#167

Этот ролик развивает тему метода математической индукции и логично продолжает #163-ий. Мы докажем неравенство Бернулли и, опираясь на него, докажем классическое и очень красивое неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим неотрицательных n чисел, то есть в общем виде. Это неравенство также называется неравенством Коши о средних. Если вам интересна математика - подпишитесь на этот канал, не прогадаете!
ЗАДАЧНИК КО ВСЕМ РОЛИКАМ: topic-135395111_35874038
МОИ КУРСЫ: market-135395111
УСКОРИТЬ ПРОЦЕСС СОЗДАНИЯ НОВОГО ВИДЕО: www.donationalerts.ru/r/wildma...
VK: wildmathing
0:00 - Краткое содержание
0:41 - Неравенство Бернулли
2:02 - Неравенство Коши о средних
Кстати, задачу №3 из #163-го ролика оформил текстом, посмотреть решение можно здесь: yadi.sk/i/30QO-g88Jn6sgQ
БОЛЬШЕ КРУТЫХ ВИДЕО ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ
1. Метод математической индукции: • #163. МЕТОД МАТЕМАТИЧЕ...
2. Ряды Тейлора и формула Эйлера: • #161. САМАЯ КРАСИВАЯ Ф...
3. Что больше: e^π или π^e? • #120. Что больше: e^π ...
4. Математическая символика: • #115. Учимся читать: м...
5. Первый замечательный предел: • #121. Первый замечател...
6. Что делать, если не понимаешь матан? • #114. ЧТО ДЕЛАТЬ, ЕСЛИ...
#Математика #Матан #Коши

[@kuchma19]

ООООО. Это очень полезная вещь для олимпиад. Большие благодарности!!!!!!

[@viss1398]

ребят я на матфаке, мне жизненно необходимы эти ролики, так что не выёживаемся и ставим лайки

[@Irina_Gordeeva]

Странно, как это раньше на таких факультетах обходились без роликов для школьников!

[@xy9961]

шутка про гипотезу Римана после субботних посиделок зашла!

[@mathbyautistdimag.9330]

Разберите док-во гипотезы Римана от Атьи

[@AlexeyEvpalov]

Хорошее применение метода математической индукции. Спасибо за понятное подробное доказательство.

[@user-gl2kh9ix2o]

1.Что-нибудь из топологии 2.Беглый взгляд на "док-во" гипотезы Римана от Атьи

[@georgymartynovich4522]

За год перед поступлением я успел побывать на многих курсах, посмотреть много видео по теме, но лучшие объяснения находил только тут. Теперь я учусь на фф МГУ, но продолжаю забегать на твой канал, где даже вышмат раскладывается по полочкам P.S Мечтаю увидеть твоё видео про последовательности. Какие они бывают, как доказать, что тут есть такой то предел, там его нет, тут сходится, там расходится и так далее

[@WildMathing]

Спасибо за добрые слова! Твой голос за последовательности учту!

[@user-iq4qk8pr3h]

Браво! Прекрасно как всегда :)

[@WildMathing]

Спасибо!

[@user-cd5wd9tp7q]

Когда ты сказал про Гипотезу Римана у меня чуть инфаркт не случился😂

[@elnurbda]

большое спасибо за видеоролик !

[@encritary]

4:30 Пусть ε < 0. По условию теоремы a_{k+1} должно быть не меньше нуля. S_k + ε ≥ 0 ε ≥ -S_k. Разделим обе части неравенства на S_k*(k+1). ε/(S_k*(k+1)) ≥ -1/(k+1) > -1, а значит неравенство Бернулли можно использовать.

[@user-dd7fv9ob4t]

А почему у нас -1/(k+1) > (-1) ?

[@encritary]

@@user-dd7fv9ob4t k - число натуральное, а значит k ≥ 1. Значит, 1/(k+1) ≤ 1/2 -1/(k+1) ≥ -1/2 > -1

[@DobryyChelovec]

Можно побольше о пределах видео? Спасибо за годный контент,😁

[@user-ku4nn5pw8p]

Спасибо за ролик!

[@WildMathing]

Все для вас!

[@user-bd8vo2rk9y]

Спасибо огромное, Вайлд, и пожалуйста БОЛЬШЕ высшей математики, мат анализа (700 луцков есть окда) ты топ

[@WildMathing]

Спасибо вам! Новый ролик по высшей математике обязательно будет в одном из выпуском #169-175..

