Только 2% могут решить. Одна из самых красивых задач по геометрии

Мой канал в VK - yellow.school
Все данные на рисунке, надо найти угол Х.

[@raincloud1898]

Не надо строить равностороннего треугольника. Строим высоту внутреннего треугольника от угла x. Получается прямоугольный треугольник у которого один из уголов 30 градусов. Страна против етого угла есть половина гипотенузы = a. Потом тоже самое...

[@mikhailkadomtsev4886]

Я именно так и решал. И только потом увидел, что кто-то до меня решал так же. Ну а так, опускать высоту конечно проще и понятнее, Это даже не назовешь дополнительным построением. Так что, без сомнения, этот способ предпочтительнее

[@manshandan2624]

Спасибо! Красивое решение. Можно, конечно, и по-другому, например двух перпендикуляров (от угла х и вершины) но, согласен, так же - красиво!

[@katajator4114]

Очень красивое решение, с удоволтствием посмотрела. Спасибо.

[@TrancePartyVideo]

а я решил алгебраически без сумасшедщих этих построений, достаточно достроить высоту (h), катет прилегающий к углу x например назовем y, и выразим высоту тремя способами: tg45*(a+2a-y) = tg60*(2a-y) = tgx *y .., потом путем несложных вычислений приходим к тому что тангенс икс равен 2+корень из трех, что соответствует углу 75 градусов.., наверное если посидеть можно составить красивую алгебру даже , но от корней не уйти.., тангенс 60 это корень из трех..

[@GalinaZaugolynova]

Я тоже решила, как и вы - алгебраическим путем, опустив высоту и выразив её из образовавшихся трёх прямоугольных треугольников, но понимала, что это не то. Ответ некрасивый. Помучавшись, так ничего и не придумала, слишком зациклилась на этих треугольниках, стала смотреть решение и увидела то, что и ожидала - красота.

[@user-sc2qr9mi7v]

Суть таких задач - геометрические построения. Поэтому вся тригонометрия не канает, тем более, что угол 75 градусов не табличный.

[@Crotify]

"а я такой молодец, обошёлся без этих СУМАСШЕДШИХ построений, и получил ответ арккотангенс корня четвертой степени из произведения десятичного логарифма от трёх целых восьми десятых умноженного на хрен пойми ещё какую лабуду"

[@user-jx1nt4vu1h]

Красивое решение. Можно, конечно, и по-другому, но, согласен, так - красиво!

[@arbo1219]

Прогресс налицо. Так держать!

[@dimitarganchev3222]

Вроде и центр описанной окружности нашли как посторонний эффект.

[@antonluchezarnov934]

"Посторонный"? Исправьте пожалуйста комментарий, что бы ошибки не было.

[@dimitarganchev3222]

@@antonluchezarnov934 Спасибо за замечания, русский не родной для меня. :)

[@x_rays]

Так лучше и начинать с описанной окружности. Так решение более краткое.

[@mikhailkadomtsev4886]

Задача красивая, но предложенное решение далеко не самое простое. Да, проще опустить перпендикуляр от угла на ту сторону, которая внутри треугольника. Получится треугольник с углом 30 градусов., а дальше очень быстро доказывается, что смежный прямоугольный треугольник имеет углы в 45 градусов. Стало быть, 30+45=75

[@Massaraksh7]

Задача решается универсальным методом: возьмем за точку (0,0) системы координат самую правую точку треугольника. Тогда прямая с углом 45° имеет уравнение y=-x, прямая с углом 60° имеет уравнение y=-sqrt(3)(x+a). Решаем систему из двух линейных уравнений, находит координату пересечения, то есть самой верхней точки (-sqrt(3)*a/(sqrt(3)+1), sqrt(3)*a/(sqrt(3)+1)). Координаты самой левой точки (-3a,0), средней точки (-a,0). Зная все координаты, вычисляем стороны треугольника. Зная все стороны треугольника, вычисляем все его углы массой способов. Можно для упрощения a заменить на 1, углы от этого не изменятся.

