Решите уравнение ➜ sin⁡x+cos⁡x=1 ➜ 2 способа решения

[@maxzh0760]

так же можно было проговорить , что синус и косинус это проэкция на оси oy и ox,отсюда получаем уравнение x+y=1 , построив этот график функции на тригонометрической окружности видим , что он пересекает точки с координатами 0 + 2пn,n e Z ; и п/2 + 2пn , n e Z.

[@roman_n1]

1 способ: sin x + cos x = 1 (sin x + cos x)² = 1 1 + 2sin x * cos x = 1 sin 2x = 0 2x = π + πk, k e Z x = π/2 + πk/2, k e Z Так как мы возводили в квадрат, то проверим корни x = π - не устраивает x = 3π/2 - не устраивает Следовательно, x = π/2 и 0 нас устраивают, а это серии корней: x = 2πk, k e Z x = π/2 + 2πk, k e Z 2 способ: sin x + cos x = 1 (sin x + cos x)² = 1 1 + 2sin x * cos x = 1 1) sin x = 0 => cos x = 1 x = 2πk, k e Z 2) cos x = 0 => sin x = 1 x = π/2 + 2πk, k e Z 3 способ: sin x = u cos x = v Система: u + v = 1 u² + v²= 1 u + v = 1 (u + v)² - 2uv = 1 u + v = 1 u = 0 Или v = 0 Системы: u = 0 v = 1 Или u = 1 v = 0 Значит, системы: sin x = 0 cos x = 1 Или sin x = 1 cos x = 0 В итоге, x = 2πk, k e Z Или x = π/2 + 2πk, k e Z 4 способ: sin x + cos x = sin²x + cos²x sin x * (1 - sin x) = cos x (cos x - 1) sin x = u cos x = v u * (1- u) = v * (v - 1) - u * (u - 1) - v * (v - 1) = 0 u² - u + v² - v = 0 Мы знаем, что u² + v² = 1 => Система: u + v = 1 u² + v²= 1 u + v = 1 (u + v)² - 2uv = 1 u + v = 1 u = 0 Или v = 0 Системы: u = 0 v = 1 Или u = 1 v = 0 Значит, системы: sin x = 0 cos x = 1 Или sin x = 1 cos x = 0 В итоге, x = 2πk, k e Z Или x = π/2 + 2πk, k e Z 5 способ: sin² x + cos²x = 1 sin x = ±√(1-cos²x) 1) √(1-cos²x) + cos x = 1 Система: 1 - cos²x = 1 - 2 cos x + cos²x cos x ≤ 1 2cos²x - 2 cos x = 0 cos x * (cos x - 1) = 0 Значит, cos x = 0 Или cos x = 1 2) При возведении в квадрат минус уйдёт и получится точно так же, как и в 1 случаи В итоге, мы получаем системы: sin x = 0 cos x = 1 Или sin x = 1 cos x = 0 Значит, x = 2πk, k e Z Или x = π/2 + 2πk, k e Z 6 способ: Вспомнинаем метод вспомогательного угла a * sin x + b * cos x = √(a² + b²) * sin (x + f), где f = arcsin (b/√(a² + b²)) f = arcsin ( 1/√(1² + 1²)) = arcsin (√2/2) = π/4 => sin x + cos x = √(1² + 1²) * sin (x + π/4) sin x + cos x = √2 * sin (x + π/4) √2 * sin (x +π/4) = 1 sin (x + π/4) = √2/2 1) x + π/4 = π/4 + 2πk, k e Z x = 2πk, k e Z 2) x + π/4 = 3π/4 + 2πk, k e Z x = π/2 + 2πk, k e Z 7 способ: sin x + sin(π/2 - x) = 1 2 * sin (π/4) * cos (x - π/4) = 1 cos (x - π/4) = √2/2 x - π/4 = ±π/4 + 2πk, k e Z x = π/4 ± π/4 + 2πk, k e Z

[@yalauitarik]

Я тоже так в уме решил, не понимаю, зачем так усложнять, как автор ролика.

[@DmitriyFinozhenok]

Можно проще. Из 1 + 2sin x * cos x = 1 следует sin x * cos x = 0 и значит либо sin x = 0 либо cos x = 0. То есть либо sin x = 0 и cos x = 1 либо sin x = 1 и cos x = 0. Это дает нужные нам ответы.

