Интеграл с золотым сечением и красивым ответом

[@АминАббасов-ц5ь]

Гениально. Но меня больше поражает то, как придумываются такие красивые задачи!

[@AlexeyEvpalov]

Красивая замена, оригинальное решение. Большое Спасибо за видео.

[@anseltisnightmare]

замена совершенно стандартная из дифференциального бинома (трерий случай)

[@Sensibler2019]

Не даром золотое сечение воспевают с древних времён. Интересная задача и не менее интересное решение. Спасибо.

[@Hmath]

"золотое сечение" попадается в необычных местах, но всё равно не так часто, как, например, пи :) так что, мне кажется, его значимость скорее переоценена

[@Sensibler2019]

​ @Hmath Дифирамбы там в основном пели товарищи от искусства - эстетика и всё такое. Руки математиков до фи добрались позже. Выявили основные свойства и успокоились, а художники, архитекторы и иже с ними так и продолжили "удивляться" и "удивлять" :))

[@VSU_vitebsk]

Математическая магия. Все, что связано с золотым сечением, очень красиво

[@vovatereshkin3080]

Лучшие ролики по математике. Но к золотому сечению у меня особое отношение. Подписался в честь юбилейного просмотра 1618. Факт золотого сечения я нашел (и доказал) в пятифазной электромеханической системе. Вроде бы нащупал "портал" в многомерность. Проекции векторов дискретных состояний, например, пятифазной электромеханической системы совпадают с проекциями на плоскость вершин "пяти-куба". Отсылаю некоторые ролики профессионалам-математикам. Хвалят!

[@АлександрИванов-ф1э3я]

Очень красиво. Смотрел не отрываясь. Большое спасибо за Ваш труд

[@kedrjack4649]

Классные ролики, было бы классно рассмотреть поподробнее тему "неберущихся интегралов", а именно доказательство этого их свойства.

[@Hmath]

доказать то, что интеграл не выражается через элементарные функции я не смогу :) если бы и мог, то вряд ли стал делать такое видео - это математика другого порядка сложности, и на нее уже не найдется совсем зрителей :)

[@dmitryramonov8902]

@@Hmath есть теорема Лиувилля, типа, если функция раскладывается на линейную комбинацию комплексных (видимо) логарифмов, то интеграл берущийся. В инете есть и примеры.

[@Hmath]

да, меня уже как-то про это спрашивали и я посмотрел в википедии :) но сам не пытался разбираться

[@j.matnazarovdarslar5959]

Прелесть. Надо же до такого додуматься

[@rshkar1999]

Какова должна быть логика рассуждений, чтобы найти такую удачную замену?

[@Hmath]

такую же замену я бы стал делать и при любой другой степени в интегралах такого вида (не только при степени фи, как здесь). Но для других степеней все закончилось бы гамма-функциями :) оттуда и растут "ноги": придуманы методы преобразования некоторых типов интегралов, при которых они ведут к "стандартным" функциям.

[@ІгорСапунов]

можно увидев 1+х^a попробовать соорудить замену на тангенс или "шинус". Я действовал через тангенс и через две замены получил тот же ответ

[@anime_erotika585]

"Очевидно что" и "После простейших преобразований"

[@higenharinson9207]

Если я не ошибаюсь, этот интеграл более менее можно приплести к разряду "интеграл от дифференциального бинома"

[@АлександерЧеркасов-я9д]

Просто очень КРАСИВО!!!🎉🎉🎉 однозначно лайк!!! А подписку я уже оформил! Канал отличный!

[@ilyaf1040]

Отличный канал!

[@АлександрСергеевич-й8х6х]

Просто изумительно. Поздравляю!

[@ОлегП-е9г]

Как же красиво.

[@nataliakondratyeva9686]

Супер. Большое спасибо.

[@Hmath]

Вы прямо все видео с канала решили за день посмотреть :)

[@КириллСмирнов-ч7г]

Спасибо за видеоролик. Было очень интересно.

[@The_Earth_One]

7:16 Если оставить пределы интеграла от 0 до inf и вместо фи подставить параметр (пусть будет a), то можно получить выражение через бета функцию Интеграл = 1/a * B ( 1/a ; a - 1/a ) при a>1 :) А из этого можно ещё получить два других интересных интеграла (через другое представление бета функции с пределами от 0 до inf)

[@alexsokolov1729]

Забавно, но здесь работает банальная замена x = 1/t. После подстановки просто нужно учесть, что phi^2 = phi + 1 и d(t^phi) = phi * t^(phi-1) dt

[@adamzhyzik9979]

Да, тоже получилось

[@azderty228]

Можно почти без замен обойтись) Попробуйте подынтегральную функцию помножить на х и продифференцировать) И посмотрите что произойдёт со степенью знаменателя

[@Hmath]

есть лучше способ: взять функции x/(1+x^fi)^(fi-1) и продифференцировать её, и убедится, что производная от неё равна подынтегральной функции. А значит всё: интеграл найден! И никаких вообще замен! :) Так здорово находить неопределенные интегралы, зная заранее, чему они равны :) всегда быстро получается и без замен :)

[@azderty228]

@Hmath ну блин я про то, что, подключив интуицию, можно помножить на х подынтегральную функцию , так как там дроби стоят, и попробовать продифференцировать всё это дело и посмотреть, насколько соотносится с подынтегральной функцией и сделать соответствующие выводы

[@a.osethkin55]

Ожидал получится что-то что связано с фи.

[@fivestar5855]

Даешь больше "подобных" интегралов!

[@Hmath]

честно говоря, интегралов у меня ещё заготовлено больше, чем всего остального :)

[@nikko2505]

Огонь!!!

[@limemoonyt5525]

Не покидает мысль, что можно разложить в ряд Тейлора, проинтегрировать, найти сумму полученного ряда и подставить границы интегрирования

[@Hmath]

попробуйте сначала то же самое проделать для интеграла от 1/(1+x^2) (от нуля до бесконечности) нужно еще помнить, что если раскладывать в ряд тейлора в нуле, то область сходимости будет |x|

[@WD_Universe]

Вспомнил, как находил формулу n-ой степени φ. Возможно, до этого ее кто-то изобрел, но я вывел ее самостоятельно φ^n=F(n)φ+F(n-1) Где F(n) это n-ое число фибоначи

[@Abraxax]

А как додуматься до такой замены? Свыше что ли пришло?

[@Hmath]

ага :) я уже отвечал под этим видео на такой же вопрос :)

[@dmitryramonov8902]

Почему первое юбилейное? Было же и 162 человека когда-то.

[@Hmath]

тогда видео не было по этому поводу :)

[@proninkoystia3829]

Ответ 1. Я на канале Michael Penn смотрел видео где он степень искал при которой ответ 1 получается

[@Hmath]

ага, через 2.5 года, как я выложил это видео :)

[@igorsoftvariant]

Да, красивые преобразования, на уровне магии 😀

[@ЯрославЧернокнижник]

Забыли умножить на коэффициент 1/φ

[@Hmath]

что умножить? www.wolframalpha.com/input?i=integral+1%2F%281%2Bx%5E%28%281%2Bsqrt%285%29%29%2F2%29%29%5E%28%281%2Bsqrt%285%29%29%2F2%29+from+0+to+inf

[@Jamxain]

На 7:50 вы имели ввиду?