Сумма n-ых степеней | Ботай со мной

#БотайСоМной #045
Сумма n-ых степеней
Сумма нескольких первых натуральных чисел
Сумма квадратов нескольких первых натуральных чисел
Сумма кубов нескольких первых натуральных чисел
Сумма n-ых степеней нескольких первых натуральных чисел
Заявки на следующие ролики: youtubetrushin.reformal.ru/
Библиотека курсов онлайн-школы Фоксфорд: foxford.ru/library/courses?re...
Онлайн-курсы с Борисом Трушиным:
11 класс. Подготовка к ЕГЭ по математике. Часть C (задания 13-19):
foxford.ru/courses/940/landin...
11 класс. Подготовка к ЕГЭ по математике. Часть B (задания 1-12):
foxford.ru/courses/939/landin...
10 класс. Подготовка к ЕГЭ по математике:
foxford.ru/courses/938/landin...
9 класс. Подготовка к ОГЭ по математике:
foxford.ru/courses/937/landin...
Личный сайт: TrushinBV.ru
ЕГЭ и ОГЭ по математике | Борис Трушин: ege_trushin
Группа сайта TrushinBV.ru: trushinbvru
Личная страница: trushinbv
Группа сайта: / trushinbv
Личная страница: / boris.trushin
KZbin-канал: / trushinbv

[@nobrainnogain7255]

БВ, спасибо огромное!

[@sobolevmath]

Очень очень КРУУУТОО!! ТО, ЧТО ИСКАЛ КАК РАЗ, ИЗУЧАЯ МЕТОДЫ АРХИМЕДА ВЫВОДА СУММЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ НАТУРАЛЬНЫХ В РАЗЛИЧНЫХ СТЕПЕНЯХ

[@math26ru]

Обожаю выводить формулы, спасибо)

[@Omega515X]

Красиво! Очень элегантно и просто вывел! Даже не думал что можно с такой стороны взглянуть на решение!!! Очень красиво!!!!!!!

[@AibekDandaev]

Боже, как же стройно и красиво объяснена тема...

[@thetruthsofcivilizations6727]

Спасибо, Борис!!!

[@lehaZaDedov]

Борис, большое Вам спасибо, всё понятно, правда пришлось пересмотреть несколько раз, спасибо Вам за интересный контент)

[@user-ip2ey8mc3h]

Круто, спасибо!)

[@user-vy2xh4nc3u]

хорошее видео. спасибо!

[@everytingma1h557]

настоящий шедевр!

[@Realnyi_Daniel]

Это самая полезная и прикольная штука, которую я узнал за последнее время

[@zubayrzubayr6848]

Спасибо от всей души

[@user-tw1jt4no1u]

Спасибо большое

[@pizdohenschveic1217]

Ой, циферки!!! Как позновааательно

[@lexisp.5637]

Вау, спасибо, то, что искала

[@user-tj4er2bv6x]

Смотрю с удовольствием. Весело и интересно!

[@boburkhasanov6457]

Благодарю вас Борис спасибо вам большое такой метод я не видал. Я три дня подряд не мог понять это. Вы просто клево обьясняете. Вы супер Борис. СПАСИБО БОЛЬШОЕ

[@VSU_vitebsk]

на англоязычных каналах примерно так же показывают вывод этих формул

[@lizapetrukhina]

Благодаря вашим видео поступила на мф, а теперь делаю с ними дискретку). Спасибо огромное за ваши ролики!

[@ihorarefiev3182]

Хотелось бы ещё поговорить про взаимно обратные функции. Вроде как всё понятно, но было бы круто услышать от Вас объяснение этой темы.

[@GelesGames]

Большое спасибо!

[@sergeyodinokov7313]

Познавательная и наглядная демонстрация красоты математики

[@user-ti9kp8wq3b]

Есть тождество для биномиальных коээфицентов C_{n+m}^{n} = C_{ n + m - 1)^{n - 1} + ... C_{n-1}^{n-1} (доказать можно рассмотрев m-сочетания с повторениями из n+1 элементного множества) Подставляя сюда различные n можно получить формулу суммы (n-1) степеней первых m натуральных чисел

[@steWASTED]

Гениально!