[@TheSkeef79]

Предел, друг мой, предел... Эта тема вроде не очень то уж и сложная, но вот с доказательствами или опровержениями по определению( на языке-эпсилон дельта) возникают некие сложности

[@user-sp8cq5hn1e]

согласен

[@user-uo6oo3dx7s]

Побольше видео о высшей математике)

[@danilpankov8114]

Давай что нибудь по линейной алгебре.

[@gdgddfgddgd4315]

Интересно,сколько нужно заниматься математикой,чтобы самому доглодаться о такой последовательности действий приводящих к доказательству,а главное это не самая сложное неравенство для докозательства.Спасибо за доказательство.

[@inyouhead]

Идеально, как всегда)

[@green_nechto]

Полностью согласна

[@WildMathing]

Благодарю!

[@user-fw9wy9ii1g]

Вайлд! А расскажи ещё про неравенство Мюрхеда

[@sasteam1538]

Это мы в школе как то мельком доказывали...но это было достаточно давно чтобы забыть....а тут на те)))) Thank you very much))))

[@WildMathing]

Yr welcome!

[@gugatv6996]

Благодарю вас, я понял , овв йееее😎😎

[@donnin192]

Добрый день! Ваш канал нереально крут! Можете разобрать этот пример: 167^167 вычислить последние 7 цифр получившегося числа

[@homykaze]

Ууууу, это было жоско

[@WildMathing]

Ну, мое дело предложить!

[@user-or3ss7bm2g]

Расскажи про задачи тысячилетия

[@user-db7mw2vc1d]

Ставлю на рост акций Wild Mathing

[@user-ro1fv2bs2d]

Буквально сегодня рассматривала листок 57 школы с задачей доказать неравенство Коши методом мат индукции, и вот вселенная посылает мне помощь. Спасибо огромное ❤❤❤

[@i3fonov]

Расскажи по дзетту функцию Римана, распределение простых чисел,нетривиальные нули д.ф.р

[@rocantenrocanten4150]

ржачный ролик

[@arturshavula3541]

В тему неравенства бернули, возможно стоит поговорить о неравенстве Йенсена и доказательстве неравенств через производную? А вообще, спасибо за ваш труд.

[@WildMathing]

Да и в тему неравенства Коши и многих других неравенство Йенсена бы вписалось, но поживем - увидим. Спасибо и тебе!

[@RussianGuy]

Больше видео по университетской математике! Как насчёт матриц?

[@WildMathing]

Все может быть, ближе к делу подведу итог!

[@user-sx1wi7cr7p]

Уравнение Навье-Стокса

[@kranzproductions9568]

Здравствуйте! Спасибо за полезные и забавные ролики. Мне оч зашла шутка про домино Матанчик. Хд Подскажите, верный ли вывод при док-ве нер-ва Бернулли: x^(2k) > kx. Я взяла шаг k + 2 с тем учётом, что при n = {0, 1} нер-ва обращаются в рав-ва.

[@WildMathing]

День добрый! Рад, что понравилось! Если отдельно рассмотреть неравенство x^(2k) > kx, то оно не всегда является верным. При k=1 имеем x²>x, но x=1/2 ему не удовлетворяет. А сама идея разбить все натуральные n на четные и нечетные - хороша!

[@kranzproductions9568]

@@WildMathing спасибо.

[@daivmon6868]

Можешь сказать как заказать журнал квант? Просто мне удобней в бумажном виде

[@WildMathing]

Думаю, самый простой вариант: оформить подписку в отделении Почты России. Возможно, отдельные выпуски можно заказать непосредственно на сайте мат.книги: biblio.mccme.ru

[@AnarNasirov]

Классно. Просто нет слов. Могу ли я попросить вас разобрать некоторые задачи ЕГЭ,а именно,задача 19 Спасибо💗💗💗

[@WildMathing]

Спасибо и тебе! Теорию чисел на ЕГЭ разбирали в #77-87 роликах - загляни! Можно скачать задачник (ссылка в описании) и работать по нему: так удобнее.

[@user-fw9wy9ii1g]

Пёрфект!