[@yalauitarik]

@@DmitriyFinozhenok ну само собой, я так и решил

[@Kurama.00]

То же самое

[@michaelsadovsky936]

Ну, в уме я не решил, но согласно знаменитой теореме Арнольда, для такого решения мне хватило бумаги размером с трамвайный билет.

[@leonidsamoylov2485]

Я решил другим способом. Возвел обе части в квадрат. Сумма квадратов синус и косинус это единица. Осталось 2 синус на косинус равно нулю. Или sin 2х =0. Имеем решения. Затем проверил корни на минус (в квадрат возводили).... это решение самое простое по формулам. !!

[@ИльхамАбдуллаев-ь6й]

Обожаю Тригонометрические уравнения .Спасибо Валерий за полезное видео.

[@dimabur7481]

Поучительная задача! Спасибо Вам большое!

[@AlexeyEvpalov]

Спасибо за 2 способа решения.

[@КириллПодгорнов-ю6ю]

Слишком сложные способы, можно проще и короче. ОДЗ синуса и косинуса от -1 до 1, значит чтобы получить единицу в сумме, то обе функции должны быть больше либо равны 0. Так как числа положительные, то можем обе части уравнения возвести в квадрат без потери отрицательных корней. Слева раскладываем по квадрату суммы, справа остается единица. Sin^2x+2sinxcosx+cos^2x=1, но по основному триг.тождеству сумма квадратов уже единица, значит произведение 2sinxcosx=0 и рассматриваем оба случая. получаем те же пары решений, но без лишних тригонометрических формул.

[@iXNomad]

да, только не забыть проверить корни на неотрицательность

[@allaalla5531]

Вы считаете, что ваш легче?)

[@ЛидийКлещельский-ь3х]

Спасибо. Прочитал все комментарии. Не нашёл! (Где мои семнадцать лет? ) . Предлагаю уравнение в Вашем стиле : (0) [sin(x)]^2020+ [cos(x)]^2021=1. (гадкое число 2022 использовать не хочу) .Очевидно , что и синус и косинус - неотрицательны. Тогда тождественно по икс : (1) [sin(x)]^2>=[sin(x)]^2020 и (2) [cos(x)]^2>=[cos(x)]^2021. Складываем (1) и (2) , получаем тождество : (3) 1>=[sin(x)]^2020+[cos(x)]^2021 . Уравнение (0) и тождество (3) возможны ТОЛЬКО , если в (1) и (2) - ТОЧНЫЕ РАВЕНСТВА !! (Иначе в (3) будет строгое неравенство). Получаем : уравнение (0) РАВНОСИЛЬНО системе двух : (4) [sin(x)]^2=[sin(x)]^2020 и (5) [cos(x)]^2=[cos(x)]^2021 , что очевидно равносильно СИСТЕМЕ двух ОБЪЕДИНЕНИЙ : { sin(x)=0; sin(x)=1; sin(x)=-1 } и {cos(x)=0 ; cos(x)=1 }. Получаем : x=(pi)/2+(pi)*n и x=2*(pi)*n ; n -целое. Ваше «простенькое» уравнение можно решить аналогично , только тождественные неравенства (2) и (3) будут противоположены написанным . С уважением, lidiy27041943

[@MrEkokadr]

С помощью тригонометрической окружности и определений синуса и косинуса решено устно сразу.

[@АльфияАхметсагирова]

Спасибо вам, за очень доступное обьяснение

[@proglife3936]

Можно еще найти производную левой части, которая равна cosx-sinx, нарисовать окружность и увидеть, что на промежутках от [p/4 +2pn; 5p/4 +2pn] ф-я убывает и принимает значения от sqrt(2) до -sqrt(2), на этом интервале единственная точка p/2 +2pn решение и ф-я равна 1. Аналогично на [5p/4 +2pn; 9p/4 +2pn] ф-я возрастает и принимает значения от -sqrt(2) до sqrt(2), на этом интервале единственная точка 2pn где значение 1.

[@angelelitegaming596]

Возводим уравнение в квадрат: (sin x)^2 + (cos x)^2 + 2 (sin x) (cos x) = 1 Отсюда, согласно тригонометрическому тождеству: 2 (sin x) (cos x) = 0 4 решения (с периодом 2pi), выбираем из них 2 подходящих (2 других удовлетворяют уравнению (sin x) + (cos x) = -1)

[@sladkokotikov]

а чем первый способ концептуально отличается от метода вспомогательного угла?