[@user-ht9yk3vg1d]

Спасибо тебе огромноееее

[@c0ntinum792]

Познавательно👍

[@user-dd9ch2ps2p]

спасибо борис ты объснил просто и быстро то, что не смогли мне объяснить в школе, как бы сильно мне этого ни хотелось, такое ощущение как-будто они сами не понимают ничего и только методичка у них тупо, потому что мне запрещали решать другими способами, вот так возможно они убили будущего ученого математика, но это не точно)))

[@user-zq6pu4fd8o]

формулу знаю, но никогда бы не додумался вывести такое самостоятельно, это действительно нужно быть исследователем

[@buztok]

Thanks!

[@user-iz6gi1rf4t]

Можно вместо рекуррентной формулы воспользоваться методом, в котором предыдущие формулы не нужны: Мы видим, что сумма n-х степеней является многочленом степени n+1. Отголосок интегрирования однако. В таком случае сразу можно искать нужную формулу в виде полинома соответствующей степени. Учитывая, что P(k+1)=P(k)+(k+1)^n и что P(1)=1, получаем простую СЛАУ, из которой выводим коэффициенты искомого многочлена. Таким способом сумму десятых степеней можно вывести не за час, а за несколько минут

[@user-de7zf6sx7p]

Шикарно, спасибо

[@crazycat1503]

Замечательное видео и канал

[@MichailLLevin]

по работе иногда очень надо было найти подобные формулы. Понятно, что должен быть многочлен степени на 1 выше, значит можно посчитать (например, в Экселе или Маткаде) суммы от 1 до n+2 и построить по ним многочлен Лагранжа.

[@user-yd1bj3hn8d]

Это просто божественно! Спасибо! Кстати, это получается для натуральных степеней, а можно ещё видео для дробных? Например, сумма корней квадратных, кубических и т.п. Тоже очень интересно!! И вообще я правильно понимаю, что S выражается через предыдущие с коэффициентами из треугольника Паскаля?

[@mrisid]

Сумму корней не получится точно вычислить. У меня на канале есть примерная идея как это можно решить. Но формула для любой степени корня существует, правда не абсолютно точная.

[@user-of6hd5gv5p]

Спасибо

[@komis5555]

Хорошо сказал " лишь бы не запутаться . Есть примеры , не помню . Но при проверки их решении более сложными алгоритмами появляются парадоксы ~ n нолевых степеней не существует . Там есть n+ энергия на полный цикл .

[@user-iq8id7sp7e]

Веселее всего выводится это через сумму биномиальных коэффициентов с убывающим основанием - у Райгородского на лекции подсмотрел и потом выводил для третьей и четвёртой степеней все утро - очень муторно но зато чувство собственного достоинства сразу поднимается, как будто что-то значительное сделал. В принципе вы тоже самое сделали, только сразу на человеческом языке, без цэшек)))0)

[@servenserov]

Подумаешь, бином Ньютона! Спасибо, дошло.

[@Vordikk]

Бином же элементарно выводится, это даже как такового времени не занимает, и об этом было сказано в начале :) 1+4+6+4+1 1+5+10+5+1 1+6+15+15+6+1 и т.д. Это же обычная пирамида как его там... Имя не помню. Но делается буквально на пальцах за считанные секунды.

[@xenia2400]

Треугольник Паскаля

[@Vordikk]

@@xenia2400 да, спасибо)

[@TravelHAMRadio]

Как баран на новые ворота....спасибо,это талант и лайк

[@MrKesseker]

Борис Викторович, вы лучший! А можете сделать видео про формулу Пика? Я даже литературу не могу найти, где она бы выводилась, а не доказывалась. Везде только доказательство, а от куда она берется- Бог его знает. Буду истинно признателен. Кстати, можете посоветовать литературу по формуле Пика?