[@jsjdjdhcuchc7569]

Высший пилотаж 🔥

[@IvanPetrov-td6dk]

А я с помощью теорем косинусов и синусов выразил синус искомого угла, подставил его в маткад и взял arcsin, тоже получил округлённо 75 градусов. Но это решение, конечно, куда элегантней.

[@user-ht8sp1cu9v]

Решение с построением перпендикуляра из вершины тр-ка на сторону (2а+а). С помощью теормы синусов находим показанный на чертеже отрезок из вершины тр-ка на сторону (2а+а); из вершины опускаем перпендикуляр на эту сторону; из полученных прямоугольных тр-ков находим катеты и синус угла: Sin x=0,5*(2-(3)^1/2)^(-1/2)=sin30*cos45+cos30*sin45=0,9659... Ответ х=arcsin(0,9659)=sin(30+45)=sin 75

[@user-ht8sp1cu9v]

Дополнение: при определении отрезка, указанного на черетеже, из вершины тр-ка на сторону (2а+2), нужно знать sin15, который легко находится из 2-х уравнений; sin30=1/2=2*sin15*cos15 и (sin15)^2+(cos15)^2=1

[@user-ds7pk1xu3h]

Очень красивое дополнительное построение до равнобедренного треугольника 👍👍👏👏👏🤔

[@iwdik]

Измените хотя бы один из заданных углов, ну и?!!!

[@user-wj9lf2pu9l]

Красивая задача!

[@user-gx3je5hv9n]

Задача красивая , но решение просто Блеск!!!❤

[@danil907]

Достраиваем до 2а, треугольник получается равносторонний. Смотрим на углы, понимаем что тут есть подобные треугольники, а значит х=60+15. Ходы если расписывать почему они подобны, решение вряд ли короче получиться.

[@user-yh5wt8qk4z]

Провели от вершины угла Х перпендикуляр к отрезку внутри нашего треугольника и быстрее все получится

[@user-tw6ro9um8o]

А можно ли решить достроив до прямоугольника?

[@santashmyakus8516]

Без построений из теоремы синусов для двух треугольников получится выражение вида: sin(60+x)=C*sin(45+x). C - коэффициент известный. Отсюда tg x находится, а значит Х.

[@romanpadalka8532]

Элегантное решение

[@frederiktatum9918]

Класс 👍

[@user-fl9bu1jk1s]

Почему же этому не учат в школе? Учат, учат в 7-м классе. Достаточно знать теорему о сумме углов треугольника, теоремы о равнбедренных треугольниках и теорему о длине катета прямоугольного треугольника, лежащего против угла в 30 градусов. Неудобно, когда точки на чертеже не обозначены буквами, без этого трудно кратко написать решение.

[@user-xg3zt8qd3i]

Впервіе увидела такое красивое решение этой задачи.

[@chugun7881]

У меня с другим, гораздо более быстрым решением ответ иной, а чей правильный я не знаю. Может знатоки подскажут? Суть такова: По свойству смежных углов находим угол смежной 60 градусам. То бишь, 120. Суммируя 2 угла (120+45) получаем 3 угол (35 градусов). Если сторона "а" протволежит углу 35 градусов, то угол "2а" равен 70 градусов. Ну и "x" бужет равен 50 градусам

[@BakkalV]

Решил иначе. Опустил высоту из вершины. Пусть отрезок от основания высоты до угла 60 будет "у", а длина высоты "н". Рассмотрев 2 треугольника (вершина, основание высоты и угол 60 и вершина, основание высоты и угол 45), получаем 2 линейных уравнения, из которых находим "н" и "у". Рассмотрев треугольник вершина, основание высоты и угол "х", находим tg(х)=2+Корень(3).

[@user-ji9uw5ef1n]

А это тангенс 75 градусов- если расписать 75=30+45 и воспользоваться тангенсом суммы. Решила проверить и как раз совпало.