[@Grinyasha]

Можно также совсем прикольно сделать - графически, где cos(x) - ocь абсцисс, sin(x) - ось ординат тригонометрическая окружность (по умолчанию, из-за тригонометрической единицы) и прямая sin(x)=-cos(x)+1, выдадут 2 точки пересечения, (1;0) и (0;1) или они же Pi/2+2*k*Pi и 2*k*Pi

[@АнатолийКуликов-ш5м]

В военное время значения синуса может достигать четырёх.

[@Alexander--]

Во втором способе можно сразу представить 1 справа как sin²(x/2) + cos²(x/2) и получить однородное уравнение. Далее стандартный метод решения: т.к. cos(x/2) ≠ 0 (иначе было бы sin (x/2) = 0, что невозможно по основному тригонометрическому тождеству), то обе части можно разделить на cos²(x/2) и получить простое уравнение относительно tg(x/2), решая которое, получаем, что tg(x/2) равен либо 0, либо 1. Дальше просто.

[@АндрейПупков-с2г]

X=2пn, и x=п/2+2пn можно было угадать, начертив тригонометрическую окружность.

[@piotrsawczak3078]

Super.

[@liftovik]

Второй способ более доступен. Тригонометрия проще развязывается.

[@nominaobscura8340]

В квадрат же можно обе части возвести.

[@1luffiz]

метод вспомогательного угла

[@AndrejDorozhkin]

Здравствуйте, покажите решение неравенства: x^(x+1) > (x+1)^x

[@AndrejDorozhkin]

Я уже писал вам, вы даже лайкнули, но не ответили..

[@sv_an]

@@AndrejDorozhkin привет, это решается теми же способами, что и pi^e versus e^pi. У поступашек и на англоязычном ютубе очень много решений таких проблем, решается через логарифмирование, сравнения до e и после e (до 3 и после 3)

[@BlackDaw7]

Решил в уме просто представив графики синуса и косинуса, а так же знанием, что сумма двух гармонических колебаний с одинаковой частотой будет гармоническим колебанием с той же частотой.

[@deniszinin9949]

Есть ещё метод: sinx + cosx = 1; sinx = v; cosx = u; v + u = 1; v^2 + u^2 = 1 (осн. триг. тожд.); v = 1 - u; (1 - u)^2 + u^2 = 1; 2u^2 - 2u = 0; u^2 - u = 0; u(u - 1) = 0; 1) u = 0; v = 1; cosx = 0; sinx = 1; x = pi/2 + 2*pi*n, n - целое; 2) u = 1; v = 0; cosx = 1; sinx = 0; x = 2*pi*n, n - целое.

[@АндрейПупков-с2г]

Кстати говоря, когда во втором способе получилось cos(x÷2)=sin(x÷2), можно было сразу приравнять их к корню из 2 пополам, а потом к минус корню из 2 пополам. Не надо было делить на косинус или приравнивать к 0.

[@BukhalovAV]

Первый способ - частный случай дополнительного аргумента. А про возведение обеих частей в квадрат уже писали...

[@ДмитрийЗиненко-р2у]

Первое что приходит на ум просто возвести в квадрат и получить 2sin(x)cos(x)=0 Отсюда получаем 1) sin(x)=0 -> cos(x)=1 x=2pik 2) cos(x)=0 -> sin(x)=1 x=pi/4 + 2pik

[@imhandsome7339]

А зачем возводить в квадрат Если и так вроде понято, что-нибудь нужна комбинация синх =1 косх =0 Либо наоборот Других вариантов получиььь такой ответ нет

[@vitalius7351]

если 1) sin(x)=0 -> cos(x)=+-1 (плюс - минус 1), хитро вы неправильный корень выкинули....

[@ДмитрийЗиненко-р2у]

@@vitalius7351 я подставил в начальное уравнение. Формально sin(x)=0 и sin(x)+cos(x)=1 -> cos(x)=1

[@ДмитрийЗиненко-р2у]

@@imhandsome7339 ну вообще нет. Откуда вы знаете, что на участке (0, pi/4) не найдется еще одного корня. Таки там сумма 2 величин, каждая из которых (0,1), и которая, в теории, может быть 1.

[@pavelkostrov1617]

2sinxcosx=sin2x Sin2x=0 Не?

[@aleksandrkirkinskij1840]

Помню, что в школе применяли 6 способов решения этого ур-я.