[@RomanDryndik]

Давайте теперь тоже самое через производящие функции. ;-)

[@user-sf9pi6uf6k]

Чертовски красиво! В 10 классе пытался вывести формулы для n-ых степеней, однако после на 3 или 4 уже сдался. Спасибо за классное объяснение.

[@dinaris84]

Круто! Я для 4 и 5 сделал и пока на этом остановился))

[@Vadim-33]

нахрена

[@epsilon.sw_]

@@Vadim-33 чтоб ты спросило

[@KonstantinDedov]

Интереснее через производящие функции

[@user-dq2ci8ix8r]

Можно несколько по-другому - методом неопределённых коэффициентов: Пусть S(n,k) - искомая сумма, где n-степень, k - число слагаемых Тогда S(n,k)=1**n + 2**n + ... + k**n

[@Omega515X]

Очень круто! Красиво все выводиться! Даже не думал, что можно с такой точки зрения подойти. Вопрос по теме: Как доказать что сумма первых n чисел в степени k - это многочлен от n степени k+1/ Из задачника Кострикина

[@user-of6hd5gv5p]

Раскрыл (k+1)^3,по биному Ньютона и упростил (k+1)^3-k^3,вместо k, ставил 1,2,3,....n , вычел,упростил. Просто посмотрите что такое бином Ньютона

[@-wx-78-]

Математики особо не заморачиваются, есть сумма - значит где-то рядом интеграл. А уж то, что интеграл полинома - полином на единицу большей степени, практически очевидно. 😉

[@markgornshtadt9255]

Смотрю с огромным удовольствием, хотя почти ничего не понимаю. Но после семидесяти все понимать даже вредно. Спасибо, уважаемый Борис! Учить математике нужно только так, как это делаете Вы. Завидую молодым - у них теперь такие возможности! Где мои семнадцать лет?

[@user-py1gv3kd5l]

Интересный матерьял! Спасибо! Пришлось несколько раз пересмотреть что бы лучше понять что мы делаем и для чего))..... Мне это напомнило производящие фнции. Я в школе доказывал через интерполяцию Ньютона) Снимите пожалуйста если вам не трудно фильм про то как доказать количество удачных билетов, да это в школе не проходят но все равно интересно как их можно посчитать теоретически заранее спасибо!

[@user-zn6cg6ql4h]

Трошин я от тебя ожидал более интересный вариант. Всё что ты разсказал это отлично, но я ожидал что ты покажеш вывод общего случая для любой степени,припустим для сумы членов чисел в [n-й] степени, именно общую формулу.....1^n+2^n+3^n+...+n^n+( n+1)^( n+1)

[@raff_anglewood7456]

Насколько я знаю, её и не существует. Была бы она, думаю, он бы показал её. А так, это гораздо интересней. Я сам когда с этой темой познакомился, имел надежду вывести такое, но ничего не получалось

[@user-vs0s1su4ka]

Я еще когда был школьником и ходил на олимпиады умел выводить эту формулу для произвольных k, но не таким жутким способом как БВ :-) Я просто заметил, что сумма k-ых степеней первых n чисел это многочлен от n степени k+1, затем методом неопределенных коэффициентов находил его коэффициенты (зная значения многочлена при n = 0, 1, 2 и т.д.). Там система линейных уравнений. И все формула готова! Если нужно доказываем ее по индукции и пишем ч.т.д.

[@trushinbv]

Да, так я тоже умею ) Но я не сказал бы, что это сильно проще. И это хорошо работает, когда заранее знаешь, что это многочлен нужной степени. А так, поставьте эксперимент, -- выведите сумму 4-х степеней этим способом и вашим (вместе с доказательством по индукции). Не уверен, что второй способ будет быстрее.

[@user-zu4mv6it4z]

Стоит доказать, что это многочлен, но это не так сложно. Можно не решать систему уравнений, а сделать интерполяцию Лангража или, что лучшей всего, использовать производящую функцию.

