Complemento ortogonale di un sottospazio , vettore ortogonale ad un sottospazio. Algebra lineare

Come determinare l'ortogonale di un sottospazio e se un vettore è ortogonale ad un sottospazio
vettoriale .
Dopo aver introdotto il concetto di spazio vettoriale con prodotto scalare e il concetto di base ortogonale ed ortonormale è il momento di capire il concetto di vettore ortogonale ad un sottospazio , e il concetto di sottospazio ortogonale ad un altro sottospazio .Fremo vedere che due sottospazi tra loro ortogonali sono somma diretta dello spazio vettoriale che li contiene .
Il prodotto scalare che viene menzionato è quello standard .
Fondamentali e propedeutici i concetti dell'algebra lineare quali : sottospazio vettoriale , equazioni cartesiane e somma diretta tra due sottospazi .
#salvoromeo #algebralineare #ortogonaledisottospazio

[@secondrate_student]

Sono veramente impressionato dalla chiarezza della spiegazione, non lascia alcun passaggio al caso, anzi sottolinea più volte il concetto e svolge anche i calcoli più semplici, cosa che molti professori, purtroppo, non fanno, andando a creare dubbi anche dove si potrebbero evitare. Sono anche colpito da come riesca a scrivere così velocemente e chiaramente al contrario🙃. Grazie infinite, il suo canale è bellissimo!

[@lorenzo-forti]

Ottimo lavoro grazie mille

[@salvoromeo]

Grazie a te .

[@jeffkaplan7635]

ottima spiegazione 😁

[@salvoromeo]

Grazie

[@AndreaPancia1]

Grazie.

[@salvoromeo]

Buonasera Andrea , la ringrazio immensamente per il sostegno al canale

[@kiko7247]

Buonasera professore, la lezione era chiara ed esaustiva, tuttavia mi resta un dubbio che, se può, spero possa aiutarmi a risolvere. Ad esempio: A è sottospazio di R2, A = {v1, v2} v1=(0,1) v2=(-1,1) A non è un sottospazio ortogonale di R2, perché ≠ 0, ma è comunque A una base di R2 (perché v1 e v2 sono linearmente indipendenti). Dunque, per rendere ortogonale A, applico l'algoritmo di Gram-Schmidt?

[@salvoromeo]

Esatto , deve utilizzare l'algoritmo di G_S anche se in R² è molto semplice una base ortonormale so costruisce ad occhio .

[@kiko7247]

@@salvoromeo Grazie mille, professore, per aver trovato il tempo di aiutarmi.

[@mohamedfarahat7515]

Salve professore, a me hanno dato un esercizio dove si chiedeva di esprimere W in forma parametrica, ha per caso un video di algebra lineare dove si spiega tale argomento? Grazie in anticipo

[@salvoromeo]

Buonasera è una cosa che ho fatto spessissimo .Se l'equazione cartesiana è x-y-z =0 basta scrivere x = a+b , y=a , z=b con a e b parametri reali che non sono altro che le incognite libere . È la stessa cosa che faccio nelle lezioni di geometria nel piano e nello spazio in cui scrivo le rette in forma parametrica .

[@mohamedfarahat7515]

Si professore allora, praticamente l'esercizio era diviso in 4 punti e mi chiedeva 1) per quale valori di k il sistema è compatibile? E l'ho risolto; 2) risolvere il sistema per k=1, anche questo sono riuscito a risolverlo ed il terzo 3) che dice: W{ soluzioni del sistema omogeneo associato a S per k=1}.. esprimere W in forma parametrica, e mi sono bloccato qui non riesco a proseguire.

[@gionnybanana9613]

buongiorno, sto preparando l’esame e non mi é chiaro come dovrei procedere se in R4 avessi un sottospazio di dimensione 1. in quel caso il complemento ortogonale avrebbe dimensione 3 ma non sono sicuro di come operare, in questo video ha fatto l’esempio di 2+2. grazie mille

[@salvoromeo]

Buongiorno, la procedura è uguale .Visto che la dimensione è 1 rovi la base (a unico vettore) di V come ad esempio (1,1,1,1) .Moltiplichi scalarmente tale vettore per il generico vettore (x,y,z,t) e ponga tale prodotto uguale a zero . Otterrà x+y+z+t=0 .Da questa equazione cartesiana si ricava la base a tre vettori come spiegato nei video precedenti di questa playlist .

[@andreabiagioli3516]

Una domanda, ma qual è l'isomorfismo tra un sottospazio e un suo ortogonale se la dimensione è uguale?