[@Алиса-о5ц4щ]

sin x +sin(90-x)=1 Дальше раскрываем по формуле суммы синусов.Получаем : 2sin45*cos(x-45)=1 Sin 45=√2/2 ,подставим и получим cos(x-45)=1/√2. x-45=+-arccos 1/√2+2Пn .arccos1/√2=П/4 Подставим это и ,место 45 подставим П/4 и получим ответ.

[@billyherrington973]

Я решил через основное тригонометрическое тождество.

[@Khristophorov]

Я не силён в тригонометрических уравнениях, но первое что приходит на ум - это sin0 = 0, а cos0 = 1. И меня удивило, почему 0 не присутствует в ответе.

[@КатяРыбакова-ш2д]

Есть ещё два способа: 1) по правилу приведения cos&+sin&=Cos&+cos(90*-&)=V2cos(&-П/4)=1.... 2) Через универсальную подстановку всё выражаем через tg(&/2): получим tg(&/2)=0 или tg(&/2)=1 ...

[@СвободныйМатематик]

Проще есть намного sinx+cosx=1 sin²x+cos²x=1 по осн тожд sin²x+2sinxcosx+cos²x=1 2sinxcosx=0 sinx=0 cos=0 П/2+Пн/2 Или 2sinxcosx=sin2x=0 2x=П+Пн х=П/2+Пн/2

[@zgi5858]

В какой программе вы пишите ?

[@СИН-е3ы]

Так в общем случае (sinx)**n + (cosx)**n = 1 будет иметь ровно такие же корни (ибо будет 1**n + 0**n=1 или 0**n + 1**n=1), n - натуральное нечетное. Для четного n - корни х= Пи/2 *k и только для n=2 х-любой , забавно. Даже более того, n может быть действительным положительным, а не только натуральным, кроме четных n.🙃

[@8702Сейтенов]

Можно обозначить через u и v синус и косинус и решать задачу для симметрических многочленов.

[@ОльгаСоломашенко-ь6ы]

Можно выразить синус из основного тригонометрического тождества. Понятно, что синус и косинус в данном уравнении не могут быть отрицательными.

[@anairos79]

Я получил такой же ответ другим способом. Сумма квадратов синуса и косинуса всегда равна единице. Значит, нужно найти такой X, чтобы для него синус и синус квадрат (и, соответственно, косинус и косинус квадрат) были равны. А это будет, только если синус равен единице, а косинус нулю, или наоборот. Что и даёт соответствующие два варианта. Даже никаких уравнений решать не пришлось.

[@ИванЮдин-з2е]

Слышал, что есть геометрическое решение данного уравнения, было бы интересно узнать если оно, конечно, есть

[@aliday9968]

Вы квадраты в задании забыли)

[@perizat-bd7ln]

А если перед одним из них коэффициент есть,то что тогда делать например sinx+3cosx=1?????

[@fantom_000]

Рассмотрим функцию cas(x) Определим cas(x) = sin(x) + cos(x) d(cas(x))/dx = cas(-x) cas(x) = √2*sin(x+π/4)) = √2*cos(x-π/4) cas(A+B) = cas(A)cos(B) + cas(-A)sin(B) cas(A+B) = cas(A)cas(B) + cas(A)cas(-B) - cas(A)cos(-B) + cas(-A)sin(B) cas(A+B) = 1/2*(cas(A)cas(B) + cas(A)cas(-B) + cas(-A)cas(B) - cas(-A)cas(-B)) Вывод можно проверить

[@albertpopov2269]

Но ведь это - уравнение окружности единичного радиуса. По идее, равенство должно выполняться при любых х. Как это согласуется с полученными результатами?

[@КонстантинКон-н5м]

В квадрат тоже возвёл обе части.

[@Loy_who_exists]

Используем формулы тангенса половинного угла (для удобства положим x/2 = z): 2tg(z)/(1+tg^2(z))+(1-tg(z))/(1+tg(z))=1 2tg(z)+1-tg(z)=1+tg^2(z) 2tg^2(z)-2tg(z)=0 tg(z)*(tg(z)-1)=0 Совокупность [ tg(z)=0 → sin(z)=0 → sin(x/2)=0 → → x/2 = pi*k → x=2pi*k, k є Z. tg(z)=1 → tg(x/2)=1 → x/2 = pi/4 +pi*k → → x=pi/2 +2pi*k, k є Z.

[@МатвейГерасимов-о9ж]

Как решить неравенство: sin(x) + cos(x) больше 0 ?