[@leonidalekseyev3809]

@@user-zu4mv6it4z а я думаю, что метод производящей функции работает только для бесконечных сумм, а у нас задача - вывести выражение для конечной суммы

[@user-zu4mv6it4z]

@@leonidalekseyev3809 нет, для конечных работает. Возьму функцию (x^n-1)(x-1) и применю нужное число раз преобразование g=x*f'. Получу производящую функцию конечной последовательности, с помощью чего легко найти сумму степеней.

[@leonidalekseyev3809]

@@user-zu4mv6it4z спасибо, это было очень познавательно для меня!

[@user-uy6es8nu9h]

Здравствуйте, можете порешать студенческие олимпиадные задачи, как я понял они специфичные и как к ним надо готовитсч?

[@dmitriyg3205]

Люди, шарящие матанализ, могут заметить схожесть этой целочисленной задачи с задачей про действительные числа. Сумма похожа на интеграл, и, чем больше членов в сумме, тем больше похожа. А первообразна x^k хорошо известена x^(k+1)/(k+1). То есть мы понимаем, что ответом будет полином по n со старшим коэффициентом n^(k+1)/(k+1). Оставшиеся коэффициенты легко найти методом неопределенных коэффициентов, решив разностное уравнение f(n+1)=f(n)+n^k.

[@egeogeonline]

Хороший ролик и интересная история. А если готовиться только в ютюб можно получить высокий балл? Как считаете

[@user-ri3um3zv5x]

Всё очень даже красиво!!! Теперь, было бы здорово понять где это можно использовать... , в 19 заданиях ?

[@rodionselin4445]

Олимпиады)

[@idkravitz]

В конце очень не хватило итогового наблюдения, что S_3 = S_1^2, а значит 1^3 + 2^3 +... + n^3 = (1 + 2 +... +n)^2, что довольно красиво

[@Nikitacoolgames]

Го еще что-нибудь с рекурсией порешаешь)

[@georgian_thoughts]

Можно формулу Бине разобрать?

[@kostyabah3569]

В данном видео касались незаметно касались зетте-функции гипотезы Риммана. Не могли бы на пальцах обяснить, как зетта функция влияет на последовательность простых чисел!

[@user-fw9wy9ii1g]

Здравствуйте, Борис! А как можно определить сумму Nых степеней, рассматривая её как последовательность с шагом a^N (a=1,2,3...), методом неопределённых коэффициентов Задачку взяла с проблемсов problems.ru/view_problem_details_new.php?id=61430

[@Realnyi_Daniel]

Борис, я тут пытался вывести формулу 5-й степени через 6-ю: 1^5 + 2^5 + 3^5 + 4^5 + ... + n^5. Вообщем, я получил формулу, упростил, но она не работает. Я несколько раз перепроверял, но всë тщетно. Получается, формула не работает? Можешь снять видео про это, если интересно

[@user-le6mg6rx9b]

это ведь оптимизация циклического алгоритма. Сколько экономится итераций цикла и машинного времени вычислений!

[@ppomogaev9]

А что если мы предположим, что сумму n m-ных степеней можно задать многочленом от n степени m+1? Иными словами: предположим, что существует такой многочлен P(n), что 1^m+2^m+...+n^m = (a1)n + (a2)n^2 + ... + (a(m+1))n^(m+1) = P(n). К сожалению, не знаю как это можно строго доказать для произвольного натурального m. Тогда P(n+1)-P(n) = (1^m + 2^m + ... + n^m + (n+1)^m) - (1^m + 2^m + ... + n^m) = (n+1)^m = (a1)((n+1) - n) + (a2)((n+1)^2 - n^2) + ... (a(m+1))((n+1)^(m+1) - n^(m+1)). Итого: слева и справа многочлены одной степени и просто сравнив коэффициенты слева и справа можно найти (a1), (a2) ... (a(m+1)). Для третьей степени, при помощи такого метода, ответ очень быстро находится.