[@MrArcan10]

из построений - высота. Из использованного - теорема синусов, ну и определение синуса/косинуса/тангенса. Всё. Я вхожу в 2%?

[@maximshukanov3267]

А я блин провёл с верхнего угла высоту и через арктангенсы решал. Но тут калькулятор нужен. Потом я решил собственно вашим методом, но без синего равностороннего треугольника, только прямоугольным.

[@olegsemin5716]

Чем больше цветов - тем красивее задача! Нужно столько или нет - неважно!

[@user-pd7js7cy9m]

Вариант «старого зубрилы». Рисунок Ваш , но углы не 60°, а ‘ъ’ и не 45° , а ь

[@user-fm3no5gm9t]

Только ответа мы тут не получили. А лишь вывели формулу

[@alexey_latyshev]

Красиво. А я в лоб, через теорему синусов решал)

[@BakkalV]

Кстати, интересной задачей будет "найти через радикалы тангенс 75 град".

[@user-ji9uw5ef1n]

По формуле тангенса суммы как раз получается, 30+45

[@ivan_577]

4:42 вы надеялись на то, что вам кто-нибудь ответит😂

[@djlostelement]

Прикольно, но вот я пошел тяжелым путем, через подобные треугольники и тангенс этого угла Сделал доп построения, ну и получил в итоге tg=√3+2, но как прийти к выводу что это 75 градусов ?

[@Evgeny-2718]

Просто нужно помнить, что tg 15 =2-√3, tg 75=2+√3. Примените формулу tg (30+45), и Вы получите этот результат. А теперь смотрите действительно красивое решение. Во всех смыслах. Не обращайте внимания на английский. Все понятно без слов! Это решение и много других появилось задолго до этого ролика.

[@Evgeny-2718]

kzbin.info/www/bejne/n2eUdH2KeNF0n7M

[@Evgeny-2718]

Не обращайте внимания на название канала. Все, что излагает автор, в школе преподают , причем гораздо лучше, чем это делает он со своими кривыми чертежами! А его идея с построением равностороннего треугольника не выдерживает никакой критики! Здесь это СОВЕРШЕННО НЕ НУЖНО!! Если Вы просмотрели решение по ссылке, то могли в этом убедиться.

[@Evgeny-2718]

Мне понравился пассаж автора, что"... над этой задачей я думал долго"! Подозреваю, что он думал долго над тем, как бы переделать чужое решение так, чтобы оно выглядело самостоятельно полученным и максимально отличалось от источника. Не удалось. Все равно "торчат уши" источника (см. ссылку).

[@user-nb5gj1er4s]

"Каждый день новое видео?" и сколько новых видео ты записал за последние 365 дней??? можно ссылки на них?

[@AlexeyEvpalov]

Без построений. Обозначим отрезок внутри треугольника b. Тогда по теореме синусов: из левого треугольника b/sinx=2a/sin(180°-(x+60°)), из правого треугольника b/sin45°=a/sin15°. Выразим из первого b/2a=sinx/sin(x+60°), из второго b/2a=sin45°/2sin15°. Приравняв правые части, получим уравнение sinx/sin(x+60°)=sin45°/2sin15°. Откуда x=75°. Проверка: sin75°/sin(75°+60°)=sin45°/2sin15°, подставив sin15°=cos75° и sin135°=sin45° (по формулам приведения) в равенство получим 2sin75°cos75°=sin45°sin45°, свернём sin двойного угла и подставим значения sin45°, sin150°=2/4, sin30°=1/2 (верно). Ответ: x=75°

[@blunt9845]

Красиво, спору нет. Но я «поверил алгеброй гармонию». Обозначим "L" линия от вершины до точки между "2*а" и "а" и включим теорему синусов: L/sin(x)=2*a/sin(180-60-x) и L/sin(45)=a/sin(60-45). Получим x=arctg(1/(2-sqrt(3))) = 75º. Алгебра это геометрия для ленивых.