[@dmaraptor]

Это, прости господи, уравнение решается графически по щелчку пальцев.

[@AlexMarkin-w6c]

tan(x/2)=t, тогда sin(x)=2t/(1+t^2) и cos(x)=(1-t^2)/(1+t^2) => t(t-1)=0 , t=0 и t=1. x=2pi*n и x=pi/2 +2pi*n.

[@ДинарИшметов]

Классно

[@fluisha3727]

Я бы обе части в квадрат возвел бы

[@АртёмБес-ъ2к]

Почему бы просто не допустить что Х=0, тогда sin0 = 0, а cos0 = 1, а 0+1=1?

[@zakzakzak3345]

А почему обе части в квадрат возвести нельзя? Получится 2sin x * cos x = 0. Дальше все ясно...

[@ВикторАндреев-ч1с]

sin x + cos x = 1 sin x + sin(π/2 - x) = 1 2sin((x + π/2 - x)/2) * cos((x - π/2 + x)/2) = 1 2sin(π/4) * cos(x - π/4) = 1 cos(x - π/4) = √2/2 x - π/4 = ±π/4 + 2πn x = π/4 ±π/4 + 2πn

[@АрсенийБороздин-с5п]

sinx=1-cosx подставляем в отт -2cosx+2cos^2x=0 cosx(cosx-1)=0

[@justlias9259]

можно сказать что синус равен нулю, а косинус автоматически равен 1, дальше косинус приравниваем к нулю, синус равен 1 вот и все

[@СергейГареев-я1е]

Зачем все это? Я понял уже все с теоремы Пифагора.

[@КевинСлевин]

Второй способ лучше, понятнее

[@КатеринаБух-ва]

при двух значениях Х выполняется равенство Х=0 и Х=90

[@MrEkokadr]

Про период Вы забыли.

[@ендергрузин]

ну те же ответы можно получить логически подумать, хоть это и будет необоснованное решение

[@Rashadrus]

Вообще тут даже очевидное решение. Лучше что-нибудь посложнее...

[@raznocty]

Можно решить графически cosx=X sinx=Y X²+Y²=1 X+Y=1

[@itforall89]

Это я еще в 15 лет решал

[@vladislavgorelov6038]

Смотрим на уравнение. Вспоминаем основные значения этих функций. sin 0=0 cos0 = 1. Итак, самое видимое решение найдено, х=0. Затем вспомним, что такое синус и что такое косинус, так сказать, в природе - это значения х и у радиуса единичной окружности. А вся окружность составляет 360 градусов или 2п радиан. Так что сколько ты не умножай 2п на число n - все равно ты окажешься в пределах указанных значений, т.к. просто будешь "наматывать круги". Угол в 390 градусов - это угол в 10 градусов если острый или в 370 градусов если тупой - смотря откуда смотреть. Такая вот она, тригонометрия. Но это слишком просто, поэтому автору вновь лайк и респект за умение драть гланды через задний проход! Жонглирование числами и математическими функциями - это, автор, самое главное и самое шЫкарное, что мне нравится на вашем канале.

[@2012tulio]

X={0°; 90°; 360°}

[@nuciko8265]

kласический способ более легкий

[@לאוניד-ת6ת]

Просто интересуюсь спросить автора, ручку хотелось расписать? Где sin|cos = 0 или 1 в курсе? ВСЁ! Ну и + период. Валера, если так излагать школьникам материал как в видео, так они же с ума сойдут. Да, такие методы существуют, но зачем усложнять, есть можно ЗДЕСЬ просто 3 секунды подумать об этих ф-циях, у где 0 и 1.

[@itforall89]

x = 0

[@glaiskar]

А почему нельзя возвести обе части в квадрат, чтобы получить слева в итоге преобразований 1+sin2x, а потом решить sin2x=0?

[@asjvchnvh9313]

Можно вроде

[@Haseo596]

В таком случае мы можем получить лишние корни, при которых sinx + cosx = -1

[@ДмитрийЗиненко-р2у]

Тут хитрые корни из разряда x=pi еще нужно отсеять. Формально sin(2pi)=0, но x=pi не подходит.

[@yablockodimnoe9202]

Ахахаахахаахахахааааапхпхахааапхпаа

[@bomboklaa]

Х=0

[@pentium1024SLN]

Ответ: π*(n/2+[n/2]), n ∈ ℤ.