[@mathand8990]

Кстати, сюда можно добавить среднее квадратическое и гармоническое, они тоже на олимпиадах используются

[@WildMathing]

Да, связка знатная и добротная!

[@why_so_ez]

Предлагаю доказать бином Ньютона через индукцию :)

[@ikorokor]

Я никогда не пишу комментарии к роликам в духе "Вот бы на математике так рассказывали" или "Спасибо как клевоо💫💫" Но на этот раз такой комментарий уместен чрезвычайно. Хочу выразить благодарность автору данного ролика, поскольку я потратил несколько часов жизни за просмотром различных доказательств, в каждом из которых были такие допущения, которые делали доказательство неполным (неверным), о чем неискушенным зрителям, случайно или намеренно, не сообщалось. Начал я с Трушина, он вообще размахивал руками и "Не буду Вам это сейчас подробно расписывать". На канале Валерия Волкова рассматривается (a с индексом k + 1) в качестве максимального a , что существенно сужает задачу и в общем случае ломает индукцию. А на канале Ярослава Задворного используется опять же не произвольный (a с индексом k), а равный среднему геометрическому всех предыдущих a, что также не дает сделать индукционный переход в общем случае. Еще смотрел разные книжки и уже думал, что живу в матрице, в которой от меня скрывают доказательство этого факта, и включил Ваше видео. Вы хоть и не расписали явно, почему мы можем использовать неравенство Бернулли во втором рассмотрении, но сказали, что случай (a с индексом k+1) < (S с индексом k) решается аналогично. И у меня получилось обосновать, что все предпосылки для н-ва Бернулли выполняются. Спасибо Вам большое!

[@WildMathing]

Спасибо за развернутый комментарий и добрые слова! Да, чаще всего для краткости изложения делают упрощения: на самом деле они верны и общность не теряется, хотя это далеко не всегда очевидно. Кстати, одно из самых простых и красивых доказательств неравенства о средних привел вот в этом видео: kzbin.info/www/bejne/ipe8ZKObiJuCqqc

[@matron9936]

Докажи интегральную формулу коши.

[@mrdan3261]

Можно доказывать неравенство о среднем через следствие неравенство Йенсена или Гельдера

[@WildMathing]

Совершенно верно, и в одном из роликов мы так и сделаем!

[@sham6009]

Неравенство Коши-Буняковского-Шварца

[@solo_driven]

Можете объяснить, как вывели эту формулу (или ссылочку на его выводение ) В этом видио вы показали справедливость этой формулы, но всё же как Коши до этого додумался. Или он тоже так предположил, смотря на вырожения при n = 2,3,4 ... , и начал его доказывать ?

[@WildMathing]

Не могу сказать, как именно к ней пришел Коши, но его (первое из известных) доказательств содержится в этой книге: visualiseur.bnf.fr/CadresFenetre Само неравенство возникает естественно во многих задачах, поэтому желанию обобщить его для любого натурального n удивляться не стоит. Доказывать его можно и по-другому. Например, не апеллируя к индукции, можно применить неравенство Йенсена. Ты можешь найти в поиске лекцию Станислава Шапошникова на эту тему, мы как-нибудь на канале тоже обсудим.

[@theeventhorizon1788]

Я понял только индукцию) А что такое эпсилон и за что он отвечает?

[@WildMathing]

Здесь это обычная переменная, введенная для удобства: если a>b, то a=b+c, где с>0 - вот и вся мысль. Не разберешься - дай знать!

[@erkandaminov9922]

Вы упоминали что три случая может быть при оценке Ак+1 и Sк.Чтобы доказательство было полным желательно рассмотреть и два других случая?

[@WildMathing]

2 случая из 3 рассмотрены видео: обрати внимание на момент 3:13 - стоит знак ≥, третий случай полностью аналогичен и в книгах чаще всего пишут: «Не теряя общности, можно сказать, что aₖ₊₁≥Sₖ», и это правда, но я всем пытливым умам советовал бы рассмотреть самостоятельно этот случай отдельно.

[@user-gy5bf7ro5m]

Wild Mathing но всё же не понятно почему оно верно при оставшемся случае. Ведь Бернулли уже нельзя применить, а в других источниках тоже не тратят время на 3 случай. Почему?!