[@user-dq3kt5qt2l]

Только равносторонний треугольник лишний.

[@user-wi8iq3hn3k]

Если лень придумывать красивое решение, можно всегда теоремами косинусов всё сделать. В этом случае у меня ушло минут 5.

[@FM-yq8yfXYZ]

Вершина равнобедренного треугольника это всё.

[@user-qm8fu6vh2z]

Самое длинное решени ер

[@sabonisyaka25]

надо в условии говорить, что ответ должен быть в градусах. а то я получил arcctg(2-sqrt(3)) и успокоился

[@john_htc]

Я нашел тангенс х и обнаружил, что угол равен 75 градусам. И тут я с удивлением увидел решение представленное в видео, гениальное решение будет именно таким)))

[@goshatsitsiak7367]

А как ты тангенс нашел , расскажи пожалуйста

[@iwdik]

Бедная Муму. Подобные задачи я решал в школе 60 лет назад, изучая на уроках основы тригонометрии! Метод построений в данном случае сработал, а если бы хоть один угол был задан с отличием хотя бы на 1'', как тогда?!! С помощью калькулятора я просчитал быстрее чем Ты рассказал. С таблицами Брадиса времени ушло бы больше, но калорий меньше

[@user-uj5jt9fx7e]

Очень.

[@user-qk2dz7ze3k]

Можно было закончить решение, когда стало понятно, что левый треугольник прямоугольный и равнобедренный.

[@user-ye1zl4bv5u]

Красава

[@user-rg9hs6zb8w]

Учат, учат в школе, а тут бац...

[@user-hm8yq6qc5d]

Зачем столько писанины? Тут всё понятно сразу-60+45 равно 105 и от 180 минус 105 равно 75 градусов,и всё!!!

[@sl_on]

Потом складываем 7 + 5 = 12. Тебе 12 лет

[@iwdik]

Дойка! Задай другие угла и попробуй просчитать.

[@vitk400]

Долго, глупо. Опускаем высоту к стороне треугольника 2а. Два рассуждения и угол х равен 60 градусов.

[@user-ct1pu3vq4i]

Согл

[@user-ct1pu3vq4i]

Согласна

[@nicherix]

Очень сложный и муторный путь. Гораздо проще решить через высоту.

[@Evgeny-2718]

Как мне кажется, Вашим подписчикам было бы понятнее, да и у Вас не наступил бы "ступор", если бы Вы начали с естественных и логичных построений : из вершины красного угла проводим перпеникуляр, а из основания перпендикуляра проводим медиану к гипотенузе (это стандартный прием). Более того, в этой задаче медиану можно и не проводить .Маленький равносторонний треугольник в принципе здесь не нужен! А затем основание перпендикуляра соединяем с вершиной угла 45 градусов. И все становится прозрачным и понятным! Остается только вычислять углы! И тогда никто бы не сказал, что это "сумасшедшие построения" (цитирую подписчика). И снова просьба : делайте, пожалуйста, красивые рисунки. Школьникам это важно! Ведь Вы все равно готовите рисунок заранее. kzbin.info/www/bejne/n2eUdH2KeNF0n7M&ab_channel=MathWindow. А вот этого человека в школе научили, а Вам не повезло. Сравните рисунки, и Вам должно стать стыдно!

[@Nyarly_Relyeh]

в Вашем построении мне не до конца понятно, почему при построении прямоугольного треугольника, перпендикуляр попадет именно в конец отрезка длиной а. не понимаю, как именно это доказывается. один угол - 60. почему при построении из основания перпендикуляра будут именно 60 и 30 градусов? Вот эту часть решить я не смог(

[@Evgeny-2718]

@@Nyarly_Relyeh Когда Вы проведете медиану к стороне 2а, она, по теореме, будет равна а , а значит маленький треугольник-равносторонний. 90-60=30.

