Differenziabilità ,derivabilità, continuità funzioni a due variabili

Come studiare la differenziabiltà , derivabilità e continuità di una funzione a due variabili .
Se consideriamo una funzione ad una variabile , sappiamo che se è derivabile in un punto allora nel punto considerato la funzione è anche continua.
Ma per le funzioni a due (o più ) variabili lo scenario cambia notevolmente .Il concetto di funzione differenziabile in un punto sarà il protagonista di questa trattazione .Non mancheranno gli esempi chiarificatori ., tipici dei normali compiti d'esame di analisi matematica 2 .
#salvoromeo #funzioniduevariabili #differenziabilita

[@salvoromeo]

Errata corrige : Al tempo 24:55 si deve dividere ulteriormente per la variabile h .Tuttavia il risultato è uguale

[@albertobollini2774]

Un argomento non facile ma Lei lo ha proposto in modo estremamente piano e comprensibile. Quando si dice padroneggiare la materia… Ancora grazie.

[@carloaloi854]

La padronanza di un argomento sta nel saperlo spiegare facilmente anche a chi è meno competente. Lei è veramente preparato. Complimenti ❤

[@salvoromeo]

Buonasera , La ringrazio per il messaggio .Cerco di fare del mio meglio sul web ☺️

[@carloaloi854]

Ci riesce benissimo😉

[@AnnioEnnio]

Complimenti come al solito Prof! Ribadisco per me il migliore. Farebbe un regalone se dedicasse, a tempo debito, una playlist alla comprensione matematica della relatività generale? Partendo dalle basi fino ai tensori e quant'altro! Grazie per la sua costante dedizione

[@salvoromeo]

Buonasera Stefano la ringrazio per gli apprezzamenti verso la mia didattica.Nel futuro immediato Le dico con sincerità che non parlerò di un argomento di tale portata .Si tratta di nozioni ricche di fascino ma molto di nicchia dal punto di vista della didattica . Per adesso sto rilasciando video didattici in modo da completare gli argomenti standard (analisi 2 , Geometria ecc ecc ) sempre per un pubblico universitario . Mi dispiace non porte accogliere la sua richiesta nell'immediato .Vorrei accontentare tutti ma purtroppo dedico al canale solo due giorni a settimana . Le auguro buona permanenza nel mio canale e presto rilascerò un video un po' fuori dallo standard che interessa più i matematici su uno dei più importanti problemi della matematica .

[@lorenzocuttitta5803]

Il suo canale ha salvato la mia vita

[@riccardotrincas7393]

Lei è il miglior professore del mondo, grazie di esistere

[@27Matteo]

Grande Salvo, chiarissimo e ottime spiegazioni ❤

[@salvaluna60]

Mitico Prof. ROMEO ! Ora , mi è tutto chiaro !

[@stefanoferrara8260]

Al minuto 17:00 qual è la differenza tra il caso 1 e il caso 3???

[@riccardofavia6055]

salve prof. Romeo, avrei una domanda per lei; quando si studia la continuità di una funzione in più variabili come fa a capire se va utilizzata la restrizione (come ha fatto nell'esempio iniziale al minuti 9:25 e invece quando svolgere il limite come da lei fatto nell'esercizio proposto nella seconda metà del video? Grazie in anticipo per la risposta e per i magnifici video che ci regala

[@Marco-fn3ny]

Scusate la domanda professore . Nel primo esempio illustrato avete utilizzato le coordinate polari : esse si possono sempre utilizzare per ogni funzione data , oppure ci sono delle eccezioni in cui esse non si possono utilizzare ? Esiste solo l'uso del metodo delle coordinate polari , oppure si può procedere diversamente nella risoluzione dell'esercizio ?

[@eliaguastini7960]

Grazie mille, lei è di enorme aiuto. Grazie ancora

[@matteolapo1404]

Ottimo video maestro

[@DanielPanetta]

Salve Professore, al tempo 22:20, quando lei conferma che il limite faccia 0, data l'indipendenza da theta, non andrebbe provato con qualche altro metodo (esempio metodo del confronto), in quanto l'indipendenza da theta fornisce solamente un condizione necessaria,ma non suffeciente per affermare che quel limite esista e faccia 0, cioè il fatto che il valore del limite sia lo stesso per ogni θ ∈ [0,2π] non implica che il limite globale esista

[@andreamazza1418]

Buonasera professore, il video è molto chiaro, complimenti, sono riuscito a capire quasi tutto, però ci sono delle cose che non mi tornano. In base a cosa ha scelto di utilizzare le coordinate polari nel primo esercizio e come mai si è limitato ad analizzare la continuità solo con quelle coordinate senza verificare se la funzione fosse continua lungo la restrizione di qualche specifica curva come ha fatto in esempi precedenti quando ha spiegato la continuità?