[@vladislavvasin9522]

Комба

[@daivmon6868]

Пытаться готовиться к олимпиадам по математике начал 8 классе. Сейчас в девятом. Недавно была олимпиада школьного этапа и я её провалил (2 из 5) скажите есть ли шансы выиграть всероссийскую олимпиаду или готовиться нужно было начать раньше?

[@WildMathing]

Шансы есть, не стоит опускать руки! И в любом случае дальнейшая подготовка к "Всеросу" сослужит службу!

[@daivmon6868]

@@WildMathing большое спасибо за ответ! А то как-то не решался и не знал как поступить

[@kranzproductions9568]

Первое рав-во из задачника у меня получилось доказать с первого раза и легко. А вот с арктангенсами запуталась. По-моему, там нужно к окружности и углам ссылаться. Возможно, исп. формулу превращения суммы в произведение. Таким образомудасться доказать истинность формулы?

[@WildMathing]

Да, в третьей задаче не обойтись без преобразований. В свое время оформил решение текстом: yadi.sk/i/30QO-g88Jn6sgQ

[@kranzproductions9568]

@@WildMathing подскажите, а почему в 3-м пункте Вы поделили на 2(k + 1)^2? А если взять квадрат того же числа? Или это будет неравносильное преобразование? В принципе интересное док-во. Тоже думала в этом ключе, но вот пропустила этап с обобщением предыдущих членов (это в индукции частый метод при док-ве?) и деление на куб.

[@WildMathing]

А там не совсем деление: к преобразованиям внизу страницы написал комментарии. Второй равносильный переход (2) сделан за счет формулы тангенса суммы аргументов. При доказательстве по индукции всегда стоит стремиться использовать предпосылку индукции, т.е. здесь на самом деле не уникальный случай, а скорее типичный, просто сложный

[@kranzproductions9568]

@@WildMathing а, спасибо, дошло!

[@WildMathing]

@@kranzproductions9568, всегда пожалуйста!

[@valeriikovalevskyi21]

Ой, еще год назад в физмат класе все смотрел, много понимал, применял. Как поступил - по нулях - ничего не понимаю)))))

[@islantilekmatov4733]

Почему на 1:32 минуте выкинули kx^2 ?

[@WildMathing]

Потому что из (x>1+2) следует то, что (x>1). Аналогично из (x>1+a²) следует, что (x>1) поскольку a²≥0.

[@cryptorus_news]

а для среднего гармонического и квадратичного отдельно снимете? чтоб уж полностью неравенство о средних покрыть? даже ради честности не буду отбирать кусок хлеба - застолбили так застолбили XD

[@bloonoobchannel6994]

Го мат логику или статистику.

[@deservedstrategist]

меня всего перекрутило

[@WildMathing]

Это нормально!

[@nikitaushakov1209]

Если видос про выш мат,то плез, про дифф уры

[@v0tonya]

Больше матана для первокурсников пожалуйста

[@kirillyartsev78]

Я химик и ничего в этом видео не понимаю. Но подача крутая и смотреть интересно)

[@user-oe6ik8cl2t]

Чувак, математика не моё, хочу вкатиться в химию. Она сильно отличается от того, что было в видосе?

[@kirillyartsev78]

Knight of Light самое сложное что потребуют на олимпиадах по химии из матеши - посчитать логорофм. Еще надо много работать с массовыми долями и формулами (физхимия) и во многих задачах надо уметь для химической системы составить мат. модель т. е. уравнение тупо. Но по большей части надо знать и понимать химизмы, а матеша как дополнение идет. Сори если сумбурно)

[@user-oe6ik8cl2t]

Спасибо, друг. Очень ценные знания. А в биологии ты ас?

[@kirillyartsev78]

Knight of Light да, биолог и химик, так уж судьба сложилась) В биологии другая специфика. Там нужно знать очень много теории по всем разделам и очень решает прямота рук на праке. Химию можно математически решать, биологию нужно много по теории ботать и без этого не обойтись. Как то так)

[@user-oe6ik8cl2t]

Спасибо :)

[@ppprikoll]

Не понимаю, почему мы можем использовать неравенство Бернулли для Эпсилон меньше нуля. Может, можно использовать тот факт что Эпсилон это что-то маленькое, а значит большее -1. И тогда e/(k+1)*Sk больше -1

[@na-kun2136]

1:33 почему и зачем и как она нам жить мешала эта kx^2 ?