[@Nyarly_Relyeh]

@@Evgeny-2718 я уже все позабыл. извините, про какую теорему речь? подскажите пожалуйста.

[@Evgeny-2718]

@@Nyarly_Relyeh Медиана к гипотенузе равна половине гипотенузы. Есть и обратная теорема: если в треугольнике медиана равна половине стороны (к которой она проведена), то треугольник прямоугольный.

[@Nyarly_Relyeh]

@@Evgeny-2718 Огромное спасибо!

[@iwdik]

Прочитал заглавие. Мне очень стало стыдно за современный уровень обучения. 2%?!! Это же позор! Примитивная задачка доя школьника 60тых годов прошлого века.

[@anastasiyapavlova]

1.Рисунок начерчен некорректно.2.Что ж так сложно, это же геометрия. Сделать построение по рисунку и просто измерить угол х.

[@closer_to_the_unknown]

Приведу свое решение без доп. построений По теореме о внешнем угле треугольника находим, что в правом треугольнике угол сверху будет 15*. Далее для правого треугольника применим теорему синусов (a / синус угла сверху = отрезок, делящий больший треугольник / синус угла справа), а для этого надо найти sin(15*). Для этого применим формулу синуса разности (sin(a - b) = sin(a)cos(b) - sin(b)cos(a)), sin(15*) = sin(45* - 30*) = sin(45*)cos(30*) - sin(30*)cos(45*) = (√6 - √2)/4. Перемножив крест-накрест получим, что отрезок, делящий большой треугольник на два маленьких, равен a(sin(45*) / sin(15*)). После несложных преобразований мы получим a(1 + √3). Теперь используем для левого треугольника теорему косинусов для нахождения левой стороны. Применяем и получаем, что левая сторона - a√6. Теперь для левого треугольника применяем теорему синусов ((1 + √3)a/sin(x) - a√6/sin(60*)). Сокращаем на a и после некоторых преобразований получим, что x = arcsin((√6 + √2)/4). Выражение в аргументе арксинуса очень похоже на sin(15*), и действительно, если использовать синус суммы, а не разности, то sin(45* + 30*) = sin(45*)cos(30*) + sin(30*)cos(45*) = (√6 + √2)/4. Таким образом мы получаем, что x = 75* Хотя, геометрия тут заканчивается на теореме о внешнем угле, все остальное - алгебраические выкладки, решение автора красивое, но додуматься до него обычному школьнику довольно непросто

[@HaRezk4]

Решение не обоснованное, за такое объяснение 0 баллов

[@to-bee-fox353]

Слишком длинный способ можно было и быстрее и без сумасшедший построений

[@user-ux5uy3gs7j]

Это все равно, что чесать правое ухо через Владивосток!!

[@user-np9bu4oy5f]

Зачем хорошую задачу поганить некачественным чертежëм? Причëм,вы это делаете с завидным постоянством. Пожелаю вам избавиться от "фирменного стиля".

[@Evgeny-2718]

Об этом я пишу ему постоянно. Как с гуся вода! Я бы еще добавил, что задача испорчена плохо (бездарно) переделанным решением отсюда: kzbin.info/www/bejne/n2eUdH2KeNF0n7M. В попытке выдать решение за оригинальное.

[@user-np9bu4oy5f]

@@Evgeny-2718 посмотрел, не зная английского,всë понятно, и видно.

[@Evgeny-2718]

@@user-np9bu4oy5f Это китайский английский. Его не все англоязычные понимают. Но прекрасный чертеж, естественные и логичные доп. построения.

[@user-np9bu4oy5f]

@@Evgeny-2718 китайский английский!? Спасибо.

[@Evgeny-2718]

@@user-np9bu4oy5f Я имею в виду, что , как правило. китайцы в англоязычных странах разговаривают очень своеобразно. Понять тяжело. Но они думают, что это хороший английский. К их разговору нужно приноровиться.