シンプルすぎる日本数学オリンピック予選【超基礎】

[@nayutaito9421]

m+n=90=45+45であるから、m=45+aとおくとaは整数でありn=45-aである。 このとき、mn=(45+a)(45-a)=2025-a^2であるから、mとnが互いに素となるようなaのうち、a^2を最小とするものを求めればよい。 a=0のとき、m=45,n=45であるがこれらは互いに素ではない。 a=1のとき、m=44,n=46であるがこれらは互いに素ではない。 a=2のとき、m=43,n=47でありこれらは互いに素である。 よって、求める値は2025-2^2=2021である。

[@Raku-t2z]

これ本番1と2試していい感じに行くカモ問

[@tmat9552]

mn=kとして二次方程式化するとx^2-90x+k=(x-45)^2=2025-k このときmnの条件から、m,nは整数なのでこの二次方程式は整数解をもたなければならない、よって2025-k=s^2（平方数）となり、k=(45+s)(45-s)でm、nが互いに素で足して９０より奇数でなくてはならないのでsは偶数、kが大きくなるとsは小さくなるので、sは最小の偶数s=２となりK=43×47=2021、これは条件を満たす

[@にーと-m1e]

数学オリンピック財団が公表してた厳密な証明は綺麗だし数学的って感じがしたけど少し複雑だった（この動画とは異なる）

[@yoke9162]

正の整数mとnについてm+n=l(lが一定の値)となる場合の積mnの最大値を考える この時mとnの積の結果は各値を入れ替えても同値となるため m ≦ n として考える mとnの中央値をa(=l/2)と考えaと各値との差をbとすると以下のように表せる m * n = (a - b) * (a + b) … ① この式を展開すると (a - b) * (a + b) = a^2 - b^2 となりb^2は正の値となることからbの値が小さいほど積mnが大きくなることがわかる 最後にmとnが互いに素である正の整数となるように bの値を0から1ずつ増加させて①の式に値を当てはめて考えると (45-0) * (45+0) = 45 * 45 … 互いに素ではない (45-1) * (45+1) = 44 * 46 … 互いに素ではない (45-2) * (45+2) = 43 * 47 … 互いに素である となり 43 * 47 = 2021 となる

[@user-bt8zp2jr6h]

予選の次は本戦ですね

[@bakachikakun]

面積が最大になるのは正方形で 正方形に近くて互いに素なのは で探したら２個目で見つかった

[@electromagnezone88]

互除法や一元化よりも，私の場合は二次方程式化ですね： m，n(ここではm ≦ nとする)を解とするxの二次方程式は， x^2-90x+mn＝0…①。 これは自然数解を取るので，pを0以上45未満の整数とすると，①は， (x-45+p)(x-45-p)＝0となり， m＝45-p，n＝45+p。 pが小さい程，mnは大きくなる。 (i) p＝0のときm＝n＝45で，互いに素で無い。 (ii) p＝1のときmもnも偶数なので，互いに素で無い。 (iii) p＝2のときm＝43，n＝47で，これは互いに素。 以上より，mnの最大値は，2021。

[@sliver2057]

私は90=2×3^2×5 から、m,nは共に2,3,5の倍数にならない(互いに素より)。が一番初めに浮かびました。 後は平方完成してm,nが45に近い数字であることと併せてfinishという形ですかね

[@ch.5714]

頭の準備運動になりました。 n=45-a,m=45+aとおくとnm=45²-a² 以下、aに絶対値が少ない整数を入れて調べていけば、a=±2で完了。

[@inyks5415]

正直、単純な自然数なら45^2が最大で、互いに素なら43*47が最大になるのはすぐわかりますがそれをちゃんと証明出来るかが問われている問題ですね。

[@kankan8148]

むずめ　このようにして、日本語は乱れていくのですね。

[@gawgawinusuke]

条件よりm=45+αとおくとn=45-αと表せる。(αは1から44の自然数) ここでm、nは互いに素なのでαは偶数。 これらよりmn=(45+α)(45-α)=45^2 -α^2 αの値が小さいほど、mnの値は最大値になる。 以上よりα=2のときm、nは互いに素になり、なおかつ積が最大になる。 ていう解法をサムネで思いつきました。

[@tt-hq2zc]

予選は答えだけでいいから何とかなるけど解き方が分からなければ楽しくないからな

[@kei1kato549]

減点注意とは

[@TAMAKA6192]

おはようございますです。 減点注意というのは互いに素を見落とすということかな 最大になるのは45×45だけど互いに素じゃないし、m,nは偶数にはならないし 一番差の少ない奇数の組み合わせ(45,45の次)でいいとFA そして動画視聴 記述の内容では〝2数の相乗平均は2数の差が少ないほど大きくなる〟旨を使いましたが、考え方はほぼ同じでOKでした

[@宇佐見英晴]

おはようございます。今日は早いですね。オリンピックだから？

[@颯-i7k]

この年受けたから懐い

[@らん-f5d]

見た瞬間二次関数にしました

[@TV-hr6cz]

まあ第一問だし

[@smbspoon-me-baby]

0点防止問題ですか。

[@TV-hr6cz]

@@smbspoon-me-baby そういうわけじゃないと思うけどな。 第1問

[@はちみつゆうた-i2y]

4:27 の早送りかつ音声の編集いいね！

[@sinazuma3560]

オレは暗算速いから、全部の組み合わせを答案に書く。計算に間違いがなければ、それが最も確実で説得力あるんじゃないかな。半分冗談だけど。

[@smbspoon-me-baby]

すげぇw

[@Double_O-ss9pf]

実際はあと11問これより難しい問題が出るけどね

[@sinazuma3560]

@@Double_O-ss9pf そうだな。あんまりイキったこと、書くもんじゃねえな。暗算速いのは確かですけど、調子に乗っていました。謙虚になるって決めたんでした。すんませんでした。

[@kvalkyrja8390]

酒鬼薔薇なのなんで

[@sinazuma3560]

@@kvalkyrja8390 なんとなく。