[@WildMathing]

Представь задачу, в которой требуется доказать неравенство a>1, а ты сумел, исходя из прочих данных, доказать, что a+b²>1. Но это не ровно то, что требовалось! Хорошо бы тогда сказать, что если b²≥0, то a+b²≥a>1, и теперь цель достигнута. То же самое произошло в момент 1:33. Не разберешься - дай знать!

[@user-sx9tk9le3h]

@@WildMathing Я так и не понял, почему мы выкинули kx^2, если и с ней неравенство оставалось верным

[@WildMathing]

@@user-sx9tk9le3h, представь, что тебя в некоторой задаче просили доказать, что x>-5, а ты в ходе решения сумел показать, что x>-5+x⁴: хорошо, конечно, но это не то, что требовалось. Можно провести незатейливые рассуждения: с учетом полученного неравенства и того, что x⁴≥0, имеем x>-5+x⁴≥-5+0=-5 - тут уже в явном виде фигурирует x>-5. Именно такая ситуация и возникла в ролике. Не разберешься - дай знать!

[@afekalollipop6139]

@@WildMathing Здравствуйте. Как в вашем док-ве х может быть больше чем 1 + х⁴, ведь если мы доказали, что х > 1, то х < х⁴ и уж тем более х < 1 + х⁴? Этого момента я не понял.

[@WildMathing]

@@afekalollipop6139, день добрый! Да, сам пример не совсем удачный, поскольку исходная предпосылка неверна. Подправил. Спасибо!

[@Machine123Q]

Го видос ,как решать 19 и 20 ые задания из базы?)

[@baronid9701]

Неравенство Бернули и для эпсилон меньше нуля можно использовать, так как а(k+1) член не отрицателен ну а значит s(k) > эпсилон, значит E/(k+1)s(k) явно больше - 1 из этого следует что неравенство использовать можно

[@ppprikoll]

можете еще раз объяснить

[@ppprikoll]

Sk>e так как Sk>0, ee, но e/((k+1)*Sk)

[@kuchma19]

У меня, по моему, получилось доказать: ((1-x)^n)>=(1-nx), а это, как мне кажется, отвечает на вопрос на этом моменте 4:30 . Но я не уверен.

[@kuchma19]

Только нужно брать не эпсилон меньше нуля, а просто отнимать такой же положительный эпсилон

[@WildMathing]

Андрей К, а для каких значений "икс" ты доказал? Дело в том, что, например, при x=3 и n=5 такое неравенство невыполнено, и с этим нужно считаться при доказательстве неравенства Коши.

[@vladyatsuk]

А не моли бы Вы посоветовать материал или самим объяснить, почему этот метод работает? почему не может быть какого-то числа, где какое-то утверждение неверно?

[@WildMathing]

Если речь о методе математической индукции, то мы как раз его обсудили до того, как доказывать неравенство Коши: kzbin.info/www/bejne/hGmoioCihaeHp8U

[@vladyatsuk]

@@WildMathing эта аналогия с домино объясняет что этот метод работает всегда?

[@WildMathing]

Представь, что у тебя есть набор утверждений (1), (2), (3), ..., (n), ... и ты доказал что из любого утверждения (k) следует утверждение (k+1), а также проверил, что утверждение (1) является истинным. 1. Верно ли утверждение (1)? Да ты его проверил непоcредственно. 2. Верно ли утверждение (2)? Да, поскольку из (1) следует (2): ты ведь доказал, что (k) ⇒ (k+1) - истина. 3. Верно ли утверждение (3)? Да, ведь (2) верно, а (2) ⇒ (3). Теперь более важные вопросы. 4. Верно ли утверждение (42)? 5. Верны ли все утверждения (1), (2), (3), ...., (n), ...? Ответы на них прояснят суть. На всякий случай здесь более формальное доказательство: www.mi-ras.ru/~podolskii/files/lecture1.pdf

[@vladyatsuk]

@@WildMathing (42) верно, потому что я доказал что для k это тоже верно? и потом для какого-то k+m это верно, потому что например это верно для какого-то l? я просто по-другому понять не могу, только буквы как-то типа заменять для какого-то условного числа :(

[@vladyatsuk]

@@WildMathing то, что Вы скинули, я прочитал, но мало что понял вообще о_о

[@user-pu5nk4zg9y]

нехуя не понял но было интересно(1 курс)

[@dmitryzakharov258]

Накручиваю просмотры, пытаясь все это осмыслить)

[@WildMathing]

Так и было задумано!