[@kejiozz]

Grazie per quello che fa professore

[@davidecommodari7711]

Complimenti maestro, spero faccia piu video su analisi 2 sarebbero molto utili

[@salvoromeo]

La ringrazio per il gradimento .Ci saranno sempre rilasci di analisi 2 .La playlist è ancora nello stato "lavori in corso " ma mese dopo mese i contenuti aumenteranno sempre .

[@mattiacatalani5001]

salve professore le volevo chiedere una mano per un esercizio in cui sto sbattendo la testa da ore: f(x,y) = (y * arctan(xy)) / (x^2 + y^2) se (x,y) diverso da zero f(x,y) = 0 altrimenti a me la funzione viene derivabile utilizzando il metodo che ha introdotto all'inizio della lezione, e viene pure continua dato che il lim fa zero. Ma nel test da cui ho preso tale domanda mi segna sbagliata questa possibilità. mi saprebbe aiutare? Inoltre un'altra domanda, se faccio il calcolo della derivabilità e mi vengono un valore K. Per sapere se è continua, quando faccio il limite, esso mi deve tornare K, oppure la sua esistenza è sufficiente?

[@cristianpasin1207]

Grazie infinite per la spiegazione!

[@dutchvanderlinde557]

Buongiorno prof mi scusi, ma nel secondo esempio essendo che la funzione è positivamente omogenea di grado 2, avrei potuto concludere che la funzione è continua e derivabile nell'origine? L'ho visto da un criterio presente nel mio testo di Analisi 2 e non saprei se all'esame scritto posso usare questo "trucco".

[@matteodicarloo__]

Chiarissimo grazie.

[@gabrielealberti5299]

Innanzitutto complimenti per il canale! Riguardo all'esercizio volevo chiederle, relativo alla derivabilità, perché l'abbiamo studiata nel punto (0,0) per le direzioni x e y, invece che per ogni direzione della funzione in qualsiasi punto?

[@mattiacatalani5001]

perché in quel la funzione 'cambia', lo esplicita il testo dell'esercizio

[@flamurtarinegjakyt3745]

Buongiorno, ma io per determinare se la funzione è continua in quel punto dovrei fare il limite per tutte le infinite curve finché non ne trovo uno che differisca dagli altri? In questo modo non si concluderebbe mai. Grazie

[@giuseppecammarata7528]

Prof forse sarà in vacanza ma quando avrà tempo ci fa vedere p.f. una funzione a 2 variabili continua e derivabile in un punto ma NON differenziabile? Mi piacerebbe visualizzarla geometricamente ...

[@francescopennisi6005]

sei un grande

[@laraaral9095]

Grazie professore

[@lorenzocicero1846]

Scusi ma avendo ottenuto 2 derivate parziali entrambe = a 0, nel primo esercizio, non possiamo dire che la funzione ammette derivate parziali continue e quindi è differenziabile in (0,0)?

[@salvoromeo]

Buonasera , il problema di fondo è la mancanza di continuità nell'origine , e se manca la continuità (anche in presenza di derivabilità ) la differenziabilità è compromessa a priori .

[@petercristobal6962]

prof avrei una domada, la funzione (xy^3)/(x^2+y^4) è differenziabile nell'origine?

[@nik-bl8qx]

Prof scusi ma in questo caso parliamo di funzioni vettoriali a due componenti giusto? In caso avessimo funzioni a valori scalari di piu variabili la situazione risulterebbe diversa giusto?

[@salvoromeo]

Buonasera Non , grazie per la domanda e rispondo con molto piacere .Attenzione che qui siamo nel contesto di funzioni scalari .Infatti ad ogni "coppia "ordinata di valori reali (un vettore ) corrisponde uno "scalare " che possiamo chiamare Z . Quindi in questo contesto non è una funzione vettoriale .Esempio di funzione vettoriale da R²ad R² per esempio èla seguente f(x,y)=(x+log(y) , x²+y³) . L'esempio credo che abbia chiarito tutto .Per qualsiasi cosa non esiti a scrivere .