[@cai6033]

Вместо бинома можно пользоваться таблицей паскаля

[@Julabelaja]

Треугольником

[@Samilmetov]

@@Julabelaja треугольник это по факту и есть таблица,только там будут присутствовать нули,которые в треугольнике не пишутся

[@user-ii9xd4oh2r]

Треугольник Паскаля помогает найти коэффициенты в биноме Ньютона при небольших показателях

[@user-mz5ey9ii4q]

Формулу суммы кубов арифметической прогрессии от единицы можно написать короче (n*(n+1)/2)^2

[@user-cf6xj5ck2t]

Давайте про Бином Ньютона

[@user-lv7os8tt1u]

Борис Викторович, а существует ли общая формула для суммы n-ых степеней?

[@tttuuurrrfff]

В каком-то выпуске Кванта была точно :)

[@s.s.9276]

Это было в сочинении Архимеда о спиралях. Лучше бы показали, как он к этому пришел геометрически, а не просто абстрактными формулами. P.s. Если не ошибаюсь, то можно найти в " Рождение логарифмов" Абельсон

[@trushinbv]

Мне кажется, что там только про сумму квадратов было.

[@s.s.9276]

@@trushinbv да, но там показана взаимосвязь с биномом, а поняв какая связь, можно вывести и остальные. А бином, думаю, удобнее было бы объяснить через треугольник Паскаля. А дальше люди уже сами будут выводить по нему до нужной им степени.

[@arthurmolchanov6510]

Здравствуйте С 10:20 не понял что Вы делаете? Откуда эти цифры берутся?

[@user-of6hd5gv5p]

kzbin.info/www/bejne/hYTFYmdseNyMp6M

[@mik5482]

Прошу прощения за тупой вопрос, как первый шаг, который привёл к формуле -(k+1)^2-k^2 вообще возник, т.е. каково рассуждение, которое привело к этому шагу? И спасибо за видео, очень интересно!

[@---tn8qj]

это разность квадратов, т.е раскладывается по формуле: (k+1)^2 - k^2=(k+1-k)(k+1+k)=2k+1

[@haykharutyun3708]

Хотелось бы узнать про сумму a^n + b^n, и про то как вывести формулу для решения таких уравнений. В конце концов эта формула используется намного чаще, чем 1^n + 2^n + 3^n ... + k^n , и как мне известно, эта формула похожа на бином Ньютона.

[@HaleraVirus]

a^n + b^n - это случайно не великая теорема Ферма?

[@haykharutyun3708]

@@HaleraVirus ну да, но я имел ввиду вывести a^n+b^n с помощью а и b, и теорема Ферма здесь не очень важна

[@gemeni0]

6:21 Вы не правы. На первый бином у вас потрачено 20 секунд не считая отдых, на второй уже 35, на третий же уже 70 секунд. Так что никоим образом не полминуты.

[@alexkutasov3506]

ожидал рассказ о числах бернулли

[@LEA_82]

Думаю, иногда запутываются математики, даже если они очень внимательны. Особенно когда много формул и длинные они.

[@user-hd2sw6fd1j]

такой вопрос: если S1=n(n+1)/2, S3=n^2(n+1)^2/4, то можно предположить, что S5=n^3(n+1)^3/8?

[@aidrenkaslcs]

Предположить-то можно. :-) Но работать это не будет. Например, n = 2. 2^3*(2+1)^3/8 = 8*27/8 = 27. В то же время 1^5 + 2^5 = 1 + 32 = 33.

[@user-df7gp7yc2y]

Если посидеть подольше то можно вывести для n-ой степени

[@user-tc1pe2xh2d]

То есть сумму n-ой степени можно вывести, если написать сумму(n+1) и вычесть их? Это единственный способ? Если понадобится вывести сумму 5-ых, то без знания 4-ых и 3-их никак не вывести?