[@user-rj4pw7jq4m]

Неравенство Бернулли это единственный случай, где можно пренебрегать kx^2 ?

[@WildMathing]

Пренебрегать какой-то отдельной информацией можно, если заведомо известно, что она не меняет ответ на интересующий нас вопрос, и такое, конечно, бывает не только в рассмотренной ситуации. Мне не приходит молниеносно на ум красивых примеров, но если вдруг потребуется установить неотрицательность выражения (kx²)∙f(x) при натуральных значениях k, то, коль скоро (kx²) всегда неотрицательно, то можно им пренебречь и доказывать лишь неотрицательность f(x) - схожая история.

[@sergeiivanov5739]

На самом деле неравенство Коши есть следствие неравенство Йенсена :)

[@WildMathing]

Совершенно верно, но доказательство неравенство Йенсена существенно объемнее показанного здесь.

[@user-fz4vf7rn4l]

Если х в неравенстве Бернулли больше -1, то смело можно смело использовать (т.к. было доказано). В противном случае использовать нельзя, на пример: (1 - 3)^5 = -32 >= ("по неравенству") >= 1 - 3*5 = -14 - абсурд!

[@sergeiivanov5739]

кажется, что (1 + x)^n > 1 + nx есть очевидное неравенство, исходящие из ряда Тейлора для левой функции. Зачем математическая индукция?

[@alexeynesin483]

на мехмате заставляют доказывать очевидное

[@mathbyautistdimag.9330]

Затем, чтобы не пришлось объяснять, что такое Ряд Тейлора

[@alexeynesin483]

икс может быть меньше нуля, но больше минус единицы, но это не точно

[@WildMathing]

Сергей, верно пишут, что для -1

[@user-oe6ik8cl2t]

о блэд, математика

[@Germankacyhay]

Не люблю индукцию.

[@Galaxy-111]

Попытался решить для n=3 в лоб, но выходит слишком громоздко. Потом пытался привести неравенство к виду неравенства n=2 (сгруппировал первые два члена в один и сделал преобразования). Вроде вышло, но не знаю правильно или нет. В интернете видел как этот случай выводили из случая n=4. Его привести к простому случаю легче

[@WildMathing]

Да, решение посредством случая n=4 действительно самое оптимальное: mathus.ru/math/srednie.pdf А вот здесь на второй странице есть решение "в лоб" для n=3, но для него нужен некоторый бэкграунд: www.mccme.ru/s43/math/uroki/2009_2010/9mat_0910/spec/48_nerav1_lect.pdf

[@user-ey5xw2nx9s]

Это высшая математика? =>

[@WildMathing]

В некоторых школах индукцию и неравенства о средних изучают и в 9-ом классе. А на первом курсе этот материал уже изучают в любом случае все математики

[@na-kun2136]

Когда гачинаешь читать книгу "Что такое математика" то начинаются какие-то подозрения о роликах.

[@WildMathing]

Какие?

[@na-kun2136]

@@WildMathing наверное это просто совпадения когда я начал читать эту книгу у вас были ролики о мат индукции и вот это первое неравенство там тоже было. Но это наверное просто у меня подозрительность. А видео было классным.

[@WildMathing]

@@na-kun2136, сумма квадратов натуральных чисел и неравенство Бернулли на самом деле встречается в 9 книгах из 10 по теме - в этом все дело. Но при подготовке роликов заглядывал и в книжку Куранта, Роббинса, так и что и в этом правда есть!

[@romansharafutdinov5262]

У Волкова потратил 10 минут, у тебя всего 3

[@WildMathing]

Здесь просто очень быстро, у Волкова тоже здоровский ролик! Но самое простое доказательство, на мой взгляд, такое: kzbin.info/www/bejne/ipe8ZKObiJuCqqc

[@user-ce8vs4od7r]

Зачем ты, голубчик, перенял манеру говорить и интонацию торговца на рынке? В Математике так не говорят

[@WildMathing]

Спасибо за обратную связь! kzbin.info/www/bejne/b2fNfI2vbLBmhbs