[@salvoromeo]

Buonasera Andrea mi può indicare il tempo esatto (minuto secondo ) in cui parlo di isomorfismo .Ho realizzato il video qualche tempo fa ma non ricordo di aver parlato di isomorfismo in questa lezione . In ogni caso si possono fare diversi esempi di applicazioni biiettive (isomorfismi ) da uno spazio V al suo ortogonale .Dipende dall'esercizio . Magari non ho capito io la domanda e la può riformulare con un esempio a cui si riferisce .

[@AndreaPancia1]

Professore ho un dubbio. min 18.40 circa, non ho capito come fa l'unione di W e W ortogonale a costituire tutto U(R4 nell'esempio ).. se W è un sottospazio particolare definito da quella legge comprenderà una famiglia limitata di vettori, allora anche i vettori di W ortogonale saranno altrettanti. E tutti gli altri di R4 che non sono ortogonali ne a W ne a W ortogonale? Help...😢

[@salvoromeo]

Buonasera Andrea quanto prima devo rivedere di nuovo questa lezione in modo da poterLe dare una risposta precisa .In generale consideri che qualsiasi sottospazio V con il suo ortogonale non hanno vettori non nulli in comune (hanno solo il vettore nullo ) infatti la somma è sempre diretta . Quindi se consideriamo uno spazio vettoriale come R⁷ (sto esagerando ) .Se considero un sottospazio V di R⁷ avente ad esempio dimensione 3 (ci sono tre vettori l.i che generano tutti i vettori di V) allora lo spazio ortogonale a V avrà dimensione 4 (come dire 7-3 ) e ovviamente essendo in "somma diretta " dal momento che la dimensione dell'intersezione è zero si avrà che dim(V)+dim(W) -dim (intersezione ) =3+4-0=7 .In questo caso essendo 7 vuol dire che la dimensione dello spazio somma è 7 e quindi cinincidente con la dimensione dello spazio R⁷ che ospita i due sottospazi . Quindi non solo la somma dei due sottospazi è diretta ma coincide con tutto lo spazio che li "ospita " (perdoni i termini poco matematici). Si ricordi che in generale la somma di due sottospazi di Rn può essere benissimo diretta senza che la somma dei due sottospazi sia proprio Rn . Ad esempio in R⁷ posso avere un sottospazio di dimensione 4 , un sottospazio di dimensione 2 tali che la loro intersezione abbia solo in vettore nullo (quindi dimensione zero ) .Ciò implica che la somma è diretta .Tuttavia 4+2-0 =6 che non coincide con la dimensione dello spazio che li ospita , ovvero R⁷ .Quindi in questo caso la somma NON è R⁷ ma un determinato sottospazio di R⁷ di dimensione 6 . Quanto prima visionerò il video in questione e Le darò un 'ulteriore risposta . Spero intanto di averLe chiarito qualche dubbio o consolidato un concetto che magari era già chiaro . In caso contrario non esiti a commentare e Le risponderò il prima possibile .

[@AndreaPancia1]

Si professore è stato chiarissimo ora ho capito. Grazie ancora.

[@pinomugo8960]

video di probabilità a statistica non ne fai? grazie

[@salvoromeo]

Buongiorno Pino erano previste lezioni di statistica e soprattutto probabilità . Se vai nella scheda comunità ho lanciato un sondaggio dove ho chiesto agli utenti quali contenuti desideravano avere . Tra algebra lineare , analisi 1 ,analisi 2 ,matematica di base e statistica e probabilità , queste ultime (ovvero statistica e matematica di base ) hanno avuto poche votazioni quindi per adesso è inutile realizzare tante belle lezioni su statistica e probabilità se poi nessuno o solo 30 persone visualizzano i contenuti . Ne sono un esempio i contenuti di matematica di base che rispetto un video di algebra lineare ottiene poche visualizzazioni . Al contrario ho preferito ascoltare il sondaggio secondo il quale algebra lineare era la più richiesta e in effetti la realizzazione dei contenuti ha avuto parecchio successo , con parecchie visualizzazioni . Quindi per il momento non ho intenzione di perdere tempo con statistica e probabilità . Magari tra 1/2 anni quando non avrò tanto da pubblicare , allora sì che inizierò a creare le playlist di statistica e probabilità . Avevo intenzione anche di pubblicare delle lezioni su matematica discreta perlando di aritmetica modulare , grafi ecc ecc , ma credo che non sia una buona idea per il momento .