[@trushinbv]

Нет. Можно понять, что сумма k-ых степеней -- это многочлен (k+1)-ой степени. А значит, достаточно посмотреть значение для (k+1) значения, чтобы восстановить этом многочлен. Например, понимая, что 1+2+3+..+n = an^2+bn+с, получаем: 1 = a+b+с 1+2 = 4a+2b+с 1+2+3 = 9a+3b+с Получаем три уравнения с тремя неизвестными, откуда находим a,b,c

[@allbirths]

@@trushinbv что ни тема, то боль. Пришлось вернуться к восстановлению формул из набора данных( вот восстановил сегодня для ряда 4-й степени. больше 10-и операций x/6(5x^3+x^4-5x^2+10x-5). Очень тяжело, особенно когда 1 -> 1, никаких приростов

[@allbirths]

@@trushinbv а с темой я не закончил, времени маловато, но, этого мне и не хватало, не хватало этих серединок , этих кусков площади на графиках!!! вот этих (a*x+k)(a*x+k) -> 2a*x*k На каждой степени терялось это, но логика очевидна. Оказывается, мы начинаем не с (a*x+k)(a*x+k) и далее к (a*x+k)(a*x+k)(a*x+k) !!!! нет, мы начинаем и не с 1*(a*x+k), и даже не с 1/(a*x+k)*(a*x+k) а с глубины бесконечности почти с нуля и шли через разные основы измерения (частное). Оказывается. на каждом этапе умножения есть все элементы с этой степенью n-2 n-1 ; n-2 n-2 ; n-2 n-3, они просто взаимно уничтожались исходя из отрицательных степеней!!! Я завтра это изучу, но для восстановления формул не хватало этих смежных областей. И что-то я боюсь придти к бесконечным рядам множителей со степенями от доли бесконечности, но пока обхожусь

[@allbirths]

@@trushinbv только добрался до формул, и, блин, нет, если ставить доли от единицы. то пойдет к нулю, но с минусом идет в минус. Представь, что в квадрат возводим kx+a и исследуем остатки при разных степенях,и везде есть такая часть n* ( kx^(n-1)*a + kx*a^(n-1) ) n- это число степеней, и подставь в разные степени, и получится даже 2kxa, 0, 1 , а - это уже скрытая часть, с минусом пойдешь в минус, но там есть еще кое-что скрытое , что должны вычитать, походу

[@allbirths]

@@trushinbv мда, получился бином в сторону увеличения(( буду исследовать минус и близость к 0( сначала я вывел зависимость, потом оказалось ,что это сумма ряда и далее получалось парно и следом умножение на -1 в числителе и + 2 в знаменателе. Наверное, это и есть бином Ньютона, ну теперь я его полностью прошариваю

[@iiiapuk2268]

а как же итоговая формула для 1^n+2^n+3^n+….+k^n???

[@muzjazz3722]

её уже вывели, но она очень сложная, там какие-то числа бернулли

[@Greedpeace]

Ага легко :))) Бернулли свои формулы подбором нашел, потому как начиная с 6 степени многочлены уже не имеют корней и не раскладываются на множители...

[@user-py1uw5sh8n]

@@Greedpeace с пятой

[@iXNomad]

​@@Greedpeace наверное всё-таки имеют корни, но их нельзя найти, применяя к коэффицентам операции +-×÷ и извлечь корень n-ной степени, в принципе не существует такой формулы. И это с 5й степени даже и выше.

[@user-wp1ob5ov5q]

@@iXNomadу да, это доказал Галуа, и корни есть, но их, опять же, найти нельзя

[@AlekseyGoryaev]

А я бы для 10 степеней понял, что это многочлен 11 степени. И методом неопределённых коэффициентов искал таковой по первым значениям.

[@Griffono101]

В видео не нашел ответа на давний вопрос - как докзать что кооф. для k-тых степеней при старшей степени 1/(k+1)?

[@trushinbv]

Смотрите, на 16:10. Коэффициент 4 -- это второй коэффициент у (a+b)^4. В общем виде второй коэффициент у (a+b)^k -- это k. Кажется, что это отвечает на ваш вопрос.

[@user-gm1mg8gg5m]

Возьмите и посчитайте предел просто...

[@Nikki2033]

возьми, да продифференцируй. Делов-то.

