вижу. А есть какой-то способ углядывать подобные трюки в других интегралах? Интуитивно кажется, что множество таких функций не очень большое

[@Hmath]

мне кажется, только опытным путем можно понять где подходит, а где нет :)

[@user-uw5dh6oh9y]

Можно было остановиться на первой производной по t - там получается интеграл Лапласа с косинусом, который мы уже знаем

[@user-xk6ih8qs1m]

Никогда не понимал, почему в интегралах, сожержащих тригонометрию, выплывает экспонента. С появлением π я ещё смирился. Почти смирился😊 а с е... Еще нет. Чудеса сплошные!

[@wanterism]

А это функция где-то используется(физика, например)? Обычно такие функции с нестандартным решением являются важными.

[@user-gv5zh5jv9m]

Да примерно такие интегралы в оптике постоянно вылезают

[@petr_duduck]

А можно было через вычеты пойти, тоже бы вышло

[@barackobama2910]

А вопрос можно? Точку 0,0 обойти сверху по окружности (интеграл по ней стремится к нулю при уменьшении радиуса) а дальше простой вычет первого порядка, не ?

[@Hmath]

прикреплена в описании ссылка на видео, где использовался такой метод. Здесь рассмотрен другой. Ну а так, если не доказывать, что интегралы по дуге стремятся к нулю, то тоже быстро. А если доказывать, то уже нет :)

[@snackky3247]

Решение красивое, но всё-таки для перестановки производной и интеграла нужно показать равномерную сходимость интеграла, а то это далеко не всегда может сработать. Автор конечно обратил внимание, что делал это нестрого, но доказать можно было, не выглядит как что-то слишком сложное

[@MinecraftForever_l]

Улыбнуло при переходе к диффуру)

[@canis_mjr]

Неопределенный интеграл можно найти таким способом?

[@Hmath]

нет. Но если можно найти от функции неопределенный интеграл, то и мудрить ничего не нужно :)

[@user-yl4xi3ce7x]

Где вы такие задачи берёте?

[@Hmath]

Есть справочники интегралов :)

[@andreybird6269]

А когда можно применять трюк Феймана? Когда я пытался найти им интеграл Дирехле на всей прямой, ничего не находилось. Какие именно условия для его использования?

[@Hmath]

по крайней мере интеграл должен сходиться (и после дифференцирования тоже). А так почитайте подробнее в книгах по мат. анализу. например: Фихтенгольц Г.М. - Курс дифференциального и интегрального исчисления (т. 2), стр. 712 Смирнов В.И. - Курс высшей математики (том II) стр. 252

[@user-xk2vb8qv3m]

а как так после дифференцирования интеграл расходится? ну то-есть, если трижды возьмем производную итоговой функции, мы что, получим конечное значение для расходящегося интеграла? я так понимаю нет. так в чем прикол?

[@Hmath]

если возьмем 3ую производную, полученный интеграл будет расходится, для него не должно получится конечного значения. Не в любом случае можно переставлять дифференцирование по параметру и интеграл. Если был сходящийся интеграл, а после дифференцирования - расходящийся, значит очевидно нельзя было так делать :) По хорошему, есть критерии, которые гарантируют, что можно дифференцировать и их нужно проверять, я это опустил :)

[@user-xk2vb8qv3m]

@@Hmath это я понимаю да. но меня смутило что раз функция итоговая выражается через значение интеграла (между интегралом и функцией можно равенство установить) то беря производную от самой функции, мы должны в теории получить и значение интеграла, что и происходит для первых двух производных. но вот на третьей это уже не работает вдруг

[@user-xk2vb8qv3m]

@@Hmath или тут как с рядами, типо значения совпадают только в некоторой области, а тут до 3 производной?

[@Hmath]

да, совпадает. пока интеграл сходится. С рядами так же ведь: можно их дифференцировать почленно, но не всегда. В какой-то момент может получится расходящийся ряд. Т.е равенство справедливо, пока сходится ряд (или тут интеграл)

[@user-xk2vb8qv3m]

@@Hmath спасибо за ответ!!

[@user-tf1pp2lg8w]

Какой смысл в этих решениях если всё это делает компьютер за пару секунд

[@Hmath]

можно написать еще более универсальный комментарий: "какой смысл делать то, что вы делаете, если кто-то другой (здесь можете вставить: человек, машина, компьютер) это сделает лучше?" обязательно пишите подобный комментарий на любом канале и под любым видео!

[@canis_mjr]

Компьютер за пару секунд аналитически вычисляет такой интеграл? Компьютер может вычислить аналитически интеграл, под интегральная функция которого не имеет первообразной?

[@Hmath]

www.wolframalpha.com/input?i=integral+cos%28x%29*sin%28x%29%2F%28x*%28x%5E2%2B1%29%29+from+0+to+inf вообще, конечно, может. Но видео не о том, кто и что может быстрее :)

[@canis_mjr]

@@Hmath этот результат проверять как? Я использую вольфрам как раз для проверки. Сам же часто сталкиваюсь с тем, что матлаб, например, тупо не верно проводит численное интегрирование. Все математические алгоритмы приходится реализовывать вручную. Особенно доставляют блоки преобразование кватернионов/поворотов в симулинке, поэтому реализовал всё самостоятельно.

[@NikitaBotnakov]

А какой смысл вам писать этот комментарий, если есть тысячи комментаторов, которые пишут значительно быстрее и толковее? Какой смысл в популярных видео искать принципиально новые интегралы, место которым в научных статьях? Зачем в школе учат классической механике вместо того, чтобы сразу обсуждать открытые вопросы теории относительности? И главный вопрос: где логика?:)