[@edinmilenko1340]

Nella prima parte del video per calcolare le derivate parziali non poteva usare le regole di derivazione e derivare 0 rispetto a x e y (derivate molto banali in quanto la derivata di 0 è uguale 0, indipendentemente dalla componente)? Successivamente perché come restrizione ha proprio scelto y = x^2?

[@salvoromeo]

Ho preferito utilizzare il rapporto incrementale per rendere tutto più generico.La derivata in questo caso è vero che è zero , ma in caso di funzione più complessa il rapporto incrementale è sempre la prima scelta . Pers seconda domanda ho scelto la posizione x=y² per rendere la funzione al denominatore omogenea e trovare quindi una restrizione in cui il limite è diverso da altre restrizioni trovate in precedenza Trovando due limiti diversi è sicuro questo non esiste .

[@edinmilenko1340]

@@salvoromeo va bene grazie mille per la risposta

[@lucaperso1079]

Il migliore

[@27Matteo]

Ahaahha

[@lucaperso1079]

@@27Matteo 🤪

[@rosabnb]

grazie dal Belgio

[@salvoromeo]

Grazie mille a Lei per aver visionato il mio contenuto 🙂

[@sepa2023]

Bello... avresti delle lezioni su come capire il significato geometrico e la dfferenza tra derivata e differenziale? Ho capito largomento che hai spiegato ma solo a pappagallo nel concreto non so cosa sto facendo

[@salvoromeo]

Buon pomeriggio .Sulle funzioni a due variabili no , ma per me funzioni a una variabile ho un video in cui spiego il concetto geometrico di derivata e il concetto geometrico di differenziale di una funzione .

[@andreamigli4272]

Professore mi scusi ma al minuto 24:50 non dovremmo fare tutto fratto h? Grazie per questa miniera d'oro di lezioni.

[@salvoromeo]

La ringrazio per la segnalazione.Si ho omesso una h .Fortunatamente il risultato non cambia . La ri.grazio ancora .Metterò un commento in evidenza per segnalare l'errore .

[@dannyrpp1532]

Professore ma h cosa rappresenta?

[@AntoninoParisi-matematica]

24:58 avresti dovuto dividere il tutto per h

[@matteomonti1454]

king indiscusso

[@videopopolari5177]

scusate ma il limite non deve essere indipendente da theta

[@salvoromeo]

Buongiorno mi può riferire il minuto esatto ? Se noto un'eventuale imprecisione sarà mia premura mettere un commento in evidenza e sottolineare l'eventuale imprecisione ? La ringrazio a prescindere .

[@dinochiari3647]

E pensare che la funzione "sen x" è derivabile e continua. Viene fuori un ciclo infinito di 4.

[@salvoromeo]

Si , ma nel video in questione si sta parlando di funzioni a più variabili e il concetto di derivabilità e differenzialita è marcato e valgono regole diverse rispetto alle funzioni ad una variabile reale . Semmai la funzione sen (xy) è differenziabile in R² poiché ha le derivate parziali continua in ogni coppia reale , e quindi è anche continua .Ma ciò rientra nei casi banali .

[@dasermetter]

o melg

[@sfh594]

non so valutare quanto questo video sia rigoroso, comunque abbastanza confusionario agli occhi di una persona che non ha ben capito questi concetti

[@salvoromeo]

Buongiorno è una lezione di analisi due che richiama tutti i concetti fatti nel corso di analisi 1 . Può risultare difficile se non si conoscono i concetti precedenti e solitamente in quasi tutti i miei video do come scontato che per visionare una determinata lezione lo studente deve aver visto tutti i video precedenti .Ad esempio anche nel corso di algebra lineare di circa 35 lezioni se uno studente non riesce a capire dei passaggi nel video numero 35 (passaggi che ometto in maniera intenzionale ) lo invito a visionare tutte le 34 lezioni precedenti . Questo viene fatto al fine di non allungare troppo la lezione e volutamente salto molti passaggi (dandoli come scontati ) poiché già trattati in qualche video precedente della mia raccolta .

[@sfh594]

@@salvoromeo si forse è anche dovuto a questo , Io ho già superato analisi 1 e algebra anche se ormai sono passati 3 4 anni. Comunque SECONDO ME ci si sofferma troppo sui singoli passaggi e astrazioni piuttosto che arrivare al concreto del concetto.