[@user-gk9zj8qq4i]

Название задало мне задачку: сколько будет Борис Трушин факториал?

[@NAKIGOEORG]

побольше ДВИ МГУ

[@Skorlupka]

Можно ли вывести общую формулу для суммы н-ных степеней?

[@user-zn6cg6ql4h]

Я тоже хотел бы видеть такцю формулу.

[@Serafim-oL]

Пока нельзя

[@user-ot4jy8vl7i]

Борис, здравствуйте! Большое спасибо за такое выведение. Давно мечтал его увидеть. Единственное - расскажите пожалуйста почему мы взяли именно (n+1)^2 в качестве вычитаемого? (6:58) Откуда вообще идея с вычитанием? Заранее спасибо!

[@9TailsExar]

сумма кубов получается квадрат некоего числа

[@tvb1951]

красиво, я обычно при помощи неопределенных коэффициентов

[@tvb1951]

а асимптотику (знаменатель, коэфф при старшей степени) определенным интегралом от x^n

[@koleso1v]

Прикольный способ, но я не уверен, что быстрый. Я обычно просто приравниваю ответ неизвестному полиному степени выше, а потом по n точкам нахожу коэффициенты полинома.

[@trushinbv]

Да-да, я так тоже умею ) Но для этого уже нужно было много раз видеть эти формулы и заметить, что всегда многочлен получается степени на 1 выше. А это видео скорее для тех ,кто вообще первый раз об этом задумался. Странно для них сразу постулировать такие неочевидные идеи )

[@koleso1v]

@@trushinbv идея-то как раз очевидная, потому что суммирование одинаковых степеней равномерно нарастающих чисел с родни интегрированию полинома x^k. Более того, можно даже показать, что искомая сумма меньше \int_1^{n+1}{x^k dx}=((n+1)^k-1)/(k+1), а также больше \int_1^{n+1}{(x-1)^k dx}=((n+1)^k-1)/(k+1). Но оба ограничения имеют старший член полинома x^{k+1}/(k+1), то есть мы должны искать решение в виде n^{k+1}/(k+1)+a*n^k+b*n^{k-1}+... Единственное что, мне что-то теперь кажется, что мой метод медленнее, чем ваш, потому что у меня О(n^3) операций, чтобы обернуть матрицу неизвестных коэффициентов, а у вас, похоже, можно за О(n^2) управиться.

[@trushinbv]

@@koleso1v )) Для того чтобы понять то, что я рассказываю достаточно знаний семиклассника. Обычно про это именно тогда и говорят.

[@koleso1v]

@@trushinbv ну если для семиклассников, то согласен. Кстати, а сейчас семиклассники знают, что такое треугольник Паскаля, то есть коэффициенты бинома Ньютона, а также, что они даются соотношением C^k_n?

[@trushinbv]

@@koleso1v, скорее нет, чем да. Поэтому я и не ссылаюсь на него, а "руками" вывожу бином для маленьких n.

[@orpheus3803]

Очень классный способ! Но ведь сам этот способ нахождения формулы был по сути подобран? Нету никакого вывода логики такого решения?)

[@n3T1337]

по сути это доказательство по индукции, только в разжеванном виде

[@user-vf6cp5vw6s]

есть. просто человек который это вывел понимал, что на самом деле сумма кых степеней - это как бы интеграл. поэтому он взял и понял следующее - что такое вот вычитание это как эффективное дифференциорование для конечных рядов. т.е. идея вот так взять старшую степень и вычесть не случайна

[@mp443]

А я их по другому способу выводил

[@ununeniy5843]

А чему равно 1^1+2^2+.....+n^n ?

[@SM321_]

Хороший вопрос

[@SM321_]

Сумма 1^k + 2^k + 3^k +... n^k равна 1/(k+1) * [Сумма от i=0 до к]: ([Бин. Коефициент k+1 над i] * n^(k+1-i) * B{i}) + n^k где B{i} i-тое число Бернулли. Теперь просто вставим n на место k.

[@alexramzes8021]

Может я немножко тупой но я не понимаю почему 2(1+2+3+4+...+ n)+n=n*n+2n

[@user-pm8tp4fb8y]

Какие геометрические фигуры соответствуют квадрату суммы, кубу суммы и (а +в) в 4-ой степени ?

[@kift.]

Гиперкуб

[@user-pm8tp4fb8y]

@@kift. Как измерить площадь и объём гиперкуба?

[@kift.]

@@user-pm8tp4fb8y Объем тессеракта, очевидно, равен V=а⁴. Площадь (площади у него нет, есть поверхностный объём) же находится по формуле V=8a³

[@user-pm8tp4fb8y]

@@kift. V=8a³ я вижу 8кубов со сторонами "а",где цифра 8 это количество кубов.

[@kift.]

@@user-pm8tp4fb8y Да, всё верно. Это поверхностный объем гиперкуба.

[@iamchoklick8362]

Деление столбиком в конце просто взорвало голову

[@yessimovaindira8016]

Непонятно откуда взялась идея отнимать от (1 + 1)^2 + (1+2)^2 ... (1+ n)^2

[@trushinbv]

Это же почти тот же ряд, сдвинутый на 1

[@user-jy6cs3hp2g]

Я вывел с помощью бинома Ньютона суммы n-ых степеней) Сумма(частица сигма) от м=0 до n+1 при сочетании из n+1 элементов по m умноженные на k^n+2-m и все минус один,минус сумма(частица сигма) от t=2 до n+1 при сочетании из n+1 элементов по t умноженное на 1^n+1-t +2^n+1-t +3^n+1-t ..... k^n+1-t и все это деленное на n+1.

[@user-zn6cg6ql4h]

Так где же она эта формула..... напиши нормально или сфоткай

[@user-jy6cs3hp2g]

@@user-zn6cg6ql4h,так куда отправить то у тя есть ВК?

[@user-jy6cs3hp2g]

@@user-zn6cg6ql4h, отзовитесь.Я сфоткал давно.Куда отправлять?

[@ivanshilyaev300]

Можете, пожалуйста, показать, как вывести эти формулы через Дискретное преобразование Абеля?

[@fufloradar]

Как найти a^0 + a^1 + a^2 + a^3 + ... + a^N ?

[@trushinbv]

Это геометрическая прогрессия. Посмотрите соответствующий ролик

[@fufloradar]

@@trushinbv 👍🏻👍🏻👍🏻👍🏻👍🏻 Спасибо!

[@error_zifpe]

А к чему все приравнивается ?😝только к самому себе 🤣🤣🤣 божественно число бесконечности в сечении в середине они одинаковые и эти одинаковые в сечении середины также одинаковые .....😝√2=11 то и бесконечность ×бесконечность =√2 🤣🤣

[@daivmon6868]

У меня вопрос. Можно ли работать ученым и одновременно учиться очно？а заочно? И при этом будет ли это эффективно. И, если можете, напишите сколько у вас за день свободного времени

[@trushinbv]

Что для вас означает "работать ученым"?

[@daivmon6868]

Ну, наверно, помимо основной работы （допустим преподавание лекций ）успевать и науку продвигать, писать статьи. Просто, насколько я знаю, люди, которые “идут в науку” занимаются именно преподаванием и свободное время уже посвящают науке. Если что сам я хочу стать математиком, поэтому все что я написал в большей степени относиться к ней

[@alexandersedykh9280]

Как вы разложили на множители 2n^3 + 3n^2 + n. Есть ли урок по разложению на множители?

[@trushinbv]

Вынесите n, а дальше просто квадратный трёхчлен

[@muzjazz3722]

Я думаю, что чем больше степень, то меньше запросов на неё, и больше времени тратится. Но вопрос: есть ли какая-то зависимость между степенью и частотой использования, или степенью и временем вывода? можно ли это как-то с точки зрения статистики

[@cicik57]

так и не вывел общую формулу с числами Бернулли